高等數(shù)學重積分重點難點

重積分根本要求了解二重、三重積分的概念和性質(zhì)掌握二重積分在直角坐標和極坐標下的計算掌握三重積分在直角坐標、柱面坐標和球面坐標下的計算會用重積分計算曲面面積、立體面積、以及物體質(zhì)量、質(zhì)心等幾何量和物理量.主要內(nèi)容重積分幾何物理應用重積分幾何物理應用三重積分二重積分定義、性質(zhì)計算法計算法球面坐標柱面坐標直角坐標極坐標直角坐標曲面面積立體體積物體質(zhì)量物體質(zhì)心詳細內(nèi)容：重積分定義：設(shè)是有界閉域上的有界函數(shù)，將任意分成個小閉區(qū)域，其中也表示第個小閉區(qū)域的面積，在每個上任取一點作和，如果當各小區(qū)域的直徑的最大值時，這和式的極限總存在，那么稱此極限為函數(shù)在上的二重積分，記作，即性質(zhì)ⅰ)ⅱ)ⅲ)(為的面積)ⅳ)如果在上，，那么有ⅴ)設(shè)分別是在閉區(qū)域上的最大值和最小值，是的面積，那么有ⅵ)(中值定理)設(shè)在閉區(qū)域上連續(xù)，是的面積，那么在上至少存在一點,使得直角坐標下計算二重積分ⅰ)積分區(qū)域那么ⅱ)積分區(qū)域那么極坐標下計算二重積分設(shè)積分區(qū)域：那么二重積分的幾何意義：等于以為底，為頂?shù)那斨趔w的體積，(這里)物理意義：表示位于平面區(qū)域，面密度為的薄片的質(zhì)量.三重積分定義：設(shè)是有界閉域上的有界函數(shù)，將任意分成個小閉區(qū)域，其中也表示第個小閉區(qū)域的體積，在每個上任取一點作和，如果當各小區(qū)域的直徑的最大值時，這和式的極限總存在，那么稱此極限為函數(shù)在上的三重積分，記作，即7.直角坐標下計算三重積分ⅰ)積分區(qū)域那么ⅱ)積分區(qū)域那么8.柱面坐標下計算二重積分設(shè)：那么9.球面坐標下計算三重積分設(shè)：那么＝10.三重積分的物理意義：表示位于空間區(qū)域，體密度為的空間形體的質(zhì)量.11.對稱區(qū)域上的奇偶函數(shù)積分ⅰ)假設(shè)為區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，關(guān)于軸對稱，且為位于軸右側(cè)的子區(qū)域，那么ⅱ)假設(shè)為區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，關(guān)于坐標面對稱，為位于坐標面上側(cè)的局部，那么12.幾何應用、物理應用曲面面積：平面薄片的質(zhì)心坐標：，空間物體的質(zhì)心坐標：，其中重點與難點：選擇適當?shù)淖鴺擞嬎阒胤e分.根據(jù)被積函數(shù)及積分區(qū)域特點，選擇適當?shù)姆e分次序.二次積分的積分次序變換.利用對稱區(qū)域上函數(shù)的奇偶性簡化計算.例題設(shè)在上連續(xù)，證明不等式等號僅當為常數(shù)時成立.分析：利用“非負被積函數(shù)的二重積分非負〞的性質(zhì)來證明.在證明等號成立的條件時，用到了“非負連續(xù)函數(shù)的定積分為零，那么此函數(shù)恒為零〞的性質(zhì).證明：因為故有當為常數(shù)時，顯然上述等號成立.反之，設(shè)上述等號成立，那么由于函數(shù)是上非負連續(xù)函數(shù)，故，.特別即，又由于函數(shù)是上非負連續(xù)函數(shù)，故，.因此，即為常數(shù).在以下二次積分中改變積分次序1)分析：積分域：，也表示為兩個區(qū)域的并，其中：：解：2)分析：注意到當，，盡管這個二次積分并不是在由及所圍區(qū)域上的二重積分，但是改變積分次序使之與原二次積分相等仍為可能.解：＝計算以下二重積分，其中是和為邊的平行四邊形區(qū)域.分析：當從變到，對每一固定的，從變到故化為先對后對的二重積分較簡單.解：：，其中是由軸和擺線的第一拱所圍的區(qū)域分析：區(qū)域：，其中為擺線的直角坐標方程，顯然當時，解：3)，其中：，分析：將區(qū)域分成兩塊，使被積函數(shù)再利用二重積分的關(guān)于積分域的可加性，分塊計算解：曲線將區(qū)域分成 ：， ：，4),其中:分析：當二重積分的積分域為圓域或扇形域，可考慮用極坐標解：4.計算二重積分分析：由于被積函數(shù)的原函數(shù)不易求出，可考慮改變積分次序后再計算.解：設(shè)區(qū)域：5.設(shè)一平面薄片位于雙曲線及直線所圍平面區(qū)域，且上任一點處的面密度為，求此薄片的質(zhì)量.分析：平面薄片的質(zhì)量等于密度函數(shù)再區(qū)域上的二重積分，再利用區(qū)域?qū)ΨQ化簡計算.解：薄片的質(zhì)量6.求曲面夾在兩曲面之間的那局部曲面的面積.分析：將所求的曲面投影到面計算最簡單，投影域為曲線所圍局部.解：投影域：：由，知 7.化二次積分為極坐標形式的二次積分.分析：一般極坐標形式的二次積分為先對后對的二次積分，當然也可化為先對后對的二次積分.解：區(qū)域可表示為：及： 積分域也可表示為：及：兩局部.＋8.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，并設(shè)，求.分析：求解關(guān)鍵是利用二重積分對坐標輪換對稱的性質(zhì)，即區(qū)域的邊界曲線方程關(guān)于對稱，那么有.解：變換積分次序得 9.求錐面和拋物面所圍成的立體體積.分析：求體積可用二重積分，也可用三重積分.解一：投影域：解二：10.計算，其中是由所圍成的區(qū)域分析：在面上投影域如下圖，在上的點，，在不知道曲面形狀的情況下，也容易寫出的積分范圍.解：：11.求，其中是由曲面繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面所圍成的立體.分析：是由旋轉(zhuǎn)曲面與所圍而成的立體，化三重積分的計算中可化為先對或后對的積分.解一：：，，解二：：，，其中12.試將三重積分化為三次積分，其中是由及所圍成的區(qū)域.分析：此題可分別化為直角坐標、柱面坐標和球面坐標下的三重積分，主要這個三重積分不可將它理解為在大的圓錐區(qū)域積分減去小的圓錐區(qū)域積分.解：13.設(shè)，其中：分析：兩邊在上求三重積分，解出即可.解：設(shè)，那么，故14.用定積分表示三重積分分析：由于被積函數(shù)是的函數(shù)，故將積分次序變換后，把對的積分算出，再將的積分次序變換，又可把對的積分算出，最后保存對的積分式子.解：15.用重積分證明：由平面圖形繞軸和軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積分別是和證明：曲線繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程：，在面上投影域為：故所求體積曲線繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程：在面上投影域為：故所求體積即16.求曲面上點處的切平面與曲面所圍成的空間區(qū)域的體積.分析：所圍的空間區(qū)域在面上的投影域確實定以及如何在此投影域上積分是此題的關(guān)鍵.解：曲面在處的法向量那么切平面方程為即所以切平面與曲面的交線在面上的投影曲線為即所求空間在面上的投影域為故17.設(shè)球體占有閉區(qū)域：，它在內(nèi)部個點處的密度的大小等于該點到坐標原點距離的平方.試求這球體的質(zhì)心.分析：由于為球體，且被積函數(shù)出現(xiàn)項，故可用球面坐標計算，同時注意到區(qū)域的對稱性.解：密度此球體的質(zhì)量由對稱性易知而即球體的質(zhì)心：五、自測題(A)選擇題(3分5＝15分)設(shè)為在第一象限局部，二重積分可化為B)C)D)設(shè),,,其中為三角形閉區(qū)域，三頂點分別為,,,那么B)C)D)以上均不正確設(shè)空間區(qū)域：：那么B)C)D)設(shè)平面薄片位于區(qū)域，密度函數(shù)為，質(zhì)心坐標為，那么B)C)D)設(shè)，：由，，所圍，那么化為極坐標形式的積分為B)C)D)填空題(3分5＝15分)1.＝2.＝3.利用重積分性質(zhì)估計，這里:，那么4.積分的值等于5.設(shè)：，那么三、(10分)計算二重積分(10分)改變以下積分次序.1.2.(10分)證明(10分)計算三重積分，其中是由曲面與所圍區(qū)域.(10分)設(shè)連續(xù)，且，其中是由，，曲面與所圍區(qū)域，求.(10分)求平面被三坐標所割出的有限局部的面積.(10分)計算，：.自測題(B)選擇題(3分5＝15分)在以下哪種情況下成立B)C)D)且設(shè)由，，，，假設(shè)，，，那么，，之間的關(guān)系為B)C)D)3.設(shè)為連續(xù)函數(shù)，那么等于A)B)C)D)4.設(shè)平面區(qū)域，那么等于A)B)C)D)05.一物體占有空間區(qū)域：，密度為質(zhì)心坐標，那么A)B)C)D)填空題(3分5＝15分)1.的極坐標形式的二次積分為2.設(shè)區(qū)域由雙曲線，那么等于3.設(shè)：，＝4.空間區(qū)域是由平面及三坐標面所圍，將三重積分化為先對，再對，最后對的三重積分5.曲面所圍立體的體積是三、(10分)計算，其中是由，，所圍成的區(qū)域，為連續(xù)函數(shù).(10分)求橢球的體積(15分)將化為三次積分，其中由，所圍.(10分)(10分)求由及所圍圖形關(guān)于直線的轉(zhuǎn)動慣量.八、(15分)求，其中為連續(xù)函數(shù).自測題(C)一、選擇題(3分5＝15分)設(shè)：，那么C)D)設(shè)，，其中：，那么B)C)D)的符號與的取值有關(guān)3.設(shè)：，，那么A)B)C)D)4.設(shè)：，記，那么有A)B)C)D)以上都不正確5.設(shè)設(shè)：，，那么A)B)C)D)填空題(3分5＝15分)1.將柱面坐標三次積分化為先對后對，的三次積分2.不等式所表示的圖形的體積為3.設(shè)為那么在球面坐標下的三次積分為在柱面坐標下的三次積分為4.一旋轉(zhuǎn)拋物面狀容器裝滿水，再將水倒掉，問容器內(nèi)水面下降了％三、(15分)將二次積分變換積分次序(15分)計算三次積分(15分)用二重積分證明：平面曲線，繞軸和軸旋轉(zhuǎn)一圈所得的旋轉(zhuǎn)曲面的面積分別是和(15分)求曲面與所圍立體的體積(10分)假設(shè)為區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，關(guān)于軸對稱，且為位于軸右側(cè)的子區(qū)域，證明重積分自測題