初中數(shù)學(xué)人教八年級(jí)上冊(cè)第十二章全等三角形-角平分線的性質(zhì)

不利用工具，請(qǐng)你將一張用紙片做的角分成兩個(gè)相等的角.你有什么辦法？AOB再打開紙片，看看折痕與這個(gè)角有何關(guān)系？挑戰(zhàn)第一關(guān)情境引入對(duì)折1.在探究作角平分線的方法和角平分線性質(zhì)的過(guò)程中，掌握角平分線的作法和角平分線的性質(zhì).2.提高綜合運(yùn)用三角形全等的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題的能力；掌握簡(jiǎn)單的角平分線在生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用.

如果前面活動(dòng)中的紙片換成木板、鋼板等沒(méi)法折的角，又該怎么辦呢？

觀察下面簡(jiǎn)易的平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是∠DAB的平分線.你能說(shuō)明它的道理嗎？【證明】

在△ACD和△ACB中

AD=AB（已知）

DC=BC（已知）

CA=CA（公共邊）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）∴AC平分∠DAB（角平分線的定義）

根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個(gè)角的平分線？（不用角平分儀或量角器）尺規(guī)作角的平分線畫法：1.以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交OA于M，交OB于N．NOAMC2.分別以Ｍ，Ｎ為圓心．大于ＭＮ的長(zhǎng)為半徑作?。畠苫≡凇螦OB的內(nèi)部交于Ｃ．3.作射線OC．射線OC即為所求．B證明:連接MC,NC由作法知:在△OMC和△ONC中

OM=ON，

MC=NC，

OC=OC，∴△OMC≌△ONC(SSS)，∴∠AOC=∠BOC，即OC是∠ＡＯＢ的平分線.為什么OC是∠AOB的平分線?OABNMC猜想:角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.將∠AOB對(duì)折，再折出一個(gè)直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？挑戰(zhàn)第二關(guān)探索新知證明:∵ＯC平分∠ＡＯＢ,P是OC上一點(diǎn)（已知），∴∠DＯP=∠BＯP（角平分線定義），∵PD⊥OA,PE⊥OB（已知），∴∠ODP=∠OEP=90°（垂直的定義），在△OPD和△OPE中∠DOP=∠BOP（已證），∠ODP=∠OEP（已證），

OP=OP（已知），∴△OPD≌△OPE(AAS)，∴PD＝PE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）.

已知：OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于D，

PE⊥OB于E，PAOBCED12定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.用符號(hào)語(yǔ)言表示為：∵∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE.PAOBCED12角的平分線的性質(zhì)如圖，要在S區(qū)建一個(gè)貿(mào)易市場(chǎng)，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處500m，這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在何處？（比例尺為1︰20000）s【跟蹤訓(xùn)練】DCs【解析】

作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm,D即為所求.OBAEDCF1、已知:如圖,在△ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F.求證:EB=FC.【解析】根據(jù)角的平分線的性質(zhì)得DE=DF，再根據(jù)HL證明△BED≌△CFD,從而得到EB=FC.ADOBEPC2、如圖,OC是∠AOB的平分線,點(diǎn)P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是DE,PD=4cm,則PE=__________cm.43、如圖，在△ABC中，∠C＝900，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若BC＝8,BD＝5，則點(diǎn)D到AB的距離為？ACDBEE4、

（寧德·中考）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，在不添加任何輔助線的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一個(gè)條件是：_______________，并給予證明.BD

AEF(1)AE=AF請(qǐng)把證明過(guò)程寫在草稿本上(3)DE⊥AB,DF⊥AC請(qǐng)把證明過(guò)程寫在草稿本上(2)添一組角相等請(qǐng)把證明過(guò)程寫在草稿本上c5、在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，則：(1)哪條線段與DE相等？為什么？(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的長(zhǎng)和△AED的周長(zhǎng).EDCBA解：(1)DC=DE.理由如下：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.（2）在Rt△CDB和Rt△EDB中，

DC=DE，DB=DB，∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，∴BE＝BC=8.∴AE＝AB-BE=2.∴△AED的周長(zhǎng)