高中數(shù)學(xué) 3.3.1 幾何概型 新人教B必修3

3.3.1幾何概型

編輯ppt我們知道古典概型只有在滿(mǎn)足“有限性”和“等可能性”兩個(gè)性質(zhì)的前提下才能適用，那么對(duì)于試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)窮多個(gè)的情形該怎樣處理呢？例1.在轉(zhuǎn)盤(pán)上有8個(gè)面積相等的扇形，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，求轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)指針落在陰影部分的概率。編輯ppt我們知道古典概型只有在滿(mǎn)足“有限性”和“等可能性”兩個(gè)性質(zhì)的前提下才能適用，那么對(duì)于試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)窮多個(gè)的情形該怎樣處理呢？例1.在轉(zhuǎn)盤(pán)上有8個(gè)面積相等的扇形，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，求轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)指針落在陰影部分的概率。編輯ppt例2.在500ml的水中有一只草履蟲(chóng)，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2ml水樣放到顯微鏡下觀察，求發(fā)現(xiàn)草履蟲(chóng)的概率。以上兩個(gè)試驗(yàn)的可能結(jié)果個(gè)數(shù)無(wú)限，所以它們都不是古典概型。先看例1，由經(jīng)驗(yàn)得知“指針落在陰影部分的概率”可以用陰影部分的面積與總面積之比來(lái)衡量，即P(A)=編輯ppt同樣地，例2中由于取水樣的隨機(jī)性，所求事件A：“在取出的2ml的水樣中有草履蟲(chóng)”的概率等于水樣的體積與總體積之比總之，這兩個(gè)試驗(yàn)的共同點(diǎn)是：如果把事件A理解為區(qū)域Ω的某一個(gè)子區(qū)域A，A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量（長(zhǎng)度、面積或體積）成正比，而與A的位置和形狀無(wú)關(guān)，則稱(chēng)滿(mǎn)足以上條件的試驗(yàn)為幾何概型.編輯pptΩ在幾何概型中，事件A的概率定義為：其中μΩ表示區(qū)域Ω的幾何度量,μA表示子區(qū)域A的幾何度量.編輯ppt幾何概型具有兩個(gè)特點(diǎn)：一是無(wú)限性：在一次試驗(yàn)中，基本事件的個(gè)數(shù)必須是無(wú)數(shù)個(gè)；二是等可能性：在試驗(yàn)中，每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是均等的。編輯ppt例3.隨機(jī)事件A：“從正整數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，其和為偶數(shù)”是否為幾何概型。解：盡管這里事件滿(mǎn)足幾何概型的兩個(gè)特點(diǎn)：有無(wú)限多個(gè)基本事件，且每個(gè)基本事件的出現(xiàn)是等可能的，但它不滿(mǎn)足幾何概型的基本特征——能進(jìn)行幾何度量。所以事件A不是幾何概型。編輯ppt例4.下列隨機(jī)試驗(yàn)是否為幾何概型？為什么？（1）經(jīng)過(guò)嚴(yán)格訓(xùn)練的槍手的打靶；（2）某學(xué)生從家里到達(dá)學(xué)校所用的時(shí)間。答案：（1）不是；（2）是。編輯ppt例5.一海豚在水池中自由游弋，水池為長(zhǎng)30m，寬20m的長(zhǎng)方形，求此刻海豚嘴尖離岸邊不超過(guò)2m的概率.解：對(duì)于幾何概型，關(guān)鍵是要構(gòu)造出隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來(lái)求隨機(jī)事件的概率.如圖，區(qū)域Ω是長(zhǎng)30m、寬20m的長(zhǎng)方形.編輯ppt圖中陰影部分表示事件A：“海豚嘴尖離岸邊不超過(guò)2m”，問(wèn)題可以理解為求海豚嘴尖出現(xiàn)在圖中陰影部分的概率.由于區(qū)域Ω的面積為30×20=600(m2)，陰影A的面積為30×20－26×16=184(m2).∴P（A）=≈0.31.編輯ppt例6.平面上畫(huà)了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑r<a的硬幣任意擲在這個(gè)平面上，求硬幣不與任一條平行線相碰的概率.解：記事件A：“硬幣不與任一條平行線相碰”.為了確定硬幣的位置，由硬幣中心O向靠得最近的平行線引垂線OM，垂足為M，編輯ppt參看圖，這樣線段OM長(zhǎng)度(記作|OM|)的取值范圍是[0，a]，只有當(dāng)r＜|OM|≤a時(shí)，硬幣不與平行線相碰，所以P(A)=編輯ppt例7.某人午覺(jué)醒來(lái)，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開(kāi)收音機(jī)，想聽(tīng)電臺(tái)報(bào)時(shí)，求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率.解：設(shè)A={等待的時(shí)間不多于10分鐘}，我們所關(guān)心的事件A恰好是打開(kāi)收音機(jī)的時(shí)刻位于[50，60]時(shí)間段內(nèi)，因此由幾何概型的求概率的公式得P(A)=編輯ppt例8.假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人在早上6：30至7：30之間把報(bào)紙送到你家，你父親離開(kāi)家去工作的時(shí)間在早上7：00至8：00之間，問(wèn)你父親在離開(kāi)家前能得到報(bào)紙(稱(chēng)為事件A)的概率是多少？解：這里涉及到兩個(gè)變量，把送報(bào)人的時(shí)間設(shè)為x變量，父親上班的時(shí)間設(shè)為y變量，于是得到數(shù)對(duì)(x，y)，表示某一天兩個(gè)變量之間的關(guān)系。編輯ppt總的情況是Ω={(x,y)|6.5≤x≤7.5,7≤y≤8}.事件A滿(mǎn)足的條件是A={(x,y)|y≤x,x∈Ω,y∈Ω}.在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出圖形。編輯ppt總的情況是Ω={(x,y)|6.5≤x≤7.5,7≤y≤8}.事件A滿(mǎn)足的條件是A={(x,y)|y≤x,x∈Ω,y∈Ω}.在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出圖形。Ω表示的是矩形面積1，A表示的是陰影部分面積所以P(A)=編輯ppt例9.如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在60°角的終邊上，任作一條射線OA，求射線OA落在XOT內(nèi)的概率.解：以O(shè)為起點(diǎn)作射線OA是隨機(jī)的，因而射線OA落在任何位置都是等可能的。落在∠XOT內(nèi)的概率只與∠XOA的大小有關(guān)，符合幾何概型的條件。編輯ppt記事件A={射線OA落在∠XOT內(nèi)}.因?yàn)椤蟈OT=60°，所以P(A)=編輯ppt例10.將長(zhǎng)為l的棒隨機(jī)折成3段，求3段長(zhǎng)度能構(gòu)成三角形的概率.解：設(shè)A=“3段長(zhǎng)度能構(gòu)成三角形”，x，y分別表示其中兩段的長(zhǎng)度，則第3段的長(zhǎng)度為l－x－y，試驗(yàn)的全部結(jié)果可構(gòu)成集合

Ω={(x，y)|0<x<l，0<y<l，0<x+y<l}，編輯ppt要使3段長(zhǎng)度能構(gòu)成三角形，當(dāng)且僅當(dāng)任意兩段長(zhǎng)度之和大于第3段長(zhǎng)度。故所求結(jié)果構(gòu)成的集合A={(x，y)|x+y>,x<,y<},即x