2023年人教版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第一部分考點(diǎn)指導(dǎo)第三章函數(shù)及其應(yīng)用第八節(jié)第2課時(shí)函數(shù)模型及其應(yīng)用

第2課時(shí)函數(shù)模型及其應(yīng)用【考試要求】L了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)的增長(zhǎng)特征；結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類(lèi)型增長(zhǎng)的含義.2.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、分段函數(shù)等函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用.【高考考情】考點(diǎn)考法：高考命題常以指數(shù)、對(duì)數(shù)、基函數(shù)及分段函數(shù)為載體，考查利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，與指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)文化、社會(huì)熱點(diǎn)等問(wèn)題是高考熱點(diǎn)，常以選擇題形式出現(xiàn).核心素養(yǎng)：直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模O =一^知謂梳理.思傕派也一 O【歸納?知識(shí)必備】.常見(jiàn)的函數(shù)模型3一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、黑函數(shù).'注解1函數(shù)模型應(yīng)用問(wèn)題的步驟(四步八字方針)：審題，建模，解模，還原..三種函數(shù)模型的性質(zhì)尸a"(a>l)尸logu(a>l)片?(〃>0)(0,+8)上增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增速越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨X的增大逐漸表現(xiàn)為與上軸平行隨X的增大逐漸表現(xiàn)為與X軸平行隨〃值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)苞，當(dāng)時(shí)，有l(wèi)og"水-智學(xué)?變式探源1.必修一P152例62.必修一P148例31.(改變選項(xiàng))下列函數(shù)，增長(zhǎng)速度最快的是(A.y=20211 B.y=x021C.y=log202i^ D.y=2021x)【解析】選A.比較一次函數(shù)、基函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)可知，指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度最快.2.（改變情景）某種細(xì)菌經(jīng)30分鐘數(shù)量變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，且該種細(xì)菌的繁殖規(guī)律為尸小，其中4為常數(shù)，［表示時(shí)間（單位：小時(shí)），y表示1個(gè)細(xì)菌經(jīng)繁殖后的總個(gè)數(shù)，則經(jīng)過(guò)5小時(shí),1個(gè)細(xì)菌通過(guò)繁殖個(gè)數(shù)變?yōu)?1 -k【解析】由題意知，當(dāng)t=~時(shí)，y=2,即2=e?,所以〃=21n2,所以y=e?“叱當(dāng)力=5時(shí)，尸02"5."2=2|。=1024.即經(jīng)過(guò)5小時(shí)，1個(gè)細(xì)菌通過(guò)繁殖個(gè)數(shù)變?yōu)?024.答案：1024慧考?四基自測(cè)3.基礎(chǔ)知識(shí) 4.基本方法 5.基本應(yīng)用 6.基本能力.（已知函數(shù)模型解決問(wèn)題）衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌跡高度為36000km（軌道高度指衛(wèi)星到地球表面的最短距離），把地球看成一個(gè)球心為。半徑為6400km的球，其上點(diǎn)力的緯度是指的與赤道所在平面所成角的度數(shù)，地球表面能直接觀測(cè)到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星的點(diǎn)的緯度的最大值記為叫該衛(wèi)星信號(hào)覆蓋的地球表面面積5=2n/（1-cosa）,（單位:km2）,則S占地球表面積的百分比為（）A.26%B.34%C.42%D.50%【解析】選C.由題意可得，S占地球表面積的百分比約為64002nr（1—coso） 1—cosa1-6400+36000 : = = ^0.42=42%.41 2 2.（數(shù)形結(jié)合法）當(dāng)16VK20時(shí)，/和logzx的大小關(guān)系為.【解析】作出/'（*） 和g（x）=log2*的圖象，如圖所示：￡!_!.由圖象可知，在（0,4）內(nèi)，x'〉log2X；x=4或x=16時(shí)，x5=logzx；在（4,16）內(nèi)，＜log2x；在（16,20）內(nèi)，x2>log2x答案：X1>log2vT.（二次函數(shù)模型應(yīng)用）生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱(chēng)為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬(wàn)件時(shí)的生產(chǎn)成本為C（x）=；*+2x+20（萬(wàn)元）.一萬(wàn)件售價(jià)為20萬(wàn)元，為獲取更大利潤(rùn)，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為萬(wàn)件.【解析】利潤(rùn)￡（*）=20才一。（入）=-3U-18）2+142,當(dāng)x=18時(shí)，￡（x）有最大值.答案：18.（函數(shù)模型的選擇）在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如表：X0.500.992.013.98y—0.990.010.982.00則對(duì)x,y最適合的擬合函數(shù)是（）A.y=2x B.y=x—\C.y=2x-2 D.y=log2-r【解析】選D.根據(jù)x=0.50,y=-0.99,代入計(jì)算，可以排除A；根據(jù)x=2.01,y=0.98,代入計(jì)算，可以排除B,C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)尸log?、，可知滿足題意.Q =一、考點(diǎn)櫬究?悟法培優(yōu) ——Q，考點(diǎn)一利用函數(shù)的圖象刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題 |自主練透.某電信公司推出兩種手機(jī)收費(fèi)方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元.一個(gè)月的本地網(wǎng)內(nèi)打出電話時(shí)間t（分鐘）與打出電話費(fèi)s（元）的函數(shù)關(guān)系如圖，當(dāng)通話150分鐘時(shí),這兩種方式電話費(fèi)相差（）A.10元氏20元C.30元彳元O【解析】選4設(shè)A種方式對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為s=k,t+20,B種方式對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為s=k2t,

當(dāng)t=100時(shí)，100ki+20=100k2，化簡(jiǎn)得k2一ki=!.當(dāng)t=150時(shí)，150k2—150kl-20=150x3—20=10(元).5.如圖所示，向放在水槽底部的燒杯注水(流量一定)，注滿燒杯后，繼續(xù)注水，直至注滿水槽，水槽中水面上升高度h與注水時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系大致是()【解析】選6.開(kāi)始的一段時(shí)間，水槽底部沒(méi)有水，燒杯滿了之后水槽中水面上升速度先快后慢，與6圖象相吻合.3.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)開(kāi)始沿折線BCDA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,ZkABP的面積為S,則函數(shù)S=f(x)的圖象是( )【解析】選〃依題意知當(dāng)04xW4時(shí)，f(x)=2x；當(dāng)4<xW8時(shí)，f(x)=8；當(dāng)8<x412時(shí),f(x)=24—2x,觀察四個(gè)選項(xiàng)知與〃圖象相吻合.【規(guī)律方法】判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問(wèn)題變化過(guò)程相吻合方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)由題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，可建立函數(shù)模型，結(jié)合模型選圖象.(2)驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合,

從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案.K1^0麗【力口練備選】如圖所示，一直角墻角，兩邊的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)，在P處有一棵樹(shù)與兩墻的距離分別是aE)(0VaV12),4/，不考慮樹(shù)的粗細(xì)，現(xiàn)在用16加長(zhǎng)的籬笆，借助墻角圍成一個(gè)矩形的花園ABCD.設(shè)此矩形花園的面積為S(H),S的最大值為f(a),若將這棵樹(shù)圍在花園內(nèi)，則函數(shù)u=f(a)的圖象大致是()CDC【解析】選C設(shè)BC=xm,則DC=(16—x)加，］x，a,由〈 得aWxW12.I16-x24,x+(16—x)2矩形面積S=x(16—x)W: 7—J =64.當(dāng)x=8時(shí)取等號(hào).當(dāng)0VaW8時(shí)，u=f(a)=64；當(dāng)a>8時(shí)，由于函數(shù)在［a,12］上為減函數(shù)，所以當(dāng)x=a時(shí)，矩形面積取最大值S叩=f(a)=a(16—a).，考點(diǎn)二已知函數(shù)模型求解實(shí)際問(wèn)題 |講練互動(dòng)［典例1］⑴“喊泉”是一種地下水的毛細(xì)現(xiàn)象.人們?cè)谌诤鸾谢虬l(fā)出其他聲音時(shí)聲波傳入泉洞內(nèi)的儲(chǔ)水池，進(jìn)而產(chǎn)生“共鳴”等作用，激起水波，形成涌泉.聲音越大，涌起的泉水越高.已知聽(tīng)到的聲強(qiáng)I與標(biāo)準(zhǔn)聲強(qiáng)約為KT。單位：〃泊之比的常用對(duì)數(shù)稱(chēng)作聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級(jí)，記作L(貝爾)，即L=/g；.取貝爾的10倍作為響度的常用單位，簡(jiǎn)稱(chēng)為分貝.已知某處“喊泉”的聲音強(qiáng)度y(分貝)與噴出的泉水高度x(血之間滿足關(guān)系式y(tǒng)=2x,甲、乙

兩名同學(xué)大喊一聲激起的涌泉的最高高度分別為70/，60m.若甲同學(xué)大喊一聲的聲強(qiáng)大約相當(dāng)于n個(gè)乙同學(xué)同時(shí)大喊一聲的聲強(qiáng)，則n的值約為（）A.10B.100C.200D.1000（2）★（命題?新視角）（多選題）漳州市龍海區(qū)港尾鎮(zhèn)和浮宮鎮(zhèn)盛產(chǎn)楊梅，楊梅果味酸甜適中，有開(kāi)胃健脾、生津止渴、消暑除煩，抑菌止瀉，降血脂血壓等功效.楊梅的保鮮時(shí)間很短，當(dāng)?shù)丶夹g(shù)人員采用某種保鮮方法后可使得楊梅采摘之后的時(shí)間t（單位：小時(shí)）與失去的新鮮[丁^己0^t<10,度y滿足函數(shù)關(guān)系y={1000 ，其中m,a為常數(shù).已知采用該種保鮮方法后，[ma1,10《tW100,楊梅采摘10小時(shí)之后失去10%的新鮮度，采摘40小時(shí)之后失去20%的新鮮度.如今我國(guó)物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，為了保證港尾鎮(zhèn)的楊梅運(yùn)輸?shù)奖狈侥吵鞘袖N(xiāo)售時(shí)的新鮮度不低于85%,則物流時(shí)間（從楊梅采摘的時(shí)刻算起）可以是（參考數(shù)據(jù)：log^i.6）（）A.20小時(shí)B.25小時(shí)C.28小時(shí)D.35小時(shí)【解析】（1）選6.設(shè)甲同學(xué)的聲強(qiáng)為L(zhǎng),乙同學(xué)的聲強(qiáng)為必則140=10/g溫，120=10/gTOC\o"1-5"\h\zL ° I,77^7,所以L=10-12=1,從而丁=100.所以n的值約為100.1V 12[10%=ma10（2）選力交由題意可知Ie。 ，[20%=ma,0所以2即所以2即a—230，m—20由題意可知當(dāng)tvio時(shí)，失去的新鮮度小于10%,沒(méi)有超3 3過(guò)15%,當(dāng)t210時(shí)則有零aW15%即雪,JW15%,所以（2； ^，所以表《,儂/+ ,解得t《28.，規(guī)律方法求解所給函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)（1）認(rèn)清函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).（3）利用該模型求解實(shí)際問(wèn)題.，'對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

（2021?齊齊哈爾模擬）碳一14測(cè)年法是由威拉得?利比發(fā)明的一種測(cè)定含碳物質(zhì)年齡的方法，在考古中有大量的應(yīng)用放射性元素的衰變滿足規(guī)律N=N°ef1（表示的是放射性元素在In9生物體中最初的含量N。與經(jīng)過(guò)時(shí)間t后的含量N間的關(guān)系），其中X=（T為半衰期）.已知碳一14的半衰期為5730年，N0=1.2X10-'2,經(jīng)測(cè)量某地出土的生物化石中碳一14含量為4X10-'3,據(jù)此推測(cè)該化石活體生物生活的年代距今約（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)log^1.585）（ ）A.7650年B.8890年C.9082年D.10098年T,/nNo【解析】選c.由題意知t=7/72N5730X7/7l,2X10~5730X7/7l,2X10~12

4X10-13In257307/73In2=5730/儂3弋5730X1.585^9082（年）.（2021?昆明模擬）在計(jì)算機(jī)的算法分析中，常用時(shí)間復(fù)雜度來(lái)衡量一個(gè)算法的優(yōu)劣，算法的時(shí)間復(fù)雜度是指算法完成一次運(yùn)行所需要的運(yùn)算次數(shù)，若用T（n）（單位：次）表示算法的時(shí)間復(fù)雜度，它是算法求解問(wèn)題數(shù)據(jù)規(guī)模n的函數(shù).已知某算法的時(shí)間復(fù)雜度T（n）=20n'+nA^n（neN）,一臺(tái)計(jì)算機(jī)每秒可以進(jìn)行1.3億次運(yùn)算，則要保證該算法能在此計(jì)算機(jī)上1秒內(nèi)完成一次運(yùn)行，則〃的最大值為（）A.40B.50C.60D.70【解析】選B.只需要7（〃）=20〃'+〃log2〃〈l.3X10"的最大〃即可，當(dāng)〃=40時(shí)，7（40）=20X404+40Xlog240^5.12X107<1.3X108,當(dāng)n=50時(shí)，7（50）=20X501+50Xlog250%1.25X10K<1.3X108,當(dāng)〃=60時(shí)，7（60）=20X60'+60Xlog260^2.592X108>l.3X10s,綜上所述，保證該算法能在此計(jì)算機(jī)上1秒內(nèi)完成一次運(yùn)行，〃的最大值為50.”考點(diǎn)三”考點(diǎn)三構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題講練互動(dòng)[典例2]（1）（2022?咸陽(yáng)模擬）某城鎮(zhèn)為改善當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境，2016年初投入資金120萬(wàn)元，以后每年投入資金比上一年增加10萬(wàn)元，從2020年初開(kāi)始每年投入資金比上一年增加10%,到2025年底該城鎮(zhèn)生態(tài)環(huán)境建設(shè)共投資大約為（）A.1600萬(wàn)元 B.1660萬(wàn)元C.1700萬(wàn)元 D.1810萬(wàn)元(2)(2022?長(zhǎng)沙模擬)由于近年來(lái)，冬季氣候干燥，冷空氣頻繁來(lái)襲.為提高公民的取暖水平,某社區(qū)決定建立一個(gè)取暖供熱站.已知供熱站每月自然消費(fèi)與供熱站到社區(qū)的距離成反比，每月供熱費(fèi)與供熱站到社區(qū)的距離成正比，如果在距離社區(qū)20千米處建立供熱站，這兩項(xiàng)費(fèi)用分別為5千元和8萬(wàn)元.那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，供熱站應(yīng)建在離社區(qū) 處()A.5千米B.6千米C.7千米D.8千米【解析】(D選〃設(shè)2016年到2025年每年投入資金分別為a”a2,a3,a”b,,b2, b6,由已知a”3.29a：”為等差數(shù)列,Hi—120,3.4=150,其和為Si=ai+a2+a3+a4=540,乂b”b2, b6為等比數(shù)列，E=150XLL公比q=LL150X11(11其和為S2=b1+b2+-+b6= ；[1.一=1650(1.16-1),又1.l6=(l+0.1)6^1—1.1i+c0.1+62 3TOC\o"1-5"\h\zC0.12+C0.13^1.77,所以S2-1270,所以Si+S2Pl810,即共投入資金大約為1810萬(wàn)6 6元.(2)選4設(shè)供熱站建在離社區(qū)x千米處，則自然消費(fèi)弘=§,供熱費(fèi)yz=kzx,當(dāng)x=20時(shí)，一yi=0.5,丫2=8,所以ki=10,卜2=￡9兩項(xiàng)費(fèi)用之和：5y=yi+y?="+|x^2a—? =4,當(dāng)且僅當(dāng)日=，x,即x=5時(shí)取等號(hào)，故供熱站應(yīng)x5 \]x5 x5建在離社區(qū)5千米時(shí)，這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小.，規(guī)律方法構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的策略要正確理解題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，求解過(guò)程中不要忽略實(shí)際問(wèn)題對(duì)變量的限制.，對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練.大學(xué)畢業(yè)生小趙想開(kāi)一家服裝專(zhuān)賣(mài)店，經(jīng)過(guò)預(yù)算，該門(mén)面需要裝修費(fèi)為20000元，每天需要房租、水電等費(fèi)用100元，受經(jīng)營(yíng)信譽(yù)度、銷(xiāo)售季節(jié)等因素的影響，專(zhuān)賣(mài)店銷(xiāo)售總收益I400x——x2,0WxW400,R(元)與門(mén)面經(jīng)營(yíng)天數(shù)x的關(guān)系是R(x)=J2 則當(dāng)總利潤(rùn)最大時(shí)，該[80000,x>400,門(mén)面經(jīng)營(yíng)的天數(shù)是.【解析】由題意，總利潤(rùn)j400x-1x2-100x-20000,0WxW400,[60000-100x,x>4