初中的幾何最值問題解題策略

第第10頁共頁初中的幾何最值問題解題策略幾何中的最值問題，一直是個比較復雜的問題，多數(shù)同學在處理時思路不清晰的，下面我們從多年的解題經驗中跟大家分享下我們的解題思路，碰到這種類型的問題應該如何解決?？偨Y各種最值問題，無外乎考查的知識點不過是三個，不管是初二，初三，還是總復習都是如此。我們主要從接下來的三個知識點入手，那么這種幾何最值問題都會有一定思路，解題起來相對簡單許多。一、兩點之間線段最短二、三邊關系求最值(最大或最小)三、垂線段最短求最值接下來，我們逐個去介紹，并進行相關的練習，在練習中體會解決問題的思路，有時三個知識點也是共同使用的，不是單個解決的，這里需要我們總結思路，舉一反三，觸類旁通。(后面的題型豐富，題目較新，適合練習，大家務必認真練練，必有所獲的)一、兩點之間線段最短這個知識點的運用中，通常的解題步驟是： 1、先作對稱2、用知識點3、算結果。在作對稱的過程中，一般都是作定點關于對稱軸的對稱點，然后帶入知識點，兩點之間線段最短直接找到最小值時的點的位置。這樣思路就打開了。[例1]如圖，Rt^OAB勺直角頂點A在x軸的正半軸上，/AOB=30,B(6,2J3),C(2,0),P為OB上一動點.(1)若點A關于直線OB的對稱點為E,求E的坐標；(2)求出△PAC周長的最小值.【變式1-1]

（2014?如皋市校級模擬） 如圖，在平面直角坐標系中， Rt^OAB的頂點A在x軸的正半軸上，頂點B的坐標為（3,J3）,點C的坐標為（1,0）,點P為斜邊OB上的一動點，求△PAC周長的最小值為.【變式1-2】如圖，在平面直角坐標系中， Rt^OAB勺直角頂點A在x軸的正半軸上，其中點B的坐標為（4,3）,點C和點P分別為直角邊OA斜邊OB上的動點，求PA+PC勺最小值.[例2]如圖，已知/AOB=30，點P在/AOB的內部，OP=6,若OA上有一動點MOB上有一動點N,則△PMN勺周長的最小值是.A【變式2-1]（2015秋?江津區(qū)校級期中） 如圖，點P是/AOB內任意一點，/AOB=30,OP=8cm點M和點N分別是射線O府口射線OB上的動點，則4PMN^長的最小值是.B

【變式2-2】（2015秋？日照期末）如圖，四邊形ABC邛，/C=40°,/B=ZD=90°,E、F分別是BCDC上的一點，當^AEF的周長最小時，/EAF的度數(shù)為.、三邊關系求最值（最大或最?。╆P于這個知識點，我們要從兩方面來思考，一是 線段之和的最小值，比如PB+PD的最小值是；另一方面是線段之差的最大值，比如例4中的PA-PB的最大值；有的時候我們還會碰到三個線段之和的最小值，其中一個線段的長是定值，那么這時我們一般都是通過平行四邊形，把他們轉化成普通的線段之和的最小值來解決，這樣就比較簡單了。[例1]（2016春?泰興市校級月考）已知：如圖，在等腰Rt^ABC中，/ABC=90,AB=2,D為BC的中點，P為線段AC上任意一點，則PB+PM最小值為.【變式1-1]（2014春？沙坪壩區(qū)校級期末） 已知：如圖，在Rt^ABC中，/ABC=90,AB=BC=4D為AC中點，E為AB上一點，AE=1,P為線段BD上一動點，則AP+EP勺最小值為（ ）C.D.6C.D.6【變式1-2】（2015春?涼山州期末）如圖，在Rt^ABC中，ZA=90°,BD平分/ABC交AC于D點，AB=4,BD=5,點P是線段BC上的一動點，則PD的最小值是【變式1-3】(1)如圖，點A(1,0),B(1-a,0),C(1+a,0)(a>0),點P在以D(4,4)為圓心，1為半徑的圓上運動，且始終滿足/BPC=90則a的最大值是。(2)(2016?臺州)如圖，在^ABC中，AB=10,AC=8,BC=6以邊AB的中點。為圓心，作半圓與AC相切，點P,Q分別是邊BC和半圓上的動點，連接PQ則PQ長的最大值與最小值的和是( )32A.6 B.203+1 C.9D.——3【例2】(2013秋?金壇市期中)如圖，直角三角形ABC中，/ACB=90,AC=6,BC=4在△ABC內部以AC為斜邊任意作Rt△ACID連接BD則線段BD長的最小值是.【變式2-1]如圖，矩形ABCDAB=3,BC=4E、F是A?BC邊上的動點，以EF為軸翻折^BEF得△B'EF,連接AB',求AB'的最小值.

【變式2-2】（2014?北塘區(qū)校級一模）如圖，/MON=90,矩形ABCDW頂點AB分別在邊OMON上，AB=4,BC=1.當點B在邊ON±運動時，點A隨之在邊OM±運動，運動過程中矩形ABCD的形狀保持不變，則點D到點O的最大距離是.【變式2-3】（2015秋？宜興市校級期中）如圖，/MON=90,△ABC的頂點AB分別在OMON±,當A點從。點出發(fā)沿著0則右運動時，同時點B在ON上運動，連結OC若AC=4,BC=3,AB=5,則OC的長度的最大值是.O A【變式2-4】（2014春？江岸區(qū)校級期末）如圖，/MON=90,正方形ABCD勺頂點AB分別在OMON±運動，當正方形邊長為 2時，OD的最大值為.（2014?惠山區(qū)校級模擬）如圖，正六邊形ABCDEF勺邊長為2,兩頂點AB分別在x

【變式2-5】（2013孤漢）如圖，E,F是正方形ABCDW邊AD上兩個動點，滿足AE=DF連接CF交BD于點G,連接BE交AG于點H.若正方形的邊長為2,則線段DH長度的最小值是.【變式2-5】B C【例3】如圖，當四邊形PABN!勺周長最小時，a=3 33 3【變式3-1]（2015?鞍山一模）如圖，正方形ABCD勺邊長為4,點E在邊BC上且CE=1,長為J2的線段MNftAC上運動，當四邊形BMNE勺周長最小時，則tan/MBC勺值是（）1 2A B. C.2 D.1

【變式3-2】(2010秋？簡陽市期末)在直角坐標系中，已知兩點 A(-8,3)、B(-4,5)以及動點TOC\o"1-5"\h\zC(0,n)、D(m,0),則當四邊形ABCM周長最小時，比值m為( )nA.-- B.-2 C.-- D.-33 2【變式3-3】(2017學年江干區(qū)期末考試-10)1―如圖，AC是圓。的直徑，AC=4,弧BA=12(o，點D是弦AB上的一個動點，那么OD+-BD2的最小值為( )..32B.3..3..32B.3..3C.12D.1 3【例4】如圖，已知兩點A,B在直線l的異側，A到直線l的距離AM=4B到直線l的距離BN=1,MN=4點P在直線l上運動，則PA-PB的最大值是.【變式4-1]點A,B在直線MN勺同側，A到MN的距離AC=8,B到MN勺距離BD=5已知CD=4P是直線MN±的一個動點，記PA+PB勺最小值為a,|PA-PB|的最大值為b,求a2-b2的值XfcpnN【變式4-2]如圖，已知直線MN<MN異側兩點A、B,在MN±求作一點P,使PA-PB最大.(保留作圖痕跡)?.■三、垂線段最短求最值運用此知識點的問題中，我們一般能夠找到已知條件的特點是，一個是頂點，另一個是動點，這樣就可以運用垂線段最短的結論了。[例1]如圖，在銳角△ABG/BAC的角平分線交BC于點D,MN分別是ADAB上的動點，當MN在何位置時，BM+MNt得最小值？【變式1-11如圖，在菱形ABCm，AB=Z/A=120°,點P,QK分別為線段BC,CD,BD上的任意一點，則PK+QK勺最小值為【變式1-2】（2013秋？關B州校級月考）如圖，在銳角三角形ABC中AB=4J2,/BAC=45,/BAC的平分線交BC于點D,MN分別是AD和AB上的動點，則BM+MNJ最小值是（ ）A.4 B.5 C.6 D.2

【變式1-3】（2012秋慚水縣校級期中）如圖，銳角△ABC的邊AC=q^ABC的面積為15,AD平分/BAC交BC于D,MN分別是AD和AB上的動點，則BM+MN1最小值是.【變式1-4】如圖，在Rt^ABC中，/BAC=90,AB=3AC=4,點P為BC邊上一動點，PHAB于點E,PHAC于點F,連結EF,點M為EF的中點，則AM的最小值為.四、其它【例11如圖，線段AB的長為4,C為AB上一動點，分別以AGBC為斜邊在AB的同側作等腰直角△ACM口等腰直角△BCE那么DE長的最小值是.（2013?江都市模擬）如圖，已知AB=2,P是線段AB上的動點，分別以ARPB為邊在線段AB的同側作等邊△AEP和等邊4PFB,連接EF,設EF的中點為G連接PG則PG的最小值是.￡[例2]（2015?黃陂區(qū)校級模擬）如圖，線段AB=4,C為線段AB上的一個動點，以ACBC為邊作等邊4AC/口等邊^(qū)BCE。。外接于△CDE則。。半徑的最小值為（ ）

EA.423B. PEA.423B. P3-2C.D.2【例3】(2016?深圳模擬)已知：如圖，在平面直角坐標系 xOy中，直線y=-芻x+6與x軸、y4軸的交點分別為AB,將/OBA對折，使點。的對應點H落在直線AB上，折痕交x軸于點C.(1)直接寫出點C的坐標，并求過A、B、C三點的拋物線的解析式；(2)若拋物線的頂點為D,在直線BC上是否存在點P,使得四邊形ODA斯平行四邊形？若存在，