2022年新高考數學數列經典題型專題提升：第1講等差、等比數列基本運算和拔高運算（解析版）

第1講等差、等比數列基本運算和拔高運算參考答案與試題解析一.選擇題（共6小題）（2021春?撫順期末）記S“為等差數列｛4｝的前〃項和，己知工=0,%=5,則（）A.Sn=2n2-8h B.Sn=—n2-2nC.an=3n-10D.an=2n-5【解答】解：??,S4=0,%=5,h4x3.n14---xd=0[4+4d=5解得4=—3,d=29an=—3+2（〃-1）=2n—5，Sn=-3/t+n（n-1）=n2-4〃,故選：D.2.（2021春?懷化期末）已知各項均為正數的等比數列｛%｝的前4項和為15,且％=3%+4%,則％=（ ）A.16 B.8 C.4 D.2【解答】解：根據題意，設等比數列｛〃〃｝的公比為夕，若必=34+%，則g/1，/1-心75 ffl-l則有l(wèi)-q ，解可得二，523yl 14=2[ayq=3qq+4qq則%=qx/=4,故選：C.（2021?吉林校級月考）已知正項數列｛凡｝的前"項和為S.，若｛4｝和｛"j都是等差數TOC\o"1-5"\h\z歹U，且公差相等，則?=（ ）3 4 1A.- B.1 C.- D.-4 3 2【解答】解：由題意知數列｛〃〃｝的首項為％,公差為d.因為數列｛0｝的前〃項和是，所以#j"= ，y[s^=42a、+d, =J3q+3d.又｛、耳｝也是公差為d的等差數列，則 =J2al+d= +d,兩邊平方得:2q+d=4+2d?^~+/①叵=依+3d=府+2d,兩邊平方得：3q+3d=q+44也+4d2②②-①得：%=-2d+2d8+3/③,把③代入①得：d(2d-l)=0.所以〃=0或d=L2當d=0時，4=0,不合題意，當d時，代入③解得所以4=0)+d=?.故選：A.(2021春?吉安期末)命題：公差不為0的等差數列的通項可以表示為關于”的一次函數形式，反之通項是關于"的一次函數形式的數列為等差數列為真，現有正項數列｛4｝的前〃項和是S“，若｛q｝和｛￡｝都是等差數列，且公差相等，則數列｛a,,｝的一個通項公式為()TOC\o"1-5"\h\z.2n—1 八2〃+1 _, ___ ,A. B. C.2n-l D.2〃+14 4【解答】解：設正項數列｛〃“｝的公差為d,首項4,。 n(n-1)JS?=na.+— —,〃 1 2底=何+(〃-l)d=向+5-Dd平方得，S〃=q+2y/a^(n-\)d+(n-1)2J2叫4--^——=O1+2y[a^(n-\)d+(n-l)2d2?整理得，n(g-d?)=2^a^d-d?-%,因為對任意〃eM都成立，所以——d2=0?義dwO.2所以d=g,代入2y/a^d-d2-dy=0得q=；.所以=q+(〃-l)d=；+g(〃—l)=2：1.（2021?肥城市模擬）若數列｛a,｝滿足」"為常數），則稱數列｛七｝為“調4+1an和數列”.已知正項數列■，｝為“調和數列”，且4+偽+…+d=90,則優(yōu)女的最大值是（）A.10 B.100 C.200 D.400【解答】解：由已知數列｛，｝為調和數列可得〃用-6“=d（d為常數）二的,｝為等差數列，由等差數列的性質可得，4+4+…+4=9仇=90,/.b4+b（i=2b5=20,乂包>0,■■■b4-b6?（^i^）2=100.故選：B.（2021春?大竹縣校級期中）若數列｛4｝滿足」>-=d（n^N\〃為常數），則稱數列a向4a｝為調和數列，已知數列為調和數列，且才+%+后+…+418=8072,則蒼+與”,的最大值為（ ）A.0 B.2 C.2啦 D.4【解答】解：由題設知：T——1=母|一片=d（"CN*,〃為常數），.?.“；｝是等基數列,???片+扁。.？/刈。（當且僅當天=^01。時取“等號”），（不等號兩邊同時加上￥+￥。通）.?(/+/(Ho),,2(芯+石010)=16,+x201（p,4（當且僅當前=玄10=2時取"等號"），*,?七+工2010的最大值為4.故選：￡>.二.填空題（共9小題）7.（2021?寶山區(qū)校級期中）已知｛七｝是等差數列，記計2?wN*）,設S“為｛4｝的前n項和，且3a5=7%>0,則當S“取最大值時，〃=17.【解答】解：設｛““｝的公差為d,則由3%=7a[2>。,可得號)d,其中d<0;從而，掇女17時，a?>0,%.而時,a?<0；又由此可得,啜!h15時,hn>0,”=16時，bn<0,”=17時，b,>。,”..18時,bn<0；因此只需比較九與，7，即比較練+3與零的關系：'|6+"17=a\(ja\iaw+a\ia\ia\9=ai7ai8(fl16+”19)=^17^18.(萬^)>°'故517>S)s，故答案為：17.8.(2021?西湖區(qū)校級模擬)設公比不為1的等比數列｛”“｝滿足且見，出，見成等差數列，則公比q=_-g_,數列僅”｝的前4項的和為.【解答】解：在公比不為1的等比數列｛q｝，由01ala,=-L得生3=J.,8 81一生二一萬?又％，4，%成等差數列，,？4=出+4，即2a4=%+/夕，一4一1=0,解得q= 1).￡7(==1.q則=1——+———=—?4 2488故答案為：—上；—.2 8(2021?秦州區(qū)校級月考)在各項均為正數的等比數列｛4｝中,q=2,且〃2,4+2,%成等差數列，記S,是數列｛q｝的前〃項和，則耳=126.【解答】解：設正項等比數列｛4｝的公比為g(q>0)，由4，a4+294構成等差數列，得出+4=2(4+2),又％=2.所以2g+2/=2(2/+2),解得4=2,所以§6=號二12=126.故答案為：126.(2021?浦東新區(qū)校級期中)已知公比大于1的等比數列｛4｝滿足％+q=20,%=8,記"，為｛《,｝在區(qū)間(0，m](meN*)中的項的個數，｛"｝的前”項和為S“，則S’”=(n-2)-2"+2+n_.【解答】解：因為々+“4=20，4=8，<7>1>Q所以±+的=20,q解得，q=2,或q(舍)，故4=2,a“=2",故在區(qū)間(0,1]上，。=0,在(0,2],(0,3]上4=4=1，2個1,在(0,4],(0,5].(0,6],(0,7]上d="=4=4=2，22個2,歸納得，2"”加<2向，bm=n,則S,“=1x2+2x22+...+(/i-1)x2"-1+n,令7；=1x2+2x22+...+(〃-1)x2-T,則27；=1x22+2x23+...+(〃-2)x2"T+(〃-1)?2",兩式相減得，-Tn=2+22+...+2"-' =2(i~2--(n-l)-2"=(2-n)-2n-2,1—2故7；=(〃-2>2”+2,由題意得，S2?=(n-2)-2"+2+n.故答案為：(n-2)-2"+2+n.(2021?欽州月考)正項等比數列｛%｝中，4=1,4=4%，記S.為｛q｝的前"項和.若S,“=127,則m=7.【解答】解：根據題意，設正項等比數列｛4｝的公比為q,則q>0,ab=4a4,即/=4,解可得q=2,5,?=127,即鼠=皿二2=2'"-1=127,解可得％=7,故答案為：7.(2021?啟東市校級二模)在等差數列｛q｝中，若任意兩個不等的正整數3p,都有ak=2p+\?ap=2k+19設數列｛〃〃｝的前〃項和為S“，若k+p=m,則S刖=_m2_(結果用機表示).【解答】解:設公差為d,???％=2p+l=q+(2-l)d (1),%=22+1=4+(p-l)d(2)?由(1)-(2)可得d=-2.把d=-2代入6=2〃+l可得q+(4—1)(一2)=2〃+l,/.a,=2p+2*-l=2/n-l,c m(m-1), 八m(m-1)/C、2Sin=max+ -d=tn(2m-l)d ?(-2)=nr,故答案為m2.13.(2021春?徐州期中)己知等比數列｛4｝滿足q=l, 且對任意正整數火,%-(4+1+4+2)仍是該數列中的某一項，則公比4為—6T—.【解答】解：?.?等比數列｛”"｝滿足4=1,0<夕<；,且對任意正整數A，ak-(ak+l+a*+2)仍是該數列中的某一項，a,=/，4一(4+1+4+2)=尸—(夕無+尸)=qi(l-”q2).???〃“都是夕的幾次方的形式，???1-4-42應該也是q的幾次方的形式，TOC\o"1-5"\h\z0vg<—> ― —ci- <1?2 4??.1一4一才只有可能等于外ill\—Q—Q~=Qti'/Q~+2q—1=0>解得q= .故答案為：>/2-\..(2021-九江三模)已知數列｛《,｝的前〃項和為S”,且滿足4=1,a,f=2S“，設〃,=今，若存在正整數p, 使得白，bp,々成等差數列，則〃+〃=5.［解答］解：數列｛。〃｝滿足q=1，an*ati+i=2S?,.\n=l時，=25,=24，解得a2=2.n..2時，2a〃=2(S〃-Si)=4(4+1-《I),二?！ü?，?..q川一%=2.，數列［an］是首項為1，公差為1的等差數列,=1+〃-1=〃.

?,也喙3?,也喙3n;存在正整數尸，夕(p<q),使得向，bp,4成等差數列,「⑵―，，”=，+且(*)「 1 "3武33g?.?數列｛〃j是單調遞減數列.當夕=1時，由f當夕=1時，由f=

3—+—?解得q=l,舍去.33"3kl3kl30y3"當3,,3"當3,,p時，1—>0,A—<--h—,(*)不成立.￥3P33":.p=2,可得：—十&,解得y=3.933"p+q=5..(2021?六安模擬)設數列伍“｝的前幾項和為S,，且6=%=1,｛，電+(〃+2)%｝為等差數列，貝Ua刈7=_2017-2-刈6_.【解答】解：:卬=。2=1,｛2,+("+2)°,｝為等差數列，.,.首項為：lxl+3xl=4,第二項為：2x(l+l)+4xl=8,公差為8-4=4.nSn+(〃+2)an=4+4(n-l)=4??.乜11nSn+(〃+2)an=4n."..2時，,=4--,n—\?-4=S._SnT= 77-1化為：殳=lx&_.11 27?—1??.數列｛2｝是等比數列，公比為工，首項為1.n 24=1x(；尸=2~.an=n.2'-n.貝I］。刈7=2017,一劉6故答案為：2017?2一刈6.三.解答題（共6小題）（2021春?岳陽縣校級期末）記S,,為公差不為0的等差數列｛a,J的前〃項和，已知52=-30,且q,%,a,成等比數列.（1）求數列｛q｝的通項公式；（2）求S一并求5“的最小值.【解答】解：（I）S“為公差d不為0的等差數列｛〃,,｝的前"項和，S2=-30,且a,1七成等比數列，可得4+%=-30,即24+d=-30,a^a-,=a,.即a44+6d）=（q+4d）2,聯(lián)立①②求得a,=-16,d=2,可得a“=2”-18;⑵S=16+218）”-〃=（〃-馬-人" 2 2 4當〃=8或〃=9時，5“有最小值—72.（2021?新課標I）設｛q｝是公比不為1的等比數列，q為%,外的等差中項.（1）求｛a“｝的公比；（2）若q=l,求數列｛〃4｝的前〃項和.【解答】解：（1）設｛a,J是公比夕不為I的等比數列，4為七，。3的等差中項，可得24=03+03,即2?1=a｝q+axq2，即為整+4-2=0.解得夕=一2（1舍去），所以｛a,J的公比為一2:（2）若4=1,則4=（-2尸，nan=〃.（-2尸，

則數列｝的前〃項和為Sn=1.1+24-2)+3<-2)2+…+〃<-2)"T,-2sli=1.(-2)+2<-2)2+34-2)3+...+〃4-2)",兩式相減可得3s〃=1+(—2)+(―2)2+(―2)，+…+(—2)"1— 2)”1-(-2)"1-(-2)1-(-2)"1-(-2)-n.(-2)n,化簡可得S上一(l+3〃*2\" 9所以數列｛na,,｝的前〃項和為"(1+')?-2)”(2021?新課標H)已知數列｛4｝和｛"｝滿足q=l,么=0,4a“+|=3a?-包+4,曲用=3d-。,,-4.(1)證明：｛。“+6”｝是等比數列，｛a“-b"｝是等差數列；(2)求他“｝和｛〃｝的通項公式.【解答】解：(1)證明：?.?4a“+|=3a“-b“+4,4bn+l=3bn-an-4；4(可+|+如)=2(4t+4),4(an+,-b^)=4(a?-b?)+8;即4,+i+b*i=-(??+bn),an+t-hn+l=an-bn+2：乂q+4=1,q—b[=1,.?.｛4+"｝是首項為1,公比為1的等比數列，｛4-么｝是首項為1,公差為2的等差數列；(2)由(1)可得：4+〃=§)"一,/一包=1+2(〃-l)=2n-l；：'an=g)""g，〃=受〃+119.(2021?浙江)已知等差數列｛4｝的公差4>0,設｛q｝的前〃項和為臬，4=1,S?電=36.(I)求」及，;(II)求加，A(m,AwN*)的值，使得+4+2+…+。吁&=65.【解答】解：(I)由q=1,S?@=36得,(q+々)(4+%+々3)=36,即(2+d)(3+3d)=36,化為1+3d-10=0,解得d=2或-5，又公差d>0,則d=2,所以S“=na｝+""；".I=n2(neN*).(H)由(I)得，an=1+2(〃—1)=2〃—1,,i,?,? ,? , ,?/〈Ju(k+Dk+j)I'lam+am+I+4“+2+…+/+*-65 - =65,即伏+l)(2m+上一1)=65,又，"，kwN”,則(A+l)(2m+A-l)=5xl3,或(Z+l)(2m+k-l)=lx65,下面分類求解：當左+1=5時，2m+k-\=\3,解得々=4,m=5:當4+1=13時，2W+無一1=5,解得左=12,m=-3,故舍去：當A+l=l時，2m+k-l=65,解得4=0,故舍去；當A+l=65時，2m+A—1=1,解得無=64，zn=-31>故舍去；綜上得，k=4>m=5.20.(2021?天津校級月考)設正項數列｛q｝的前”項和是S“，｛凡｝和｛#：｝都是等差數歹I」,且公差相等4，%，％恰為等比數列血,｝的前三項.(1)求｛或｝的公比g：(2)求｛4｝的通項公式；(3)記數列4=(]2廣3]了，｛c“｝的前〃項和為7；，求證：對任意〃eN”,都有7；<2.【解答】解：(1)正項數列｛4“｝的前〃項和是S"，｛4｝和｛￡｝都是等差數列，且公差相等，設公差為d,則：6=J2q+d=百+d兩邊平方得：2+d=a、+ +d，①同理：=J3al+3d=。+2d兩邊平方得：3q+3d=+4d百+21②②-①得：q=2d百+3#-2d③③代入①解得：或0(0舍去)2進一步解得：?1=-所以:TOC\o"1-5"\h\z(2)由(1)得：a=?1?-—2 4%恰為等比數列｛4｝的前三項.1 3 9所以：4=q=_, =—?b3=a5=—所以：c.24bn2x3"

(12A?-1)2=(3--1)所以：c.”，… 2x3" 2x3" 2x3"-’ 1 1In..2RT. r< = ： =—： (3"-I)?(3"-1)(3"-3)(3"—1)(3"-'-1)3"-1-