圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運籌學(xué)課件

圖與網(wǎng)絡(luò)分析在物流系統(tǒng)中的應(yīng)用(GraphTheoryandNetworkAnalysis)圖與網(wǎng)絡(luò)的基本知識最短路問題樹及最小樹問題圖與網(wǎng)絡(luò)分析在物流系統(tǒng)中的應(yīng)用圖與網(wǎng)絡(luò)的基本知識最短路問題BDACABCD哥尼斯堡七空橋一筆畫問題BDACABCD哥尼斯堡七空橋一筆畫問題應(yīng)用及解決的問題配送運輸規(guī)劃問題物流車輛規(guī)劃調(diào)度系統(tǒng)物流園區(qū)規(guī)劃應(yīng)用及解決的問題配送運輸規(guī)劃問題一、

圖與網(wǎng)絡(luò)的基本知識（一）、圖與網(wǎng)絡(luò)的基本概念

EADCB1、一個圖是由點和連線組成。（連線可帶箭頭，也可不帶，前者叫弧，后者叫邊）一、圖與網(wǎng)絡(luò)的基本知識EADCB1、一個圖是由一個圖是由點集和中元素的無序?qū)Φ囊粋€集合構(gòu)成的二元組，記為G=(V，E)，其中V中的元素叫做頂點，V表示圖G

的點集合；E

中的元素叫做邊，E表示圖G

的邊集合。v1v2v3v4v5v6e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10例圖1一個圖是由點集和中元素的無序?qū)?、如果一個圖是由點和邊所構(gòu)成的，則稱其為無向圖，記作G=(V，E)，連接點的邊記作[vi,vj]，或者[vj,vi]。3、如果一個圖是由點和弧所構(gòu)成的，那么稱它為有向圖，記作D=(V,A)，其中V表示有向圖D的點集合，A表示有向圖D的弧集合。一條方向從vi指向vj

的弧，記作(vi,vj)。v4v6v1v2v3v5V={v1,v2,v3,v4,v5,v6}，A={(v1,v3),(v2,v1),(v2,v3),(v2,v5),(v3,v5),(v4,v5),(v5,v4),(v5,v6)}圖22、如果一個圖是由點和邊所構(gòu)成的，則稱其為無向圖，記作4、一條邊的兩個端點是相同的,那么稱為這條邊是環(huán)。5、如果兩個端點之間有兩條以上的邊，那么稱為它們?yōu)槎嘀剡叀?、一個無環(huán)，無多重邊的圖稱為簡單圖，一個無環(huán)，有多重邊的圖稱為多重圖。7、每一對頂點間都有邊相連的無向簡單圖稱為完全圖。有向完全圖則是指任意兩個頂點之間有且僅有一條有向邊的簡單圖。4、一條邊的兩個端點是相同的,那么稱為這條邊是環(huán)。6、v1v2v3v4v5v6e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10度為零的點稱為弧立點，度為1的點稱為懸掛點。懸掛點的關(guān)聯(lián)邊稱為懸掛邊。度為奇數(shù)的點稱為奇點，度為偶數(shù)的點稱為偶點。8、以點v為端點的邊的個數(shù)稱為點v的度（次），記作。圖中

d(v1)=4，d(v6)=4（環(huán)計兩度）v1v2v3v4v5v6e1e2e3e4e5e6e7e8e9定理1所有頂點度數(shù)之和等于所有邊數(shù)的2倍。定理2在任一圖中，奇點的個數(shù)必為偶數(shù)。所有頂點的入次之和等于所有頂點的出次之和。有向圖中，以

vi為始點的邊數(shù)稱為點vi的出次，用表示；以

vi為終點的邊數(shù)稱為點vi的入次，用表示；vi點的出次和入次之和就是該點的次。定理1所有頂點度數(shù)之和等于所有邊數(shù)的2倍。9、設(shè)G1=（V1,E1），G2=（V2,E2）如果V2

V1,E2E1

稱G2

是G1

的子圖；如果V2=V1,E2E1

稱G2

是G1

的部分圖或支撐子圖。v1v2v3v4v5v6v7e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10e11(a)e5e7v1v2v5v6v7e1e6e8(b)子圖v1v2v3v4v5v6v7e1e6e7e9e10e11(c)支撐子圖9、設(shè)G1=（V1,E1），G2=（V2在實際應(yīng)用中，給定一個圖G=（V，E）或有向圖D=（V，A），在V中指定兩個點，一個稱為始點（或發(fā)點），記作v1，一個稱為終點（或收點），記作vn，其余的點稱為中間點。對每一條弧，對應(yīng)一個數(shù)，稱為弧上的“權(quán)”。通常把這種賦權(quán)的圖稱為網(wǎng)絡(luò)。10、由兩兩相鄰的點及其相關(guān)聯(lián)的邊構(gòu)成的點邊序列稱為鏈。如:v0，e1，v1，e2，v2，e3，v3,…,vn-1,en

，vn，記作（v0，v1，v2，v3,…,vn-1，vn），

在實際應(yīng)用中，給定一個圖G=（V，E）或有向圖De3v1v2v3v4v5v6e7e8e1e2e4e5e6e9e1011、圖中任意兩點之間均至少有一條通路，則稱此圖為連通圖，否則稱為不連通圖。其鏈長為n

，其中v0，vn分別稱為鏈的起點和終點。若鏈中所含的邊均不相同，則稱此鏈為簡單鏈；所含的點均不相同的鏈稱為初等鏈,也稱通路。e3v1v2v3v4v5v6e7e8e1e2e4e5e6e9（二）、圖的矩陣表示對于網(wǎng)絡(luò)（賦權(quán)圖）G=（V，E），其中邊有權(quán)，構(gòu)造矩陣，其中：稱矩陣A為網(wǎng)絡(luò)G的權(quán)矩陣。設(shè)圖G=（V，E）中頂點的個數(shù)為n，構(gòu)造一個矩陣，其中：稱矩陣A為網(wǎng)絡(luò)G的鄰接矩陣。（二）、圖的矩陣表示設(shè)圖G=（V，E）中頂點的個數(shù)例權(quán)矩陣為：鄰接矩陣為：v5v1v2v3v4v64332256437例權(quán)矩陣為：鄰接矩陣為：v5v1v2v3v4v6433225問題圖（頂點、邊）、有限圖、無限圖無向圖、有向圖、環(huán)、多重邊多重圖、簡單圖、完全圖、有向完全圖、二部圖頂點的次、出次、入次、懸掛點、孤立點、奇點、偶點子圖、生成子圖（支撐圖）、網(wǎng)絡(luò)（賦權(quán)圖）鏈、初等鏈、圈、初等圈、回路、連通圖圖的矩陣表示、鄰接矩陣歐拉道路、歐拉回路、中國郵路問題問題圖（頂點、邊）、有限圖、無限圖樹的概念樹、樹葉、分枝點數(shù)的性質(zhì)生成子圖、生成樹、樹枝、弦最小生成樹避圈法、破圈法有向樹、根樹、葉、分枝點、叉樹樹的概念樹、樹葉、分枝點

二、樹及最小樹問題

已知有六個城市，它們之間要架設(shè)電話線，要求任意兩個城市均可以互相通話，并且電話線的總長度最短。v1v2v3v4v5v61、一個連通的無圈的無向圖叫做樹。樹中次為1的點稱為樹葉，次大于1的點稱為分支點。二、樹及最小樹問題v1v2v3v4v5v61、一樹

的性質(zhì)：（1）樹必連通，但無回路（圈）。（2）n個頂點的樹必有n-1條邊。（3）樹

中任意兩個頂點之間，恰有且僅有一條鏈（初等鏈）。（4）樹

連通，但去掉任一條邊，必變?yōu)椴贿B通。（5）樹無回路（圈），但不相鄰的兩個點之間加一條邊，恰得到一個回路（圈）。v1v2v3v4v5v6樹的性質(zhì)：v1v2v3v4v5v62、設(shè)圖是圖G=(V,E)的一支撐子圖，如果圖是一個樹,那么稱K是G的一個生成樹（支撐樹），或簡稱為圖G的樹。圖G中屬于生成樹的邊稱為樹枝，不在生成樹中的邊稱為弦。一個圖G有生成樹的充要條件是G

是連通圖。v1v2v3v4v5v1v2v3v4v52、設(shè)圖是圖G=(V,E用避圈法求出下圖的一個生成樹。v1v2v3v4v5e1e2e3e4e5e6e7e8v1v2v3v4v5e2e4e6e8v1v2v3v4v5e1e2e3e4e5e6e7e8用避圈法求出下圖的一個生成樹。v1v2v3v4v5e1e2（一）破圈法（一）破圈法（二）避圈法

在圖中任取一條邊e1，找一條與e1不構(gòu)成圈的邊e2，再找一條與{e1，e2}不構(gòu)成圈的邊e3。一般設(shè)已有{e1，e2，…，ek}，找一條與{e1，e2，…，ek}中任何一些邊不構(gòu)成圈的邊ek+1，重復(fù)這個過程，直到不能進(jìn)行為止。（二）避圈法在圖中任取一條邊e1，找一條與e1v1v2v3v4v5v6v1v3v1v3v2v1v3v2v5v6v1v3v2v5v6v4v1v3v2v5v1v2v3v4v5v6v1v3v1v3v2v1v3v2v53、最小生成樹問題

如果圖是圖G的一個生成樹，那么稱E1上所有邊的權(quán)的和為生成樹T的權(quán)，記作S(T)。如果圖G的生成樹T*的權(quán)S(T*)，在G的所有生成樹T中的權(quán)最小，即那么稱T*是G的最小生成樹。某六個城市之間的道路網(wǎng)如圖

所示，要求沿著已知長度的道路聯(lián)結(jié)六個城市的電話線網(wǎng)，使電話線的總長度最短。v1v2v3v4v5v66515723445v1v2v3v4v5v6123443、最小生成樹問題如果圖是圖G的一v1v2v3v4v514231352v1v2v3v4v514231352

最短路的一般提法為：設(shè)為連通圖，圖中各邊有權(quán)（表示之間沒有邊），為圖中任意兩點，求一條路，使它為從到的所有路中總權(quán)最短。即：最小。(一)、狄克斯屈拉(Dijkstra)算法適用于wij≥0，給出了從vs到任意一個點vj的最短路。三、最短路問題(一)、狄克斯屈拉(Dijk算法步驟：1.給始點vs以P標(biāo)號，這表示從vs到

vs的最短距離為0，其余節(jié)點均給T標(biāo)號，。2.設(shè)節(jié)點vi

為剛得到P標(biāo)號的點，考慮點vj，其中，且vj為T標(biāo)號。對vj的T標(biāo)號進(jìn)行如下修改：3.比較所有具有T標(biāo)號的節(jié)點，把最小者改為P標(biāo)號，即：

當(dāng)存在兩個以上最小者時，可同時改為P標(biāo)號。若全部節(jié)點均為P標(biāo)號，則停止，否則用vk代替vi，返回步驟（2）。算法步驟：例一、用Dijkstra算法求下圖從v1到v6的最短路。v1v2v3v4v6v5352242421

解（1）首先給v1以P標(biāo)號，給其余所有點T標(biāo)號。（2）（3）（4）例一、用Dijkstra算法求下圖從v1到v6的v1v2v3v4v6v5352242421（5）（6）（7）（8）（9）（10）反向追蹤得v1到v6的最短路為：v1v2v3v4v6v5352242421（5）（6）（7）237184566134105275934682求從1到8的最短路徑237184566134105275934682求從1到8的237184566134105275934682X={1},w1=0min{c12,c14,c16}=min{0+2,0+1,0+3}=min{2,1,3}=1X={1,4},p4=1p4=1p1=0237184566134105275934682X={1},237184566134105275934682X={1,4}min{c12,c16,c42,c47}=min{0+2,0+3,1+10,1+2}=min{2,3,11,3}=2X={1,2,4},p2=2p1=0p4=1p2=2237184566134105275934682X={1,4237184566134105275934682X={1,2,4}min{c13,c23,c25,c47}=min{0+3,2+6,2+5,1+2}=min{3,8,7,3}=3X={1,2,4,6},p6=3p2=2p4=1p1=0p6=3237184566134105275934682X={1,2237184566134105275934682X={1,2,4,6}min{c23,c25,c47,c67}=min{2+6,2+5,1+2,3+4}=min{8,7,3,7}=3X={1,2,4,6,7},p7=3p2=2p4=1p1=0p6=3p7=3237184566134105275934682X={1,2237184566134105275934682X={1,2,4,6,7}min{c23,c25,c75,c78}=min{2+6,2+5,3+3,3+8}=min{8,7,6,11}=6X={1,2,4,5,6,7},p5=6p2=2p4=1p1=0p6=3p7=3p5=6237184566134105275934682X={1,2237184566134105275934682X={1,2,4,6,7}min{c23,c53,c58,c78}=min{2+6,6+9,6+4,3+8}=min{8,15,10,11}=8X={1,2,3,4,5,6,7},p3=8p2=2p4=1p1=0p6=3p7=3p5=6p3=8237184566134105275934682X={1,2237184566134105275934682X={1,2,3,4,6,7}min{c38,c58,c78}=min{8+6,6+4,3+7}=min{14,10,11}=10X={1,2,3,4,5,6,7,8},p8=10p2=2p4=1p1=0p6=3p7=3p5=6p3=8p8=10237184566134105275934682X={1,2237184566134105275934682X={1,2,3,4,6,7,8}1到8的最短路徑為{1，4，7，5，8}，長度為10。p2=2p4=1p1=0p6=3p7=3p5=6p3=8p8=10237184566134105275934682X={1,2求從V1

到V8

的最短路線。求從V1到V8的最短路線。V1V2V3V4V5V6V7V8①P=0T=+∞T=+∞T=+∞T=+∞T=+∞T=+∞T=+∞②P=T=3T=+∞T=7T=+∞T=+∞T=+∞T=+∞

③T=6T=7P=T=5T=+∞T=+∞T=+∞

④P=T=6T=6

T=8T=+∞T=+∞

⑤P=T=6

T=8T=9T=12

⑥P=T=8T=10T=10

⑦P=T=9T=11再無其它T標(biāo)號，所以

T(V8)=P(V8)=10;minL(μ)=10⑧P=T=10V1V2V3V4V5V6V7V8①P=0T=+∞T=+∞T由此看到，此方法不僅求出了從V1

到V8

的最短路長，同時也求出了從V1

到任意一點的最短路長。將從V1

到任一點的最短路權(quán)標(biāo)在圖上，即可求出從V1

到任一點的最短路線。本例中V1

到V8

的最短路線是：

v1→v2→v5→v6→v8

由此看到，此方法不僅求出了從V1到V8623121641036234210623121641036234210（二）、逐次逼近法算法的基本思路與步驟：首先設(shè)任一點vi到任一點vj都有一條弧。顯然，從v1到vj的最短路是從v1出發(fā)，沿著這條路到某個點vi再沿弧(vi,vj)到vj。則v1到vi的這條路必然也是v1到vi的所有路中的最短路。設(shè)P1j表示從v1到vj的最短路長，P1i表示從v1到vi的最短路長，則有下列方程：開始時，令即用v1到vj的直接距離做初始解。從第二步起，使用遞推公式：求，當(dāng)進(jìn)行到第t步，若出現(xiàn)則停止計算，即為v1到各點的最短路長。（二）、逐次逼近法例二、

－18v1v2v3v4v5－26－3－5－1－3－521－1211v6v7v837v1v2v3v4v5v6v7v8P(1)P(2)P(3)P(4)v10-1-23

0000v260

2

-1-5-5-5v3

-30-5

1

-2-2-2-2v48

0

2

3-7-7-7v5

-1

0

1-3-3v6

1017

-1-1-1v7

-1

0

5-5-5v8

-3

-50

66求圖中v1到各點的最短路例二、

－18v1v2v3v4v5－26－3－5－1－3－5

－18v1v2v3v4v5－26－3－5－1－3－521－1211v6v7v837（0，0）（v3，-5）（v1，-2）（v3，-7）（v2，-3）（v4，-5）（v3，-1）（v6，6）

－18v1v2v3v4v5－26－3－5－1－3－521－例三、求：5年內(nèi)，哪些年初購置新設(shè)備，使5年內(nèi)的總費用最小。解：（1）分析：可行的購置方案（更新計劃）是很多的，如：1）每年購置一臺新的，則對應(yīng)的費用為：

11+11+12+12+13+5+5+5+5+5=842)第一年購置新的，一直用到第五年年底，則總費用為：11+5+6+8+11+18=59

顯然不同的方案對應(yīng)不同的費用。第i年度

12345購置費1111121213設(shè)備役齡0-11-22-33-44-5維修費用

5681118例三、求：5年內(nèi)，哪些年初購置新設(shè)備，使5年內(nèi)的總費用最小。（2）方法：將此問題用一個賦權(quán)有向圖來描述，然后求這個賦權(quán)有向圖的最短路。求解步驟：1）畫賦權(quán)有向圖：設(shè)Vi

表示第i年初，(Vi,Vj)表示第i年初購買新設(shè)備用到第j年初（j-1年底），而Wij

表示相應(yīng)費用，則5年的一個更新計劃相當(dāng)于從V1

到V6的一條路。2）求解（標(biāo)號法）（2）方法：將此問題用一個賦權(quán)有向圖來描述，然后求這個賦權(quán)W12=11+5=16W13=11+5+6=22W14=11+5+6+8=30W15=11+5+6+8+11=41W16=11+5+6++8+11+18=59W23=11+5=16W24=11+5+6=22W25=11+5+6+8=30W26=11+5+6+8+11=41W45=12+5=17W46=12+5+6=23W56=13+5=18W34=12+5=17W35=12+5+6=23W36=12+5+6+8=31W12=11+5=16W23=11+5=16例四、某工廠使用一種設(shè)備，這種設(shè)備在一定的年限內(nèi)隨著時間的推移逐漸損壞。所以工廠在每年年初都要決定設(shè)備是否更新。若購置設(shè)備，每年需支付購置費用；若繼續(xù)使用舊設(shè)備，需要支付維修與運行費用，而且隨著設(shè)備的老化會逐年增加。計劃期（五年）內(nèi)中每年的購置費、維修費與運行費如表所示，工廠要制定今后五年設(shè)備更新計劃，問采用何種方案才能使包括購置費、維修費與運行費在內(nèi)的總費用最小。年份12345購置費1820212324使用年數(shù)0~11~22~33~44~5維修費57121825例四、某工廠使用一種設(shè)備，這種設(shè)備在一定的年限內(nèi)隨著年份12345購置費1820212324使用年數(shù)0~11~22~33~44~5維修費5712182528v1v2v3v4v5v62325262930426085324462334530年份12345購置費1820212324使用年數(shù)0~11~2四、最大流問題（一）、基本概念1、設(shè)一個賦權(quán)有向圖D=（V,E）,在V中指定一個發(fā)點vs和一個收點vt

,其它的點叫做中間點。對于D中的每一個?。╲i

,vj）∈E,都有一個非負(fù)數(shù)cij,叫做弧的容量。我們把這樣的圖D叫做一個容量網(wǎng)絡(luò)，簡稱網(wǎng)絡(luò)，記做D=（V，E，C）。網(wǎng)絡(luò)D上的流，是指定義在弧集合E上的一個函數(shù)其中f(vi

,vj)=fij

叫做弧(vi，vj)上的流量。

四、最大流問題2、稱滿足下列條件的流為可行流：（1）容量條件：對于每一個?。╲i,vj）∈E 有 0≤

fij

≤

cij

。（2）平衡條件：對于發(fā)點vs，有對于收點vt

，有對于中間點，有可行流中fij＝cij

的弧叫做飽和弧，fij＜cij的弧叫做非飽和弧。fij＞0的弧為非零流弧，fij＝0的弧叫做零流弧。2、稱滿足下列條件的流為可行流：可行流中fij＝cij的13(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(2)5(2)5(0)4(2)4(1)9(5)10(1)圖中為零流弧，其余為非飽和弧。13(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(23、容量網(wǎng)絡(luò)G，若為網(wǎng)絡(luò)中從vs到vt的一條鏈，給定向為從vs到vt，上的弧凡與方向相同的稱為前向弧，凡與方向相反的稱為后向弧，其集合分別用和表示。f

是一個可行流，如果滿足：

則稱為從vs到vt

的關(guān)于f的一條增廣鏈。推論可行流f是最大流的充分必要條件是不存在從vs到vt

的關(guān)于f的一條可增廣鏈。即中的每一條弧都是非飽和弧即中的每一條弧都是非零流弧推論可行流f是最大流的充分必要條件是不存在從vs到v13(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(2)5(2)5(0)4(2)4(1)9(5)10(1)是一個增廣鏈顯然圖中增廣鏈不止一條13(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(24、容量網(wǎng)絡(luò)G=（V，E，C），vs為始點，vt為終點。如果把V分成兩個非空集合使，則所有始點屬于S，而終點屬于的弧的集合，稱為由S決定的截集,記作。截集中所有弧的容量之和，稱為這個截集的容量，記為。vsv1v2v4v3vt374556378S4、容量網(wǎng)絡(luò)G=（V，E，C），vs為始點，vt13(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(2)5(2)5(0)4(2)4(1)9(5)10(1)設(shè)，則截集為容量為2413(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(213(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(2)5(2)5(0)4(2)4(1)9(5)10(1)設(shè)，則截集為容量為2013(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(2（二）求最大流的標(biāo)號法標(biāo)號過程：1．

給發(fā)點vs

標(biāo)號（0，+∞）。2．

取一個已標(biāo)號的點vi，對于vi一切未標(biāo)號的鄰接點vj

按下列規(guī)則處理：（1）如果邊，且，那么給vj

標(biāo)號，其中：（2）如果邊，且，那么給vj

標(biāo)號，其中：3．重復(fù)步驟2，直到vt被標(biāo)號或標(biāo)號過程無法進(jìn)行下去，則標(biāo)號結(jié)束。若vt被標(biāo)號，則存在一條增廣鏈，轉(zhuǎn)調(diào)整過程；若vt未被標(biāo)號，而標(biāo)號過程無法進(jìn)行下去，這時的可行流就是最大流。（二）求最大流的標(biāo)號法調(diào)整過程設(shè)1．令2．去掉所有標(biāo)號，回到第一步，對可行流重新標(biāo)號。調(diào)整過程求下圖所示網(wǎng)絡(luò)中的最大流，弧旁數(shù)為(1,1)v2v1v4v3vsvt(3,3)(5,1)(1,1)(4,3)(2,2)(3,0)(5,3)(2,1)(1,1)v2v1v4v3vsvt(3,3)(5,1)(1,1)(4,3)(2,2)(3,0)(5,3)(2,1)（0，+∞）（-v1,1）（+vs,4）（-v2，1）（+v2，1）(+v3，1)求下圖所示網(wǎng)絡(luò)中的最大流，弧旁數(shù)為(1,(1,0)v2v1v4v3vsvt(3,3)(5,2)(1,0)(4,3)(2,2)(3,0)(5,3)(2,2)(1,0)v2v1v4v3vsvt(3,3)(5,2)(1,0)(4,3)(2,2)(3,0)(5,3)(2,2)（0，+∞）（+vs,3）最小截集(1,0)v2v1v4v3vsvt(3,3)(5,13(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(2)5(2)5(0)4(2)4(1)9(5)10(1)13(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(213(11)9(9)4(0)5(5)6(6)5(5)5(4)5(4)4(4)4(3)9(9)10(7)截集1截集2最小截量為：9+6+5=2013(11)9(9)4(0)5(5)6(6)5(70（70）70（50）130（100）150（130）150（150）50（20）50（50）120（30）100（100）∞（120）∞（230）∞（150）∞（200）70（70）70（50）130（100）150（130）15第五節(jié)最小費用最大流問題定義8.17已知網(wǎng)絡(luò)G=（V，E，C，d），f是G上的一個可行流，為一條從vs到vt的增廣鏈，稱為鏈的費用。

若*是從vs到vt的增廣鏈中費用最小的增廣鏈，則稱*是最小費用增廣鏈。結(jié)論：如果可行流f在流量為W(f)的所有可行流中的費用最小，并且*是關(guān)于f的所有增廣鏈中的費用最小的增廣鏈，那么沿增廣鏈*調(diào)整可行流f，得到的新可行流f*也是流量為W(f*)的所有可行流中的最小費用流。當(dāng)f*

是最大流時，就是最小費用最大流。第五節(jié)最小費用最大流問題定義8.17已知網(wǎng)絡(luò)G=（V尋找關(guān)于f的最小費用增廣鏈：構(gòu)造一個關(guān)于f的賦權(quán)有向圖L(f)，其頂點是原網(wǎng)絡(luò)G的頂點，而將G中的每一條弧(vi,vj

)變成兩個相反方向的?。╲i，vj）和(vj

,vi)，并且定義圖中弧的權(quán)l(xiāng)ij為：1.當(dāng)，令

2.當(dāng)（vj，vi）為原來網(wǎng)絡(luò)G中（vi，vj）的反向弧，令在網(wǎng)絡(luò)G中尋找關(guān)于f的最小費用增廣鏈等價于在L(f)中尋求從vs

到vt

的最短路。尋找關(guān)于f的最小費用增廣鏈：步驟：（1）取零流為初始可行流，f(0)={0}。（2）一般地，如果在第k-1步得到最小費用流f(k-1)，則構(gòu)造圖L(f(k-1)

)。（3）在L(f(k-1)

)中，尋求從vs到vt的最短路。若不存在最短路，則f(k-1)就是最小費用最大流；否則轉(zhuǎn)(4)。（4）如果存在最短路，則在可行流f

(k－1)的圖中得到與此最短路相對應(yīng)的增廣鏈，在增廣鏈上，對f

(k－1)進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整量為：步驟：令得到新可行流f

(k)。對f

(k)重復(fù)上面步驟，返回（2）。例8.11求網(wǎng)絡(luò)的最小費用最大流，弧旁權(quán)是（bij,cij）(3,2)vsv2v1vtv3(1,4)(6,7)(4,8)(1,6)(2,5)(2,3)令得到新可行流f(k)。對f(k)重復(fù)上面步驟，返回（3vsv2v1vtv3164122(1)L(f(0))(3,2)vsv2v1vtv3(1,4)(6,7)(4,8)(1,6)(2,5)(2,3)0vsv2v1vtv3300333(2)f(1)1=3W(f(1))=3－1(3)L(f(1))－23vsv2v1vtv316412－1－23vsv2v1vtv3164122(1)L(f1vsv2v1vtv3400343(4

)f(2)2=1W(f(2))=4(3,2)vsv2v1vtv3(1,4)(6,7)(4,8)(1,6)(2,5)(2,3)(5)L(f(2))－3vsv2v1vtv3－1412－2－23－1661vsv2v1vtv3401453(6

)f(3)3=1W(f(3))=51vsv2v1vtv3400343(4)f(2)(7)L(f(3))vsv2v1vtv3－3－141-2－23－161vsv2v1vtv3434450(8

)f(4)4=3W(f(4))=80vsv2v1vtv34455505=1W(f(5))=9(10

)f(5)－1-23－1vsv2v1vtv3－34126(9)L(f(4))-4-6(7)L(f(3))vsv2v1vtv3－3－143－12－14(11)L(f(5))126－4vsv2v1vtv3－63－12－14(11)L(f(5))126－第六節(jié)中國郵遞員問題

一、歐拉回路與道路定義8.18連通圖G中，若存在一條道路，經(jīng)過每邊一次且僅一次，則稱這條路為歐拉道路。若存在一條回路，經(jīng)過每邊一次且僅一次，則稱這條回路為歐拉回路。具有歐拉回路的圖稱為歐拉圖。定理8.7一個多重連通圖G是歐拉圖的充分必要條件是G中無奇點。推論一個多重連通圖G有歐拉道路的充分必要條件是G有且僅有兩個奇點。第六節(jié)中國郵遞員問題一、歐拉回路與道路ABCDABCD二、奇偶點圖上作業(yè)法（1）找出圖G中的所有的奇頂點，把它們兩兩配成對，而每對奇點之間必有一條通路，把這條通路上的所有邊作為重復(fù)邊追加到圖中去，這樣得到的新連通圖必?zé)o奇點。（2）如果邊e=（u,v）上的重復(fù)邊多于一條，則可從重復(fù)邊中去掉偶數(shù)條，使得其重復(fù)邊至多為一條，圖中的頂點仍全部都是偶頂點。（3）檢查圖中的每一個圈，如果每一個圈的重復(fù)邊的總長不大于該圈總長的一半，則已經(jīng)求得最優(yōu)方案。如果存在一個圈，重復(fù)邊的總長大于該圈總長的一半時，則將這個圈中的重復(fù)邊去掉，再將該圈中原來沒有重復(fù)邊的各邊加上重復(fù)邊，其它各圈的邊不變，返回步驟（2）。二、奇偶點圖上作業(yè)法判定標(biāo)準(zhǔn)1:在最優(yōu)郵遞路線上，圖中的每一條邊至多有一條重復(fù)邊。判定標(biāo)準(zhǔn)2:

在最優(yōu)郵遞路線上，圖中每一個圈的重復(fù)邊總權(quán)小于或等于該圈總權(quán)的一半。例8.12求解下圖所示網(wǎng)絡(luò)的中國郵路問題，圖中數(shù)字為該邊的長。v1v2v3v4v5v6v7v8v9243449556434判定標(biāo)準(zhǔn)1:在最優(yōu)郵遞路線上，圖中的每一條邊至多有一條重復(fù)v1v2v3v4v5v6v7v8v9243449556434v1v2v3v4v5v6v7v8v9243449643455l12+2l23+2l36+2l89+2l78+l69+l14+2l47=51v1v2v3v4v5v6v7v8v9243449556434v1v2v3v4v5v6v7v8v9243449556434v1v2v3v4v5v6v7v8v9243449556434v1v2v3v4v5v6v7v8v9243449556434v1v2v3v4v5v6v7v8v9243449556434圖與網(wǎng)絡(luò)分析在物流系統(tǒng)中的應(yīng)用(GraphTheoryandNetworkAnalysis)圖與網(wǎng)絡(luò)的基本知識最短路問題樹及最小樹問題圖與網(wǎng)絡(luò)分析在物流系統(tǒng)中的應(yīng)用圖與網(wǎng)絡(luò)的基本知識最短路問題BDACABCD哥尼斯堡七空橋一筆畫問題BDACABCD哥尼斯堡七空橋一筆畫問題應(yīng)用及解決的問題配送運輸規(guī)劃問題物流車輛規(guī)劃調(diào)度系統(tǒng)物流園區(qū)規(guī)劃應(yīng)用及解決的問題配送運輸規(guī)劃問題一、

圖與網(wǎng)絡(luò)的基本知識（一）、圖與網(wǎng)絡(luò)的基本概念

EADCB1、一個圖是由點和連線組成。（連線可帶箭頭，也可不帶，前者叫弧，后者叫邊）一、圖與網(wǎng)絡(luò)的基本知識EADCB1、一個圖是由一個圖是由點集和中元素的無序?qū)Φ囊粋€集合構(gòu)成的二元組，記為G=(V，E)，其中V中的元素叫做頂點，V表示圖G

的點集合；E

中的元素叫做邊，E表示圖G

的邊集合。v1v2v3v4v5v6e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10例圖1一個圖是由點集和中元素的無序?qū)?、如果一個圖是由點和邊所構(gòu)成的，則稱其為無向圖，記作G=(V，E)，連接點的邊記作[vi,vj]，或者[vj,vi]。3、如果一個圖是由點和弧所構(gòu)成的，那么稱它為有向圖，記作D=(V,A)，其中V表示有向圖D的點集合，A表示有向圖D的弧集合。一條方向從vi指向vj

的弧，記作(vi,vj)。v4v6v1v2v3v5V={v1,v2,v3,v4,v5,v6}，A={(v1,v3),(v2,v1),(v2,v3),(v2,v5),(v3,v5),(v4,v5),(v5,v4),(v5,v6)}圖22、如果一個圖是由點和邊所構(gòu)成的，則稱其為無向圖，記作4、一條邊的兩個端點是相同的,那么稱為這條邊是環(huán)。5、如果兩個端點之間有兩條以上的邊，那么稱為它們?yōu)槎嘀剡叀?、一個無環(huán)，無多重邊的圖稱為簡單圖，一個無環(huán)，有多重邊的圖稱為多重圖。7、每一對頂點間都有邊相連的無向簡單圖稱為完全圖。有向完全圖則是指任意兩個頂點之間有且僅有一條有向邊的簡單圖。4、一條邊的兩個端點是相同的,那么稱為這條邊是環(huán)。6、v1v2v3v4v5v6e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10度為零的點稱為弧立點，度為1的點稱為懸掛點。懸掛點的關(guān)聯(lián)邊稱為懸掛邊。度為奇數(shù)的點稱為奇點，度為偶數(shù)的點稱為偶點。8、以點v為端點的邊的個數(shù)稱為點v的度（次），記作。圖中

d(v1)=4，d(v6)=4（環(huán)計兩度）v1v2v3v4v5v6e1e2e3e4e5e6e7e8e9定理1所有頂點度數(shù)之和等于所有邊數(shù)的2倍。定理2在任一圖中，奇點的個數(shù)必為偶數(shù)。所有頂點的入次之和等于所有頂點的出次之和。有向圖中，以

vi為始點的邊數(shù)稱為點vi的出次，用表示；以

vi為終點的邊數(shù)稱為點vi的入次，用表示；vi點的出次和入次之和就是該點的次。定理1所有頂點度數(shù)之和等于所有邊數(shù)的2倍。9、設(shè)G1=（V1,E1），G2=（V2,E2）如果V2

V1,E2E1

稱G2

是G1

的子圖；如果V2=V1,E2E1

稱G2

是G1

的部分圖或支撐子圖。v1v2v3v4v5v6v7e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10e11(a)e5e7v1v2v5v6v7e1e6e8(b)子圖v1v2v3v4v5v6v7e1e6e7e9e10e11(c)支撐子圖9、設(shè)G1=（V1,E1），G2=（V2在實際應(yīng)用中，給定一個圖G=（V，E）或有向圖D=（V，A），在V中指定兩個點，一個稱為始點（或發(fā)點），記作v1，一個稱為終點（或收點），記作vn，其余的點稱為中間點。對每一條弧，對應(yīng)一個數(shù)，稱為弧上的“權(quán)”。通常把這種賦權(quán)的圖稱為網(wǎng)絡(luò)。10、由兩兩相鄰的點及其相關(guān)聯(lián)的邊構(gòu)成的點邊序列稱為鏈。如:v0，e1，v1，e2，v2，e3，v3,…,vn-1,en

，vn，記作（v0，v1，v2，v3,…,vn-1，vn），

在實際應(yīng)用中，給定一個圖G=（V，E）或有向圖De3v1v2v3v4v5v6e7e8e1e2e4e5e6e9e1011、圖中任意兩點之間均至少有一條通路，則稱此圖為連通圖，否則稱為不連通圖。其鏈長為n

，其中v0，vn分別稱為鏈的起點和終點。若鏈中所含的邊均不相同，則稱此鏈為簡單鏈；所含的點均不相同的鏈稱為初等鏈,也稱通路。e3v1v2v3v4v5v6e7e8e1e2e4e5e6e9（二）、圖的矩陣表示對于網(wǎng)絡(luò)（賦權(quán)圖）G=（V，E），其中邊有權(quán)，構(gòu)造矩陣，其中：稱矩陣A為網(wǎng)絡(luò)G的權(quán)矩陣。設(shè)圖G=（V，E）中頂點的個數(shù)為n，構(gòu)造一個矩陣，其中：稱矩陣A為網(wǎng)絡(luò)G的鄰接矩陣。（二）、圖的矩陣表示設(shè)圖G=（V，E）中頂點的個數(shù)例權(quán)矩陣為：鄰接矩陣為：v5v1v2v3v4v64332256437例權(quán)矩陣為：鄰接矩陣為：v5v1v2v3v4v6433225問題圖（頂點、邊）、有限圖、無限圖無向圖、有向圖、環(huán)、多重邊多重圖、簡單圖、完全圖、有向完全圖、二部圖頂點的次、出次、入次、懸掛點、孤立點、奇點、偶點子圖、生成子圖（支撐圖）、網(wǎng)絡(luò)（賦權(quán)圖）鏈、初等鏈、圈、初等圈、回路、連通圖圖的矩陣表示、鄰接矩陣歐拉道路、歐拉回路、中國郵路問題問題圖（頂點、邊）、有限圖、無限圖樹的概念樹、樹葉、分枝點數(shù)的性質(zhì)生成子圖、生成樹、樹枝、弦最小生成樹避圈法、破圈法有向樹、根樹、葉、分枝點、叉樹樹的概念樹、樹葉、分枝點

二、樹及最小樹問題

已知有六個城市，它們之間要架設(shè)電話線，要求任意兩個城市均可以互相通話，并且電話線的總長度最短。v1v2v3v4v5v61、一個連通的無圈的無向圖叫做樹。樹中次為1的點稱為樹葉，次大于1的點稱為分支點。二、樹及最小樹問題v1v2v3v4v5v61、一樹

的性質(zhì)：（1）樹必連通，但無回路（圈）。（2）n個頂點的樹必有n-1條邊。（3）樹

中任意兩個頂點之間，恰有且僅有一條鏈（初等鏈）。（4）樹

連通，但去掉任一條邊，必變?yōu)椴贿B通。（5）樹無回路（圈），但不相鄰的兩個點之間加一條邊，恰得到一個回路（圈）。v1v2v3v4v5v6樹的性質(zhì)：v1v2v3v4v5v62、設(shè)圖是圖G=(V,E)的一支撐子圖，如果圖是一個樹,那么稱K是G的一個生成樹（支撐樹），或簡稱為圖G的樹。圖G中屬于生成樹的邊稱為樹枝，不在生成樹中的邊稱為弦。一個圖G有生成樹的充要條件是G

是連通圖。v1v2v3v4v5v1v2v3v4v52、設(shè)圖是圖G=(V,E用避圈法求出下圖的一個生成樹。v1v2v3v4v5e1e2e3e4e5e6e7e8v1v2v3v4v5e2e4e6e8v1v2v3v4v5e1e2e3e4e5e6e7e8用避圈法求出下圖的一個生成樹。v1v2v3v4v5e1e2（一）破圈法（一）破圈法（二）避圈法

在圖中任取一條邊e1，找一條與e1不構(gòu)成圈的邊e2，再找一條與{e1，e2}不構(gòu)成圈的邊e3。一般設(shè)已有{e1，e2，…，ek}，找一條與{e1，e2，…，ek}中任何一些邊不構(gòu)成圈的邊ek+1，重復(fù)這個過程，直到不能進(jìn)行為止。（二）避圈法在圖中任取一條邊e1，找一條與e1v1v2v3v4v5v6v1v3v1v3v2v1v3v2v5v6v1v3v2v5v6v4v1v3v2v5v1v2v3v4v5v6v1v3v1v3v2v1v3v2v53、最小生成樹問題

如果圖是圖G的一個生成樹，那么稱E1上所有邊的權(quán)的和為生成樹T的權(quán)，記作S(T)。如果圖G的生成樹T*的權(quán)S(T*)，在G的所有生成樹T中的權(quán)最小，即那么稱T*是G的最小生成樹。某六個城市之間的道路網(wǎng)如圖

所示，要求沿著已知長度的道路聯(lián)結(jié)六個城市的電話線網(wǎng)，使電話線的總長度最短。v1v2v3v4v5v66515723445v1v2v3v4v5v6123443、最小生成樹問題如果圖是圖G的一v1v2v3v4v514231352v1v2v3v4v514231352

最短路的一般提法為：設(shè)為連通圖，圖中各邊有權(quán)（表示之間沒有邊），為圖中任意兩點，求一條路，使它為從到的所有路中總權(quán)最短。即：最小。(一)、狄克斯屈拉(Dijkstra)算法適用于wij≥0，給出了從vs到任意一個點vj的最短路。三、最短路問題(一)、狄克斯屈拉(Dijk算法步驟：1.給始點vs以P標(biāo)號，這表示從vs到

vs的最短距離為0，其余節(jié)點均給T標(biāo)號，。2.設(shè)節(jié)點vi

為剛得到P標(biāo)號的點，考慮點vj，其中，且vj為T標(biāo)號。對vj的T標(biāo)號進(jìn)行如下修改：3.比較所有具有T標(biāo)號的節(jié)點，把最小者改為P標(biāo)號，即：

當(dāng)存在兩個以上最小者時，可同時改為P標(biāo)號。若全部節(jié)點均為P標(biāo)號，則停止，否則用vk代替vi，返回步驟（2）。算法步驟：例一、用Dijkstra算法求下圖從v1到v6的最短路。v1v2v3v4v6v5352242421

解（1）首先給v1以P標(biāo)號，給其余所有點T標(biāo)號。（2）（3）（4）例一、用Dijkstra算法求下圖從v1到v6的v1v2v3v4v6v5352242421（5）（6）（7）（8）（9）（10）反向追蹤得v1到v6的最短路為：v1v2v3v4v6v5352242421（5）（6）（7）237184566134105275934682求從1到8的最短路徑237184566134105275934682求從1到8的237184566134105275934682X={1},w1=0min{c12,c14,c16}=min{0+2,0+1,0+3}=min{2,1,3}=1X={1,4},p4=1p4=1p1=0237184566134105275934682X={1},237184566134105275934682X={1,4}min{c12,c16,c42,c47}=min{0+2,0+3,1+10,1+2}=min{2,3,11,3}=2X={1,2,4},p2=2p1=0p4=1p2=2237184566134105275934682X={1,4237184566134105275934682X={1,2,4}min{c13,c23,c25,c47}=min{0+3,2+6,2+5,1+2}=min{3,8,7,3}=3X={1,2,4,6},p6=3p2=2p4=1p1=0p6=3237184566134105275934682X={1,2237184566134105275934682X={1,2,4,6}min{c23,c25,c47,c67}=min{2+6,2+5,1+2,3+4}=min{8,7,3,7}=3X={1,2,4,6,7},p7=3p2=2p4=1p1=0p6=3p7=3237184566134105275934682X={1,2237184566134105275934682X={1,2,4,6,7}min{c23,c25,c75,c78}=min{2+6,2+5,3+3,3+8}=min{8,7,6,11}=6X={1,2,4,5,6,7},p5=6p2=2p4=1p1=0p6=3p7=3p5=6237184566134105275934682X={1,2237184566134105275934682X={1,2,4,6,7}min{c23,c53,c58,c78}=min{2+6,6+9,6+4,3+8}=min{8,15,10,11}=8X={1,2,3,4,5,6,7},p3=8p2=2p4=1p1=0p6=3p7=3p5=6p3=8237184566134105275934682X={1,2237184566134105275934682X={1,2,3,4,6,7}min{c38,c58,c78}=min{8+6,6+4,3+7}=min{14,10,11}=10X={1,2,3,4,5,6,7,8},p8=10p2=2p4=1p1=0p6=3p7=3p5=6p3=8p8=10237184566134105275934682X={1,2237184566134105275934682X={1,2,3,4,6,7,8}1到8的最短路徑為{1，4，7，5，8}，長度為10。p2=2p4=1p1=0p6=3p7=3p5=6p3=8p8=10237184566134105275934682X={1,2求從V1

到V8

的最短路線。求從V1到V8的最短路線。V1V2V3V4V5V6V7V8①P=0T=+∞T=+∞T=+∞T=+∞T=+∞T=+∞T=+∞②P=T=3T=+∞T=7T=+∞T=+∞T=+∞T=+∞

③T=6T=7P=T=5T=+∞T=+∞T=+∞

④P=T=6T=6

T=8T=+∞T=+∞

⑤P=T=6

T=8T=9T=12

⑥P=T=8T=10T=10

⑦P=T=9T=11再無其它T標(biāo)號，所以

T(V8)=P(V8)=10;minL(μ)=10⑧P=T=10V1V2V3V4V5V6V7V8①P=0T=+∞T=+∞T由此看到，此方法不僅求出了從V1

到V8

的最短路長，同時也求出了從V1

到任意一點的最短路長。將從V1

到任一點的最短路權(quán)標(biāo)在圖上，即可求出從V1

到任一點的最短路線。本例中V1

到V8

的最短路線是：

v1→v2→v5→v6→v8

由此看到，此方法不僅求出了從V1到V8623121641036234210623121641036234210（二）、逐次逼近法算法的基本思路與步驟：首先設(shè)任一點vi到任一點vj都有一條弧。顯然，從v1到vj的最短路是從v1出發(fā)，沿著這條路到某個點vi再沿弧(vi,vj)到vj。則v1到vi的這條路必然也是v1到vi的所有路中的最短路。設(shè)P1j表示從v1到vj的最短路長，P1i表示從v1到vi的最短路長，則有下列方程：開始時，令即用v1到vj的直接距離做初始解。從第二步起，使用遞推公式：求，當(dāng)進(jìn)行到第t步，若出現(xiàn)則停止計算，即為v1到各點的最短路長。（二）、逐次逼近法例二、

－18v1v2v3v4v5－26－3－5－1－3－521－1211v6v7v837v1v2v3v4v5v6v7v8P(1)P(2)P(3)P(4)v10-1-23

0000v260

2

-1-5-5-5v3

-30-5

1

-2-2-2-2v48

0

2

3-7-7-7v5

-1

0

1-3-3v6

1017

-1-1-1v7

-1

0

5-5-5v8

-3

-50

66求圖中v1到各點的最短路例二、

－18v1v2v3v4v5－26－3－5－1－3－5

－18v1v2v3v4v5－26－3－5－1－3－521－1211v6v7v837（0，0）（v3，-5）（v1，-2）（v3，-7）（v2，-3）（v4，-5）（v3，-1）（v6，6）

－18v1v2v3v4v5－26－3－5－1－3－521－例三、求：5年內(nèi)，哪些年初購置新設(shè)備，使5年內(nèi)的總費用最小。解：（1）分析：可行的購置方案（更新計劃）是很多的，如：1）每年購置一臺新的，則對應(yīng)的費用為：

11+11+12+12+13+5+5+5+5+5=842)第一年購置新的，一直用到第五年年底，則總費用為：11+5+6+8+11+18=59

顯然不同的方案對應(yīng)不同的費用。第i年度

12345購置費1111121213設(shè)備役齡0-11-22-33-44-5維修費用

5681118例三、求：5年內(nèi)，哪些年初購置新設(shè)備，使5年內(nèi)的總費用最小。（2）方法：將此問題用一個賦權(quán)有向圖來描述，然后求這個賦權(quán)有向圖的最短路。求解步驟：1）畫賦權(quán)有向圖：設(shè)Vi

表示第i年初，(Vi,Vj)表示第i年初購買新設(shè)備用到第j年初（j-1年底），而Wij

表示相應(yīng)費用，則5年的一個更新計劃相當(dāng)于從V1

到V6的一條路。2）求解（標(biāo)號法）（2）方法：將此問題用一個賦權(quán)有向圖來描述，然后求這個賦權(quán)W12=11+5=16W13=11+5+6=22W14=11+5+6+8=30W15=11+5+6+8+11=41W16=11+5+6++8+11+18=59W23=11+5=16W24=11+5+6=22W25=11+5+6+8=30W26=11+5+6+8+11=41W45=12+5=17W46=12+5+6=23W56=13+5=18W34=12