《中值定理應用》課件

第二章4微分中值定理及其應用(2)1第二章4微分中值定理及其應用1三.微分中值定理應用舉例例1證記(證明恒等式)證明2三.微分中值定理應用舉例例1證記(證明恒等式)證明2于是由推論1得即結(jié)論成立.又因例2(不等式的證明)3于是由推論1得即結(jié)論成立.又因例2(不等式的證明)3證(這里證明不等式,思路應是針對某個合適的輔助函數(shù),應用中值定理,由等式過渡到不等式。)因為要證的結(jié)果等價于證令則f(x)在[b,a]上滿足Lagrange定理條件,C[b,a]在(b,a)內(nèi)可導,于是4證(這里證明不等式,思路應是針對某個合適的輔助函數(shù),使得從而得例3(方程根的討論)有一個正根,若方程證明方程必有一個小于的正根.

5使得從而得例3(方程根的討論)有一個正根,若方程證由于函數(shù)在[0,]上連續(xù),在(0,)上可導,且則根據(jù)Rolle

定理使即是的一個小于的正根.

6證由于函數(shù)在[0,]上連續(xù),在(0,例4

(有關(guān)等式的證明)

設在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且在(a,b)內(nèi)可導,試證:在(a,b)內(nèi)至少存在一點,使證法1(用Rolle定理證)—“常數(shù)k法”

7例4(有關(guān)等式的證明)設在閉區(qū)間[a,要證的等式又可寫為：

記取輔助函數(shù)為：則在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導,且8要證的等式又可寫為：記取輔助函數(shù)為：則因此使即亦即這就是所要的結(jié)論。9因此使即亦即這就是所要的結(jié)論。9證法2(用Cauchy定理證)—由

適當變形進一步

10證法2(用Cauchy定理證)—由適當變形進一步于是取輔助函數(shù)：則它們都在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且滿足Cauchy定理的三個條件，所以立即可得，.從而得到11于是取輔助函數(shù)：則它們都在*證法3(用Lagrange定理證)——思考提示：用輔助函數(shù)四.L’Hospital

法則此前，我們所遇到的極限絕大部分為不定式極限，事實上兩個重要極限也屬不定式極限。不定式極限有以下七類：12*證法3(用Lagrange定理證)——思考提示：用輔助

1313

1414通過以上分析可知，所有不定式極限最終歸為兩類：..所以,相應有兩個定理,分別針對這兩種情況,統(tǒng)稱為L’Hospital

法則。15通過以上分析可知，所有不定式極限..所以,定理4(L’Hospital

法則)

設16定理4(L’Hospital法則)設16證由條件(1)，中值定理即有17證由條件(1)，中值定理即有17對于情況,可以通過變量代換化為的情況而得出類似結(jié)論。于是同理可證若條件再強些,還可有18對于情況,可以通過變定理5設不證19定理5設不證19書上

P.131.-P.133

例4.6——例4.9.使用L’Hospital

法則,必須注意：使用此法則，例如習題2.4—P.136.N.13.(1)并非所有的型不定式都可以20書上P.131.-P.133例4.6——例4.9.使用是否還是這兩種不定式？

能否還可以用“洛比達

”法則？的復雜性后,再用法則.(2)若多次使用此法則,則需要每一步都得重新考察:(3)每次用法則前,應盡量先減少計算21是否還是這兩種不定式？能否還可以用“洛比達”法則？例5解由條件要使則定有22例5解由條件要使則定有222323歸納地可得：24歸納地可得：24于是所求的n次多項式為：25于是所求的n次多項式為：25最后這個例子的作法及結(jié)論具有一般性，其意義在用高次多項式去逼近一個函數(shù)的數(shù)學思想——這將是我們在下一節(jié)要介紹的主要內(nèi)容。作業(yè)P.135-習題2.4(A)—思考:N.13,15-17;書面:(A)—N.10(單),11,12,14；(B)—N.1—10.《接習題討論課》26最后這個例子的作法及結(jié)論具有一般性，作業(yè)P.135-習第二章4微分中值定理及其應用(2)27第二章4微分中值定理及其應用1三.微分中值定理應用舉例例1證記(證明恒等式)證明28三.微分中值定理應用舉例例1證記(證明恒等式)證明2于是由推論1得即結(jié)論成立.又因例2(不等式的證明)29于是由推論1得即結(jié)論成立.又因例2(不等式的證明)3證(這里證明不等式,思路應是針對某個合適的輔助函數(shù),應用中值定理,由等式過渡到不等式。)因為要證的結(jié)果等價于證令則f(x)在[b,a]上滿足Lagrange定理條件,C[b,a]在(b,a)內(nèi)可導,于是30證(這里證明不等式,思路應是針對某個合適的輔助函數(shù),使得從而得例3(方程根的討論)有一個正根,若方程證明方程必有一個小于的正根.

31使得從而得例3(方程根的討論)有一個正根,若方程證由于函數(shù)在[0,]上連續(xù),在(0,)上可導,且則根據(jù)Rolle

定理使即是的一個小于的正根.

32證由于函數(shù)在[0,]上連續(xù),在(0,例4

(有關(guān)等式的證明)

設在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且在(a,b)內(nèi)可導,試證:在(a,b)內(nèi)至少存在一點,使證法1(用Rolle定理證)—“常數(shù)k法”

33例4(有關(guān)等式的證明)設在閉區(qū)間[a,要證的等式又可寫為：

記取輔助函數(shù)為：則在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導,且34要證的等式又可寫為：記取輔助函數(shù)為：則因此使即亦即這就是所要的結(jié)論。35因此使即亦即這就是所要的結(jié)論。9證法2(用Cauchy定理證)—由

適當變形進一步

36證法2(用Cauchy定理證)—由適當變形進一步于是取輔助函數(shù)：則它們都在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且滿足Cauchy定理的三個條件，所以立即可得，.從而得到37于是取輔助函數(shù)：則它們都在*證法3(用Lagrange定理證)——思考提示：用輔助函數(shù)四.L’Hospital

法則此前，我們所遇到的極限絕大部分為不定式極限，事實上兩個重要極限也屬不定式極限。不定式極限有以下七類：38*證法3(用Lagrange定理證)——思考提示：用輔助

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4014通過以上分析可知，所有不定式極限最終歸為兩類：..所以,相應有兩個定理,分別針對這兩種情況,統(tǒng)稱為L’Hospital

法則。41通過以上分析可知，所有不定式極限..所以,定理4(L’Hospital

法則)

設42定理4(L’Hospital法則)設16證由條件(1)，中值定理即有43證由條件(1)，中值定理即有17對于情況,可以通過變量代換化為的情況而得出類似結(jié)論。于是同理可證若條件再強些,還可有44對于情況,可以通過變定理5設不證45定理5設不證19書上

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例4.6——例4.9.使用L’Hospital

法則,必須注意：使用此法則，例如習題2.4—P.136.N.13.(1)并非所有的型不定式都可以46書上P.131.-P.133例4.6——例4.9.使用是否還是這兩種不定式？

能否還可以用“洛比達

”法則？的復雜性后,再用法則.(2)若多次使用此法則,則需要每一步都得重新考察:(3)每次用法則前,應盡量先減少計算47是否還是這兩種不定式？能否還可以用“洛比達”法則？例5解由條件要使則定有48例5解由條件要使則定有224923歸納地可得：50歸納地可得：24于是所求的n次多項式為：51于是所求的n次多項式為