五年(2018-2022)全國高考數(shù)學真題分類匯編(全國卷新高考卷北京天津卷等)專題27不等式選講(含詳解)

2018-2022五年全國各省份高考數(shù)學真題分類匯編

專題27不等式選講一、解答題L(2022年高考全國甲卷數(shù)學(文)?第23題)已知a,b,c均為正數(shù)，且/+從+牝2=3,證明:a+b+2c<3；(2)若b=2c,則」+1n3.ac(2021年高考全國乙卷文科?第23題)已知函數(shù)〃x)=k-a|+k+3|.(1)當。=1時，求不等式/(x)N6的解集；(2)若y(x)>—a,求a的取值范圍.(2020年高考課標I卷文科?第23題)已知函數(shù)/(x)=|3x+l|-2|x-l|.(1)畫出y=/(x)的圖像；⑵求⑵求不等式/U)>/(x+1)的解集.(2020年高考課標I[卷文科?第23題)已知函數(shù)f(x)=|x-a2|+|x-2a+l].(1)當a=2時，求不等式/(x)..4的解集:(2)若/(幻..4,求。的取值范圍.(2020年高考課標III卷文科?第23題)設a,b,cGR,a+b+c=0,abc=l.(1)證明：ab+bc+cavO；(2)用max{o,b,c}表示a,b,c中的最大值，證明：max{a,b,c}>^4.(2020江蘇高考?第23題)設xwR,解不等式2|x+l|+|x區(qū)4.(2019年高考全國HI文?第23題)設/y,zwR,且x+y+z=1,⑴求(4-1>+(y+l>+(z+l>的最小值；

⑵若(》一2)2+竹-1)2+(2-。)222成立，證明：aW-3或心一1..(2019年高考全國II文?第23題)已知函數(shù)/(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)當。=1時，求不等式/(幻<0的解集；(2)當xe(YQ,l)時，/(x)<0,求a的取值范圍..(2019年高考全國【文?第23題)已知a,b,c為正數(shù),且滿足a歷=1.證明：—+-+-^a2+/>2+c2；abc(2)(a+b)3+(b+cP+(c+a)3224..(2019年高考江蘇?第23題)設xeR,解不等式W+|2x-l|>2..(2018年高考數(shù)學江蘇卷?第24題)［選修4-5：不等式選講］(本小題滿分10分)若x,y,z為實數(shù)，且x+2y+2z=6,求x?+y?+z。的最小值..(2018年高考數(shù)學課標III卷(文)?第23題)【選修4一5：不等式選講】(10分)設函數(shù)〃x)=|2x+l|+kT.(1)畫出y=/(x)的圖象；(2)當xe［0,+oo)時，/(x)<ax+h.求a+/?的最小值.13.(20113.(2018年高考數(shù)學課標n卷(文)?第23題)［選修4—5：不等式選講］(10分)設函數(shù)f(x)=5—\x+a\—\x-1\.(1)當a=l時，求不等式/(x)20的解集；(2)若求a的取值范圍.14.(2018年高考數(shù)學課標卷I(文)蹴23題)［選修4-5：不等式選講］(10分)已知f(x)=|x+l|-|ar-1|.(1)當a=l時，求不等式f(x)>l的解集；(2)若xe(°，D時不等式/(x)>x成立，求。的取值范圍.2018-2022五年全國各省份高考數(shù)學真題分類匯編專題27不等式選講一、解答題L(2022年高考全國甲卷數(shù)學(文)?第23題)已知a,b,c均為正數(shù)，且/+從+牝2=3,證明：(1)a+b+2c<3；(2)若b=2c,則」+1n3.ac【答案】(1)見解析 (2)見解析【解析】⑴證明：由柯西不等式有[。2+y+(20)2](12+12+12以4+6+2c汽所以a+b+2c?3,當且僅當a=b=2c=l時，取等號，所以a+0+2cW3；(2)證明：因為方=2c,tz>0,b>0,c>0,由(1)得。+/?+2c=a+4c43,TOC\o"1-5"\h\zBP0<df+4c<3,所以 >-,a+4c3由權方和不等式知2+」=上+二2叱互=」一N3，aca4c〃+4ca+4c1? 1當且僅當?!?=￡,即a=l,C=；時取等號，a4c 2【題目欄目】選修部分'不等式選講'權方和不等式【題目來源】2022年高考全國甲卷數(shù)學(文)?第23題(2021年高考全國乙卷文科?第23題)已知函數(shù)〃x)=|x-a|+k+3|.(1)當。=1時，求不等式/(X)26的解集；(2)若/(x)>-a,求。的取值范圍.【答案】⑴(-℃,T]U[2,+oo).(2)卜],+8).解析：(1)當0=1時，/(x)=|x-l|+|x+3],上一1|+卜+3|表示數(shù)軸上的點到I和一3的距離之和,則/(x)>6表示數(shù)軸上的點到1和-3的距離之和不小于6,故xWT或x?2,所以〃x)N6的解集為

-4 -3（2）依題意/（x）>一〃，即卜一4+|x+3]>恒成立，|尤—《+|.i+3|=|?—乂+|x+3|N卜+3|,故|a+3]>—Q,所以。+3>一?；?。+3<。，3解得a>—.2所以〃的取值范圍是（一3,+8）.【點睛】解絕對值不等式的方法有零點分段法、幾何意義法.【題目欄目】選修部分'不等式選講\含絕對值不等式的解法【題目來源】2021年高考全國乙卷文科?第23題（2020年高考課標I卷文科?第23題）已知函數(shù)/（x）=13x+l|-2|x-l|.⑴畫出y=/（x）的圖像；⑵求不等式⑵求不等式f（x）>/3+1）的解集.x+3,x+3,x【答案】⑴詳解解析；（2）（-8,-：）.[解析〉1）因為/（力=<5*-1,-1<—X-3,xW<1,作出圖象，如3圖所示:(2)將函數(shù)/圖所示:(2)將函數(shù)/(X)的圖象向左平移1個單位，可得函數(shù)/(X+1)的圖象，如圖所示:所以不等式/W>fix+1)的解集為【點睛】本題主要考查畫分段函數(shù)的圖象，以及利用圖象解不等式，意在考查學生的數(shù)形結合能力,屬于基礎題.【題目欄目】選修部分'不等式選講\含絕對值不等式的解法【題目來源】2020年高考課標I卷文科?第23題(2020年高考課標II卷文科?第23題)已知函數(shù)/(x)=|x-a2|+|x-2a+l|.(1)當a=2時，求不等式/(x)..4的解集;⑵若/(x)..4,求。的取值范圍.【答案】或xN曰):(2)(-00,-1]U[3,+OO).解析：(1)當a=2時，/(x)=|x-4|+|x-3|

當xW3時，/(x)=4-x+3-x=7-2x>4,解得：當3<x<4時，/(x)=4-x+x-3=l>4,無解;當xN4時，/(x)=x-4+x-3=2x-7>4,解得：x>y；3綜上所述：〃x）N4的解集為卜區(qū)4]或xN萬f(x)=|x-a2|+|x—2?+1|>|(x-a2)-(x-2a+1)|=|-tz2+2?_"=(a—l)2(當且僅當2。一14》《。2時取等號）,.-.(a-l)2>4,解得：aW—l或aN3,的取值范圍為（tQ,-1]U[3,+8）.【點睛】本題考查絕對值不等式的求解、利用絕對值三角不等式求解最值的問題，屬于?？碱}型.【題目欄目】選修部分'不等式選講\含絕對值不等式的解法【題目來源】2020年高考課標H卷文科?第23題（2020年高考課標HI卷文科?第23題）設。，b,ceff,a+b+c=0,abc=l.（1）證明：ab+bc+ca<0；(2)用max{o,b,c}表示o,b,c中的最大值，證明：max{a,b,c}>^4.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析.解析：⑴,.,(a+b+c)2=/+/+c2+2ah+2ac+2bc=0,ab+be+ca=—???a〃c=l,「.a,"c均不為0,則/ab+be+ca=—(2)不妨設max{a,b,c}=。,由a+/7+c=0,abc=1可知，a>0,/?<0,c<0, a=-h—c.a=—be3 2 (b+c) b?+C2+2bc、2bc+2bc.hea-aa=- -= > =4-he當且僅當人=c時，取等號，:.a>\/4即max{a,0,c}..#?.【點睛】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)以及基本不等式的應用，屬于中檔題.【題目欄目】選修部分'不等式選講'不等式的證明【題目來源】2020年高考課標川卷文科?第23題(2020江蘇高考?第23題)設xeR,解不等式2|x+l|+|x|44.'2'【答案】【答案】-2,-[x<-l[-l<x<0 [ x>0【解析】9 或(0,9 <4或上。工<4[-2x-2-x<4 [2x+2-x<4 [2x+2+x442?F2.,.-24x<T或-14x40或0<x4§,所以解集為-2,-【題目欄目】選修部分'不等式選講\含絕對值不等式的解法【題目來源】2020江蘇高考?第23題(2019年高考全國HI文?第23題)設x,y,zeR,且x+y+z=l.(1)求。-1)2+(曠+1)2+9+1)2的最小值；⑵若(》-2)2+日-1)2+(2-。)22；成立，證明：。?一3或。2-1.4【答案】【答案】⑴彳:(2)見詳解.3【官方解析】(1)由于[(x-l)+(y+l)+(z+l)f=(x-1尸+(y+ +(z+1尸+2[(x-l)(y+1)+(y+l)(z+1)+(z+l)(x-1)]?3[(x-l)2+(y+l)2+(z+l)2] 故由已知得(x-l)2+(y+l)3+(z+l)22g,當且僅當x=~,y=--,z=~!?時等號成立.3 3 3 0 4所以(X—1)2+(y+1)3+(Z+1)2的最小值為y.(2)由于[(x_2)+(y_1)+(z_q)]_=(x-2)2+(y-I)?+(z-〃)2+2[(x-2)(y-1)+(y-l)(z-a)+(z-a)(x-2)J?3[(x-2)2+(y-l)2+(z-a)2]故由已知得。一2)2+(y—l>+(z—a>…出包，當且僅當4—q I—ci —2y=^，z=1工時等號成立.因此(x-2)2+(y—l)2+(z—a)2的最小值為(2+")2由題設知Q+"解得aW-3或3 3【解法2】柯西不等式法(l)[(x-l)2+(y+1)2+(z+l)2](l2+12+]2)2[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x+y+z+l)2=4,4 5 1 1故(x-l)2+(y+l)2+(z+l)223,當且僅當x=§,y=--,z=一§時等號成立.4所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值為].(x-2)2+(y-l)2+(z-a)2^j,所以[(x-2)2+(y-l)2+(z—a)2](『+/+當且僅當[(x—2)2+(y—1)2+(z—a)2](/+產(chǎn)+「)=*_2+y—]+z—a)2=(a+2>成立.所以(a+2)22l成立，所以有aW—3或a2—1.【點評】本題兩問思路一樣，既可用基本不等式，也可用柯西不等式求解，屬于中檔題型.【題目欄目】選修部分'不等式選講'不等式的證明【題目來源】2019年高考全國HI文?第23題(2019年高考全國II文?第23題)已知函數(shù)/(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)當a=l時，求不等式/(x)<0的解集；(2)當xe(—8,1)時，f(x)<0,求a的取值范圍.【答案】【答案】⑴(-O0』)：(2)[1,+?>)【官方解析】(1)當a=l時，/(x)=|x—11x+|x-2|(x—1).當x<l時，/U)=-2(x-l)2<0；當xNl時，/(x)N0.所以，不等式/(x)<0的解集為(y,l).(2)因為/(a)=0,所以a21.當。21,xg(—00,1)0^,f(x)=(a—x)x+(2—x)(x—a)=2(a—x)(x—1)<0所以，。的取值范圍是【分析】(1)根據(jù)a=l，將原不等式化為上一1?+忖一2|(工-1)<。，分別討論x<l,l〈x<2,x22三種情況，即可求出結果；⑵分別討論a21和a<1兩種情況，即可得出結果.【解析】(1)當a=l時，原不等式可化為上一1歸+忖一2|(%-1)<0；當x<1時，原不等式可化，即(x-l)2>0,顯然成立，此時解集為(-00,1)；當l〈x<2時，原不等式可化為(x-l)x+(2—x)(x—1)<0,解得x<l,此時解集為空集；當x22時，原不等式可化為(x—l)x+(x-2)(x—l)<。，BP(x-1)2<0,顯然不成立：此時解集為空集；綜上，原不等式的解集為(-8,1)；(2)當時,因為xe(-oo,l),所以由f(x)<0可得(a-x)x+(2—x)(x-a)<0,g|](x-a)(x-l)>0,顯然恒成立；所以a21滿足題意；2(x—Wx<1當avl時，\，因 時，/(x)<0顯然不能成立，所以avlz.yx-a)\\—x).x<a不滿足題意；綜上，a的取值范圍是[1,+8).【點評】本題主要考查含絕對值的不等式，熟記分類討論的方法求解即可，屬于?？碱}型.【題目欄目】選修部分、不等式選講\含絕對值不等式的解法【題目來源】2019年高考全國H文?第23題(2019年高考全國I文?第23題)已知a,b,C為正數(shù),且滿足Hc=l.證明：⑴—a2+/?2+c2；ahc(2)(〃+b)?4-(/?+c)3+(c+a)?224.【答案】解：(1)因為。2+/22。①從+c222bge2+。2224。，又abc=l,故有er +c22ab+be+ca=’山+仇+c"=J_+'+L所以，+'+1W/+b2+c2.abcabcabc(2)因為a,c為正數(shù)且。hc=l,故有(a+b)21+S+c)3+(c+a)323?a+bf(b+c)，(a+c)， =3(a+〃)S+c)(a+c)，3*（2而）*（2瘋*（2疝）=24所以（4+》）3+（6+0）3+（0+4）3224.【題目欄目】選修部分'不等式選講'不等式的證明【題目來源】2019年高考全國I文?第23題.（2019年高考江蘇?第23題）設xeR,解不等式兇+|2x-l|>2.【答案】【答案】見解析【解析】當x<0時，原不等式可化為—x+l-2x>2,解得x<-g；當0〈啟,時，原不等式可化為x+I-2x>2,即x<-I,無解；2當x>，時，原不等式可化為x+2x-l>2,解得x>l.2綜上，原不等式的解集為{x|x〈-！或r>l}.【題目欄目】選修部分'不等式選講\含絕對值不等式的解法【題目來源】2019年高考江蘇?第23題.（2018年高考數(shù)學江蘇卷?第24題）[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分）若x,y,z為實數(shù)，且x+2y+2z=6,求f+丁+z?的最小值.【答案】4證明:由柯西不等式，得（x2+y~+z2）（r+2~+22）>（x+2y+2z）~.因為x+2y+2z=6,所以V+y2+z?N4,當且僅當2=2=2時，不等式取等號，此時X=2,y=3,z=±,122 3 3 3所以f+V+z?的最小值為4.【題目欄目】選修部分、不等式選講、均值不等式與柯西不等式【題目來源】2018年高考數(shù)學江蘇卷?第24題.（2018年高考數(shù)學課標IH卷（文）?第23題）【選修4—5:不等式選講】（10分）設函數(shù)〃x）=|2x+l|+k—l].（1）畫出y=/（X）的圖象；（2）當xe[0,+oo）時，f^xj<ax+h,求a+b的最小值.

yjk【答案】yjk【答案】(2)由(1)知，y=/(x)的圖像與y軸交點的縱坐標為2,且各部分所在直線斜率的最大值為3,故當且僅當.23且〃22時，/(尤)45+力在［(),4<?)成立，因此a+b的最小值為5.【民間解析】⑴/(x)=【民間解析】⑴/(x)=|2x+l|+k—l|=<x+2,—3x-1<x<h可作出函數(shù)/(x)的圖象如下圖1x<——2在［0,1）上也恒成立（2）依題意可知/（X）<◎+力在［l,+oo）在［0,1）上也恒成立當xNl時，/（力=3為431+人恒成立即（。-3）》+620在［1,+8）上恒成立所以。一320,且。一3+^20,此時。23,。+/?23當0Wx<l時，/(x)=x+2Kor+b即（a—l）x+力一220恒成立結合。23,可知人一220即力22fa>3 =綜上可知《 ，所以當。=3,方=2時，a+力取得最小值5.［b>2【題目欄目】選修部分'不等式選講\含絕對值的成立問題【題目來源】2018年高考