計(jì)算機(jī)應(yīng)用數(shù)學(xué)第五章-概率課件

第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.1隨機(jī)事件§1.1隨機(jī)事件一．隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件二．事件的關(guān)系與運(yùn)算三．事件運(yùn)算滿足的運(yùn)算律1第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.1隨機(jī)事件一．隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件自然界中出現(xiàn)的現(xiàn)象，可分為兩大類。一類為確定性現(xiàn)象，另一類為隨機(jī)現(xiàn)象。所謂確定性現(xiàn)象，是指一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象。例如：物體在重力作用下，必然下落。在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100度，必然沸騰。隨機(jī)現(xiàn)象是指在一定的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象。例如：投擲一枚硬幣，可能是國(guó)徽朝上，也可能是字朝上。同一個(gè)射手打靶，可能中靶，也可能是脫靶。在中靶的前提下，所中的環(huán)數(shù)也不一定相同。諸如此類的現(xiàn)象統(tǒng)稱為隨機(jī)現(xiàn)象。2第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.1隨機(jī)事件一．隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件定義5.1.1：滿足下列條件的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)。(1)試驗(yàn)可在相同的條件下重復(fù)是進(jìn)行；(2)每次試驗(yàn)結(jié)果不止一個(gè)，這些結(jié)果驗(yàn)前就是已知的；(3)試驗(yàn)前不知道會(huì)出現(xiàn)什么具體結(jié)果。3第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.1隨機(jī)事件一．隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件在這個(gè)試驗(yàn)中，摸球可重復(fù)進(jìn)行，每次試驗(yàn)的結(jié)果有4種，具體摸到哪種球，試驗(yàn)前并不清楚。這個(gè)試驗(yàn)就是典型的隨機(jī)試驗(yàn)。隨機(jī)試驗(yàn)簡(jiǎn)稱為試驗(yàn)。每次試驗(yàn)的一個(gè)可能結(jié)果稱為一個(gè)基本事件或一個(gè)樣本點(diǎn)，記為。以全部樣本點(diǎn)為例5.1.1：摸球模型：設(shè)袋中有10個(gè)球，每個(gè)球上大小，形狀，重量都相同。這10個(gè)球上，每個(gè)球上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字。其中標(biāo)數(shù)字1的有1個(gè)，標(biāo)數(shù)字2的有2個(gè)，標(biāo)數(shù)字3的有3個(gè)，標(biāo)數(shù)字4的有4個(gè)。從中任取一球觀察其標(biāo)號(hào)，看后放回。4第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.1隨機(jī)事件一．隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件為元素構(gòu)成的集合稱為樣本空間或基本事件空間，記為在隨機(jī)試驗(yàn)中，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件。隨機(jī)事件又稱為事件。一般用大寫字母表示隨機(jī)事件，譬如AB,C,…,或,等，也可以用語(yǔ)言描述再加花括號(hào)表示事件。如{出現(xiàn)反面}，{取到的產(chǎn)品為正品}。隨機(jī)試驗(yàn)中必然會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件，記為Ω；隨機(jī)試驗(yàn)中必然不發(fā)生的事件稱為不可能事件，記為Φ。習(xí)慣上這兩種事件也稱為隨機(jī)事件。5第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.1隨機(jī)事件二．事件的關(guān)系與運(yùn)算

考察試驗(yàn)E：向一個(gè)長(zhǎng)方形的盒子Ω中,任意投擲小球，且小球必定落入Ω中。Ω中的每一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)基本事件。Ω對(duì)應(yīng)必然事件，若小球落入?yún)^(qū)域A內(nèi)，則稱事件A發(fā)生。否則稱事件A不發(fā)生。這個(gè)試驗(yàn)建立了事件與集合之間的聯(lián)系，給出了事件的幾何說明，如圖5－16第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.1隨機(jī)事件定義5.1.2：若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A。記為AB或BA在試驗(yàn)E中，若區(qū)域A在區(qū)域B內(nèi)，這就意味著，如果小球落入A中必然落入B中，即，若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生。(圖5－2)因此，集合A是集合B的子集。顯然，事件A與事件B相等當(dāng)且僅當(dāng)事件A包含事件B，且事件B包含事件A。即A=BAB且BA二．事件的關(guān)系與運(yùn)算

7第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.1隨機(jī)事件二．事件的關(guān)系與運(yùn)算

例5.1.2：擲骰子，B={出現(xiàn)偶數(shù)}，A={出現(xiàn)2，4點(diǎn)}則AB。定義5.1.3：事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生的事件稱為事件A與事件B的和事件。記為A+B或A∪B。在試驗(yàn)E中，如果小球至少落入?yún)^(qū)域A或區(qū)域B中的一個(gè)區(qū)域，表示事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生。A＋B是由事件A與事件B所包含的所有基本事件構(gòu)成的。區(qū)域A與B的并集A∪B對(duì)應(yīng)A與B的和事件。圖5－3。8第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.1隨機(jī)事件二．事件的關(guān)系與運(yùn)算

和事件的概念可以推廣：事件至少有一個(gè)發(fā)生的事件稱為事件的和事件。記為或。定義5.1.4：事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的事件稱為A與B的積事件。記為A∩B,或AB。在試驗(yàn)E中，如果小球不僅落入?yún)^(qū)域A中，而且落入?yún)^(qū)域B中，即小球落入A，B的公共區(qū)域，表明事件同時(shí)發(fā)生。區(qū)域A與區(qū)域B的交集A∩B（圖5－4的陰影部分）對(duì)應(yīng)A與B的積事件。9第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.1隨機(jī)事件二．事件的關(guān)系與運(yùn)算

積事件的概念也可以推廣：事件同時(shí)發(fā)生的事件稱為的積事件。記為或。定義5.1.5：A發(fā)生且事件B不發(fā)生的事件稱為事件A與事件B的差事件，記為A－B。在試驗(yàn)E中，如果小球落入?yún)^(qū)域A中，且不落入?yún)^(qū)域B中，則稱事件A與B的差事件發(fā)生了。差集A-B（圖5－5中的陰影部分）。與事件A與B的差事件相對(duì)應(yīng)。10第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.1隨機(jī)事件二．事件的關(guān)系與運(yùn)算

例5.1.3：擲一枚骰子，A={出現(xiàn)偶數(shù)}；B={出現(xiàn)小于5的數(shù)}；A-B={出現(xiàn)6},B-A={出現(xiàn)1,3}定義5.1.6：若事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，即AB=Φ,則稱事件A與事件B為互斥事件(或互不相容事件)。對(duì)于n個(gè)事件，如果當(dāng)i≠j時(shí)，總有,則稱為兩兩互斥。在試驗(yàn)E中，如果區(qū)域A與區(qū)域B相分離（圖5-6），即，區(qū)域A與區(qū)域B沒有公共區(qū)域。這樣小球不可能既落入11第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.1隨機(jī)事件二．事件的關(guān)系與運(yùn)算

區(qū)域A中又落入?yún)^(qū)域B中，因此事件A與B不能同時(shí)發(fā)生。區(qū)域A與區(qū)域B的交集為空集，即A∩B=φ與事件A，B互斥相對(duì)應(yīng)。事件A不發(fā)生，這個(gè)事件稱為A的對(duì)立事件，記為。在試驗(yàn)E中，如果小球落在區(qū)域A外，就稱A的對(duì)立事件發(fā)生了，A的對(duì)立事件與集合A的補(bǔ)集相對(duì)應(yīng)（圖5－7中的陰影部分）12第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.1隨機(jī)事件二．事件的關(guān)系與運(yùn)算

定義5.1.7：如果A+B=Ω且AB＝Φ，則稱事件A與事件B互為對(duì)立事件。由互斥事件與對(duì)立事件的定義可知，對(duì)立事件是互斥事件的特例，即若兩個(gè)事件相互對(duì)立，必然互斥，反之不然。A,B互斥，則事件A，B在一次試驗(yàn)中不能同時(shí)發(fā)生。但可以同時(shí)不發(fā)生。例如，在試驗(yàn)E中，若A，B互斥，則小球不能既落入A區(qū)域又能落入B區(qū)域。但可以既不落入A區(qū)域又不落入B區(qū)域。若A與B相互對(duì)立，即，則在一次試驗(yàn)中A，B不能同時(shí)發(fā)生，也不能同時(shí)不發(fā)生。即在任何一次試驗(yàn)中，A與B都有且僅有一個(gè)發(fā)生。13第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.1隨機(jī)事件二．事件的關(guān)系與運(yùn)算

例5.1.4：擲一枚骰子，設(shè)表示擲出的點(diǎn)為i，則,樣本空間，i=1,2,3,4,5,6稱為基本事件。設(shè)A={擲出的點(diǎn)為2點(diǎn)或3點(diǎn)，或4點(diǎn)}，B={擲出的點(diǎn)為奇數(shù)}，則A可記為，B則可記為事件A與B的和事件，，類似的，A與B的積事件即擲出的點(diǎn)恰為3點(diǎn)。A與B的差事件擲出的點(diǎn)為2或4，A的對(duì)立事件，表示擲出的點(diǎn)為1點(diǎn)或5點(diǎn)，或6點(diǎn)。14第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.1隨機(jī)事件三．事件運(yùn)算滿足的運(yùn)算律1．交換律：；2．結(jié)合律：；3．分配律：；4．摩根律：；例5.1.5：設(shè)A，B，C，表示三個(gè)隨機(jī)事件，以A，B，C的運(yùn)算表示下述事件1）僅A發(fā)生?？捎帽硎荆?）A,B,C都不發(fā)生?？捎帽硎?；3）A，B，C恰好有一個(gè)發(fā)生?？捎帽硎?。15第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.1隨機(jī)事件三．事件運(yùn)算滿足的運(yùn)算律例5.1.6：某射手向同一目標(biāo)射擊，連發(fā)三槍。設(shè)表示第ⅰ槍擊中目標(biāo)，則樣本空間有8個(gè)樣本點(diǎn)：16第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.2隨機(jī)事件的概率§1.2隨機(jī)事件的概率一．概率的定義與性質(zhì)二．古典概型：（古典概率模型）三．概率的性質(zhì)17第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.2隨機(jī)事件的概率一．概率的定義與性質(zhì)隨機(jī)試驗(yàn)在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生是不確定的，但這僅是隨機(jī)現(xiàn)象的一個(gè)方面，更重要的是隨機(jī)現(xiàn)象具有規(guī)律性，可以通過大量重復(fù)的試驗(yàn)揭示這種規(guī)律性。在一定的條件下，設(shè)事件A在N次試驗(yàn)中發(fā)生k次,比值稱為事件A在試驗(yàn)中發(fā)生的頻率。定義5.1.8：在多次重復(fù)試驗(yàn)中，若事件A發(fā)生的頻率在常數(shù)P附近擺動(dòng)，且擺動(dòng)的幅度隨試驗(yàn)次數(shù)增加逐漸減小，則稱此常數(shù)P為事件A發(fā)生的概率，記為P(A)。18第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.2隨機(jī)事件的概率概率的這種定義稱為概率的統(tǒng)計(jì)定義。事件A的概率，就是事件A發(fā)生可能性大小的度量。當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)增加時(shí)，如果事件A的頻率圍繞一個(gè)固定的數(shù)值p作微小的擺動(dòng)，這個(gè)數(shù)值p稱為事件A的概率。一．概率的定義與性質(zhì)19第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.2隨機(jī)事件的概率二．古典概型：（古典概率模型）概率是通過大量重復(fù)試驗(yàn)中頻率的穩(wěn)定性來定義的，但不能認(rèn)為概率取決于試驗(yàn)，一個(gè)事件發(fā)生的概率完全由事件本身確定，是客觀存在的，但可以通過試驗(yàn)解釋其概率。有一類簡(jiǎn)單而又常見的實(shí)際問題，只要通過邏輯思維即可直接計(jì)算概率。這種概率問題是概率論最早研究的問題，稱為古典概型。20第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.2隨機(jī)事件的概率二．古典概型：（古典概率模型）定義5.1.9：具有下列兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概型。1）隨機(jī)試驗(yàn)出現(xiàn)有限個(gè)基本事件。2）每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同，即每一個(gè)基本事件的概率相等，例5.1.1給出的摸球模型就是典型的古典概型事件。設(shè)古典概型的一個(gè)試驗(yàn)共有n個(gè)基本事件。事件A含有m個(gè)基本事件．因?yàn)樵谠诿看卧囼?yàn)中，每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是等同的，都是，因此事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為。即其中：k是A中包含的基本事件總數(shù)，N是基本事件總數(shù)。21第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.2隨機(jī)事件的概率三．概率的性質(zhì)1）0≦P(A)≦1,P(Φ)=0,P(Ω)=12）若P(AB)=Φ，則(A+B)=P(A)+P(B)推廣，如果互斥，則3）4）如果（即A是B的真子集）則P(B-A)=P(B)-P(A)。5）如果A與B為任意兩個(gè)事件，則P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)推廣，P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)22第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.2隨機(jī)事件的概率三．概率的性質(zhì)例5.1.7：從0，1，2，．．．，9這十個(gè)數(shù)字中，隨機(jī)地抽取一個(gè)數(shù)字，求取到奇數(shù)的概率。解：令,ⅰ=0,1,2,．．．,9．,|Ω|=10A={取到的數(shù)字為奇數(shù)}|A|=523第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.2隨機(jī)事件的概率三．概率的性質(zhì)例5.1.8：箱中有100件產(chǎn)品，其中有3件次品。從中任意抽取5件，求下列事件的概率：1)A={恰有一件次品}2）B={沒有次品}3）C={至少有一件次品}解：從100件產(chǎn)品中任意抽取5個(gè)產(chǎn)品，共有種抽取方法，即基本事件總數(shù)，１）A={有一件次品，4件正品}這一事件包含的基本事件可以這樣計(jì)算：分兩步進(jìn)行。第一步，從3個(gè)次品中取出1個(gè)，有種取法。第二步，從97個(gè)正品中取出4件，共有種取法。24第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.2隨機(jī)事件的概率三．概率的性質(zhì)因此2）B={取到的都是正品}，即從97件正品中取出5件。所以，3）求P(C)有兩種方法。法1：設(shè)表示取出的5件產(chǎn)品中恰有ⅰ件次品。ⅰ＝0,1,2,3,且互斥。中所含的基本事件總數(shù)25第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.2隨機(jī)事件的概率三．概率的性質(zhì)C中所含的基本事件總數(shù)法２：{至少有一件次品}的對(duì)立事件為{沒有次品}。即事件C的對(duì)立事件是B.所以P(B)=1－P(B)=1-0.8560=0.144026第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.2隨機(jī)事件的概率三．概率的性質(zhì)例5.1.9：100件產(chǎn)品中有3件次品，從中連續(xù)取兩次，每次1件，考慮兩種情況1)不放回地抽?。旱谝淮稳∫患?，不放回，第二次再取一件。2)有放回地抽?。旱谝淮稳∫患?，檢查后放回，第二次再取一件。在上述兩種情況下，求第一次取正品且第二次取次品的概率。解：設(shè)第一種情況的事件為A,設(shè)第二種情況的事件為B。1）第一種情況的基本事件總數(shù)為事件A中所含的基本事件總數(shù)為：2）第二種情況的基本事件總數(shù)為事件B中所含的基本事件總數(shù)為：27第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.3條件概率與事件的獨(dú)立性§1.3條件概率與事件的獨(dú)立性一．條件概率與乘法公式二．全概公式與貝葉斯公式三．事件的獨(dú)立性28第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.3條件概率與事件的獨(dú)立性一．條件概率與乘法公式條件概率就是在附加一定條件下之下所計(jì)算的概率。附加條件一般是指某事件已發(fā)生。定義5.1.10：如果A，B是隨機(jī)試驗(yàn)的兩個(gè)事件，且P(B)>0。則稱事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率，記為P(A|B)．求條件概率可以按照古典概型的概率來求。設(shè)樣本空間中共有n個(gè)基本事件。A，B中分別包含k，s個(gè)基本事件，而AB包含m個(gè)基本事件數(shù)。注意到“在B發(fā)生的條件下A事件發(fā)生”與“A，B事件同時(shí)發(fā)生”這兩個(gè)事件包含的基本事件是一樣的，因此有：29第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.3條件概率與事件的獨(dú)立性又∴因此可推出計(jì)算條件條件概率的公式：設(shè)P(B)>0則由條件概率公式可推出乘法公式：P(AB)=P(A|B)P(B)乘法公式可以推廣：一．條件概率與乘法公式30第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.3條件概率與事件的獨(dú)立性例5.1.10：盒子中有6個(gè)正品4個(gè)次品，從中不放回地任取兩次，每次一個(gè)。若已知第一個(gè)是正品。求第二個(gè)也是正品的概率。一．條件概率與乘法公式解：法Ⅰ設(shè)

法Ⅱ：（直接求法）31第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.3條件概率與事件的獨(dú)立性一．條件概率與乘法公式例5.1.11：有2個(gè)白球3個(gè)黑球，從中不放回地依次取出兩個(gè)，求A={取出的兩個(gè)球都是白球}的概率。解：法１：古典概率法法２：(用概率乘法公式)令={第ⅰ次取得的球?yàn)榘浊騷ⅰ＝1，2，由乘法公式：32第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.3條件概率與事件的獨(dú)立性二．全概公式與貝葉斯公式利用概率的加法公式和乘法公式可以導(dǎo)出兩個(gè)重要公式：全概公式和貝葉斯公式。定義5.1.11：若事件兩兩互斥，且在它們的和事件為必然事件。即，則稱為完備事件組。完備事件組可以看作把樣本空間做劃分。完備事件組中的每個(gè)事件都至少含有一個(gè)樣本點(diǎn)，兩個(gè)不同的事件都是互斥事件；所有事件的和事件恰為（必然事件）。如果將樣本空間看作集合，完備事件組中的事件都不是空集，且有時(shí)總有33第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.3條件概率與事件的獨(dú)立性二．全概公式與貝葉斯公式例5.1.12：擲一枚骰子,,是的一個(gè)劃分。圖5-8(1)也是的一個(gè)劃分圖5-8（2）34第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.3條件概率與事件的獨(dú)立性二．全概公式與貝葉斯公式定理5.1.1：（全概公式）若事件為完備事件組，且，則對(duì)任意一個(gè)事件B,有這個(gè)公式稱為全概公式，全概公式可以這樣理解：事件B的概率被分解為若干部分的概率之和。在較復(fù)雜的前提下，不易計(jì)算P(B)，但事件B往往伴隨某些完備事件組發(fā)生而發(fā)生。適當(dāng)?shù)貥?gòu)造完備事件組，是準(zhǔn)確使用全概公式的關(guān)鍵．35第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.3條件概率與事件的獨(dú)立性二．全概公式與貝葉斯公式例5.1.13：袋中有7個(gè)新球3個(gè)舊球共10個(gè)球。甲從中先取一球不放回，乙再?gòu)闹腥〕鲆磺颉Ｇ螅阂胰〉眯虑虻母怕?。解：設(shè)A＝{甲取得的球?yàn)樾虑騷，則={甲取得的球?yàn)榕f球}；B={乙取得的球?yàn)樾虑騷，A與構(gòu)成完備事件租36第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.3條件概率與事件的獨(dú)立性二．全概公式與貝葉斯公式例5.1.14：一批元件中，有95％一等品，4％二等品，1％三等品。它們能工作5000小時(shí)的概率分別為90％，80％，70％。求任取一個(gè)元件，可工作5000小時(shí)上的概率。解：令。構(gòu)成完備事件組。設(shè)A={取到的元件能工作5000小時(shí)以上}37第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.3條件概率與事件的獨(dú)立性二．全概公式與貝葉斯公式定理5.1.2：設(shè)為完備事件組。B為任意事件.則：證：由乘法公式得：P(B)=P(B)P(|B)=P()P(B|)從而再把全概公式代入上式，便有：38第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.3條件概率與事件的獨(dú)立性二．全概公式與貝葉斯公式例5.1.15：一個(gè)工廠有甲，乙，丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，每個(gè)車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的0．25，0．35，0．40，每個(gè)車間產(chǎn)品的一等品率分別為50％，40％，20％。從全廠產(chǎn)品中任取一件，求1)

產(chǎn)品為一等品的概率。2）若該產(chǎn)品確為一等品，求它由甲，乙，丙車間生產(chǎn)的概率分別為多少？解：設(shè)：＝{抽到的產(chǎn)品由甲車間生產(chǎn)}；＝{抽到的產(chǎn)品由乙車間生產(chǎn)}；＝{抽到的產(chǎn)品由丙車間生產(chǎn)}。，，構(gòu)成完備事件組。A={抽到的產(chǎn)品為一等品}39第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.3條件概率與事件的獨(dú)立性二．全概公式與貝葉斯公式由已知：40第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.3條件概率與事件的獨(dú)立性二．全概公式與貝葉斯公式例5.1.16：電報(bào)信號(hào)由“．”和“—”組成。設(shè)發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)“．”與“—”之比為3：2。由于干擾，發(fā)“．”時(shí)失真概率為0．2，發(fā)“—”時(shí)失真的概率為0．1。若收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“．”，求發(fā)報(bào)臺(tái)確實(shí)發(fā)出“．”的概率。解：設(shè)：B={發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)“．”}，={發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)“—”}，A={收?qǐng)?bào)臺(tái)收“．”}，B與構(gòu)成完備事件組。由已知，P(B)=0．6,，P(A|B)=0.8,41第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.3條件概率與事件的獨(dú)立性二．全概公式與貝葉斯公式例5.1.17：在一個(gè)小盒子里面由10個(gè)兵乓球。其中7個(gè)新的，3個(gè)舊的，每次比賽從中取出兩個(gè)，賽后放回，求1)第二次比賽取出的兩個(gè)球都是新球的概率。2）如果第二次比賽取出的兩個(gè)球都是新球，求第一次取出兩個(gè)球都是舊球的概率。解：設(shè)={第一次取出的2個(gè)球中有i個(gè)新球。}，i=0,1,2顯然，構(gòu)成完備事件組。42第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.3條件概率與事件的獨(dú)立性二．全概公式與貝葉斯公式設(shè)B={第二次取出的2個(gè)球都是新球。}43第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.3條件概率與事件的獨(dú)立性三．事件的獨(dú)立性定義5.１.12：若P(AP)=P(A)P(B),則稱A與B相互獨(dú)立。簡(jiǎn)稱為A,B獨(dú)立。顯然，A，B相互獨(dú)立的充要條件為A發(fā)生的概率等于B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率，也等于B不發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率。即：A，B相互獨(dú)立P(A)=P(A|B)=P(A|)P(B)=P(B|A)=P(B|)定理5.１.3：給定事件A與B，P(A)>0,P(B)>0，A，B相互獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)P(A)=P(A|B)，當(dāng)且僅當(dāng)P(B)=P(B|A))44第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.3條件概率與事件的獨(dú)立性三．事件的獨(dú)立性推論：如果A，B相互獨(dú)立，則A與，與B,與都相互獨(dú)立。由定理以及推論可知，若A,B相互獨(dú)立，則１．P(AB)=P(A)P(B)（兩個(gè)相互獨(dú)立事件的積事件概率的求法）2．

P(A+B)=（兩個(gè)相互獨(dú)立事件的和事件概率的求法）45第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.3條件概率與事件的獨(dú)立性三．事件的獨(dú)立性例5.１.18：袋中有兩個(gè)白球三個(gè)黑球。從中有放回地連取兩次，每次取一個(gè)。求A={兩次取出的球都是白球}的概率解：法1（古典概率解法）基本事件總數(shù)法2．設(shè)∵有放回地抽取，∴相互獨(dú)立。∴P()=P()P()=0.4×0.4=0.1646第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.3條件概率與事件的獨(dú)立性三．事件的獨(dú)立性例5.1.19：某工人操作甲,乙兩臺(tái)沒有聯(lián)系的自動(dòng)豐床，這兩臺(tái)車床在某段時(shí)間里停車的概率分別為0.15，0.2。求這段時(shí)間里至少有一臺(tái)不停車的概率。解：設(shè)A={甲車床不停車}，B＝{乙車床不停車}。顯然，A，B相互獨(dú)立。由已知：P(A)=0.85，P(B)=0.8∴法1：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)－P(A)P(B)=0.85+0.8－0.68=0.97法2：47第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.3條件概率與事件的獨(dú)立性三．事件的獨(dú)立性將相互獨(dú)立事件的概念推廣：設(shè)是n個(gè)事件，若和任意k個(gè)整數(shù)有：，則稱相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱獨(dú)立。由定義可知，n個(gè)事件的獨(dú)立性要求：在這n個(gè)事件中，任取2個(gè)3個(gè)，…,k個(gè)，…,n個(gè)。都滿足獨(dú)立事件的概率乘法公式。兩個(gè)以上相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算也可以由兩個(gè)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算推廣。設(shè)相互獨(dú)立，則48第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.3條件概率與事件的獨(dú)立性三．事件的獨(dú)立性例5.1.20：三門高射炮對(duì)一敵機(jī)一齊各射一炮，它們命中的概率分別是0.1,0.2,0.3求1）敵機(jī)被擊中的概率。2）敵機(jī)恰中一彈的概率。解：設(shè)＝{第i門炮擊中敵機(jī)}，?。?，2，3由已知，P()=0.1,P()=0.2,P()=0.31)設(shè)A={敵機(jī)被擊中}，49第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.3條件概率與事件的獨(dú)立性三．事件的獨(dú)立性2）設(shè)B={敵機(jī)恰中一彈}，50第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率§1.3條件概率與事件的獨(dú)立性三．事件的獨(dú)立性例5.1.21：設(shè)電路如圖(5-9)所求，其中1,2,3,4為繼電器接點(diǎn)。各繼電器接閉合與否相互獨(dú)立。節(jié)點(diǎn)閉合的概率為p,求L至R為通路的概率。解：設(shè)A={由L至R為通路}51第五章概率論第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.1離散型隨機(jī)變量§2.1離散型隨機(jī)變量一．隨機(jī)變量的概念二．離散型隨機(jī)變量的分布列三．貝努力概型及二項(xiàng)分布四．泊松分布52第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.1離散型隨機(jī)變量一．隨機(jī)變量的概念定義5.2.1:在某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，若存在一個(gè)變量，依試驗(yàn)的結(jié)果（即試驗(yàn)中出現(xiàn)的基本事件）而取得不同的數(shù)值，則稱這個(gè)變量為隨機(jī)變量。定義5.2.2：離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量X能取的數(shù)值為有限個(gè)或無窮可列個(gè)，即所有可能取的數(shù)值能按照一定順序排列起來，則稱隨機(jī)變量X為離散型隨機(jī)變量。如果隨機(jī)變量X的所有可能值不能按照一定的順序排列起來，則稱X為非離散型隨機(jī)變量。非離散型隨機(jī)變量的范圍很廣，情況也比較復(fù)雜，其中最重要的，最常用的是連續(xù)型隨機(jī)變量。連續(xù)型隨機(jī)變量可以在某一區(qū)間內(nèi)任意取值。53第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.1離散型隨機(jī)變量二．離散型隨機(jī)變量的分布列定義5.2.3：把離散型隨機(jī)變量X的一切可能取的數(shù)值以及它相應(yīng)的概率（?。?，2…），列成如表5-1.………P………稱此表為離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù)或者概率分布列，簡(jiǎn)稱為分布列，概率分布表。概率函數(shù)具有下列基本性質(zhì)54第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.1離散型隨機(jī)變量例5.2.1：袋中有2個(gè)白球3個(gè)黑球。每次從中任取一球，直到取到白球?yàn)橹?。設(shè)X為取到白球時(shí)的次數(shù)。在下列兩種情況下，求X的分布列。1）每次取出的黑球不放回。2）每次取出的黑球仍放回去。二．離散型隨機(jī)變量的分布列解：1）∵每次取出的黑球不放回，∴X＝1，2，3，455第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.1離散型隨機(jī)變量X的分布列如表5-2：X1234P0.40.30.20.1二．離散型隨機(jī)變量的分布列2）∵每次取出球后放回，∴X可能值為一切正整數(shù)，且每次抽球是相互獨(dú)立的。X的分布列如表5-3：X123…n……P0.40.4×0.6………56第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.1離散型隨機(jī)變量三．貝努力概型及二項(xiàng)分布定義5.2.4：如果(1)在確定的條件下，可進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)試經(jīng)；(2)每次試驗(yàn)只有兩個(gè)相互對(duì)立的結(jié)果A與；(3)這n次試驗(yàn)都是相互獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)結(jié)果與其它各次試驗(yàn)結(jié)果無關(guān)。則稱這n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)為n重貝努力試驗(yàn)，這種概率模型稱為貝努力概型。設(shè)X為n次貝努力試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的次數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，如果事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為P，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的貝努力分布，記為X~B(n,p)57第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.1離散型隨機(jī)變量三．貝努力概型及二項(xiàng)分布下面討論貝努力概型的概率計(jì)算設(shè)P(A)=p，即每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率為P，則在n次試經(jīng)中，事件A恰好發(fā)生m次的概率，記為。例如在3次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生兩次，這要分為這樣幾種情況。第一次發(fā)生第二次發(fā)生，第三次不發(fā)生；第一次發(fā)生第二次沒發(fā)生，第三次發(fā)生；第一次沒發(fā)生，第二次發(fā)生，第三次發(fā)生。若設(shè)表示第i次事件A發(fā)生，則表示第i次事件A不發(fā)生，從而上述事件則可表示為：58第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.1離散型隨機(jī)變量三．貝努力概型及二項(xiàng)分布定理5.2.1：設(shè)一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為P（0<p<1），則n重貝努力試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率為其中，q=1-p證：設(shè)={n重貝努力試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生K次}，表示第i次試驗(yàn)中事件A發(fā)生，表示第i次試驗(yàn)中，事件A不發(fā)生。則：右邊的每一項(xiàng)表示在k次試驗(yàn)中事件A發(fā)生，而另外（n-k）次試驗(yàn)中事件A不發(fā)生。這種項(xiàng)共有個(gè),且兩兩互不相容，所以，59第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.1離散型隨機(jī)變量三．貝努力概型及二項(xiàng)分布利用概率的性質(zhì)可知：。即容易看出，概率，就等于二項(xiàng)式的展開式中x的系數(shù)，因此將貝努力分布稱為二項(xiàng)式分布。定義5.2.5：只有兩個(gè)可能取值的隨機(jī)變量，所服從的分布稱為兩點(diǎn)分布。其概率函數(shù)為由兩點(diǎn)分布的定義可知，兩點(diǎn)分布的概率分布表為表5-4。其中，1-PPPP10XX表5－4表5－560第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.1離散型隨機(jī)變量三．貝努力概型及二項(xiàng)分布例5.2.2：某廠產(chǎn)品的廢品率0．05，從大批產(chǎn)品中抽取20件，求20件中含有m（m=0,1,2,3）件廢品的概率。解：設(shè)X為20見產(chǎn)品中的廢品數(shù)。則X~B(20,0.05),由已知，q=0.9561第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.1離散型隨機(jī)變量三．貝努力概型及二項(xiàng)分布例5.2.3：一個(gè)工人維修10臺(tái)同類型的機(jī)床，在一段時(shí)間內(nèi)每臺(tái)機(jī)床需維修的概率為0．3求：1)這段時(shí)間內(nèi)有2~4臺(tái)需維修的概率。2）這段時(shí)間內(nèi)至少有一臺(tái)豐床維修的概率。解：設(shè)X為這段時(shí)間內(nèi),需要維修的機(jī)床數(shù)，各臺(tái)機(jī)床是否需維修是相互獨(dú)立的。X~B(10,0.3)由已知，n=10,p=0.3,q=0.72)分析：A={至少有一臺(tái)需維修}的對(duì)立事件是={所有機(jī)床都運(yùn)行正常（不需要維修）}62第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.1離散型隨機(jī)變量三．貝努力概型及二項(xiàng)分布例5.2.4：擲一枚骰子，連擲3次，設(shè)X表示擲出一點(diǎn)的次數(shù)，求X的概率分布列。解：由已知，X的概率分布列為表5－6。63第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.1離散型隨機(jī)變量三．貝努力概型及二項(xiàng)分布例5.２.5：燈泡使用1000小時(shí)以上的概率為０.2，求三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)以上最多只有一只損壞的概率。解：設(shè)X為使用1000小時(shí)后壞燈泡的個(gè)數(shù)。則X~B(3,0.2)0-1分布是兩點(diǎn)分布的特例。而兩點(diǎn)分布又可看作二項(xiàng)分布的特例。64第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.1離散型隨機(jī)變量三．貝努力概型及二項(xiàng)分布例5.2.6：某商店的某副食柜臺(tái)有４名售貨員，２臺(tái)電子稱，每名售貨員在一小時(shí)內(nèi)大約有２０分鐘使用電子稱，求因電子稱不夠用而使顧客等待的概率。解：每個(gè)售貨員使用電子稱是彼此獨(dú)立的。每個(gè)售貨員使用電子稱的概率為，設(shè)X為某段間里需要使用電子稱的數(shù)。則因此,顧客因電子稱不夠用而需等待的概率為65第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.1離散型隨機(jī)變量三．貝努力概型及二項(xiàng)分布例5.2.7：袋裝有4個(gè)黑球，一個(gè)白球，每次任意取一個(gè)球有放回地連取3次，求取過的3個(gè)球中恰有2個(gè)黑球的概率。解：由于有放回地抽取，所以這3次抽取是相互獨(dú)立的，而且是在相同條件下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn)，在每次試驗(yàn)中，取到黑球的概率都是,沒有取到黑球，即取到白球的概率為。設(shè)取到黑球的個(gè)數(shù)為X，則66第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.1離散型隨機(jī)變量四．泊松分布定義5.2.6：設(shè)隨機(jī)變量X=I的概率其中λ>0，則稱X從參數(shù)為λ的泊松分布，記為X~P(λ)如果一個(gè)隨機(jī)變量的取值在時(shí)間或空間上是隨機(jī)的，則此隨機(jī)變量服從泊松分布。在社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，對(duì)各種服務(wù)需求或排隊(duì)現(xiàn)象，如在某一段時(shí)間內(nèi)用戶對(duì)電話臺(tái)的呼叫次數(shù)，候車的人數(shù)，這些在時(shí)間上是隨機(jī)的，因此服從泊松分布。某一路口在一段時(shí)間中通過的汽車數(shù)。一個(gè)鑄件上的砂眼數(shù)，一株果樹的害蟲數(shù)，一匹布上的疵點(diǎn)數(shù)，一頁(yè)書上的差錯(cuò)數(shù)在空間上是隨機(jī)的，也服從泊松分布。按定義計(jì)算泊松分布的概率較繁。在實(shí)際計(jì)算中可根據(jù)事先列出的表格，查表求值。67第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.1離散型隨機(jī)變量四．泊松分布例5.2.8：每分鐘某電話交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)X~P(3)，求任意一分鐘電話交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)超過2次的概率。解：由已知X~P(3)，求P(X>2)法1：P(X>2)=1－P(X≤2)=1－[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]法2查表：P(X>2)=1－P(X≤2)=1－[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]=1－[0.0498+0.1494+0.2240]=0.576868第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.1離散型隨機(jī)變量四．泊松分布例5.２.9：某交通路口每輛車載人數(shù)服從的泊松分布，現(xiàn)任意觀察一輛能過該路口的汽車試求下列各種情況下概率。1)車中無人；2)車中只有２人。3)車中有５人。4)車中超過５人。解：本題中，參數(shù)已知，可根據(jù)公式直接計(jì)算概率。69第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.1離散型隨機(jī)變量四．泊松分布給出二項(xiàng)分布和泊松分布的關(guān)系定理定理5.2.2：設(shè)隨機(jī)變量X～B(n,p),則當(dāng)n充分大時(shí)，記λ＝np,則X～P(λ)即這個(gè)定理說明：當(dāng)n很大而P較小時(shí)可用泊松分布的計(jì)算替換二項(xiàng)分布的概率計(jì)算。70第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.1離散型隨機(jī)變量四．泊松分布例5.2.10：用步槍射擊敵機(jī)，每次命中的概率為分p=0.001,今射擊6000次，試 求擊中敵機(jī)兩彈或兩彈以的概率。解：設(shè)X為擊中敵機(jī)的子彈數(shù)，則X~B(6000,0.001)因?yàn)閚很大，而p較小，所以，我們用泊松分布近似計(jì)算，＝np=6∴X～P(6)本例如使用二項(xiàng)分布計(jì)算兩個(gè)答案相比較，當(dāng)精確到小數(shù)點(diǎn)四位后都是0.982771第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.1離散型隨機(jī)變量四．泊松分布例5.２.11：已知螺絲釘生產(chǎn)中廢品率為0.015問一盒至少裝多少只才能保證每盒中有100只以上的好螺絲釘?shù)母怕什恍∮?.90?解：設(shè)應(yīng)裝100+x只，則問題就是求最小的x，使廢品數(shù)不超過x只的概率大于等于90%。設(shè)X表示一盒螺絲釘廢品數(shù)，則利用泊松近似，求最小的x,使：P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}+…+P{X=x}查表：＝1.5P{X=0}=0.223130,P{X=1}=0.334695,P{X=2}=0.251021,P{X=3}=0.12551072第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.1離散型隨機(jī)變量四．泊松分布而0.223130+0.334695+0.251021+0.125510=0.934536>0.90所以，只要在盒中放入103個(gè)螺絲釘即可。73第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.2連續(xù)型隨機(jī)變量§2.2連續(xù)型隨機(jī)變量一．連續(xù)型機(jī)變量的概念二．連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)的性質(zhì)三．均勻分布四．正態(tài)分布五．指數(shù)分布74第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.2連續(xù)型隨機(jī)變量一．連續(xù)型機(jī)變量的概念連續(xù)型隨機(jī)變量可取某區(qū)間內(nèi)任何一個(gè)數(shù)值。設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量的任意一個(gè)可能值，則X=是試驗(yàn)的一個(gè)基本事件。如果按照離散型隨機(jī)變量定義這個(gè)事件的概率將會(huì)遇到下列兩個(gè)問題，首先，X=是指在一定精度下有X=，如果精確度要求到小數(shù)點(diǎn)后1000位，仍有X=嗎？這是根本無法回答的問題。其次，就算是在精確度到小數(shù)點(diǎn)后1000位仍有X=,但此處的概率是個(gè)什么數(shù)值？X對(duì)的某鄰域內(nèi)的x，P{X=x}又如何取值呢？仍然難以回答。還有，將連續(xù)型隨機(jī)變量的一切可能值按照一定次序排列并寫出來，也是一個(gè)不能逾越的障礙。75第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.2連續(xù)型隨機(jī)變量一．連續(xù)型機(jī)變量的概念定義5.2.7：設(shè)隨機(jī)變量X可取某個(gè)區(qū)間(c,d)內(nèi)中的一切值，而且可以找到非負(fù)可積函數(shù)f(x)使得，則稱X是連續(xù)隨機(jī)變量。f(x)稱為X的分布密度。其中(a,b)是(c,d)的一個(gè)子集。由定義可以看出，對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量X，也就是說，連續(xù)型隨機(jī)變量在任何一點(diǎn)的概率都為0。即76第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.2連續(xù)型隨機(jī)變量二．連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)的性質(zhì)1．f(x)≥0；2．3．P{a≤X≤b}=4．P{X=a}=0從而，可推出P{a<x<b}=P{a≤X<b}=P{a<X≤b}=P{a≤X≤b}77第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.2連續(xù)型隨機(jī)變量二．連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)的性質(zhì)例5.2.12：設(shè)X~1）求k；

2）求X落入（－3，0.5）內(nèi)的概率。解：1)求k2)求P{0≤X≤1},由1)78第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.2連續(xù)型隨機(jī)變量三．均勻分布定義5.2.8：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量

,則稱X服從均勻分布。其中。記為：X~U[a,b]均勻分布的密度曲線如圖5-10所示。若X~U[a,b]，則X取值落于某區(qū)間的概率與區(qū)間長(zhǎng)(d-c)成正比，而與區(qū)間在[a,b]中的位置無關(guān)。事實(shí)上，[a,b]之外的概率為零，即在數(shù)值計(jì)算中，假定在小數(shù)點(diǎn)后k位四舍五入，用X表示舍去誤差，則顯然，落在79第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.2連續(xù)型隨機(jī)變量四．正態(tài)分布定義5.2.9：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為則稱隨機(jī)變量X是服從參數(shù)為的正態(tài)分布，記為X~N()特別地，當(dāng)時(shí)，X~N(0,1)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)，記為，即80第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.2連續(xù)型隨機(jī)變量四．正態(tài)分布正態(tài)分布密度函數(shù)的圖像如圖5-11所示，從的圖象中看出，密度函數(shù)具有下列性質(zhì)。1．關(guān)于直線x=μ對(duì)稱。在（－∞，μ）單調(diào)增，在（μ，＋∞）單調(diào)減。是密度函數(shù)的最大值。2．σ刻劃X取值的分散程度。σ越小，取值的分散程度越小，取值越聚集，圖像越陡峭；反之，σ越大，取值的分散程度越大，取值越分散，圖像越平緩。81第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.2連續(xù)型隨機(jī)變量四．正態(tài)分布3．與圖象以X軸為漸近線，x=μ-σ與x=μ+σ為曲線的拐點(diǎn)。正態(tài)分布為連續(xù)型隨機(jī)變量，當(dāng)然具有連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)的性質(zhì)。例如≥0,82第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.2連續(xù)型隨機(jī)變量除具有一般概率密度的性質(zhì)以外還有下列性質(zhì)：1．有各階導(dǎo)數(shù)；2．是偶函數(shù)，即，的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。3．在嚴(yán)格遞增，在嚴(yán)格遞減，為的最大值4．在處有兩個(gè)拐點(diǎn)；5．，即x軸是曲線的水平漸近線。四．正態(tài)分布83第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.2連續(xù)型隨機(jī)變量四．正態(tài)分布定義5.2.10：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為，其中λ>0，則稱隨機(jī)變量X是服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，記為X~E(λ)。指數(shù)分布的密度函數(shù)f(x)的曲線如圖5-12所示。指數(shù)分布常用作各種壽命分布的近似，動(dòng)物的壽命，無線電元件的使用壽命，電話中的通話時(shí)間，隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間等。84第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.2連續(xù)型隨機(jī)變量四．正態(tài)分布例5.2.14：已知某電子元件的壽命求這種電子元件能使用1000小時(shí)以上的概率。解：85第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.3分布函數(shù)

§2.3分布函數(shù)一．分布函數(shù)的概念二．正態(tài)分布的分布函數(shù)及概率計(jì)算86第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.3分布函數(shù)

一．分布函數(shù)的概念定義5.2.11：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x為任意實(shí)數(shù),稱函數(shù)F(x)=P{X≤x}為X的分布函數(shù)。F(x)就是事件“”的概率，是x的一個(gè)實(shí)函數(shù)。對(duì)任意實(shí)數(shù)有：故因此若已知X的分布函數(shù)F(x)，就能知道X在任何一個(gè)區(qū)間上取值的概率。從這個(gè)意義上說，分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量變化情況。87第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.3分布函數(shù)

一．分布函數(shù)的概念F(x)具有下列性質(zhì)：1．對(duì)一切成立；2．F(x)是不減函數(shù)；3．；４．F(x)至多有可列個(gè)間斷點(diǎn)，而在其間斷點(diǎn)上也是右連續(xù)的。88第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.3分布函數(shù)

一．分布函數(shù)的概念例5.2.15：離數(shù)型隨機(jī)變量的分布列如表５-７所示：0.10.30.40.2P3210X1)求X的分布函數(shù)2)畫出F(x)的圖象3)求P{x≤0.5}；P{0.5≤X≤2.1}；P{1.5≤X≤4.1}。解：1)求X的分布函數(shù)x<0時(shí)F(x)=P{X≤x}=00≤x<1時(shí)F(x)=P{X≤x}=0.2；1≤x<2時(shí)F(x)=P{X≤x}=0.62≤x<3時(shí)F(x)=P{X≤x}=0.9；3≤x時(shí)F(x)=P{X≤x}=189第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.3分布函數(shù)

一．分布函數(shù)的概念2．F（x）的圖象如圖5-13所示3．求P{x≤0.5},P{0.5≤X≤4.1P{x≤0.5}=F(0.5)=0.2，P{0.5≤X≤2.1}=F（2.1）－F（0.5）=0.9－0.2=0.7P{1.5≤X≤4.1}=F(4.1)－F(1.5)=1－0.6=0.4離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)圖象是一條形如階梯形的曲線。曲線在左端點(diǎn)處右連續(xù)，在右端點(diǎn)處間斷，跳躍遞增。90第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.3分布函數(shù)

一．分布函數(shù)的概念定義5.2.12：設(shè)F(x)是隨機(jī)變量X的函數(shù)。若存在非負(fù)函數(shù)f(x),對(duì)任意實(shí)數(shù)x有,則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱為密度函數(shù)。91第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.3分布函數(shù)

一．分布函數(shù)的概念連續(xù)型隨機(jī)變量X分布函數(shù)F(x)具有下述性質(zhì)；1．F(x)≥02．F(－∞)=0,F(+∞)=13．非降性(廣義遞增性),若，則F()≤F()4．連續(xù)性：連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)的圖像是一條連續(xù)曲線。5．若X～f(x),X為連續(xù)型隨機(jī)變量，則：F’(x)=f(x),即連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是密度函數(shù)。6．F’(x)=f(x),即連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是密度函數(shù)。92第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.3分布函數(shù)

一．分布函數(shù)的概念例5.2.16：X是連續(xù)型隨機(jī)變量1)求K；2）求分布函數(shù)F(x)并畫出F(x)的圖像3）求P{0.5≤X≤1.5},P{1.2≤X≤1.8},P{1.5≤X≤2.8}解：1）求K。2）求分布函數(shù)F(x)并畫出F(x)的圖像x<1時(shí)，1<x≤2時(shí)，x>2時(shí)93第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.3分布函數(shù)

一．分布函數(shù)的概念F(x)的圖像如圖5-14所示。3）求P{0.5≤X≤1.5}，P{1.2≤X≤1.8}，P{1.2≤X≤1.8}94第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.3分布函數(shù)

一．分布函數(shù)的概念例5.2.17：向半徑為R圓形靶射擊，擊中點(diǎn)落在靶新為圓心，r為半經(jīng)的圓內(nèi)的概率與該圓的面積成正比，并且不含發(fā)生的脫靶的情形，設(shè)X表示擊中點(diǎn)與靶心的距離。求X的分布函數(shù)。解：設(shè)X的分布函數(shù)為F(x)=P(X≤r)∵不會(huì)發(fā)生脫靶∴X的一切可能值在區(qū)間[0,R]上。當(dāng)r<0時(shí)F(r)=0當(dāng)0≤r<R時(shí)依題意，F(xiàn)(r)=P(X≤r)=∵F(x)是連續(xù)函數(shù)，∴F(R)==1∴∴F(x)的分布函數(shù)為：95第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.3分布函數(shù)

一．分布函數(shù)的概念例5.2.18：設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度1）確定系數(shù)k；2）求分布函數(shù)F(x)；3)求P{－1<x<1}解：1）確定系數(shù)k；2）求分布函數(shù)F(x)96第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.3分布函數(shù)

一．分布函數(shù)的概念3)求P{－1<x<1}97第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.3分布函數(shù)

二．正態(tài)分布的分布函數(shù)及概率計(jì)算若X~N(0,1),則，X的分布函數(shù)記為，即因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，,從而有。這個(gè)結(jié)論由定積分的幾何意義，一目了然，如圖5-15。98第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.3分布函數(shù)

二．正態(tài)分布的分布函數(shù)及概率計(jì)算正態(tài)分布的概率計(jì)算，若由定義難且繁。在實(shí)際計(jì)算時(shí)，查表求值。這類計(jì)算分為兩種不同的情況。１．設(shè)X~N(0,1)求概率，直接查表求值。即２．已知，求相應(yīng)事件的概率定理5.2.3：若，令，則Y～N(0,1)。可推出：若，則99第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.3分布函數(shù)

二．正態(tài)分布的分布函數(shù)及概率計(jì)算例5.2.19：設(shè)X～N(0,1)求：1)P{X≤1.2}

,

2)P{X≤－0.5},3)P{|X|≤1.96},4)P{X≤5}解：查表1)P{X≤1.2}=

φ(1.2)

=0.8849,

2)P{X≤－0.5}=1－φ(0.5)

=1－0.6915=0.3085P{|X|≤1.96}=P{－1.96≤X≤1.96}=φ(1.96)－φ(－1.96)=φ(1.96)－[1－φ(－1.96)]=2φ(1.96)－1=2×0.9750－11=0.954)P{X≤5}=φ(5)=1100第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.3分布函數(shù)

二．正態(tài)分布的分布函數(shù)及概率計(jì)算例5.2.20：設(shè)X～N(1,4)求：1）P{0≤X≤1.6},2)P{5<X<7.2},3)P{X≥2.3}解：由已知μ=1101第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.４隨機(jī)變量的函數(shù)一．連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率分布二．連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布§2.４隨機(jī)變量的函數(shù)102第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分第五章概率論第二節(jié)隨機(jī)變量與概率分§2.４隨機(jī)變量的函數(shù)一．連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率分布定義5.2.13：設(shè)f(x)是定義在隨機(jī)變量X上的一切可能值x的集合上的函數(shù)。如果X對(duì)于x的每一個(gè)可能取值x，有一個(gè)隨機(jī)變量Y的相應(yīng)取值y=f(x)，則稱Y為X的函數(shù),記為Y=f(X)我們常常遇到一些隨機(jī)變量，它們的值測(cè)量較難（例如球體的體積）但是與它們有關(guān)系的量例如球體的直徑測(cè)量較易。因此我們可以通過研究球體