第十章定積分的應(yīng)用§1平面圖形的面積-課件

第十章

定積分的應(yīng)用

§1

平面圖形的面積

教學(xué)內(nèi)容：平面圖形面積的計(jì)算教學(xué)目的：理解定積分的意義；學(xué)會(huì)、掌握微元法處理問(wèn)題的基本思想熟記平面圖形面積的計(jì)算公式。教學(xué)難點(diǎn)：利用定積分對(duì)直角坐標(biāo)系以及極坐標(biāo)系下平面圖形面積的計(jì)算。第十章

定積分的應(yīng)用

§1

平面1一．

直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積：1、由定積分的幾何意義，連續(xù)曲線軸所圍成的曲邊梯形的面積為a0xyb一．

直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積：1、由定積2bocdexyoabocdexyoa3yxoabyxoab4xyoabxyoab55、如果平面區(qū)域既不是x—型區(qū)域，也不是y—型區(qū)域，則用一組平行于坐標(biāo)軸的直線，把平面區(qū)域分成盡可能少的若干個(gè)x—型區(qū)域與y—型區(qū)域，然后計(jì)算每一區(qū)域的面積，則平面區(qū)域總的面積等于各區(qū)域面積之和。如右下圖：xEabABCDFGo5、如果平面區(qū)域既不是x—型區(qū)域，也不是y—型區(qū)域，6

顯然：由圖可以知道上部分曲線由三條不同的曲線：AB、BC與CD構(gòu)成；下部分曲線由兩條不同曲線：EF與FG所構(gòu)成。為計(jì)算其面積，可分別過(guò)點(diǎn)B、C與F作平行于y軸的直線，這樣則把平面區(qū)域分成4個(gè)x—型區(qū)域，然后利用前面的X——型區(qū)域的公式就可以計(jì)算了。下面看幾個(gè)計(jì)算的例子我們就清楚利用定積分如何計(jì)算不規(guī)則圖形的面積了。

7ABAB8分析1：所給的區(qū)域不是一個(gè)規(guī)范的x-域,

如圖為了便于計(jì)算需將其圖形進(jìn)行分割,

即可化成兩個(gè)x-形區(qū)域的面積問(wèn)題。第一塊的面積：分析1：所給的區(qū)域不是一個(gè)規(guī)范的x-域,

如圖為9第十章定積分的應(yīng)用§1平面圖形的面積-課件10二、由參數(shù)方程表示的曲線所圍成平面圖形的面積設(shè)區(qū)間上的曲邊梯形的曲邊由方程由參量方程表示二、由參數(shù)方程表示的曲線所圍成平面圖形的面積11注記：計(jì)算中，主要的困難是上下限的確定。上下限的確定通常有兩種方法：

1、具體計(jì)算時(shí)常利用圖形的幾何特征

2、從參數(shù)方程定義域的分析確定例2

求擺線的一拱與x軸所圍的平面圖形的面積

(如圖陰影部分)注記：計(jì)算中，主要的困難是上下限的確定。上下限的確定通常12由圖可以看出由圖可以看出13三、極坐標(biāo)下平面圖形面積

ox

和參數(shù)方程一樣，極坐標(biāo)情況面積的計(jì)算主要困難是積分上下限的確定。確定上下限方法通常也是1）利用圖象；2）分析定義域（見(jiàn)下頁(yè)示圖）三、極坐標(biāo)下平面圖形面積ox

和參數(shù)方程一樣，極坐14第十章定積分的應(yīng)用§1平面圖形的面積-課件15

例3

求雙扭線

q2cos22ar=

圍成的平面圖形的面積

解

先看一下雙紐線的圖象，

xy例3求雙扭線q2cos22ar=16第十章定積分的應(yīng)用§1平面圖形的面積-課件17第十章定積分的應(yīng)用§1平面圖形的面積-課件18第十章

定積分的應(yīng)用

§1

平面圖形的面積

教學(xué)內(nèi)容：平面圖形面積的計(jì)算教學(xué)目的：理解定積分的意義；學(xué)會(huì)、掌握微元法處理問(wèn)題的基本思想熟記平面圖形面積的計(jì)算公式。教學(xué)難點(diǎn)：利用定積分對(duì)直角坐標(biāo)系以及極坐標(biāo)系下平面圖形面積的計(jì)算。第十章

定積分的應(yīng)用

§1

平面19一．

直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積：1、由定積分的幾何意義，連續(xù)曲線軸所圍成的曲邊梯形的面積為a0xyb一．

直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積：1、由定積20bocdexyoabocdexyoa21yxoabyxoab22xyoabxyoab235、如果平面區(qū)域既不是x—型區(qū)域，也不是y—型區(qū)域，則用一組平行于坐標(biāo)軸的直線，把平面區(qū)域分成盡可能少的若干個(gè)x—型區(qū)域與y—型區(qū)域，然后計(jì)算每一區(qū)域的面積，則平面區(qū)域總的面積等于各區(qū)域面積之和。如右下圖：xEabABCDFGo5、如果平面區(qū)域既不是x—型區(qū)域，也不是y—型區(qū)域，24

顯然：由圖可以知道上部分曲線由三條不同的曲線：AB、BC與CD構(gòu)成；下部分曲線由兩條不同曲線：EF與FG所構(gòu)成。為計(jì)算其面積，可分別過(guò)點(diǎn)B、C與F作平行于y軸的直線，這樣則把平面區(qū)域分成4個(gè)x—型區(qū)域，然后利用前面的X——型區(qū)域的公式就可以計(jì)算了。下面看幾個(gè)計(jì)算的例子我們就清楚利用定積分如何計(jì)算不規(guī)則圖形的面積了。

25ABAB26分析1：所給的區(qū)域不是一個(gè)規(guī)范的x-域,

如圖為了便于計(jì)算需將其圖形進(jìn)行分割,

即可化成兩個(gè)x-形區(qū)域的面積問(wèn)題。第一塊的面積：分析1：所給的區(qū)域不是一個(gè)規(guī)范的x-域,

如圖為27第十章定積分的應(yīng)用§1平面圖形的面積-課件28二、由參數(shù)方程表示的曲線所圍成平面圖形的面積設(shè)區(qū)間上的曲邊梯形的曲邊由方程由參量方程表示二、由參數(shù)方程表示的曲線所圍成平面圖形的面積29注記：計(jì)算中，主要的困難是上下限的確定。上下限的確定通常有兩種方法：

1、具體計(jì)算時(shí)常利用圖形的幾何特征

2、從參數(shù)方程定義域的分析確定例2

求擺線的一拱與x軸所圍的平面圖形的面積

(如圖陰影部分)注記：計(jì)算中，主要的困難是上下限的確定。上下限的確定通常30由圖可以看出由圖可以看出31三、極坐標(biāo)下平面圖形面積

ox

和參數(shù)方程一樣，極坐標(biāo)情況面積的計(jì)算主要困難是積分上下限的確定。確定上下限方法通常也是1）利用圖象；2）分析定義域（見(jiàn)下頁(yè)示圖）三、極坐標(biāo)下平面圖形面積ox

和參數(shù)方程一樣，極坐32第十章定積分的應(yīng)用§1平面圖形的面積-課件33

例3

求雙扭線