初中數(shù)學(xué)北師大九年級(jí)上冊(cè)圖形的相似-K型圖的應(yīng)用PPT_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

一、復(fù)習(xí)回顧

K型圖

A型圖

X型圖

雙垂圖二、探究基本圖形(1)如圖,已知E為BC上任意一點(diǎn),且∠B=∠C=∠AEF=90°,問(wèn):圖中有相似的三角形嗎?找出并說(shuō)明理由.CABEF理由:(兩角)∠B=∠C;∠A+∠AEB=90°∠AEB+∠FEC=90°

∠A=∠FEC有:△ABE∽△ECF

(2)E為BC上任意一點(diǎn),若∠B=∠C=∠AEF=60°,則△ABE與△

ECF的關(guān)系還成立嗎?說(shuō)明理由.(3)點(diǎn)E為BC上任意一點(diǎn)若∠B=∠C=∠AEF=α,則△ABE與△

ECF的關(guān)系還成立嗎?C60°60°60°ABEFαααABCEFαααABFCE60°60°60°CABEF△ABE∽△ECF成立!CABEFC60°60°60°ABEFABCEFααα都有:∠B=∠C=∠AEF

∠A=∠FEC

當(dāng)點(diǎn)B、點(diǎn)C、點(diǎn)E在同一直線上,且滿足

時(shí),

??偨Y(jié):

歸納巧記:一線三等角,相似兩三角(形)△ABE∽△ECF

∠B=∠C=∠AEF

K型圖CABEFC60°60°60°ABEFABCEFαααE例1:如圖△ABC是等邊三角形,P為BC上一點(diǎn),D為AC上一點(diǎn),若

∠APD=60°.

(1)求證:△ABP∽△PCD;

(2)若BP=3,CD=2,求△ABC的邊長(zhǎng).三、知識(shí)應(yīng)用提示:(1)“K型圖”(2)邊長(zhǎng)為9.變式:如圖,△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°.△DEF的頂點(diǎn)E與△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合,線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P,線段EF與線段CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q.(1)求證:△BPE∽△CEQ;(2)當(dāng)BP=2,CQ=9時(shí),求P、Q兩點(diǎn)間的距離.提示:(1)“K型圖”(2)PQ=5

(2012?宜賓)如圖,在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,且△ABC≌△DEF,將△DEF與△ABC重合在一起,△ABC不動(dòng),△DEF運(yùn)動(dòng),并滿足:點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動(dòng),且DE始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,EF與AC交于M點(diǎn)。(1)求證:△ABE∽△ECM;(2)設(shè)BE=x,AM=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求出當(dāng)BE為何值時(shí),AM有最小值,最小值是多少;(3)當(dāng)線段AM最短時(shí),求重疊部分的面積。四、中考鏈接這節(jié)課你有什么收獲和體會(huì)要與大家分享?(1)復(fù)習(xí)了哪些知識(shí)點(diǎn)?(2)體會(huì)到些什么方法?五、課堂小結(jié)你還有什么疑惑?五、拓展延伸如圖,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=6cm,BC=13cm,點(diǎn)P沿BC從B向C以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)(不包含B、C兩點(diǎn)),且∠APQ=∠B,射線PQ交CD(或CD的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)Q.設(shè)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.(1)如圖①,當(dāng)PQ交CD于Q時(shí),求證:△ABP∽△PCQ;(2)如圖②,當(dāng)PQ交CD的延長(zhǎng)線于Q時(shí),設(shè)DQ=y,請(qǐng)求出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;(3)請(qǐng)問(wèn)當(dāng)時(shí)間t等于多少時(shí),以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與以Q、P、A為頂點(diǎn)的三角形相似?謝謝!當(dāng)∠C、∠D、∠1在同一直線上,且滿足

條件時(shí),

??偨Y(jié):

歸納巧記:一線三等角,相似兩三角(形)△ACP∽△PDB

∠C=∠D=∠1K型圖變式1:

如圖,已知D為BC上一點(diǎn),∠B=∠C=∠EDF=60°,BE=6,CD=3,CF=4,則BD=____,AF=____.EBCDFA例2:如圖,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),已知點(diǎn)A(0,6)、點(diǎn)B(8,0),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿線段AO以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O移動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿線段BA以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng),設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒.(1)當(dāng)t為何值時(shí),△APQ與△AOB相似?(2)當(dāng)t為何值時(shí),△APQ的面積為個(gè)平方單位?(3)求△APQ的面積的最大值.提示:(1)(2)t=2或t=3(3)S△APQ的最大值為5五、拓展延伸1.如圖,已知線段AB∥CD,AD與BC相交于點(diǎn)K,E是線段AD上一動(dòng)點(diǎn).(1)若BK=

KC,求的值;(2)連接BE,若BE平分∠ABC,則當(dāng)AE=

AD時(shí),猜想線段AB、BC、CD三者之間有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫出你的結(jié)論并予以證明.

再探究:當(dāng)AE=

AD(n>2),而其余條件不變時(shí),線段AB、BC、CD三者之間又有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論,不必證明.如圖,在△ABC中,BA=BC=20,AC=32,動(dòng)點(diǎn)P從A開(kāi)始在線段AB以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P不與A、B重合),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始在線段CA以每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)Q不與C、A重合),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x.五、拓展延伸(1)當(dāng)x為何值時(shí),PQ∥BC?(2)ΔAPQ能否與ΔCQB相似?若能,求出AP的長(zhǎng);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)是否存在x,使若存在,求出x的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.如圖,在△ABC中,BA=BC=20,AC=32,動(dòng)點(diǎn)P從A開(kāi)始在線段AB以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P不與A、B重合),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始在線段CA以每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)Q不與C、A重合),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x.五、拓展延伸(1)當(dāng)x為何值時(shí),PQ∥BC?(2)ΔAPQ能否與ΔCQB相似?若能,求出AP的長(zhǎng);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)是否存在x,使若存在,求出x的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.例1:如圖,在平行四邊ABCD中,過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC,垂足為E,連結(jié)DE,F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn),且∠AFE=∠B.(1)求證:△ADF∽△DEC.(2)若AB=4,AD=

,AE=3,求AF的長(zhǎng).老師點(diǎn)評(píng):解:(1)∵平行四邊形ABCD∴AD∥BC,AB∥CD∴∠ADF=∠CED,∠B+∠C=180??又∵∠AFE+∠AFD=180??,∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF∽△DEC(2)∵平行四邊形ABCD∴AD∥BC,CD=AB=4又∵AE⊥BC,∴AE⊥AD例1:正方形ABCD邊長(zhǎng)為4,M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),

當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),保持AM和MN垂直,

(1)證明:Rt△ABM∽R(shí)t△MCN;

(2)當(dāng)M點(diǎn)是BC中點(diǎn)時(shí),求證:RtABM△∽R(shí)t△AMN。例2:如圖,在中,AB=8cm,BC=16cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AB向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊BC向點(diǎn)C以4cm/s的速度移動(dòng),如果點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā),經(jīng)幾秒鐘P、B、Q構(gòu)成的三角形與A、B、C構(gòu)成的三角形相似?試說(shuō)明理由。四、探究拓展1.如圖,已知線段AB∥CD,AD與BC相交于點(diǎn)K,E是線段AD上一動(dòng)點(diǎn).(1)若BK=

KC,求的值;(2)連接BE,若BE平分∠ABC,則當(dāng)AE=

AD時(shí),猜想線段AB、BC、CD三者之間有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫出你的結(jié)論并予以證明.

再探究:當(dāng)AE=

AD(n>2),而其余條件不變時(shí),線段AB、BC、CD三者之間又有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論,不必證明.(1)在此方格網(wǎng)中找出一個(gè)與△ABC相似且面積最大的格點(diǎn)三角形;(2)此網(wǎng)格中一共可找到多少個(gè)與△ABC相似的格點(diǎn)三角形呢?2.如圖是一個(gè)5X5的方格網(wǎng),橫豎線相交的點(diǎn)叫“格點(diǎn)”,所有頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的三角形叫“格點(diǎn)三角形”,△ABC就是一個(gè)格點(diǎn)三角形。變式:(2008年浙江麗水)如圖,在已建立直角坐標(biāo)系的4×4正方形方格紙中,△劃格點(diǎn)三角形(三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都是小正方形的頂點(diǎn)),若以格點(diǎn)P,A,B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似(全等除外),則格點(diǎn)P的坐標(biāo)是

.

你能測(cè)量出這個(gè)紅塔的高度嗎?你能測(cè)量出這條河的寬度嗎?例3:如圖,為了測(cè)量一條河的寬度,測(cè)量人員進(jìn)行了如下操作:(1)在對(duì)岸岸邊P點(diǎn)處觀察到一根柱子,再在他們所在的這一側(cè)岸上選擇點(diǎn)A和B,使得B、A、P在一條直線上,且與河岸垂直。(2)隨后確定點(diǎn)C、D,使BC⊥BP,AD⊥BP,由觀測(cè)可以確定CP與AD的交點(diǎn)D。(3)他們測(cè)得AB=45m,BC=90m,AD=60m,從而確定河寬PA=90m。你認(rèn)為他們的結(jié)論對(duì)嗎?還有其他的測(cè)量方法嗎?ABCDP45m90m60m解:結(jié)論正確!理由如下:由△PAD∽△PBC得PAPB=ADBCPAPA+45=6090PA=90改變點(diǎn)C的位置,仍可以得到相應(yīng)的結(jié)論.?變式:教學(xué)樓旁邊有一顆樹,學(xué)習(xí)了相似三角形后,數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們想利用樹影測(cè)量樹高。課外活動(dòng)時(shí)在陽(yáng)光下他們測(cè)得一根長(zhǎng)為1m的竹竿的影長(zhǎng)是0.9m,但當(dāng)他們馬上測(cè)量樹高時(shí),發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上,有一部分落在教學(xué)樓的墻壁上(如圖),經(jīng)過(guò)一番爭(zhēng)論,小組同學(xué)認(rèn)為繼續(xù)測(cè)量也可以求出樹高。他們測(cè)得落在地面的影長(zhǎng)2.7m,落在墻壁上的影長(zhǎng)1.2m,請(qǐng)你和他們一起算一下,樹高為多少?DBACEHFG解:首先在圖上標(biāo)上字母,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB,垂足為E根據(jù)題意,可得:△AEC∽△FGH2.7m2.7m1.2m1.2m1m0.9AEFG=CEHGAE1=2.70.9AE=3m∴樹高AB=3+1.2=4.2m變式1:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,點(diǎn)D在BC所在的直線上運(yùn)動(dòng),作∠ADE=45°,

如圖4,若點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng),DE交AC于E.

求證:△ABD∽△DCE.ABCDE若△ADE∽△ABC,你可以得出什么結(jié)論?角:∠ADE=∠B;∠AED=∠C邊:DE∥BC面積:“A”型做一做:周長(zhǎng):做一做:ABOCD添加一個(gè)條件,使△AOB∽△DOC角:∠B=∠C或∠A=∠D“X”

型邊:AB∥CD

或AO:OD=BO:CO二、鞏固提升做一做用實(shí)戰(zhàn)來(lái)證明自己2、如圖,能保證使△ACD與△ABC相似的條件是()CABD(1)AC︰CD=AB︰BC(2)CD︰AD=BC︰AC(3)AC=AD·AB2(4)CD=AD·AB2解:已知∠A是兩個(gè)三角形的公共角,要使△ACD與△ABC相似,就要使△ACD中∠A的兩邊與△ABC中的∠A的兩邊對(duì)應(yīng)成比例——即ADACACAB=AC=AD·AB2∴應(yīng)該選:CC思路與方法點(diǎn)撥1.“證明”:“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”在證明三角形相似中用得較多,在證明過(guò)程中應(yīng)注意結(jié)合圖形和已知條件去找相等的角,注意挖掘圖形中的隱含條件,如公共角、對(duì)頂角等。2.“計(jì)算”:解題時(shí)要結(jié)合圖形和已知條件,找出相似的三角形并把已知量和未知量集中在所找的三角形中,利用相似三角形的性質(zhì)和判定解決有關(guān)計(jì)算線段長(zhǎng)度和證明線段成比例的問(wèn)題。3.方法:注意數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用。你能測(cè)量出這個(gè)紅塔的高度嗎?你能測(cè)量出這條河的寬度嗎?CABEF(1)△ABE∽△ECF理由:(兩角)∠B=∠C;∠A+∠AEB=90°∠AEB+∠FEC=90°

∠A=∠FEC∴△ABE∽△ECFC

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