微分幾何第四版習(xí)題答案解析梅向明

范文范例指導(dǎo)參考范文范例指導(dǎo)參考wordword版整理第一章曲線論§2向量函數(shù)$.向量函數(shù)為力具才固定方向的充氣條件是k/）X?（/）=0.分析:個(gè)向量函數(shù)網(wǎng)/）微可以寫成%/）=丸⑺鼻⑺的形式，其中詞力為單位向量函數(shù)?兒（一）為數(shù)量函敗,那么為/）具有固定方向的充要條件是萬/）具有固定方向.即網(wǎng)力為常向顯（因?yàn)槎?）的長度固定L?對于向量函數(shù)元/）,設(shè)雙。為此單位向量，則*/）”⑺邊），若?。┚哂泄潭ǚ较騽t網(wǎng)力為常向危,那么7'（/）=犬（。/，所以^＞＜尸=ZI（￡x2）=。.反之，若7X尸=6，對*。=入（/）可，）求微商得聲二;ri+A那，于是戶xp=解13x2'）m.則有五=（）或exE=64寸九（/卜。時(shí)，滅。二6可與仟意方向平行：節(jié)入H。時(shí)，育［X*一。，而《IX?。疽?門-{€e*y-et2t（因?yàn)?具fi固定長.Q7=0）,所以聲二6.即/為常向量u所以，滅,）具有固定方向..向量函數(shù)X。平行于固定平面的充要:條件是（M尸產(chǎn)）=0.分析：向/函數(shù)”/）平行于固定平面的充要條件是存在，個(gè)定向向后訊,）.使;）=0，所以我們要暮求這個(gè)向后彳及萬弓尸，產(chǎn)的關(guān)系.證若網(wǎng)/）平行于■固定平面*設(shè)）是平面n的?個(gè)單位法向量，則藥力常向睛，且，（,）方=0.兩次求俄商得產(chǎn)F=0.產(chǎn)'方=0,即向量量，尸,尸’垂直于同?非零向信次因而共面，即（尸尸產(chǎn)）=00反之，若O'尸）=q,則有干x或7x7#6,若予X7=鼠由上題如網(wǎng)力具有同定方向，自然平行于一固定平面，若MX7豐0,則存在數(shù)母函數(shù)■，）、*⑺,使尸=產(chǎn)①令大=，乂T,則力r6,且7⑺_1鞏,）匚對）=尸乂戶求徽商并將①式代入得前=7乂產(chǎn)=A（rXr1）—p.f是否乂方|二Q,由上題知否有固定方向，而網(wǎng)/）_L心即手（/）平行于固定平面.S3曲線的概念L求圓柱螺段1=35/,F"ill，，二二/在（L010）的切線和法平面.解-8"=1,sin，=0,X=ofl\=o,r1（0）-（-sin/,cos/,1）1^?{0,1」）?曲線在（O,L1）的切線為=1=J二三，法平面為y:工二0°0 1 1.求三次赭線7={W.5/.cP}在點(diǎn)2的印線和法平面”

解廣｛%）二｛函切線為':三二等,"2M 3叫法平面為?—〃%）+2%。，-娟）+3*（二-M）二0。.證明圓柱螺規(guī)，一（hcosO,Hsin（A方。）（-640Y+5）的切線和二軸作固定角。證明產(chǎn)=｛fsill^,acos6,b卜*設(shè)切線與二軸夾角為@*則co$@"■P7 T二一^=1―-為常數(shù),故中為定角（其中不為工軸的單位向他，日日；77y1.求蚣掛線了=(/,〃cosh5}{-50Y/Y#)從廠0起訂算的弧Kn解產(chǎn)= {1.siuli},I尸|=A;1+sinh2 -cosh-j.fcosh-^=/7&inh-a9,求曲線—3/.i;2七一/在平面片《與F二9&之間的弧長.解曲線的向量表示為q=｛，W，U｝,曲面與兩平面尸:與￥=*的交點(diǎn)分別為

獷2t ^m與K=3a,產(chǎn)=也二「二卜I?'I=11+色1十二==+￡_,所求孤艮為

/ 2.r V-44.? /2.r7■5110.將圓柱螺紋亍二值cs/.asm/,“｝化為H然君數(shù)去示.產(chǎn)={產(chǎn)={一0sin/,acos/,b}Ps=J。|F'依=、'"上+〃八所以/二代入原方程疔7代入原方程疔7=｛acos—,asin —、 -</+，， y^1+bs11求用極坐標(biāo)方程0-p（9）給出的曲線的弧長花達(dá)式解由*=p(e)cQs。■r=p(0)sin^知產(chǎn)={p'(6)cos。-口(日)血。,p'(G)疝。4p{&)8sd}，I尸產(chǎn)J/⑼+p。⑻，從先到。的曲線的弧長是乩加⑼十產(chǎn)⑺dO.S4空同曲線.求圓柱螺或tPCOE/a產(chǎn)臼疝】八二-b/在任意點(diǎn)的密切平面的方程口解r'={-asin/tacos/tb),7''^{flcos7,-Hsin/,。}所以曲線在任意點(diǎn)的密切平血的方程為kr-ffcos/了一。仙/二一勿—zrsin///cos/b二Q,即(bsin/)x-(bcos/)y+和w-abt=。.—f?cos/—z/sin/ 0.求曲桀了=(TSUlf,tCOSf,t/}皮原點(diǎn)的密切平面、法平面、從切面、切線、主法級、副法線。解原點(diǎn)對應(yīng)七二0,尸⑼={sin/+tcos/tcasZ-tsin/t尸(0)={28"+tCOSZtCOS/-(sinz,2^+t^)7-0二億a2).所以切線方程是三二E二三,法面方程是y+工二0：011

解r*={-cosftsintt解r*={-cosftsinttcosCtcost,|八尸|={sinasint*-j;inacosttcos?)|八尸|新曲綻的方程為F={8s(X+sindsint,cosOfsint-sintlcost,tsinQt+cosCt}對于新曲線產(chǎn)=1-cos儀式nt+sinacost,cosCtcost+sinOtsint*sinCt}i=5{sin(tt-t),cos(a-t>TsinG), 7*'={-cos(a-t)fsinlaT),0},其密切平面的方程是r-cos^cosz—COS(^7—f)r-cos^cosz—COS(^7—f)r-cos^snir

cos(^7-/)

sin(^7-/)即sincesin(T'a)x-sinofcos(t-a)y+z$qia

0tsinacosa.證明曲線足球面曲縫的充要條件是曲線的所有法平面通過一定點(diǎn).證方法一*=設(shè)一曲線為球面曲線.取球心為坐標(biāo)原點(diǎn),則曲線的向柱？（F）具有固定長.所以予產(chǎn)=0,即曲線每點(diǎn)的切線與其向柱垂直，因此曲線在每一點(diǎn)的法平面通過這點(diǎn)的向徑，也就通過其始點(diǎn)球心.u若?曲線的所有法平面通過?定點(diǎn),以此定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則落戶=0,“/）乳有固定K.對應(yīng)的曲線是雙面曲線。方法二j下二》⑺是球面曲線0存在定點(diǎn)7（足球面中心的徑矢）和常數(shù)R（是球面的半徑）使行一1產(chǎn)二〃o2任一%）?尸二0.即行一若）,產(chǎn)=0 （?）而過曲線「="/）上任點(diǎn)的法平面方程為（Q-?尸二0?可知法平面過球面中心o（*）成立。所以，仙線是球而曲線的充要條件是曲線的所有法平面通過定點(diǎn)、.證明過原京平行于圓拄蛛然不二{acos/,a b川的副法線的直線軌跡是錐面/(/+?2)-b?.旺r'=(-asin/1Hcos/，上產(chǎn)={-acos/『一asin/,0},尸x產(chǎn)=—〃{—為副法線的方向向量，過糜點(diǎn)平行于副法線的直線的方程是- ,消去參數(shù)t得/(/+/)—%，占sin『一Aos，a.求以卜.曲面的曲率和撓率U)，二{仃cosh八仃如山八門73⑵r-{儀37—/),3勿,儀3/4->)}SA0〉解(Or-{"疝山zfrcosllAa*產(chǎn)一①coshAasiuliF.0)‘尸'一次{siuhAcosli工0}.『FfR> 1n’|尹乂bI cosht]r^r-fff-SLIlhACOSll/.-I),所以#=_,二—= —IF叩 (V2r7COsh,「 2/?cosh2/_(干尸產(chǎn)』_ // _ ](尸乂尸尸 2i?4cosh2/2口，。311，⑵尸=3b{L——,2川+產(chǎn)},產(chǎn)=6tf￡T1%產(chǎn)』6同一1網(wǎng).』『par]、zniI**尹'I Ig/VIU+l)1rx/=1X〃={產(chǎn)-1,-2/v+1}?k- = - |F|3 27/2收(八+1?3閉/+1產(chǎn)_，1產(chǎn)，/')_18x6/乂2_ 1一(六產(chǎn)Y-18)，.2(7+記-3狀"41)*'.已知曲線，={co—/stiOmw2/},⑴求基本向量出反落⑵曲率和抉率；⑶臉證伏田內(nèi)公式.分析這里給出的曲線的方程為股參數(shù)，一般地我們可以根據(jù)公式去求基本向量和曲率撓率,我們也可以利用定義來求”解⑴尸={-3cos2/siuASsin2rcosr-2sin2/}=sinrcos/{-3cos^Ssina-41FTOC\o"1-5"\h\zd*^ ^ ^ -才3 ? 4=|rp(/)|5sin/cos/,(設(shè)宮imc。裳JjiJd--={—cos/,—sinff—},由 Ir+| 5 ? 5.二f/aM1 . 3小-a.. ..a -; {— -cosAU)*p {smt.cosaOJ,由ds5siiiacos/5 5 ?*.la一_- 1 4. 3y-axp-{—cos/,——bin/,——},TOC\o"1-5"\h\z， ￡1L . —⑵「二|6|二 ，y= {-sin/-cosaO},由于7勺。方向相25sinzcosr25$111zcos/? 4反，所以r=|f|= 25siu/cos/⑶顯熱以上所知會場收『滿足而二碓陣一宿而Li r◎_ {cosa-sid/.Of--ra+ry也滿足伏甯內(nèi)公式.5snizcos/9證明如果曲線的所有切線都處過?的定點(diǎn)，則此曲線是立線“證方法：取定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建坐標(biāo)系,曲線的方程設(shè)為＞=*，），則曲線在任意點(diǎn)的切線方程是「一汽。二秒'（力，由條件叨線部過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以網(wǎng)/）二2尸（/）,可見產(chǎn)，所以了具有固定方向,故彳一司/）是定戰(zhàn)”方法二；取定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建坐標(biāo)系,曲線的方程設(shè)為7=*/）,則曲線在任意點(diǎn)的切線方程是戶—下⑺二九尸①，由條件切線都過坐標(biāo)原點(diǎn),所以汽。=入產(chǎn)Q）,于是產(chǎn)一A尸，從而尸乂尸,=6,所以由曲率的計(jì)算公式知曲率k=0.所以曲線為直線.方法三：設(shè)定點(diǎn)為萬,曲線的方程為＞=網(wǎng)封，則兩戰(zhàn)在任意點(diǎn)的切線方程是。-?串）二4d（$）.由條件切緞并過定點(diǎn)書”所以力一六給二式日（今，兩端求導(dǎo)得：—水$）=；1負(fù)3+斯＜：瓦即囚+1詼3+；1既=6,而值（力B⑶無美，所以t+i=o,可知丸—,）二因此曲線是直線.10衽明如果曲線的所TT密切平面都經(jīng)過的定點(diǎn).則此曲線是平面曲線.征方法■：取定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建坐標(biāo)系，曲段的方程設(shè)為￥=”/）,則曲線在任意點(diǎn)的密切平面的方程是5-巴加?（*'（『）乂*⑺）-0.由條件—FQ）?（戶⑺*產(chǎn)（/））=0,叩（戶尸尸‘）=0,所以不平行于一固定平面，即尸二六一）是平面曲線”方法一:取定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建坐林系，曲線的方程設(shè)為『=我。，則曲線隹任意點(diǎn)的密切平面方程是（。-六力），=0，由條件改乃■「二0，的邊得分并用伏雷內(nèi)公式用-t穴￡），8=0?若內(nèi)占）*A=0.又由＞（$）?聲二0可知內(nèi)s）//a=7（x）.所以r—?（j）平行于固定方向.這時(shí)下=＞（s）表示直線，結(jié)論成立.否則7二0,從而知曲線是平面曲線.方法二:取定點(diǎn)為坐標(biāo)瓊點(diǎn)建坐標(biāo)系+曲線的方程設(shè)為廣=網(wǎng)/）,則曲線在任意點(diǎn)的密將平面方程是（0—網(wǎng)Q），（產(chǎn)（力x尸由條件一聲Q）*（P（力x產(chǎn)'。力―0,即（廣產(chǎn)”=0,所以F，尸，尸共面,若尸〃尸，則,=廣⑺是立線.看則可設(shè)尸"二兒巾二八k+以廣）所以F；產(chǎn)一產(chǎn)'共面.所以？二0.從而忸曲線是平面曲線11.證明如果?條曲線的所方法平面包含常向吊N,那么曲線是直線或平面曲線.iiE方法■!相據(jù)已知小G—0,若云是常向量，則k-向-0?這時(shí)曲錢是直縱否則在丘?》=0兩邊微分得￡?duì)I=口，即k6？=。、所以￡二=口.乂因丘2=0,所以亍而7為單位向量.所以可知手為常向量,「是|丁月}|=0,即r-0,此曲線為平面曲線.方法二上曲線的方程設(shè)為亍=網(wǎng)。，由條件戶N=。，兩邊微分得戶'?7=口，尸",》=【},所以尸，尸，才,共向，聽以，尸產(chǎn)產(chǎn)-0.由撓率的計(jì)算公式可知7=0,故曲線為平面曲線*3?'X產(chǎn)時(shí)是直線*方法：曲線的方程設(shè)為廣一網(wǎng)F）,由條件產(chǎn)P—。?兩邊枳分得（〃是常數(shù)八因入3:#是平面的方程,說明曲線》=久福上.即曲線是平面曲線，武尸有固定方向時(shí)為立線.1，證明曲率為常數(shù)的窄呵曲畿的曲率中心的軌跡仍是曲率為常數(shù)的前線.i止明設(shè)曲線1C）：：卞=川加的曲率k為常數(shù).其曲率中心的軌跡（3，的力程為：S」貿(mào)G,1B為曲線（C）的主法向廿二，對于I出線＜?）兩邊做分對p'=a（j）+-（-XiS+ry）=-f.（a.八r分別為曲線（C）的單位切向H副"響量和13.證明曲線工二13"2/，尸2-2計(jì)昌二1-尸為平面曲線，并求出它所在的平面力程,.泌尸二{3+4l-2+1Q[”2l},尸={%10,-2}, ?''={6.g0}曲線的撓率是t=J^=0.所以曲線為平面曲線.曲線所在平面是曲線在任?點(diǎn)的密仁x尸y切平面n對「t二0"二{1,2.1},?'={3,-2,0）.產(chǎn)二f%10,-2},尸”二（0，x-1，「一2二一I0.0L所以曲線的密切產(chǎn)面.即曲線所在平面是3 -2 0=0，即2x+3yH9z-274 10 -2一。..設(shè)在兩條曲線「、『的點(diǎn)之間建〉「?對應(yīng)關(guān)系，使它們在對應(yīng)點(diǎn)的切線平行，證明它們在對應(yīng)點(diǎn)的書法線以及副法線也吼相平行，證設(shè)曲線I，?=;（j）^r：1二五冷點(diǎn).與了——對應(yīng)，且對應(yīng)點(diǎn)的切線平行，則&"）=土G（1）.兩端對學(xué)求微兩得百=±Q—.即加"）=土用K?。?（這中」?0.片心 必上向=0,則B尤定義）,所以匹即主法線平行，那么兩曲線的副法線也平行.15,設(shè)在兩條曲線「，『的點(diǎn)之間建立了■一對應(yīng)關(guān)系.使它們在對應(yīng)點(diǎn)的主法線平行.證明它們（\對應(yīng)點(diǎn)的切線傳固定角證設(shè)近點(diǎn)分別為曲線『的切向量，瓦8分別為曲線「％『的主法向量.則由已知士「⑸ ①.而一（aa）-ad+a——邠?&+&"/（手）一任［ds ds ds―，_ JT _LMLA士加卜才士布?的一二0,所以五?孑:常數(shù)，故兩曲線的切線行固定必1日若曲線「的主法線是曲線r的副法線.「的曲率f撓率分別為k.t.求證所以在t=（2t4）九k為整數(shù)處曲率半徑最大:.已知曲線（。七C'4二網(wǎng)回上的鴕」_“/（辦+&T）,求網(wǎng)與+Af）點(diǎn)到4％）點(diǎn)的密切平面、法平面、從切平面的卻離（沒點(diǎn)汽％）的曲率、撓率分別為配卜0）。解 -凡/）=H%）山+ +）巧（凡）+旬3/=TOC\o"1-5"\h\z■W 口.再出瓦△$'+［（-#；%+%瓦九+MR—設(shè)M-%%+/瓦+/八.K2 o+lun￡=0，則+Aj）—r（sc）&TfO=［iv+，（T：+￡［）"］%*6/*2"+與）”屬+［；（/%+%）"］幾6 2 6 6上式中的二個(gè)系數(shù)晌絕對值分別是點(diǎn)網(wǎng)1+到汽典）的次T而、從切平面,密切平面的拒離，§5■般螺縷5.證明如果所有密切平面垂竹十固定代線,那么它是平面直統(tǒng).證法一：當(dāng)曲線的密切平面垂直于某固定直線時(shí)，曲線的副法向量聲是常向最即亍二。彳如果曲線一了=汽冷為?殷螺線ra.尸為r的切向玷田生法問工要為「的曲軍TU證明『：/出日一［其力也是■般螺線證因?yàn)椤?為一般螺線，所以俘在一非專常向量￡使左與N成固定角卻于曲線『，其切向量江=#&+火二松與丘共躡.因此也與非零常向量旨成固定角.所以『也為般螺戰(zhàn)“火證明曲線；==?（$）為?般螺線的充要條件為限三動(dòng)二0證r=KPtr=-K2a+Kp-￥kt/,r- +r-fct-）P+（2kr+比方（7斤））=，“2育十壯）一3無比『= -a）=jc'且下包=/（三），其中kH0.k「&曲線M—7⑸為般螺找的充如條件為三為常數(shù).即（r『=0.也就是（＜＞^）=0?K K證以曲線r=r（s）與r二『二干（彳）點(diǎn)建立了一一對應(yīng)，使它們對應(yīng)點(diǎn)的切淺平彳亍，TOC\o"1-5"\h\z則玷巧選擇參?？墒乖?）二日（了］西端對，求抬1%弓也;次——一圖曲"）=#p（泡——I這里ds d*（fs -~ ——>0,所以仃P(guān)=0,即上法線平行，從11］列?二劉?.即兩曲線的副法紋也平行.Uds次=小”.成々=竺.八’）=八冷兩邊對S求微商得一中（￡）=—中行）絲，于是r=T—,心M赤 d$ dsfr iis....K? 4rr攵———,所LXp=_r1k—=—□fds Kf Tf1曲面的概念r.求正螺面r={ucosv,usinv,bv}的坐標(biāo)曲線.r解u-曲線為r={ucosv0,usinv0,bv0}={0,0,bv0}+u{cosv°,sinv0,0})r為曲線的直母線；v-曲線為r={U0cosv,U0sinv,bv}為圓柱螺線.r.證明雙曲拋物面r={a(u+v),b(u-v),2uv}的坐標(biāo)曲線就是匕的直母線。r證u-曲線為r={a(u+v0),b(u-v0),2uv0}={av°,bv0,0}+u{a,b,2v。}表示過點(diǎn){av0,bv0,0}以{a,b,2v0}為方向向量的直線；rv-曲線為r={a(u0+v),b(u0-v),2u°v}={au°,bu0,0}+v{a,-b,2u°}表示過點(diǎn)(auO,buo,0)以{a,-b,2uo}為方向向量的直線。r.求球面r={acossin,acossin,asin}上任息點(diǎn)的切平面和法線方程。解r={asincos,asinsin,acos},r={acossin,acoscos,0}任意點(diǎn)的切平面方程為xacosasincosyacossinzasinacoscossinasinacossin任意點(diǎn)的切平面方程為xacosasincosyacossinzasinacoscossinasinacossincosacos0即xcoscos+ycossin+zsin法線方程為xacoscoscoscosacossincossinasinsinx法線方程為xacoscoscoscosacossincossinasinsinx4.求橢圓柱面—2

a2yb21在任意點(diǎn)的切平面方程，并證明沿每一條直母線，此曲面只有一個(gè)切平面x2橢圓柱面—a2yb21的參數(shù)方程為 x=cos,y=asin,z=t,x2橢圓柱面—a2yb21的參數(shù)方程為 x=cos,y=asin,z=t,asin,bcos,0},rt{0,0,1}。所以切平面方程為:acosasin0ybsinbcos00,即xbcos+yasin—ab=0此方程與t無關(guān),對于的每一確定的值，確定唯一一個(gè)切平面，而 的每一數(shù)值對應(yīng)一條直母線，說明沿每一條直母線，此曲面只有一個(gè)切平面a

a.

證 ru {1,0,—},rvuv5.證明曲面r{u,v,一}的切平面和三個(gè)坐標(biāo)平面所構(gòu)成的四面體的體積是常uv數(shù)。uvuv—z3o3a3a{0,1,—2}。切平面萬程為:uv與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,3a2一）uv于是，四面體的體積為:V631u131v篇步是常數(shù)。§2曲面的第一基本形式r.求雙曲拋物面r={a(u+v),b(u-v),2uv}的弟一基本形式.解 ru{a,b,2v},rv{a,b,2u},E"2a2b24v2,Frurva2b24uv,Gja2b24u2,「? 錯(cuò)誤！未找到引用源。22 22 22 2222(ab 4v)du 2(a b4uv)dudv(a b4u)dv。 r.求正螺面r={ucosv,usinv,bv}的弟一基本形式，并證明坐標(biāo)曲線互相垂直。解 ru {cosv,sinv,0}, rv{usinv,ucosv,b}, Eru21,F rurv 0,Grv2 u2 b2,；錯(cuò)誤！未找到引用源。=du2 (u2b2)dv2,丁 F=0 ,坐標(biāo)曲線互相垂直。=du2sinh2udv2的曲面上，求方程為u=v的曲線的弧長2 2 2 2 2,一解由條件dsdusinhudv，沿曲線u=v有du=dv,將其代入ds得ds2du2sinh2udv2=cosh2vdv2,ds=coshvdv,在曲線u=v上，從v1至|丫2的v2弧長為|coshvdv||sinhv2sinhv1|。v1.設(shè)曲面的第一基本形式為錯(cuò)誤！未找到引用源。=du2(u2a2)dv2,求它上面兩條曲線u+v=0,u-v=0的交角。分析由于曲面上曲線的交角是曲線的內(nèi)蘊(yùn)量，即等距不變量，而求等距不變量只須知道曲面的第一基本形式，不需知道曲線的方程。解由曲面的第一基本形式知曲面的第一類基本量E1,Fv0,Gu2a2,曲線u+v=0與u-v=0的交點(diǎn)為u=0,v=0,交點(diǎn)處的第一類基本量為E1,Fv0,Ga2。曲線u+v=0的方向?yàn)閐u=-dv,u-v=0的方向?yàn)?u=6V,設(shè)兩曲線的夾角為,則有2TOC\o"1-5"\h\zEduuGdvu 1acos=」 - 2。Edu2Gdv2<Eu2Gv2 1a.求曲面z=axy上坐標(biāo)曲線x=x0,y=y0的交角.r解曲面的向重表小為r={x,y,axy},坐標(biāo)曲線x=X0的向重表小為r rr={x0,y,ax°y},其切向重ry={0,1,ax。}；坐標(biāo)曲線y=yO的向重表小為r={x,yO,axy°},其切向量rx={1,0,ay°},設(shè)兩曲線x=x°與y=y°的夾角為，則2rxry ax°y°有cos= Irxllryl1a2x；,1a2y：.求u-曲線和v-曲線的正交軌線的方程.解對于u-曲線dv=0,設(shè)其正交軌線的方向?yàn)?u:6V，則有Edu6u+F(du6V+dv6u)+Gdv6V=0,將dv=0代入并消去du得u-曲線的正交軌線的微分方程為E6u+F6V=0.同理可得V-曲線的正交軌線的微分方程為 F6u+G6V=0.

.在曲面上一點(diǎn)，含du,dv的二次方程Pdu2+2Qdudv+Rdv2=0,確定兩個(gè)切方向(du:dv)和(6u:6v),證明這兩個(gè)方向垂直的充要條件是ER-2FQ+GP=0.證明因?yàn)閐u,dv不同時(shí)為零，假定dv 0,則所給二次方程可寫成為P(電)2+dvcdu duuduuRduu2Q2Q—+R=0,設(shè)其一根藍(lán),一，則^ =—,—+—=—……錯(cuò)誤！未找到引用源。又根據(jù)二方向垂直的條件知E——+F(du+—)+G=0……錯(cuò)誤！未找dvvdvv到引用源。將錯(cuò)誤！未找到引用源。代入錯(cuò)誤！未找到引用源。則得ER-2FQ+GP=0..證明曲面的坐標(biāo)曲線的二等分角線的微分方程為 Edu2=Gdv2.證用分別用八 、d表示沿u—曲線，v—曲線及其二等分角線的微分符號，即沿u—曲線6u 0,6V=0,沿v—曲線u=0,v0.沿二等分角軌線方向?yàn)閐u:dv，根據(jù)題設(shè)條件，又交角公式得_ _ 2(EduvFdvu)_ 2 2Euds_ _ 2(EduvFdvu)_ 2 2Euds_ _ 2(FduvGdvv)2 2,即Gv2ds22(EduFdv)2_ _ 2(FduGdv)2G展開并化簡得E(EG-F2)展開并化簡得E(EG-F2)du2=G(EG-F2)dv2,而EG-F2>0,消去EG-F2得坐標(biāo)曲線的二等分角線的微分方程為Edu2=Gdv2.9.設(shè)曲面的第一基本形式為錯(cuò)誤！未找到引用源。=du2(u2a2)dv2,求曲面上三條曲線u=av,v=1相交所成的三角形的面積。解三曲線在平面上的圖形(如圖)所示。曲線圍城的三角形的面積是0 1"2 2S=uadudva uaa 1u2a線圍城的三角形的面積是0 1"2 2S=uadudva uaa 1u2a2dudv0 uaa 1 a2 2=2 .uadudv=2(10 u 0aa2du=[2/2(u3a3a2)2u.u2 a2 a2ln(u.u2a2)]|02r2 2a、ln(1 V2)]0r，10.求球面r={acossinacossin,asin}的面積。解r={asincos解r={asincosE=r2=a2,F=rr=0,G=r2=a2cos2 .球面的面積為：2S=2d a4cos2d2a22cosd2a2sin|2 4a2.2 0 22 ~211. 證明螺面r={ucosv,usinv,u+v} 和旋轉(zhuǎn)曲面r={tcos,tsin，&1}(t>1,0< <2)之間可建立等距映射 =arctgu+v,t= Ju—1.分析根據(jù)等距對應(yīng)的充分條件，要證以上兩曲面可建立等距映射 =arctgu+v,t= du21,可在一個(gè)曲面譬如在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換使兩曲面在對應(yīng)點(diǎn)有相同的參數(shù)，然后證明在新的參數(shù)下，兩曲面具有相同的第一基本形式.證明螺面的第一基本形式為錯(cuò)誤！未找到引用源。=2du2+2dudv+(u2+1)dv2,

t2旋轉(zhuǎn)曲面的第一基本形式為錯(cuò)誤！未找到引用源。=(1>)dt2t2d，在旋轉(zhuǎn)曲t21面上作一參數(shù)變換 =arctgu+v,t= Vu21,則其第一基本形式為：2 2~u1、u72 /2(1——)——du(u11)( -du1udv)211)( -du1udv)2=(u—1)du2u-^^du21u22dudv(u21)dv2=2du2+2dudv+(u2+1)dv2=錯(cuò)誤!未找到引用源。所以螺面和旋轉(zhuǎn)曲面之間可建立等距映射=arctgu所以螺面和旋轉(zhuǎn)曲面之間可建立等距映射=arctgu+v,t= .u21.的曲面的第二基本形式r1.計(jì)算懸鏈面r={coshucosv,coshusinv,u} 的弟一基本形式，弟一基本形式.解ru={sinhucosv,sinhusinv,1}, rv={-coshusinv,coshucosv,0}ruu={coshucosv,coshusinv,0},5={-sinhusinv,sinhucosv,0},2.2 2.2rvv={-coshucosv,-coshusinv,0},Eru=coshu,F rurv=0,G rv=coshu.所以錯(cuò)誤！未找到引用源。=cosh2udu2+cosh2udv2.ru rru rvn= = 2-.EGF2coshu{coshucosv,coshusinv,sinhusinv},,coshu coshu彳L= 1,M=0,N= =1..sinh21 sinh21所以錯(cuò)誤！未找到引用源。.2 .2du所以錯(cuò)誤！未找到引用源。.2 .2du+dvo.計(jì)算拋物面在原點(diǎn)的2x3 5x；4XiX22x；第一基本形式，第二基本形式.解曲面的向量表示為r{x1,x2,lx122x1x2 x22},rxi (1,0,5Xi 2x2)(0,0)(1,0,0}, rx2 {0,1,2xi 2X2)(O,O){0,1,0}, r^ {0,0,5},rxix2 (0,0,2),rx2x2 (0,0,2),E=1,F=0,G=1,L=5,M=2,N=2,錯(cuò)誤！未找到引用源。=dx2dx2,錯(cuò)誤！未找到引用源。=5dx；4dx〔dx22dx2.r.證明對于正螺面r={ucosv,usinv,bv},-oo<u,v<ooftftWEN-2FM+GL=0解 ru {cosv,sinv,0},rv{usinv,ucosv,b},ruu={0,0,0},2TOC\o"1-5"\h\zruv={-uucosv,cosv,0}, rvv={-ucosv,-usinv,0}, E ru 1,F rurv 0,_ 2 2 2 bG rv4.求出拋物面z-(ax2by2)在(0,0)點(diǎn)沿萬向(dx:dy)的法曲率.4.求出拋物面z-(ax2by2)在(0,0)點(diǎn)沿萬向(dx:dy)的法曲率.解rx(1,0,ax)(0,0) {1,0,0),ry{0,1,by)(0,0)(0,1,0),rxx{0,0,a),rxy{0,0,0)ryy(0,0,b),E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率kn5.已知平面到單位球面(S)的中心距離為d(0<d<1),求與(S)交線的曲率與法曲率.解設(shè)平面與(S)的交線為(C),則(C)的半徑為<1d2,即(C)的曲率為1 、k1 ,又(C)的王法向量與球面的法向量的夾角的余弦等于 、1d2,所以1d2v 2 2adx2adx2bdy2

dx2dy2（C）的法曲率為kn kJid2=1..利用法曲率公式kn"，證明在球面上對于任何曲紋坐標(biāo)第一、第二類基I本量成比例。證明因?yàn)樵谇蛎嫔先我稽c(diǎn)處，沿任意方向的法截線為球面的大圓，其曲率為球面半徑R的倒數(shù)1/R。即在球面上，對于任何曲紋坐標(biāo)（u,v）,沿任意方向du:dv2 2,IILdu2MdudvNdv1 1LMN.1.kn———2 F_或-一,所以一_一（一）,即第一、第一IEdu22FdudvGdv2RREFGR類基本量成比例。.求證在正螺面上有一族漸近線是直線，另一族是螺旋線。r證明對于正螺面r={ucosv,usinv,bv},ru{cosv,sinv,0},rv {usinv,ucosv,b},ruu={0,0,0},rvv={-ucosv,-usinv,0}L=(ru,rv,ruu)=0,N=(ru,rv,rvv)-=0.所以u族曲線和v族曲線都是漸近線。而uEGF2 EGF2族曲線是直線，v族曲線是螺旋線。.求曲面zxy2的漸近線.解曲面的向量表示為r{x,y,xy2},rx{1,0,y2},%{0,1,2xy},7{0,0,0),rxy {0,0,2y}, ryy {0,0,2x},E rx2 14y4,F rx % 2xy2,G r； 1 4x2y2.L0,M2y.14x2y,NL0,M2y.14x2y,N2x114x2y漸近線的微分方程為Ldx22MdxdyNdy2,即4ydxdy2xdy20,一族為dy=0,即ya,a為常數(shù).另一族為2ydx=-xdy,即lnx2yC2,或x2yc,c為常數(shù)...證明每一條曲線在它的主法線曲面上是漸近線證在每一條曲線(C)的主法線曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量與(C)的主法向量所確定的平面，與曲線(C)的密切平面重合,所以每一條曲線(C)在它的主法線曲面上是漸近線.方法二：任取曲線rr(s),它的主法線曲面為S:r方法二：任取曲線rr(s),它的主法線曲面為S:r(s,t)1r⑸rt(s),r(1t)r在曲線上，r(1t)r在曲線上，t=0,sr ,曲面的單位法向量..EGF2rsr(s)t&(s)rt(所以曲線在它的主法線曲面上是漸近線.常數(shù)構(gòu)成共腕網(wǎng)..證明在曲面z=f(x)+g(y)上曲線族x=常數(shù)，常數(shù)構(gòu)成共腕網(wǎng).r證曲面的向重表小為r={x,y,f(x)+g(y)},x=吊數(shù),y二吊數(shù)是兩族坐標(biāo)曲線。r r rrx{1,0,f},ry{0,1,g}.rxx{0,0,f},rxy{0,0,0}』{0,0,g},r因?yàn)镸 rxyr因?yàn)镸 rxyEGF20,所以坐標(biāo)曲線構(gòu)成共腕網(wǎng)，即曲線族x=常數(shù),y=常數(shù)構(gòu)成共腕網(wǎng)。r.確止螺旋面r={ucosv,usinv,bv}上的曲率線.解 ru {cosv,sinv,0},rv {usinv,ucosv,b}r解 ru {cosv,sinv,0},rv {usinv,ucosv,b}ruu={0,0,0} ,rvv={-ucosv,-usinv,0}ruv={-sinv,cosv,0},EF rurv 0,^22Grvu2 bb2,L=0,M=j,N=0,曲率線的微分萬程為：,u2b2dv210dudv0

b:u2—b^22Grvu2 bb2,L=0,M=j,N=0,曲率線的微分萬程為：,u2b2dv210dudv0

b:u2—b2du2u2b200,即dv 1_—u2—b2du,積分得兩族曲率線方程：vln(u.u2b2)G和vln(，u2 b2u) c2.12.求雙曲面z=axy上的曲率線2 22 2y,Faxy,G22a2x2,L0,Ma.1a2x22ZB.aydy22 21axdxdy22 2axya2 2 2 2axaydx2

a2x=0得(1a2y2)dx2(1a2x2)dy2,積分得兩族曲率線為ln(ax.1a2x2)ln(ay.1a2y2) c.上的曲率線的方程.13.求曲面上的曲率線的方程.TOC\o"1-5"\h\z2,22 2,2 2.2 20,無力「abv abuv-abu.0,解E ,F ,G ,L4 4 4abM=. 2 ,N=0.代入曲率線的微分方程得所求曲率線的方程是,EGF2(a2b2u2)dv2(a2b2v2)du2,積分得：2,2 2 2,2 2X_ln(uabu)ln(vabv)c..給出曲面上一曲率線L,設(shè)L上每一點(diǎn)處的副法線和曲面在該點(diǎn)的法向量成定角,求證L是一平面曲線.證法一：因L是曲率線，所以沿L有dn ndr,又沿L有？n二常數(shù)，求微商得n-n0,而n//dn//dr與正交,所以n0,即- ?n=0,則有=0,或n=0.若=0,則L是平面曲線；若?n=0,L又是曲面的漸近線，則沿L,n=0,這時(shí)dn=0,n為常向量，而當(dāng)L是漸近線時(shí)，=n,所以為常向量，L是一平面曲線.證法二：若 n,則因ndr||r,所以nII，所以dnII&,由伏雷rr r內(nèi)公式知dnII( )而L是曲率線，所以沿L有dnIIr,所以有=0,從而曲線為平面曲線；若不垂直于n,則有？門=常數(shù)，求微商得&A—&0,因?yàn)長是曲率線，所以沿L有dnIIdr,所以r&0,所以n0,即- ?n=0,若=0,則問―一―一. 一.一rr, rr r一題得證；否則n=0,則因n0,有nII,dnIId||(-)||，矛盾。.如果一曲面的曲率線的密切平面與切平面成定角，則它是平面曲線。證曲線的密切平面與曲面的切平面成定角，即曲線的副法向量和曲面的法向量成定角，由上題結(jié)論知正確。

.求正螺面的主曲率。r解設(shè)正螺面的向重表小為r={ucosv,usinv,bv}.ruu={0,0,0}，rvv={-ucosv,-usinv,0},ruv={-sinv,cosv,0},rv0，_ 2 2.2 ruu={0,0,0}，rvv={-ucosv,-usinv,0},ruv={-sinv,cosv,0},rv0，_ 2 2.2 _ b _Grv2u2 b2,L=0,M= , ,N=0,,u2b2代入主曲率公式(EG-F2)N(LG-2FM+ENN+LN-M2=0/日2_行N= 2(u所以主曲率為17.確定拋物面17.確定拋物面z=a(x2y2)在(0,0)點(diǎn)的主曲率.2..r2..ry)},G{1,0,2ax}ry {0,1,2ay},斛曲面方程即ryy{0,0,2a},r{x,y,a(xr r r . , ,rxx(0,0,2a},防{0,0,0},樂(0,0,2a}。在(0,0)點(diǎn),E=1,F=0,G=1,L=2a,M=0,N=2a.所以2-4an+4a2=0,兩主曲率分別為 1=2a, 2=2a..證明在曲面上的給定點(diǎn)處，沿互相垂直的方向的法曲率之和為常數(shù).證曲面上的給定點(diǎn)處兩主曲率分別為 1任給一方向及與其正交的方向+/，則這兩方向的法曲率分別為 n(證曲面上的給定點(diǎn)處兩主曲率分別為 1任給一方向及與其正交的方向+/，則這兩方向的法曲率分別為 n()21cosn( 2) 1cos2(2) 2sin2(..21sin2cos2 ,即n()n( /2) 1 2為常數(shù)。.證明若曲面兩族漸近線交于定角，則主曲率之比為常數(shù).證由nicos2 2sin2得tg2 —,即漸進(jìn)方向?yàn)?iarctg—,2=-arctg」.又-2+i=2i為常數(shù),所以為i為常數(shù)，即,2 2」為常數(shù).2.求證正螺面的平均曲率為零.第3題或第i6題可知..求雙曲面z=axy在點(diǎn)x=y=0的平均曲率和高斯曲率.證在點(diǎn)x=y=0,E=i,F=0,G=i,L=0,M=a,N=0,H= -LG~~2FM—2-NE-0,2(EGF2)2“LNM2K= 2=-a.EGF2.證明極小曲面上的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)或平點(diǎn).TOC\o"1-5"\h\z證法一： 由H=' 2=0有產(chǎn)2=0或產(chǎn)-2 0.22 2右1=2=0，則沿任息方向 ，n() 1cos2Sin=0,即對于任息的2 2II Ldu2MdudvNdvdu:dv,kn- 2 2-0,所以有L=M=N=0,t應(yīng)的點(diǎn)為平點(diǎn).I Edu22FdudvGdv2若產(chǎn)-2 0,則K=12<0，即LN-M2<0,對應(yīng)的點(diǎn)為雙曲點(diǎn).

證法二：取曲率網(wǎng)為坐標(biāo)網(wǎng)，則F=M=0,因?yàn)闃O小曲面有H=0,所以LG+EN=0,HE>0,G>0,所以LN<0。若LNM2=0,則L=M=N=0，曲面上的點(diǎn)是平點(diǎn)，若LNM2<0,則曲面上的點(diǎn)是雙曲點(diǎn)。.證明如果曲面的平均曲率為零，則漸近線構(gòu)成正交網(wǎng).證法一：如果曲面的平均曲率為零，由上題曲面上的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)或平點(diǎn).若為平點(diǎn)，則任意方向?yàn)闈u近方向，任一曲線為漸近曲線，必存在正交的漸近曲線網(wǎng).TOC\o"1-5"\h\z若為雙曲點(diǎn)，則曲面上存在漸近曲線網(wǎng).由19題，漸近方向 滿足tg2 —=1,2即1=/4,2=- /4,兩漸近線的夾角為%,即漸近曲線網(wǎng)構(gòu)成正交網(wǎng)證法二：QH0LG2FMNE0漸近線方程為Ldu22MdudvNdv20du、du、2 du所以L(一)22M一dv dvEduuF(duvdvu)N0,所以 一,一 一 ——dv v Ldv v Lduu du u.Gdvvdvv[EF( )G]dvv dv v=dvv[ENL-F(2M)G]0,所以漸近網(wǎng)為正交網(wǎng)。1證法三：M0QH2(1 2)0,所以圖斯曲率QK120,所以LNM20,所以曲面上的點(diǎn)是平點(diǎn)或雙曲點(diǎn)。所以曲面上存在兩族漸近線。取曲面上的兩族漸近線為坐標(biāo)網(wǎng)，則L=N=0,若M=0,曲面上的點(diǎn)是平點(diǎn)，若M0,則QH0LG2FMNE0,所以MF=0,所以F=0,所以漸近網(wǎng)為正交網(wǎng)。.在xoz平面上去圓周y=0,(xb)2z2a2(ba),并令其繞軸旋轉(zhuǎn)的圓環(huán)面，參數(shù)方程為r={(b+acos)cos,(b+acos)sin,asin}，求圓環(huán)面上的橢圓點(diǎn)、雙曲點(diǎn)、拋物點(diǎn)。解E=a2,F=0,G=(bacos)2,L=a,M=0,N=cos(b+acos),LN-M2=acos(b+acos),由于b>a>0,b+acos>0,所以LN-M2的符號與cos的符號一致，當(dāng)0&</和3-<<2時(shí)，LN-M2>0,曲面上的點(diǎn)為橢圓點(diǎn)，即圓環(huán)面外側(cè)的點(diǎn)為橢圓點(diǎn)；當(dāng)-/2<<3■，曲面上的點(diǎn)為雙曲點(diǎn)，即圓環(huán)面內(nèi)側(cè)的點(diǎn)為雙曲點(diǎn)；當(dāng) =/2或3"時(shí)，LN-M2=0,為拋物點(diǎn)，即圓環(huán)面上、下兩緯圓上的點(diǎn)為拋物點(diǎn)。.若曲面的第一基本形式表示為I2(u,v)(du2dv2)的形式，則稱這個(gè)曲面的坐標(biāo)曲線為等溫網(wǎng)。試證：旋轉(zhuǎn)曲面r{g(t)cos,g(t)sin,f(t)}上存在等溫網(wǎng)。證旋轉(zhuǎn)曲面r{g(t)cos,g(t)sin,f(t)}的第一基本形式為‘2f’2 。'2f’2I g2(t)(-g—2—dt2d2)，做參數(shù)變換u- 出，v=，則在新參數(shù)g g下，I g2[t(u)](du2dv2),為等溫網(wǎng)。.兩個(gè)曲面Si、S2交于一條曲線(C),而且(C)是&的一條曲率線，則(C)也是S2的一條曲率線的充要條件為Si、S2沿著(0相交成固定角。證兩個(gè)曲面S1、S2交于曲線(C),“、出分別為Si、S2的法向量，則沿交線(C),ni與n2成固定角的充要條件為ni七2=常數(shù)，這等價(jià)于d(n1七2尸0,即

rdnig+nidn2=0，而（O是Si的一條曲率線，因此dn1與（C）的切向量dr共線，貝^與n2正交，即dni-n2=0,于是nidn2=0,又dn2，n2,所以ni,dn2=dni-n2=0r的充要條件為dn2〃dr,即（C）是S2的曲率線。.證明在曲面（S）上的一個(gè)雙曲點(diǎn)P處，若兩條漸近線都不是直線，則它們之中，一條在點(diǎn)p的撓率是1K,另一條在點(diǎn)p的撓率是-「K,其中k是（S）在p點(diǎn)的高斯曲率。證曲面在雙曲點(diǎn)P處，有兩條漸近線過點(diǎn)P,沿漸近線有n=，且11=0,于是有dn=d.WJdn2d2III2HIIKIKI,即d2 Kds2,或（—）2 K,所以有（）2 2K, 1K。ds.證明如果曲面上沒有拋物點(diǎn)，則它上面的點(diǎn)和球面上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的。證設(shè)給出的曲面（S）:r=r（u,v）上的點(diǎn)r（u,v）與（u,v）D內(nèi)的點(diǎn)一一對應(yīng),其球面像上的點(diǎn)為n=n(u,v),由于nunv k(ru rv),所以|\ nv | k|ru rv |=|LNM2|

..EGF|LNM2|

..EGF2,當(dāng)曲面（S）上沒有拋物點(diǎn)時(shí),LN-M20,則nu nv說明球面像