2021屆物理競賽復(fù)習(xí)題(三)試題

2021屆物理競賽復(fù)習(xí)題（三）角動(dòng)量和剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)間：180分鐘分?jǐn)?shù)：320分大題數(shù)：8第一題：懸掛桿的下滑（40pt）勻質(zhì)桿AB，質(zhì)量為m,長為41,A端用細(xì)繩0A系住，B端置于光滑水平面上。細(xì)繩長為l，無質(zhì)量且不可伸長。初始時(shí)靜止，O、A、B三點(diǎn)共線。求：（1）桿開始運(yùn)動(dòng)的瞬間，質(zhì)心的加速度和細(xì)繩的張力；（2）當(dāng)桿端A第一次運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的正下方時(shí)，桿質(zhì)心C的加速度和繩中張力。第二題：磁場中的電剛體桿（40pt）有一剛性勻質(zhì)桿，質(zhì)量為m,長度為1，桿絕緣，均勻帶電，且?guī)щ娏繛閝。將其置于光滑的剛性水平地面上，地面上方加有垂直紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。桿由直立開始下滑，滑至與豎直方向夾角為0的位置。試求：（1）此時(shí)地面對桿的支持力N;（2）分離時(shí)的夾角記為0，求0，并討論分離能發(fā)生B需滿足的條件；00（3）當(dāng)磁場滿足一-，在桿分離瞬間，撤去磁場。試求出桿第一次碰撞地面時(shí)的質(zhì)心速度和自轉(zhuǎn)角c速度，并定性分析這以后桿的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。（磁場產(chǎn)生的渦旋電場恰是以桿的質(zhì)心為中心的同心圓，且忽略因桿的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的磁場）第二題：引力彈弓（40pt）將宇宙飛船從地球發(fā)射至太陽系外有兩種方案：一是直接在地球上以足夠大的速度發(fā)射（即大于等于第三宇宙速度）；二是利用行星的引力場的作用使飛船發(fā)生偏轉(zhuǎn)，使其獲得額外的動(dòng)量與能量，這樣的加速方式稱為引力彈弓。隨著中國近年來航天技術(shù)的發(fā)展，中國宇航局?jǐn)M發(fā)射“羲和號”深空探測衛(wèi)星，對太陽系外圍展開探測。其途中將利用火星的引力彈弓效應(yīng)進(jìn)行加速。設(shè)所有行星在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，空氣阻力與地球自轉(zhuǎn)皆可忽略。試求：（1）按照方案一發(fā)射，在地球上所需要的最小發(fā)射速度v；a（2）按照方案二發(fā)射，脫離地球引力場的方向與（1）相同，且恰好能與火星相遇，利用引力彈弓加速后，速度沿火星軌道切向，試求最小發(fā)射速度v。b可能用到的數(shù)據(jù)：引力常量G二6.67x10-11N-m2/kg2地球質(zhì)量M二5.67xIO24kge太陽質(zhì)量M=1.99x1030kg地球半徑R=6.37x106m地球軌道半徑r=1.5xIO11msee火星軌道半徑r二2.28x1011mm第四題：蒸汽機(jī)飛球調(diào)速器的振動(dòng)（40pt）蒸汽機(jī)的飛球調(diào)速器是由兩個(gè)質(zhì)量為m的球通過4根長為1的桿，與套在豎直軸的上下兩個(gè)套筒鉸接而成,上面的套筒國定，下面的套筒可以沿豎直軸無摩擦自由滑動(dòng)，且下面套筒質(zhì)量為M。整個(gè)裝置繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。忽略桿的質(zhì)量和套筒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（1）當(dāng)系統(tǒng)繞豎直軸以①°恒定角速度繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求平衡時(shí)上下兩個(gè)套筒之間的距離（2）在（1）的條件下求下面套筒在平衡位置附近振動(dòng)的頻率；（3）當(dāng)系統(tǒng)不受外力矩即角動(dòng)量守恒時(shí)，下面套筒在平衡位置振動(dòng)的頻率（系統(tǒng)在未受到微擾之前仍以①繞0豎直軸穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)）。第五題：振動(dòng)的小圓柱（40pt）一個(gè)半徑為r、質(zhì)量為m的均質(zhì)實(shí)心小圓柱被置于一個(gè)半徑為R、質(zhì)量為M的薄壁圓筒中，圓筒和小圓柱的中心軸均水平，橫截面如圖所示。重力加速度大小為g。試在下述兩種情況中，求小圓柱質(zhì)心在其平衡位置附近的微振動(dòng)頻率：（1）圓筒固定，小圓柱在圓筒內(nèi)部無滑動(dòng)滾動(dòng)；（2）圓筒可繞其固定的光滑中心細(xì)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，小圓柱仍在筒內(nèi)底部做無滑動(dòng)滾動(dòng)。第六題：流浪地球計(jì)劃（40pt）2075年，太陽將發(fā)生氦閃，急劇衰老膨脹的太陽將吞噬整個(gè)太陽系，為了自救，人類提出與地球共同逃離太陽系的計(jì)劃，史稱“流浪地球”計(jì)劃。人類傾盡全球之力，在地球上建立上萬座發(fā)動(dòng)機(jī)和轉(zhuǎn)向發(fā)動(dòng)機(jī)，計(jì)劃推動(dòng)地球脫離地球軌道，飛向半人馬座比鄰星。此時(shí)人類已經(jīng)可以實(shí)現(xiàn)重核聚變，行星發(fā)動(dòng)機(jī)采用石頭中廣泛存在的硅元素向鐵元素聚變以提供能量來源，并將聚變后產(chǎn)生的鐵作為工質(zhì)全部噴向宇宙，推動(dòng)地球加速至0.005c（即千分之五光速）。（1）由于地球大氣的散熱作用和行星發(fā)動(dòng)機(jī)的自身局限性，聚變產(chǎn)生的能量只有10%轉(zhuǎn)化為工質(zhì)的動(dòng)能，試求地球從公轉(zhuǎn)速度達(dá)到目標(biāo)速度需要消耗掉的地球質(zhì)量；（2）地球飛經(jīng)木星時(shí)，被木星引力捕獲，由于某些攝動(dòng)，地球近似以圓軌道繞木星飛行。假設(shè)地球?yàn)閯傂孕求w（所有質(zhì)量僅靠重力結(jié)合，星體本身不發(fā)生除破裂以外的形變），由于木星引力對地球向木面和背木面的不均勻性，將導(dǎo)致地球受到引力撕扯，在某一極限半徑以內(nèi)，地球?qū)⒈涣呀?，這一極限半徑被稱為“洛希極限”，試求此時(shí)地球的洛希極限，并與木星半徑對比，檢驗(yàn)地球是否會在接觸木星前被撕裂。（①需要考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，假設(shè)地球與木星此時(shí)處于潮汐鎖定狀態(tài)，即公轉(zhuǎn)角速度與自轉(zhuǎn)角速度相等②此時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)消耗的地球質(zhì)量非常小，可以忽略）可能用到的數(shù)據(jù)：硅原子質(zhì)量鐵原子質(zhì)量地球半徑木星半徑地球平均密度木星平均密度地球軌道半徑r=1.5x1011m太陽質(zhì)量M=1.99x1030kges第七題：人造衛(wèi)星的消旋（40pt）人造衛(wèi)星繞星球運(yùn)行的過程中，為了保持其對稱軸穩(wěn)定在規(guī)定指向，一種最簡單的辦法就是讓衛(wèi)星在其運(yùn)行過程中間同時(shí)繞自身的對稱軸旋轉(zhuǎn)。但有時(shí)為了改變衛(wèi)星的指向，又要求減慢或消除衛(wèi)星的旋轉(zhuǎn)。減慢或消除旋轉(zhuǎn)的一種方法為下圖所示的“YOYO消旋法”設(shè)衛(wèi)星是一半徑為R、質(zhì)量為M的薄壁圓筒，其橫截面如圖所示。圖中O是圓筒的對稱軸。兩條足夠長的不可伸長的結(jié)實(shí)的長度相等的輕繩的額一端分別固定在圓筒表面上的Q、Q'（位于圓筒的直徑兩端）處，另一端各拴有一質(zhì)量為m/2的小球。正常情況下，繩繞在圓筒外表面上，兩小球用插銷分別鎖定在圓筒表面上的P、P'處，與衛(wèi)星形成一體，繞衛(wèi)星的對稱軸旋轉(zhuǎn)。衛(wèi)星00自轉(zhuǎn)角速度為①。若要讓衛(wèi)星消旋，則可瞬間撤去插銷釋放小球，讓小球從表面被甩開，在甩開的整個(gè)過程0中，從繩與圓筒表面的切點(diǎn)到小球的那段繩子總是拉直的。當(dāng)衛(wèi)星轉(zhuǎn)速減小到零時(shí)，將繩將立即與衛(wèi)星分離，把小球甩出去，衛(wèi)星則保持零角速度繼續(xù)運(yùn)行。根據(jù)設(shè)計(jì)，已知此時(shí)的繩與圓筒的連接點(diǎn)恰好在Q、Q'處。試求：（1）當(dāng)衛(wèi)星角速度減至?時(shí)繩拉直部分的長度；（2）繩的總長度L；（3）衛(wèi)星從①到停轉(zhuǎn)所用的時(shí)間to0第八題：旋轉(zhuǎn)曲面上的小球振動(dòng)（40pt）假設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的柱坐標(biāo)方程是Z二f（P），z軸豎直向上為正。一質(zhì)點(diǎn)在曲面上穩(wěn)定地繞軸轉(zhuǎn)