高考數(shù)學(xué)第一輪章節(jié)復(fù)習課件-第十二章-不等式選講

第十二章不等式選講第十二章不等式選講知識點考綱下載考情上線絕對值不等式理解絕對值的幾何意義，并能利用絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|.(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.

會用不等式(1)、(2)證明一些簡單問題.2.會利用絕對值的幾何意義求解以下類型

的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c.熱點是在客觀題中考查絕對值不等式解法與含絕對值號的函數(shù)的最值，恒成立問題.知識點考綱下載考情上線絕對值不等式理解絕對值的幾何意義，并能知識點考綱下載考情上線不等式證明了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.考查簡單不等式的證明，多用比較法、綜合法、分析法.知識點考綱下載考情上線不等式證明了解證明不等式的基本方法：比知識點考綱下載考情上線平均值不等式能夠利用平均值不等式求一些特定函數(shù)的極值.用平均值不等式求一些特定函數(shù)的極值是考試的熱點，題型多為客觀題.知識點考綱下載考情上線平均值不等式能夠利用平均值不等式求一些第一節(jié)絕對值不等式與均值不等式第一節(jié)絕對值不等式與均值不等式高考數(shù)學(xué)第一輪章節(jié)復(fù)習課件-第十二章-不等式選講一、絕對值三角不等式1.定理1：如果a，b是實數(shù)，則|a＋b|≤，當且僅當時，等號成立.|a|＋|b|ab≥0一、絕對值三角不等式|a|＋|b|ab≥0(1)絕對值三角不等式的向量形式及幾何意義是什么？(2)不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中“＝”成立的條件分別是什么？提示：(1)當a，b不共線時，|a＋b|<|a|＋|b|，它的幾何意義就是三角形的兩邊之和大于第三邊.(2)不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右側(cè)“＝”成立的條件是ab≥0，左側(cè)“＝”成立的條件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右側(cè)“＝”成立的條件是ab≤0，左側(cè)“＝”成立的條件是ab≥0且|a|≥|b|.(1)絕對值三角不等式的向量形式及幾何意義是什么？提示：(1

2.定理2：如果a，b，c是實數(shù)，則

|a－c|≤，當且僅當時，等號成立.|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥0

|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥0二、絕對值不等式的解法1.含絕對值的不等式|x|<a與|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a－a<x<a??|x|>ax>a或x<－ax≠0R二、絕對值不等式的解法不等式a>0a＝0a<0|x|<a－a2.|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)|ax＋b|≤c?.(2)|ax＋b|≥c?.－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c2.|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型3.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

方法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；方法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.3.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－三、平均值不等式

a1，a2…，an為n個正數(shù)，則，當且僅當a1＝a2＝an時等式成立．三、平均值不等式1．已知－2≤a≤3，－3<b<4，則a－|b|的取值范圍是(

)A．(－6,3)

B．(－6,3]C．(－6,6)D．(－6,6]1．已知－2≤a≤3，－3<b<4，則a－|b|的取值范圍是解析：∵－3<b<4∴0≤|b|<4∴a－|b|∈(－6,3].答案：B解析：∵－3<b<42．不等式|5x－x2|<6的解集為(

)A．(－1,2)B．(3,6)

C．(－1,2)∪(3,6]D．(－1,2)∪(3,6)答案：D

解析：|5x－x2|<6∴－1<x<2或3<x<6.2．不等式|5x－x2|<6的解集為3．不等式|2x－1|－x<1的解集是(

)A．(0,2)B．(0,2]

C．(－2,0)D．(－2,0]解析：|2x－1|<x＋1?－(x＋1)<2x－1<x＋1，即0<x<2.答案：A3．不等式|2x－1|－x<1的解集是4．函數(shù)y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值及取得最小值時x的值分別是________、________.解析：∵|x＋1|＋|x－2|≥3，當且僅當x∈[－1,2]時，y取最?。鸢福?

x∈[－1,2]4．函數(shù)y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值及取得最小值時x的5．函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的圖象恒過定點A，若點

A在直線mx＋ny＋1＝0上，其中m，n＞0，則的最小值為________．5．函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的圖象恒解析：函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的圖象恒過定點A(－2，－1)，則(－2)·m＋(－1)·n＋1＝0,2m＋n＝1，m，n＞0，答案：8解析：函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的圖象6．已知不等式2|x－3|＋|x－4|<2a.(1)若a＝1，求x的取值范圍；

(2)若已知不等式解集不是空集，求a的取值范圍．

解：(1)2|x－3|＋|x－4|<2，|x－3|＋|x－4|<1，∴x∈?.(2)|x－3|＋|x－4|≥(x－3)－(x－4)＝1，∴(|x－3|＋|x－4|)min＝1，又已知不等式的解集不是空集，所以a>1.6．已知不等式2|x－3|＋|x－4|<2a.解：(1)2|高考數(shù)學(xué)第一輪章節(jié)復(fù)習課件-第十二章-不等式選講1．對絕對值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|

中等號成立的條件要深刻理解，特別是用此定理求函數(shù)的最值時．2．該定理可以強化為：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它經(jīng)常用于證明含絕對值的不等式．3．對于y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值求法利用該不等式更簡潔、方便．1．對絕對值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|“|x－a|<m，且|y－a|<m”是“|x－y|<2m”(x，y，a，m∈R)的____________________(填充分不必要條件，或必要不充分條件，或充要條件)．“|x－a|<m，且|利用絕對值三角不等式，推證與|x-y|<2m的關(guān)系即得答案.利用絕對值三角不等式，推證解析：∵|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|<m＋m＝2m，∴|x－a|<m，且|y－a|<m是|x－y|<2m的充分條件．取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，則有|x－y|＝2<5＝2m，但|x－a|＝5，不滿足|x－a|<m＝2.5，故|x－a|<m且|y－a|<m不是|x－y|<2m的必要條件．答案：充分不必要條件解析：∵|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋1．若α∈(π，π)，M＝|sinα|，N＝|cosα|，P＝

|sinα＋cosα|，則它們之間的大小關(guān)系為________.1．若α∈(π，π)，M＝|sinα|，N＝|cos解析：∵α∈(π，)，∴cosα∈(－1，—0)，∴N>P>M.答案：N>P>M解析：∵α∈(π，)，答案：N>P>M絕對值不等式的常見類型及其解法(1)形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)型不等式此類不等式的簡單解法是等價命題法，即①當a>0時，|f(x)|＜a?－a＜f(x)＜a.|f(x)|＞a?f(x)＞a或f(x)＜－a.②當a＝0時，|f(x)|<a無解．

|f(x)|>a?f(x)≠0.③當a<0時，|f(x)|<a無解．

|f(x)|>a?f(x)有意義．絕對值不等式的常見類型及其解法(2)含有兩個絕對值的不等式的解法①零點分段法零點分段法解絕對值不等式的步驟：a.求零點；b.劃分區(qū)間、去絕對值號；c.分別解去掉絕對值的不等式；d.取每個結(jié)果的并集，特別注意在分段時不要漏掉區(qū)間的端點值．注意：在利用分類討論解決含多個絕對值的不等式時，應(yīng)做到分類不重、不漏；在某個區(qū)間上解出不等式后，不要忘了與前提條件求交集．(2)含有兩個絕對值的不等式的解法②利用|x－a1|±|x－a2|的幾何意義利用數(shù)形結(jié)合法，把絕對值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的動點x到兩個定點a1、a2的距離之和(差)．②利用|x－a1|±|x－a2|的幾何意義解下列不等式(1)|2x＋5|>7＋x；(2)|x－1|＋|x＋2|<5.

解下列不等式

(1)利用公式法轉(zhuǎn)化(2)采用零點分段討論法，也可用絕對值的幾何意義去解．

(1)利用公式法轉(zhuǎn)化解：(1)由不等式|2x＋5|>7＋x，可得解得x>2或x<－4.∴原不等式的解集是{x|x<－4或x>2}．解：(1)由不等式|2x＋5|>7＋x，可得（2）分別求|x－1|，|x＋2|的零點，即1，－2.由－2,1把數(shù)軸分成三部分：x<－2，－2≤x≤1，x>1.當x<－2時，原不等式即1－x－2－x<5，解得－3<x<－2；當－2≤x≤1時，原不等式即1－x＋2＋x<5，因為3<5恒成立，則－2≤x≤1；當x>1時，原不等式即x－1＋2＋x<5，解得1<x<2.綜上，原不等式的解集為{x|－3<x<2}．（2）分別求|x－1|，|x＋2|的零點，即1，－2.2．若關(guān)于x的不等式|x＋2|＋|x－1|≤a的解集為?，求實數(shù)

a的取值范圍．2．若關(guān)于x的不等式|x＋2|＋|x－1|≤a的解集為?，求解：令y1＝|x＋2|＋|x－1|，y2＝a.y1、y2的圖象如圖所示：由圖可知，當a＜3時，|x+2|+|x-1|≤a的解集為?.解：令y1＝|x＋2|＋|x－1|，y2＝a.絕對值不等式的證明主要有兩類：一是比較簡單的不等式，往往可通過平方法，換元法去掉絕對值轉(zhuǎn)化證明，有時需要適當?shù)奶怼⒉痦棧蔷C合性較強的函數(shù)型絕對值不等式問題，多用放縮法，涉及二次型的也可考慮最值或根的分布問題．絕對值不等式的證明主要有兩類：已知f(x)＝，a≠b，求證：|f(a)－f(b)|<|a－b|.利用絕對值不等式放縮證明.已知f(x)＝證明：證明：3．已知二次函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的定義域為[－

1,1]，且|f(x)|的最大值為M.(1)試證明|1＋b|≤M；

(2)試證明3．已知二次函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的定義證明：(1)∵M≥|f(－1)|＝|1－a＋b|，M≥|f(1)|＝|1＋a＋b|，∴2M≥|1－a＋b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)＋(1＋a＋b)|＝2|1＋b|，∴|1＋b|≤M.(2)依題意，M≥|f(－1)|，M≥|f(0)|，M≥|f(1)|，又|f(－1)|＝|1－a＋b|，|f(1)|＝|1＋a＋b|，|f(0)|＝|b|，∴4M≥|f(－1)|＋2|f(0)|＋|f(1)|＝|1－a＋b|＋2|b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)－2b＋(1＋a＋b)|＝2，∴M≥證明：(1)∵M≥|f(－1)|＝|1－a＋b|，平均值不等式是基本不等式的推廣，多用于證明不等式或求最值，應(yīng)用時注意不等式成立的條件“a1，a2，…，an為n個正數(shù)”和成號成立的條件“a1＝a2＝…

＝an”．平均值不等式是基本不等式的推廣，多用設(shè)a，b，c為正實數(shù)，求證：設(shè)a，b，c為正實數(shù)，求證：直接由平均值不等式證明.直接由平均值不等式證明.證明：因為a，b，c為正實數(shù)，由平均值不等式可得即所以而所以證明：因為a，b，c為正實數(shù)，由平均值不等式可得4．設(shè)a為實常數(shù)，試求函數(shù)f(x)＝|sinx·(a＋cosx)|(x∈R)

的最大值．4．設(shè)a為實常數(shù)，試求函數(shù)f(x)＝|sinx·(a＋cos解：引入正常數(shù)λ，使得f2(x)＝sin2x(aλ＋λcosx)2≤sin2x(λ2＋cos2x)(a2＋λ2)≤(a2＋λ2)＝(a2＋λ2)，當且僅當時，等號成立，消去x可得：2λ4＋a2λ2－a2＝0，解之得：λ2＝故當cosx＝時，f(x)max＝解：引入正常數(shù)λ，使得f2(x)＝sin2高考數(shù)學(xué)第一輪章節(jié)復(fù)習課件-第十二章-不等式選講絕對值不等式是對必修5中“不等式”的補充和深化,其解法與證明是考查的重點，若單獨命題，多以填空題形式出現(xiàn)，也可與其他知識結(jié)合考查解答題.如2009年福建21題，2009年遼寧24題，2009年寧夏、海南24題都考查了絕對值不等式的解法.絕對值不等式是對必修5中“不等式”的補充(2009·遼寧高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；(2)如果對任意x∈R，f(x)≥2，求a的取值范圍．(2009·遼寧高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－a|[解]

(1)當a＝－1時，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3.①當x≤－1時，不等式化為1－x－1－x≥3，即－2x≥3.不等式組②當－1<x≤1時，不等式化為1－x＋x＋1≥3，不可能成立．[解](1)當a＝－1時，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|不等式組的解集為?.③當x>1時，不等式化為x－1＋x＋1≥3，即2x≥3.不等式組綜上，f(x)≥3的解集為不等式組(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不滿足題設(shè)條件．若a<1，f(x)＝f(x)的最小值為1－a.若a>1，f(x)＝(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不滿足題設(shè)條件．f(x)的最小值為a－1.所以任意x∈R，f(x)≥2的充要條件是|a－1|≥2，從而a的取值范圍為(－∞，－1]∪[3，＋∞)．f(x)的最小值為a－1.對于|x－a|＋|x－b|>c型不等式的解法一直是考查的重點，利用零點分段函數(shù)討論法時要注意討論做到不重不漏，也可考慮絕對值的幾何意義，對于(2)問實質(zhì)上是不等式恒成立問題，其思路往往轉(zhuǎn)化為最值，得參數(shù)不等式即可求解，若(2)改為不等式|x－1|＋|x－a|≥a對于x∈R恒成立求a的范圍，不妨一試如何解？對于|x－a|＋|x－b|>c型不等式的解法一直是考查的重點第十二章不等式選講第十二章不等式選講知識點考綱下載考情上線絕對值不等式理解絕對值的幾何意義，并能利用絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|.(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.

會用不等式(1)、(2)證明一些簡單問題.2.會利用絕對值的幾何意義求解以下類型

的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c.熱點是在客觀題中考查絕對值不等式解法與含絕對值號的函數(shù)的最值，恒成立問題.知識點考綱下載考情上線絕對值不等式理解絕對值的幾何意義，并能知識點考綱下載考情上線不等式證明了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.考查簡單不等式的證明，多用比較法、綜合法、分析法.知識點考綱下載考情上線不等式證明了解證明不等式的基本方法：比知識點考綱下載考情上線平均值不等式能夠利用平均值不等式求一些特定函數(shù)的極值.用平均值不等式求一些特定函數(shù)的極值是考試的熱點，題型多為客觀題.知識點考綱下載考情上線平均值不等式能夠利用平均值不等式求一些第一節(jié)絕對值不等式與均值不等式第一節(jié)絕對值不等式與均值不等式高考數(shù)學(xué)第一輪章節(jié)復(fù)習課件-第十二章-不等式選講一、絕對值三角不等式1.定理1：如果a，b是實數(shù)，則|a＋b|≤，當且僅當時，等號成立.|a|＋|b|ab≥0一、絕對值三角不等式|a|＋|b|ab≥0(1)絕對值三角不等式的向量形式及幾何意義是什么？(2)不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中“＝”成立的條件分別是什么？提示：(1)當a，b不共線時，|a＋b|<|a|＋|b|，它的幾何意義就是三角形的兩邊之和大于第三邊.(2)不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右側(cè)“＝”成立的條件是ab≥0，左側(cè)“＝”成立的條件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右側(cè)“＝”成立的條件是ab≤0，左側(cè)“＝”成立的條件是ab≥0且|a|≥|b|.(1)絕對值三角不等式的向量形式及幾何意義是什么？提示：(1

2.定理2：如果a，b，c是實數(shù)，則

|a－c|≤，當且僅當時，等號成立.|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥0

|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥0二、絕對值不等式的解法1.含絕對值的不等式|x|<a與|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a－a<x<a??|x|>ax>a或x<－ax≠0R二、絕對值不等式的解法不等式a>0a＝0a<0|x|<a－a2.|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)|ax＋b|≤c?.(2)|ax＋b|≥c?.－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c2.|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型3.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

方法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；方法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.3.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－三、平均值不等式

a1，a2…，an為n個正數(shù)，則，當且僅當a1＝a2＝an時等式成立．三、平均值不等式1．已知－2≤a≤3，－3<b<4，則a－|b|的取值范圍是(

)A．(－6,3)

B．(－6,3]C．(－6,6)D．(－6,6]1．已知－2≤a≤3，－3<b<4，則a－|b|的取值范圍是解析：∵－3<b<4∴0≤|b|<4∴a－|b|∈(－6,3].答案：B解析：∵－3<b<42．不等式|5x－x2|<6的解集為(

)A．(－1,2)B．(3,6)

C．(－1,2)∪(3,6]D．(－1,2)∪(3,6)答案：D

解析：|5x－x2|<6∴－1<x<2或3<x<6.2．不等式|5x－x2|<6的解集為3．不等式|2x－1|－x<1的解集是(

)A．(0,2)B．(0,2]

C．(－2,0)D．(－2,0]解析：|2x－1|<x＋1?－(x＋1)<2x－1<x＋1，即0<x<2.答案：A3．不等式|2x－1|－x<1的解集是4．函數(shù)y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值及取得最小值時x的值分別是________、________.解析：∵|x＋1|＋|x－2|≥3，當且僅當x∈[－1,2]時，y取最小．答案：3

x∈[－1,2]4．函數(shù)y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值及取得最小值時x的5．函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的圖象恒過定點A，若點

A在直線mx＋ny＋1＝0上，其中m，n＞0，則的最小值為________．5．函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的圖象恒解析：函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的圖象恒過定點A(－2，－1)，則(－2)·m＋(－1)·n＋1＝0,2m＋n＝1，m，n＞0，答案：8解析：函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的圖象6．已知不等式2|x－3|＋|x－4|<2a.(1)若a＝1，求x的取值范圍；

(2)若已知不等式解集不是空集，求a的取值范圍．

解：(1)2|x－3|＋|x－4|<2，|x－3|＋|x－4|<1，∴x∈?.(2)|x－3|＋|x－4|≥(x－3)－(x－4)＝1，∴(|x－3|＋|x－4|)min＝1，又已知不等式的解集不是空集，所以a>1.6．已知不等式2|x－3|＋|x－4|<2a.解：(1)2|高考數(shù)學(xué)第一輪章節(jié)復(fù)習課件-第十二章-不等式選講1．對絕對值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|

中等號成立的條件要深刻理解，特別是用此定理求函數(shù)的最值時．2．該定理可以強化為：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它經(jīng)常用于證明含絕對值的不等式．3．對于y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值求法利用該不等式更簡潔、方便．1．對絕對值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|“|x－a|<m，且|y－a|<m”是“|x－y|<2m”(x，y，a，m∈R)的____________________(填充分不必要條件，或必要不充分條件，或充要條件)．“|x－a|<m，且|利用絕對值三角不等式，推證與|x-y|<2m的關(guān)系即得答案.利用絕對值三角不等式，推證解析：∵|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|<m＋m＝2m，∴|x－a|<m，且|y－a|<m是|x－y|<2m的充分條件．取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，則有|x－y|＝2<5＝2m，但|x－a|＝5，不滿足|x－a|<m＝2.5，故|x－a|<m且|y－a|<m不是|x－y|<2m的必要條件．答案：充分不必要條件解析：∵|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋1．若α∈(π，π)，M＝|sinα|，N＝|cosα|，P＝

|sinα＋cosα|，則它們之間的大小關(guān)系為________.1．若α∈(π，π)，M＝|sinα|，N＝|cos解析：∵α∈(π，)，∴cosα∈(－1，—0)，∴N>P>M.答案：N>P>M解析：∵α∈(π，)，答案：N>P>M絕對值不等式的常見類型及其解法(1)形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)型不等式此類不等式的簡單解法是等價命題法，即①當a>0時，|f(x)|＜a?－a＜f(x)＜a.|f(x)|＞a?f(x)＞a或f(x)＜－a.②當a＝0時，|f(x)|<a無解．

|f(x)|>a?f(x)≠0.③當a<0時，|f(x)|<a無解．

|f(x)|>a?f(x)有意義．絕對值不等式的常見類型及其解法(2)含有兩個絕對值的不等式的解法①零點分段法零點分段法解絕對值不等式的步驟：a.求零點；b.劃分區(qū)間、去絕對值號；c.分別解去掉絕對值的不等式；d.取每個結(jié)果的并集，特別注意在分段時不要漏掉區(qū)間的端點值．注意：在利用分類討論解決含多個絕對值的不等式時，應(yīng)做到分類不重、不漏；在某個區(qū)間上解出不等式后，不要忘了與前提條件求交集．(2)含有兩個絕對值的不等式的解法②利用|x－a1|±|x－a2|的幾何意義利用數(shù)形結(jié)合法，把絕對值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的動點x到兩個定點a1、a2的距離之和(差)．②利用|x－a1|±|x－a2|的幾何意義解下列不等式(1)|2x＋5|>7＋x；(2)|x－1|＋|x＋2|<5.

解下列不等式

(1)利用公式法轉(zhuǎn)化(2)采用零點分段討論法，也可用絕對值的幾何意義去解．

(1)利用公式法轉(zhuǎn)化解：(1)由不等式|2x＋5|>7＋x，可得解得x>2或x<－4.∴原不等式的解集是{x|x<－4或x>2}．解：(1)由不等式|2x＋5|>7＋x，可得（2）分別求|x－1|，|x＋2|的零點，即1，－2.由－2,1把數(shù)軸分成三部分：x<－2，－2≤x≤1，x>1.當x<－2時，原不等式即1－x－2－x<5，解得－3<x<－2；當－2≤x≤1時，原不等式即1－x＋2＋x<5，因為3<5恒成立，則－2≤x≤1；當x>1時，原不等式即x－1＋2＋x<5，解得1<x<2.綜上，原不等式的解集為{x|－3<x<2}．（2）分別求|x－1|，|x＋2|的零點，即1，－2.2．若關(guān)于x的不等式|x＋2|＋|x－1|≤a的解集為?，求實數(shù)

a的取值范圍．2．若關(guān)于x的不等式|x＋2|＋|x－1|≤a的解集為?，求解：令y1＝|x＋2|＋|x－1|，y2＝a.y1、y2的圖象如圖所示：由圖可知，當a＜3時，|x+2|+|x-1|≤a的解集為?.解：令y1＝|x＋2|＋|x－1|，y2＝a.絕對值不等式的證明主要有兩類：一是比較簡單的不等式，往往可通過平方法，換元法去掉絕對值轉(zhuǎn)化證明，有時需要適當?shù)奶?、拆項．二是綜合性較強的函數(shù)型絕對值不等式問題，多用放縮法，涉及二次型的也可考慮最值或根的分布問題．絕對值不等式的證明主要有兩類：已知f(x)＝，a≠b，求證：|f(a)－f(b)|<|a－b|.利用絕對值不等式放縮證明.已知f(x)＝證明：證明：3．已知二次函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的定義域為[－

1,1]，且|f(x)|的最大值為M.(1)試證明|1＋b|≤M；

(2)試證明3．已知二次函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的定義證明：(1)∵M≥|f(－1)|＝|1－a＋b|，M≥|f(1)|＝|1＋a＋b|，∴2M≥|1－a＋b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)＋(1＋a＋b)|＝2|1＋b|，∴|1＋b|≤M.(2)依題意，M≥|f(－1)|，M≥|f(0)|，M≥|f(1)|，又|f(－1)|＝|1－a＋b|，|f(1)|＝|1＋a＋b|，|f(0)|＝|b|，∴4M≥|f(－1)|＋2|f(0)|＋|f(1)|＝|1－a＋b|＋2|b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)－2b＋(1＋a＋b)|＝2，∴M≥證明：(1)∵M≥|f(－1)|＝|1－a＋b|，平均值不等式是基本不等式的推廣，多用于證明不等式或求最值，應(yīng)用時注意不等式成立的條件“a1，a2，…，an為n個正數(shù)”和成號成立的條件“a1＝a2＝…

＝an”