初中數(shù)學(xué)北師大九年級(jí)上冊(cè)圖形的相似-K型圖的應(yīng)用PPT

一、復(fù)習(xí)回顧

K型圖

A型圖

X型圖

雙垂圖二、探究基本圖形（1）如圖,已知E為BC上任意一點(diǎn)，且∠B=∠C=∠AEF=90°，問(wèn)：圖中有相似的三角形嗎？找出并說(shuō)明理由.CABEF理由：(兩角）∠B=∠C;∠A+∠AEB=90°∠AEB+∠FEC=90°

∠A=∠FEC有：△ABE∽△ECF

（2）E為BC上任意一點(diǎn)，若∠B=∠C=∠AEF=60°,則△ABE與△

ECF的關(guān)系還成立嗎？說(shuō)明理由.（3）點(diǎn)E為BC上任意一點(diǎn)若∠B=∠C=∠AEF=α,則△ABE與△

ECF的關(guān)系還成立嗎？C60°60°60°ABEFαααABCEFαααABFCE60°60°60°CABEF△ABE∽△ECF成立！CABEFC60°60°60°ABEFABCEFααα都有：∠B=∠C=∠AEF

∠A=∠FEC

當(dāng)點(diǎn)B、點(diǎn)C、點(diǎn)E在同一直線上，且滿足

時(shí)，

?？偨Y(jié)：

歸納巧記：一線三等角，相似兩三角（形）△ABE∽△ECF

∠B=∠C=∠AEF

K型圖CABEFC60°60°60°ABEFABCEFαααE例1：如圖△ABC是等邊三角形,P為BC上一點(diǎn),D為AC上一點(diǎn),若

∠APD=60°.

（1）求證:△ABP∽△PCD；

（2）若BP=3，CD=2，求△ABC的邊長(zhǎng).三、知識(shí)應(yīng)用提示：（1）“K型圖”（2）邊長(zhǎng)為9.變式：如圖，△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°.△DEF的頂點(diǎn)E與△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P，線段EF與線段CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q．（1）求證：△BPE∽△CEQ；（2）當(dāng)BP=2,CQ=9時(shí)，求P、Q兩點(diǎn)間的距離．提示：（1）“K型圖”（2）PQ=5

(2012?宜賓)如圖，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動(dòng)，△DEF運(yùn)動(dòng)，并滿足：點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動(dòng)，且DE始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,EF與AC交于M點(diǎn)。（1）求證：△ABE∽△ECM;（2）設(shè)BE=x，AM=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)BE為何值時(shí)，AM有最小值，最小值是多少；（3）當(dāng)線段AM最短時(shí)，求重疊部分的面積。四、中考鏈接這節(jié)課你有什么收獲和體會(huì)要與大家分享？(1)復(fù)習(xí)了哪些知識(shí)點(diǎn)?(2)體會(huì)到些什么方法?五、課堂小結(jié)你還有什么疑惑？五、拓展延伸如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=6cm，BC=13cm，點(diǎn)P沿BC從B向C以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)（不包含B、C兩點(diǎn)），且∠APQ=∠B，射線PQ交CD（或CD的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)Q．設(shè)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．（1）如圖①，當(dāng)PQ交CD于Q時(shí)，求證:△ABP∽△PCQ；（2）如圖②，當(dāng)PQ交CD的延長(zhǎng)線于Q時(shí)，設(shè)DQ=y，請(qǐng)求出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）請(qǐng)問(wèn)當(dāng)時(shí)間t等于多少時(shí)，以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與以Q、P、A為頂點(diǎn)的三角形相似？謝謝！當(dāng)∠C、∠D、∠1在同一直線上，且滿足

條件時(shí)，

?？偨Y(jié)：

歸納巧記：一線三等角，相似兩三角（形）△ACP∽△PDB

∠C=∠D=∠1K型圖變式1：

如圖，已知D為BC上一點(diǎn)，∠B=∠C=∠EDF=60°,BE=6,CD=3,CF=4,則BD=____,AF=____.EBCDFA例2：如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A（0，6）、點(diǎn)B（8，0），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿線段AO以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿線段BA以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△AOB相似？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ的面積為個(gè)平方單位？（3）求△APQ的面積的最大值.提示：（1）（2）t=2或t=3（3）S△APQ的最大值為5五、拓展延伸1.如圖，已知線段AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)K，E是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)．（1）若BK=

KC，求的值；（2）連接BE，若BE平分∠ABC，則當(dāng)AE=

AD時(shí)，猜想線段AB、BC、CD三者之間有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的結(jié)論并予以證明．

再探究：當(dāng)AE=

AD（n＞2），而其余條件不變時(shí)，線段AB、BC、CD三者之間又有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論，不必證明．如圖，在△ABC中，BA=BC=20,AC=32，動(dòng)點(diǎn)P從A開(kāi)始在線段AB以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P不與A、B重合)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始在線段CA以每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)Q不與C、A重合)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x.五、拓展延伸（1）當(dāng)x為何值時(shí)，PQ∥BC？（2）ΔAPQ能否與ΔCQB相似？若能，求出AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）是否存在x，使若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.如圖，在△ABC中，BA=BC=20,AC=32，動(dòng)點(diǎn)P從A開(kāi)始在線段AB以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P不與A、B重合)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始在線段CA以每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)Q不與C、A重合)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x.五、拓展延伸（1）當(dāng)x為何值時(shí)，PQ∥BC？（2）ΔAPQ能否與ΔCQB相似？若能，求出AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）是否存在x，使若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例1：如圖，在平行四邊ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連結(jié)DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B.(1)求證：△ADF∽△DEC.(2)若AB＝4，AD＝

，AE＝3，求AF的長(zhǎng)．老師點(diǎn)評(píng)：解：(1)∵平行四邊形ABCD∴AD∥BC,AB∥CD∴∠ADF=∠CED,∠B+∠C=180??又∵∠AFE+∠AFD=180??,∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF∽△DEC(2)∵平行四邊形ABCD∴AD∥BC,CD=AB=4又∵AE⊥BC,∴AE⊥AD例1：正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持AM和MN垂直，

（1）證明：Rt△ABM∽R(shí)t△MCN；

（2）當(dāng)M點(diǎn)是BC中點(diǎn)時(shí)，求證：RtABM△∽R(shí)t△AMN。例2：如圖，在中，AB=8cm，BC=16cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AB向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊BC向點(diǎn)C以4cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)幾秒鐘P、B、Q構(gòu)成的三角形與A、B、C構(gòu)成的三角形相似？試說(shuō)明理由。四、探究拓展1.如圖，已知線段AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)K，E是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)．（1）若BK=

KC，求的值；（2）連接BE，若BE平分∠ABC，則當(dāng)AE=

AD時(shí)，猜想線段AB、BC、CD三者之間有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的結(jié)論并予以證明．

再探究：當(dāng)AE=

AD（n＞2），而其余條件不變時(shí)，線段AB、BC、CD三者之間又有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論，不必證明．（1）在此方格網(wǎng)中找出一個(gè)與△ABC相似且面積最大的格點(diǎn)三角形；（2）此網(wǎng)格中一共可找到多少個(gè)與△ABC相似的格點(diǎn)三角形呢？2.如圖是一個(gè)5X5的方格網(wǎng)，橫豎線相交的點(diǎn)叫“格點(diǎn)”，所有頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的三角形叫“格點(diǎn)三角形”，△ABC就是一個(gè)格點(diǎn)三角形。變式：（2008年浙江麗水）如圖，在已建立直角坐標(biāo)系的4×4正方形方格紙中，△劃格點(diǎn)三角形（三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都是小正方形的頂點(diǎn)），若以格點(diǎn)P，A，B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似（全等除外），則格點(diǎn)P的坐標(biāo)是

.

你能測(cè)量出這個(gè)紅塔的高度嗎？你能測(cè)量出這條河的寬度嗎？例3：如圖，為了測(cè)量一條河的寬度，測(cè)量人員進(jìn)行了如下操作：（1）在對(duì)岸岸邊P點(diǎn)處觀察到一根柱子，再在他們所在的這一側(cè)岸上選擇點(diǎn)A和B，使得B、A、P在一條直線上，且與河岸垂直。（2）隨后確定點(diǎn)C、D，使BC⊥BP，AD⊥BP，由觀測(cè)可以確定CP與AD的交點(diǎn)D。（3）他們測(cè)得AB=45m，BC=90m，AD=60m，從而確定河寬PA=90m。你認(rèn)為他們的結(jié)論對(duì)嗎？還有其他的測(cè)量方法嗎？ABCDP45m90m60m解：結(jié)論正確！理由如下：由△PAD∽△PBC得PAPB=ADBCPAPA+45=6090PA=90改變點(diǎn)C的位置，仍可以得到相應(yīng)的結(jié)論.？變式：教學(xué)樓旁邊有一顆樹，學(xué)習(xí)了相似三角形后，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們想利用樹影測(cè)量樹高。課外活動(dòng)時(shí)在陽(yáng)光下他們測(cè)得一根長(zhǎng)為1m的竹竿的影長(zhǎng)是0.9m，但當(dāng)他們馬上測(cè)量樹高時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學(xué)樓的墻壁上（如圖），經(jīng)過(guò)一番爭(zhēng)論，小組同學(xué)認(rèn)為繼續(xù)測(cè)量也可以求出樹高。他們測(cè)得落在地面的影長(zhǎng)2.7m，落在墻壁上的影長(zhǎng)1.2m，請(qǐng)你和他們一起算一下，樹高為多少？DBACEHFG解：首先在圖上標(biāo)上字母，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E根據(jù)題意，可得：△AEC∽△FGH2.7m2.7m1.2m1.2m1m0.9AEFG=CEHGAE1=2.70.9AE=3m∴樹高AB=3+1.2=4.2m變式1：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點(diǎn)D在BC所在的直線上運(yùn)動(dòng)，作∠ADE=45°，

如圖4，若點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，DE交AC于E．

求證：△ABD∽△DCE．ABCDE若△ADE∽△ABC，你可以得出什么結(jié)論？角：∠ADE=∠B；∠AED=∠C邊：DE∥BC面積：“A”型做一做：周長(zhǎng)：做一做：ABOCD添加一個(gè)條件，使△AOB∽△DOC角：∠B=∠C或∠A=∠D“X”

型邊：AB∥CD

或AO：OD=BO：CO二、鞏固提升做一做用實(shí)戰(zhàn)來(lái)證明自己2、如圖，能保證使△ACD與△ABC相似的條件是（）CABD（1）AC︰CD=AB︰BC（2）CD︰AD=BC︰AC（3）AC=AD·AB2（4）CD=AD·AB2解：已知∠A是兩個(gè)三角形的公共角，要使△ACD與△ABC相似，就要使△ACD中∠A的兩邊與△ABC中的∠A的兩邊對(duì)應(yīng)成比例——即ADACACAB=AC=AD·AB2∴應(yīng)該選：CC思路與方法點(diǎn)撥1.“證明”：“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”在證明三角形相似中用得較多，在證明過(guò)程中應(yīng)注意結(jié)合圖形和已知條件去找相等的角，注意挖掘圖形中的隱含條件，如公共角、對(duì)頂角等。2.“計(jì)算”：解題時(shí)要結(jié)合圖形和已知條件，找出相似的三角形并把已知量和未知量集中在所找的三角形中，利用相似三角形的性質(zhì)和判定解決有關(guān)計(jì)算線段長(zhǎng)度和證明線段成比例的問(wèn)題。3.方法：注意數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用。你能測(cè)量出這個(gè)紅塔的高度嗎？你能測(cè)量出這條河的寬度嗎？CABEF（1）△ABE∽△ECF理由：(兩角）∠B=∠C;∠A+∠AEB=90°∠AEB+∠FEC=90°

∠A=∠FEC∴△ABE∽△ECFC