向量的直角坐標(biāo)運算課件

2.2.2向量的正交分解與

向量的直角坐標(biāo)運算2.2.2向量的正交分解與

向量的直角坐標(biāo)運算11.向量的直角坐標(biāo)1.如果兩個向量的基線互相垂直，則稱這兩個向量互相垂直;2.如果兩個基向量e1、e2互相垂直，則稱{e1，e2}為正交基底3.若向量e1、e2為單位正交基底,且則稱(x，y)為向量a的坐標(biāo).1.向量的直角坐標(biāo)1.如果兩個向量的基線互相垂直，則稱這兩個2在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，任做一向量a，由平面向量基本定理可知，存在唯一有序?qū)崝?shù)對(a1,a2)，使得a=a1e1+a2e2，(a1,a2)就是向量a在基底{e1,e2}下的坐標(biāo)，即a=(a1,a2).在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，任做一向量a，由平面向量基本定理30=(0,0)，e1=(1,0)，e2=(0,1).設(shè)向量a=(a1,a2)，a的方向相對于x軸正方向的轉(zhuǎn)角為θ，由三角函數(shù)定義知a1=|a|cosθ,a2=|a|sinθ0=(0,0)，e1=(1,0)，e2=(0,1).4例1.在直角坐標(biāo)系xOy中，向量a，b，c的方向和長度如圖所示，分別求它們的坐標(biāo)。例1.在直角坐標(biāo)系xOy中，向量a，b，c的方向和長度如圖52.向量的直角坐標(biāo)運算設(shè)a=(a1,a2),b=(b1,b2),求a+b的值。a+b=(a1e1+a2e2)+(b1e1+b2e2)=(a1+b1)e1+(a2+b2)e2，即a+b=(a1+b1，a2+b2).用同樣的方法可以證明a－b=(a1－b1，a2－b2),λa=λ(a1,a2)=(λa1,λa2）

2.向量的直角坐標(biāo)運算設(shè)a=(a1,a2),b=(b1,6說明：兩個向量的和與差的坐標(biāo)等于兩個向量的相應(yīng)坐標(biāo)的和與差；數(shù)乘向量的積的坐標(biāo)等與數(shù)乘以向量相應(yīng)坐標(biāo)的積。說明：7例2.已知A(x1,y1）,B(x2,y2),求向量的坐標(biāo).解：=(x2,y2)－(x1,y1)=(x2－x1，y2－y1)。說明：一個向量的坐標(biāo)等于向量終點的坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo)。例2.已知A(x1,y1）,B(x2,y2),求向量8例3.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(x1,y1),B(x2,y2),求線段AB中點的坐標(biāo)。解：設(shè)M(x,y)是線段AB的中點，則例3得到的公式，叫做線段中點的坐標(biāo)公式，簡稱中點公式。例3.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(x1,y1),B(9例4.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(3,2),B(－2，4)，求向量的方向和長度.解：=(3,2)+(－2，4)=(1,6).α=arctan6例4.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(3,2),B(－2，10例5.已知□ABCD的三個頂點A(－2,1)、B(－1,3)、C(3,4)，求頂點D的坐標(biāo)。解：=(－2,1)+(3,4)－(－1,3)=(2,2)所以D點的坐標(biāo)是(2,2).例5.已知□ABCD的三個頂點A(－2,1)、B(－1,11例6.已知A(－2，1)，B(1，3)，求線段AB中點M和三等分點坐標(biāo)P，Q的坐標(biāo).解：(1)求中點M的坐標(biāo)，利用例3得到的公式可知M(－，2)(2)因為=(1，3)－(－2，1)=(3，2)例6.已知A(－2，1)，B(1，3)，求線段AB中點M和12向量的直角坐標(biāo)運算課件13練習(xí)1.設(shè)向量a=(1,－3)，b=(－2,4)，c=(－1,－2)，若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d為

.解：4a+(4b－2c)+2(a－c)+d=0,所以d=－6a－4b+4c=(－2,－6).練習(xí)1.設(shè)向量a=(1,－3)，b=(－2,4)，c142.設(shè)點P在平面上做勻速直線運動,速度向量,設(shè)起始P(－10,10),則5秒鐘后點P的坐標(biāo)為().解：5秒種后，P點坐標(biāo)為(－10,10)+5(4,－3)=(10,－5).2.設(shè)點P在平面上做勻速直線運動,速度向量解：5秒種后，P點153.設(shè)A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)滿足(1)λ為何值時,點P在直線y=x上?(2)設(shè)點P在第三象限,求λ的范圍.解:(1)設(shè)P(x,y)，則(x－2,y－3)=(3,1)+λ(5,7),所以x=5λ+5，y=7λ+4.解得λ=(2)由已知5λ+5<0,7λ+4<0,所以λ<－1.3.設(shè)A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)滿足16向量的直角坐標(biāo)運算課件172.2.2向量的正交分解與

向量的直角坐標(biāo)運算2.2.2向量的正交分解與

向量的直角坐標(biāo)運算181.向量的直角坐標(biāo)1.如果兩個向量的基線互相垂直，則稱這兩個向量互相垂直;2.如果兩個基向量e1、e2互相垂直，則稱{e1，e2}為正交基底3.若向量e1、e2為單位正交基底,且則稱(x，y)為向量a的坐標(biāo).1.向量的直角坐標(biāo)1.如果兩個向量的基線互相垂直，則稱這兩個19在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，任做一向量a，由平面向量基本定理可知，存在唯一有序?qū)崝?shù)對(a1,a2)，使得a=a1e1+a2e2，(a1,a2)就是向量a在基底{e1,e2}下的坐標(biāo)，即a=(a1,a2).在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，任做一向量a，由平面向量基本定理200=(0,0)，e1=(1,0)，e2=(0,1).設(shè)向量a=(a1,a2)，a的方向相對于x軸正方向的轉(zhuǎn)角為θ，由三角函數(shù)定義知a1=|a|cosθ,a2=|a|sinθ0=(0,0)，e1=(1,0)，e2=(0,1).21例1.在直角坐標(biāo)系xOy中，向量a，b，c的方向和長度如圖所示，分別求它們的坐標(biāo)。例1.在直角坐標(biāo)系xOy中，向量a，b，c的方向和長度如圖222.向量的直角坐標(biāo)運算設(shè)a=(a1,a2),b=(b1,b2),求a+b的值。a+b=(a1e1+a2e2)+(b1e1+b2e2)=(a1+b1)e1+(a2+b2)e2，即a+b=(a1+b1，a2+b2).用同樣的方法可以證明a－b=(a1－b1，a2－b2),λa=λ(a1,a2)=(λa1,λa2）

2.向量的直角坐標(biāo)運算設(shè)a=(a1,a2),b=(b1,23說明：兩個向量的和與差的坐標(biāo)等于兩個向量的相應(yīng)坐標(biāo)的和與差；數(shù)乘向量的積的坐標(biāo)等與數(shù)乘以向量相應(yīng)坐標(biāo)的積。說明：24例2.已知A(x1,y1）,B(x2,y2),求向量的坐標(biāo).解：=(x2,y2)－(x1,y1)=(x2－x1，y2－y1)。說明：一個向量的坐標(biāo)等于向量終點的坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo)。例2.已知A(x1,y1）,B(x2,y2),求向量25例3.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(x1,y1),B(x2,y2),求線段AB中點的坐標(biāo)。解：設(shè)M(x,y)是線段AB的中點，則例3得到的公式，叫做線段中點的坐標(biāo)公式，簡稱中點公式。例3.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(x1,y1),B(26例4.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(3,2),B(－2，4)，求向量的方向和長度.解：=(3,2)+(－2，4)=(1,6).α=arctan6例4.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(3,2),B(－2，27例5.已知□ABCD的三個頂點A(－2,1)、B(－1,3)、C(3,4)，求頂點D的坐標(biāo)。解：=(－2,1)+(3,4)－(－1,3)=(2,2)所以D點的坐標(biāo)是(2,2).例5.已知□ABCD的三個頂點A(－2,1)、B(－1,28例6.已知A(－2，1)，B(1，3)，求線段AB中點M和三等分點坐標(biāo)P，Q的坐標(biāo).解：(1)求中點M的坐標(biāo)，利用例3得到的公式可知M(－，2)(2)因為=(1，3)－(－2，1)=(3，2)例6.已知A(－2，1)，B(1，3)，求線段AB中點M和29向量的直角坐標(biāo)運算課件30練習(xí)1.設(shè)向量a=(1,－3)，b=(－2,4)，c=(－1,－2)，若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d為

.解：4a+(4b－2c)+2(a－c)+d=0,所以d=－6a－4b+4c=(－2,－6).練習(xí)1.設(shè)向量a=(1,－3)，b=(－2,4)，c312.設(shè)點P在平面上做勻速直線運動,速度向量,設(shè)起始P(－10,10),則5秒鐘后點P的坐標(biāo)為().解：5秒種后，P點坐標(biāo)為(－10,10)+5(4,－3)=(10,－5).2.設(shè)點P在平面上做勻速直線運動,速度向量解：5秒種后，P點3