2022-2023學(xué)年上海九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期同步精講第7講平面向量的線性運(yùn)算(含詳解)

第7講平面向量的線性運(yùn)算r向量的相關(guān)概念實(shí)數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算定律實(shí)放與向量相乘，平面向量定理平面向量的合成與分解一平面向量作圖題：向量和差、分解r平面向量的概念r向量的運(yùn)算-利用向量證明平行或線段相等I求向量的線性組合與分解知識(shí)一、實(shí)數(shù)與向量相乘.平面向量的相關(guān)概念(1)向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；(2)向量的長度：向量的大小也叫做向量的長度(或向量的模)；(3)零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作6；(4)相等的向量：方向相同且長度相等的兩個(gè)向量叫做相等的向量;(5)互為相反向量：方向相反且長度相等的兩個(gè)向量叫做互為相反向量;(6)平行向量：方向相同或相反的兩個(gè)向量叫做平行向量..平面向量的加減法則(1)幾個(gè)向量相加的多邊形法則；(2)向量減法的三角形法則；(3)向量加法的平行四邊形法則..實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算設(shè)上是一個(gè)實(shí)數(shù)，￡是向量，那么左與￡相乘所得的積是一個(gè)向量，記作上上(1)如果1工0,且〃 那么版的長度卜4卜卜胴；的方向：當(dāng)2>0時(shí)44與a同方向；當(dāng)時(shí)版與。反方向.(2)如果％=0或a=6,那么2〃=。..實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算律設(shè)〃7、〃為實(shí)數(shù)，則(2)(m+；m\a+b\=ma+nib.(3)I).平行向量定理如果向量6與非零向量￡平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)〃?，使5=〃皿..單位向量單位向量：長度為1的向量叫做單位向量.設(shè)1為單位向量，則H=1.

單位向量有無數(shù)個(gè)：不同的單位向量，是指它們的方向不同.對(duì)于任意非零向量。，與它同方向的單位向量記作由實(shí)數(shù)與向量的乘積可知：a=la|a＜）,題型探究塞題型一、向量的相關(guān)概念與平面向量定理■【例1】（1）（2020年上海中考課時(shí)練習(xí)）已知非零向量入b，",下列條件中，不能判定￡〃石的是（ ）A.A.|坪；a//cfbHaB?a=-b;ii_ _a=2c，a=4c-（2021?上海九年級(jí)一模）已知向量。與非零向量?方向相同，且其模為同的2倍：向量5與。方向相TOC\o"1-5"\h\z反，且其模為同的3倍.則下列等式中成立的是（ ）尸 2r 3r 3rA.d=—b B.a=—b C.G=—B D.a=——h3 2 2（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）對(duì)于非零向量日與5,下列命題是假命題的是（ ）A.若1=5,則同=忖 b.若同=忖，則C.若d=-B,則同45| D.若同=W，則同=卜,（2019?上海）下列說法中，正確的是（ ）A.如果％=0,￡是非零向量，那么%￡=0B.如果工是單位向量，那么2=1C.如果歷|=|￡|,那么B=￡C.如果歷|=|￡|,那么B=￡或B=-渠%型二作圖題UL【例2】已知非零向量￡,求作-3a.更口題型三、向量的表示與相等向量Ub【例3】如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)，EG與相交于點(diǎn)0.設(shè)通=2,AD=b,試用向量￡或6表示向量?！?、OF,并寫出圖中與Od相等的向量?題型四、向量的運(yùn)算U［例4］填空：AB+BC=; AB+BC+CA=:AB-^BC+BA=;AE+FC+EF=AB-AC^rBC=； OA+BC-OC=【例5】計(jì)算:3(2a+5t)-2(3a-fe);^[2a+b-3c)-3^b-cL【例6】設(shè)a、B是已知向量，解關(guān)于向量］的方程22+3￡-35=6.7?1^【例7】用單位向量e表示下列向量：(1)￡與工方向相同，且長度為9；(2)區(qū)與e方向相反，且長度為5；(3)3與e方向相反，且長度為3.5震"題型五、向量的證明1L【例8】已知向量￡、6滿足史史-巴至=』(3￡+%),求證：向量￡和5平行.【例9】已知如+涕=&,2a-b=5c,其中2x6,那么向量￡與5是否平行？￡b舉一反三.下列說法中，正確的是（）A.一個(gè)向量與零相乘，乘積為零B.向量不能與無理數(shù)相乘C.非零向量乘以一個(gè)負(fù)數(shù)所得向量比原向量短D.非零向量乘以一個(gè)負(fù)數(shù)所得向量與原向量方向相反TOC\o"1-5"\h\z（2021?上海九年級(jí)專題練習(xí)）已知；工和［都是非零向量，在下列選項(xiàng)中，不能判定力/「的是（ ）A.a//c,b//cB-|a|=|I c-a=-3b D-a=-c,b=2c（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知1+5=41,那么了的值為（ ）A. B.2a C.3a D.4a（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）3d與2J+G的長度與方向的關(guān)系是（ ）A.長度相等，方向相同 B.長度相等，方向相反C.長度不等，方向相同 D.長度不等，方向相反（2020?上海九年級(jí)專題練習(xí)）如果向量々與單位向量。的方向相反，且長度為3,那么用向量。表示向量￡為（ ）

a=-a=-3ee=3ae=—3cl（2021?上海九年級(jí)一模）己知］、】是兩個(gè)單位向量，向量￡=3不，分=-3a，那么下列結(jié)論正確的是（A.4=￡ B.'a=-h C.H=W D.同=-忖.如圖，已知￡,求作（提示：利用三角形的重心）.3.如圖，己知點(diǎn)。、￡分別在AABC的邊力8、ZC上，DE//BC,AD=4,BD=7,試用向量8。表示向量..計(jì)算：(-3)x5〃= ；7(a+5)-4(a-+3a=；.在四邊形ZBC￡>中，AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b.求證：四邊形48co為梯形.知識(shí)二、向量的線性運(yùn)算.向量的線性運(yùn)算如果￡、行是兩個(gè)不平行的向量，x、y是實(shí)數(shù)，那么x“+該叫做公、行的線性組合.向量加法、減法、實(shí)數(shù)與向量相乘以及它們的混合運(yùn)算叫做向量的線性運(yùn)算.如2￡+5辦、a-3b,2,+3可、-|￡+0-|0等，都是向量的線性運(yùn)算..向量的合成與分解如果〃、行是兩個(gè)不平行的向量，c-ma^-nh（m、〃是實(shí)數(shù)），那么向量c就是向量相。與心的合成；也可以說向量c分解為ma、〃區(qū)兩個(gè)向量，這時(shí)，向量w與八是向量c分別在。、b方向上的分向量，ma+nb是向量［關(guān)于￡、〃的分解式.平面上任意一個(gè)向量都可以在給定的兩個(gè)不平行向量的方向上分解.題型探究有題型-、作圖題4b【例10】已知兩個(gè)不平行的向量￡、丸求作：3a+2b,a-2b.^a-2b\.LL【例ii】已知兩個(gè)不平行的向量2、尻求作：R+B）^a-2b\.y題型二、向量的線性組合網(wǎng)【例12】（1）（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，O為匚ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別ah1Ap1在AB、AC上，且==彳；若OB=G,OC=b?求：用向量d,B表不防，AB4EC3 -（2）（2020?上海九年級(jí)一模）如圖，在梯形A3CO中，AD//BC, ,對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)0,設(shè)而=￡,而=小試用￡、B的式子表示向量血.君1題型三、向量的分解”*【例13］如圖，已知向量。4、。月和萬、q,求作:（1）向量P分別在04、方向上的分向量;（2）向量G分別在雙、麗方向上的分向量.（2020上海九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行四邊形Z8CZ）中，E是邊ZO上一點(diǎn)，CE與8。相交于點(diǎn)O,CE與BA的延長線相交于點(diǎn)G,已知DE=2AE,CE=8.（1）求GE的長；（2）若=AD=S＞用￡、坂表示而；（3）在圖中畫出;3+尻（不需要寫畫法，但需要結(jié)論）Ga/-\￡ 2口O,（2021?上海九年級(jí)一模）如圖，四邊形/8CO是平行四邊形，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)ZC、8E相交于點(diǎn)O.設(shè)BA=a>CB—b■（1）試用"、B表示的；（2）在圖中作出的在誣、前上的分向量，并直接用￡、坂表示函.（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論）課后作業(yè)（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列各式與3a是相等向量的是（ ）A.4a+2a B.6a-2d C.2b+b D.-（5a+a）（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（

A.如果雨A.如果雨=而，那么A與B重合B.若麗=2而，則B是OA的中點(diǎn)C.若。4=208,則若⑸=2麗 D.B是0A的中點(diǎn)則OA=2OB3.（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如果點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，那么下列結(jié)論正確的是（UUUUUU ULMUUUUA.AC+BC=0 B.AC-BC=0C.AC+BC=0 D.AC-BC=0TOC\o"1-5"\h\z（2021?上海九年級(jí)專題練習(xí)）已知非零向量￡、b，且有6=_海，下列說法中，不正確的是（ ）A.|a|=2|*|；B.ab■, C.-與各方向相反；D.a+2b=0（2020?上海九年級(jí)一模）已知￡,分和2都是非零向量，下列結(jié)論中不能判定￡匚出的是（）A.a"c，bHcB.a=-c,b-2cC.a=2b D.p|=|^|（2020?上海九年級(jí)專題練習(xí)）若。=22,向量6和向量乙方向相反，且|5|=2|0,則下列結(jié)論中不正確的是（ ）1_A.\a\=2 B.\b|=4 C.b=4e D.a———h（2021?上海中考真題）如圖，已知平行四邊形48C。中，而=之而=5,E為AB中點(diǎn)，求京+5=（ ）A.EC B.CE C.ED D.DE（2021?上海九年級(jí)二模）如圖，在匕18c中，點(diǎn)。、￡分別是邊8C、AC的中點(diǎn)，ZO和8E交于點(diǎn)G,設(shè)布=&，AE=b，那么向量而用向量1、5表示為（ ）ATOC\o"1-5"\h\z2-2- 22- 11- 11-A.—a+—bB.-a+—b C.—a+—b D.—a+—b3 3 3 3 2 2 2 2（2021?上海九年級(jí)一模）已知點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，那么下列結(jié)論中，正確的是（ ）.A.AM=BM B.AM=-ABC.BM D.AM+BM=O（2021?上海）以下說法錯(cuò)誤的是（ ）A.如果々a=0，那么q=0；B.如果a=-2S，那么|,|=23|；-2-C.如果（5為非零向量），那么￡〃5：TOC\o"1-5"\h\z111 _?D.如果％不是與非零向量￡同方向的單位向量，那么G=|G|4.（2021?上海九年級(jí)一模）已知G是非零向量，b=-2a＞下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）A.5與G平行 B.5與日互為相反向量- f 1尸C.\b\=2\a\ D.萬=一//?（2020?上海交大附中九年級(jí)期中）下列關(guān)于向量的說法中，不正確的個(gè)數(shù)是（ ）口3g-5）-（3值-36）=0；［若同=3W,則4=—3萬;口若加、”是實(shí)數(shù)，貝匚如果非零向量5與非零向量n平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)，，?，使得5=楨；口如果非零向量&=法，則］與5所在的直線平行；口如果.；與「分別是1與5的單位向量,則［//%：A.2 B.3 C.4 D.5(2021?上海九年級(jí)一模)計(jì)算：42-3(￡-2今=.(2020?上海市位育初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中)化簡：3(a+^h)-2(a-b)=.(2021?上海九年級(jí)專題練習(xí))已知向量々與"方向相反，長度為6,則a=g(2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí))化簡：AB+BC+CD=.AB-AD-DC=.(AB-CD)-(AC-BD)=.(2021?上海九年級(jí)專題練習(xí))已知向量￡石，滿足關(guān)系式￡+4(B-I)=6,那么可用向量詞表示向量；(2021?上海松江區(qū)?九年級(jí)二模)如圖，已知LX8CZ),E是邊C。的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)XE并延長，與8c的延長線交于點(diǎn)F.設(shè)血=。,亞=B,用2,5表示AF為.（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知DEUAC,DFCAB,BD：DC=2：5,設(shè)AB=d,BD=b.。，坂表示：CD,DF,AC,DE.（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知￡、坂都是已知向量，I、區(qū)都是未知向量，且I+2a—0，4x—y+。+2b—0,無、y.（2021?上海九年級(jí)一模）如圖，在口488中，AE平分4紐），AE與5。交于點(diǎn)尸，AB=1.2,BC=1.8.（1）求防:。尸的值；（2）設(shè)而=￡,BC=b,求向量而（用向量入坂表示）.（2021?上海九年級(jí)一模）如圖，一個(gè)3x3的網(wǎng)格.其中點(diǎn)A、B、C、D、M、N、P、Q均為網(wǎng)格點(diǎn).（1）在點(diǎn)M、N、P、Q中，哪個(gè)點(diǎn)和點(diǎn)A、B所構(gòu)成的三角形與aABC相似？請(qǐng)說明理由:（2）設(shè)通=a,BC=b,寫出向量而關(guān)于的分解式.（2021?上海九年級(jí)一模）如圖，已知aABC中，DE//BC,且OE經(jīng)過△加C的重心點(diǎn)G,麗=萬，BC=b.（1）試用向量a、）表示向量屜;（2）求作向量g（3@-b）（不要求寫作法，但要指出圖中表示結(jié)論的向量）.（2021?上海）如圖，在平行四邊形ABC。中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.E為OC的中點(diǎn)，連接BE并延長，交邊CD于點(diǎn)F,設(shè)雨=萬，BC^b.（1）填空：向量荏=;（2）填空：向量濟(jì)=,并在圖中畫出向量阱在向量放和此方向上的分向量.（注：本題結(jié)果用含向量￡、坂的式子表示，畫圖不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）（2020?上海交大附中九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)￡）、E分別在△加?C1的邊BA、C4的延長線上，且DE//BC,AE=^AC,尸為AC的中點(diǎn).（1）設(shè)=>AC=b<試用士+yX的形式表示還，訪；（尤、丁為實(shí)數(shù)）（2）作出於在原、庭上的分向量.（保留作圖痕跡，不寫作法，寫出結(jié)論）

第7講平面向量的線性運(yùn)算向量的相關(guān)概念實(shí)數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算定律知識(shí)梳理—實(shí)放與向量相乘-平面向量定理平面向量的合成與分解平面向量作圖題：向量和差、分解平面向量的概念題型探究課后作業(yè)向量的運(yùn)算利用向量證明平行或線段相等J求向量的線性組合與分解@知識(shí)一、實(shí)數(shù)與向量相乘.平面向量的相關(guān)概念(1)向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；(2)向量的長度：向量的大小也叫做向量的長度(或向量的模)；(3)零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作6；(4)相等的向量：方向相同且長度相等的兩個(gè)向量叫做相等的向量；(5)互為相反向量：方向相反且長度相等的兩個(gè)向量叫做互為相反向量;(6)平行向量：方向相同或相反的兩個(gè)向量叫做平行向量..平面向量的加減法則(1)幾個(gè)向量相加的多邊形法則；(2)向量減法的三角形法則；(3)向量加法的平行四邊形法則..實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算設(shè)％是一個(gè)實(shí)數(shù)，￡是向量，那么無與￡相乘所得的積是一個(gè)向量，記作&￡.⑴如果且ax。，那么ka的長度上《=陶《|小ka的方向：當(dāng)人>0時(shí)Aa與a同方向；當(dāng)％<0時(shí)ka與“反方向.(2)如果*=0或￡=6,那么.實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算律設(shè)機(jī)、〃為實(shí)數(shù)，則(2)(/?+n)a=ma+na；m\a-\-b\=ina+fnb.(3) 1 ).平行向量定理如果向量另與非零向量。平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)m,使B=/九。..單位向量單位向量：長度為1的向量叫做單位向量.設(shè)工為單位向量，則R=i.單位向量有無數(shù)個(gè)；不同的單位向量，是指它們的方向不同.

對(duì)于任意非零向量與它同方向的單位向量記作由實(shí)數(shù)與向量的乘積可知：￡=|￡|￡o,a0=^a.(S題型探究題型一、向量的相關(guān)概念與平面向量定理不熊判定的人【例1】（1）（2020年上海中考課時(shí)練習(xí)）已知非零向量￡,b.c，不熊判定的B?a=-b;D?a=2c，a=4c.【答案】A【解析】A.|a|=|i|,不能判斷￡〃囚，故本選項(xiàng)，符合題意B.：=」＞, a//b＜故本選項(xiàng)，不符合題意；alH，blU，a//b，故本選項(xiàng)，不符合題意：a=2c?a=4c，aHb故本選項(xiàng),不符合題意；故選：A.（2021?上海九年級(jí)一模）已知向量M與非零向量0方向相同，且其模為同的2倍:TOC\o"1-5"\h\z反，且其模為同的3倍.則下列等式中成立的是（ ）2r 2- 3- 3-A.a=—b B.a=—b C.a=—b D.a=b3 3 2 2【答案】B【解析】解：由題意可知：a=2e,b=-iere=b3ra=2e=h故選：B.（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）對(duì)于非零向量々與5,下列命題是假命題的是（ ）A.若&=B，則同=|同 B.若同=忖，則］=弓c.若一=￡則同+同 D.若同=W，則同=圍【答案】B【解析】解：根據(jù)向量的概念，知：A、C、D正確；B、兩個(gè)向量的長度相等，但兩個(gè)向量不一定方向相等，故錯(cuò)誤.故選：B.（2019?上海）下列說法中，正確的是（ ）A.如果k=0,￡是非零向量，那么左￡=0B.如果工是單位向量，那么"=1C.如果=那么另=°或3=-°D.已知非零向量如果向量-5a，那么ab【答案】D【解析】解：4、如果k=0,a是非零向量，那么4a=0,錯(cuò)誤，應(yīng)該是Ra=0.B、如果e是單位向量，那么e=l,錯(cuò)誤.應(yīng)該是H=LC、如果=那么^=“或坂=-〃，錯(cuò)誤.模相等的向量，不一定平行.D、已知非零向量￡,如果向量B=-5￡,那么￡b.正確.故選：D.y題型二、作圖題H【例2】已知非零向量￡,求作工￡,-3a.5【答案】圖見解析.__ 7 -.7一【解析】在平面內(nèi)任取一點(diǎn)4做AB=a，在射線力b上,取A。=—ABijji]AC--a.在射線AB的反向延長線上，取%>=3AB，則BD=-3a..^^題型三、向量的表示與相等向量Mb【例3】如圖，在平行四邊形ABC。中，E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)，EG與/相交于點(diǎn)O.設(shè)A月=￡,AD^b,試用向量￡或坂表示向量礪、OF,并寫出圖中與礪相等的向量.【答案】應(yīng)=」￡；而=-U,Mod相等的向量有的;而：麗；麗;而.2 2

【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，E、F,G、H分別是各邊中點(diǎn)，所以利用平行四邊形的判定定理可知圖中的四個(gè)小四邊形都是平行四邊形，所以礪=」衣=」日而=」而=-射，與。G相等的2 2 2 2向量有的；作；F月；DH；Hd五個(gè).更與題型四、向量的運(yùn)算U1【例4】填空：AB+BC=； AB+BC+CA=；AB+BC+BA=； AE+FC+EF=;AB-AC+BC=； OA+BC-OC=.【答案】AC；0；BC:A.C；6；BA.【解析】此題主要考查向量的加減法則，另外，力0減法則之間可以轉(zhuǎn)換，比如4月-4。=圍是利用減法法則，箭頭指向被減數(shù)，同時(shí)荏-衣=福+9=國+麗=。,這樣運(yùn)算復(fù)雜了，但也是一種思路.匕［例5］計(jì)算：(1)仿一羽一九；I2)2(2)3(2a+5&)-2(3a-&)；(3)妒+石一34f一1-3- - -f3r【答案】(I)--a--b；(2)17b；(3)a-b+-c.2 2 2【解析】⑴(”|小|~-|方一1 【解析】⑴(”|小|~-|方a=--a--b；3(2a+5b)-2(3a-b)=6a+15b-6a+2b=nb^—(2a+Z>-3c)-3|—b-c\=a+—b-—c-—h^3c=a-b+—c?TOC\o"1-5"\h\z2V71.2J2 2 2 24>【例6】設(shè)￡、A是已知向量，解關(guān)于向量3的方程2"+3￡-3B=6.7【答案】c=-b--a.7 2【解析】解：2c+3a--fe=0,2c=-b-3a,c=-b--a.7 7 7 2網(wǎng)【例7】用單位向量)表示下列向量：(1)。與e方向相同，且長度為9；(2)6與e方向相反，且長度為5；(3)"與"方向相反，且長度為5【答案】a=9e；b=-5e；c=——e.5［解析］此題上要寫杳用中.位向量)來表示一知向量,￡=9］④=-5"；2=-.無"題型五、向量的證明【例8】已知向量入B滿足土詈-呼=g(3l+涕)，求證：向量￡和五平行.【答案】證明見解析【解析】--4=幻￡+4)去分母：2(￡+3&-5(￡-6=2(3￡+潺)去括號(hào)：2a+6h-5a+5h=6a+4h移項(xiàng)合并得：lb=9a系數(shù)化1：b-—a7所以，向量￡和囚平行.L【例9】已知3￡+25=4i,2a-b=5c,其中"x。，那么向量￡與5是否平行？【答案】平行.’——（"__3/7+2力=4-c a-26 ————【解析】聯(lián)立方程組：] ,解得：，根據(jù)實(shí)數(shù)與向量相乘的意義，可知a||c*||c,2a-b=5c [b=-c所以，向量:與日平行./舉一反三.下列說法中，正確的是（ ）A.一個(gè)向量與零相乘，乘積為零B.向量不能與無理數(shù)相乘C.非零向量乘以一個(gè)負(fù)數(shù)所得向量比原向量短D.非零向量乘以一個(gè)負(fù)數(shù)所得向量與原向量方向相反【答案】D【解析】1選項(xiàng)向量與零相乘，結(jié)果是零向量；B選項(xiàng)向量可以與任何實(shí)數(shù)相乘；C選項(xiàng)非零向量乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，方向與原向量相反，長度不確定.2.（2021?上海九年級(jí)專題練習(xí)）已知；工和:都是非零向量，在下列選項(xiàng)中，不能判定力/1的是（ ）->]->―?―>a//c,^//cB.|a|=|ftI c-a=-3b D-a=-c,b=2c【答案】B【解析】解：A、1//> 力八，故本選項(xiàng)不合題意；的模相等，但不一定平行，故本選項(xiàng)符合題意；a=-3b' a//b'故本選項(xiàng)不合題意；TOC\o"1-5"\h\z―?1—?—> —?a=-cyb=2c, 2//b9故本選項(xiàng)不合題意.故選：B.（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知萬+5=4萬，那么了的值為（ ）A. B.2a C.3a D.4a【答案】C【解析】解：a+h=4J?fTTTh=4a-a=3a；故選：c.（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）31與25+萬的長度與方向的關(guān)系是（ ）A.長度相等，方向相同 B.長度相等，方向相反C.長度不等，方向相同 D.長度不等，方向相反【答案】A【解析】-：2d+a=?>a，3G相等向量長度相等，方向相同故選：A（2020?上海九年級(jí)專題練習(xí)）如果向量公與單位向量；的方向相反，且長度為3,那么用向量）表示向量￡A.a=3e B.a=-3e C.e=3a D.e=-3a【答案】B【解析】解：向量G為單位向量，向量2與向量？方向相反，a=-3e.故選：B..（2021?上海九年級(jí)一模）已知錄、晟是兩個(gè)單位向量，向量￡=3不，萬=-耳，那么下列結(jié)論正確的是（）A.4=鼻 B.a=-b C.卜|=1|D.|a=T耳【答案】C【解析】解：I、晟是兩個(gè)單位向量，方向不?定相同，［4與己不?定相等，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；q、S是兩個(gè)單位向量，方向不?定相同，￡與-5不一定相等，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；I*U* rit rrp/|=|3e）|=3,|/?|=|-3e2|=3, |a|=|h|,選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：C.如圖，已知￡,求作（提示：利用三角形的重心）.3【答案】圖見解析.【解析】作亂=￡,過點(diǎn)。作線段8C,使得。是3C中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)彳5、AC.取/C中點(diǎn)，則40、5E分別是三角形Z6C的中線，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)可知：礪=-！￡為所求作向量.3.如圖，已知點(diǎn)。、E分別在A48c的邊/8、ZC上，DE//BC,AD=4,80=7,試用向量方表示向量詼.AAAD_4法一AD_4法一7T'DEAD = BCAB【解析】AD=4,BD=1,又DEIIBC.-.4-.DE=—BC.11TOC\o"1-5"\h\z9.計(jì)算：(-3)x5—= ；7(a+b)-4(a-b)+3a=\o"CurrentDocument"g(a+B)-：(“-〃)= ---一1-5一【答案】-15。；6〃+1區(qū)；—a+—6 6【解析】(1)(-3)x53=75九7(〃+-4(。-勾+3a=7a+75-4?+4〃+3a=6a+1區(qū);—(a+b\——(a—b\=—a+—b——a+—b=—a+—b.2V'3V72 2 3 3 6 610.在四邊形48C。中，AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b.求證：四邊形48co為梯形.【答案】證明過程見解析.【解析】Ab=AB+BC+CD=a+2b-4a-b-5a-3b=-8a-2b,BC=-4a-b,AD=2(-Aa-b)=2BC,AD//BC.四邊形X8C。是梯形.@知識(shí)二、向量的線性運(yùn)算.向量的線性運(yùn)算如果。、方是兩個(gè)不平行的向量，x、y是實(shí)數(shù)，那么x0+仍叫做￡、辦的線性組合.向量加法、減法、實(shí)數(shù)與向量相乘以及它們的混合運(yùn)算叫做向量的線性運(yùn)算.如2￡+5$、a-3b,2,+34、等，都是向量的線性運(yùn)算..向量的合成與分解如果〃、6是兩個(gè)不平行的向量，c=ma+nb(m、n是實(shí)數(shù))，那么向量c就是向量加。與〃〃的合成；也可以說向量c分解為〃7a、nb兩個(gè)向量，這時(shí)，向量ma與〃方是向量c分別在。、b方向上的分向量，ma4-nb是向量"關(guān)于￡、B的分解式.平面上任意一個(gè)向量都可以在給定的兩個(gè)不平行向量的方向上分解.

題型探究【答案】圖像見解析【答案】圖像見解析已知兩個(gè)不平行的向量題型探究【答案】圖像見解析【答案】圖像見解析已知兩個(gè)不平行的向量4、〃.求作如圖，在平面內(nèi)取一點(diǎn)。，作QA=—08=3b;再作AB已知兩個(gè)不平行的向量￡、人求作：3￡+2員為鄰邊，作平行四邊形OCE。，則。舌=3￡+%題型二、向量的線性組合4【例12】（1）（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，O為二ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別An1 1在AB、AC上，且=彳；若OB=G,OC=b>求：用向量M，5表示/）%.AB4EC3 —[f]一【答案】DE=4Z，-4°【解析】解：當(dāng)=；，歙=：AB4EC3ADAE1——=——=—ABAC4□DEBCDEAD1 = =—BCAB4BC^b-a_.1->1-?DE=力一不；4 4（3）（2020?上海九年級(jí)一模）如圖，在梯形ABC。中，ADIIBC,8C=2A￡）,對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)O,設(shè)而=￡,而=3.試用￡、B的式子表示向量4。.c<

i_2【答案】AO=-b+-a【解析】ADUBC,BC=2ADAO1ort4x-k14c =—即AO=—ACAC3 3?：AD=a，BC與而同向，BC=2a-AC=AB+BC=b+2aW題型三、向量的分解瓦【例13］如圖，已知向量。4、和方、q,求作:（1）向量方分別在麗、而方向上的分向量;（2）向量&分別在。4、O行方向上的分向量.【答案】（1）仇102是向量方分別在麗、麗方向上的分向量.（2）oC、o廠是向量G分別在厲、o月方向上的分向量.【解析】(1)作向量而=萬；再過點(diǎn)P分別作PE//OA,PD//OB,E為直線PE與直線08的交點(diǎn)，。為直線PC與直線0A的交點(diǎn).作向量而、則。方、說是向量萬分別在麗、麗方向上的分向量.(2)作麗=，;再過點(diǎn)。分別作。以。4,QG//0B,尸為直線Q尸與直線。8的交點(diǎn)，G為直線QG與直線04的交點(diǎn).作向量尸.則OG.OF是向量q分別在C4、OB方向卜.的分向量.?3舉一反三1.(2020上海九年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，在平行四邊形188中，E是邊4。上一點(diǎn)，CE與BD相交于點(diǎn)、O,CE與BA的延長線相交于點(diǎn)G,已知DE=2AE,CE=8.(1)求GE的長；(2)若=AD=fe?用￡、坂表示而；(3)在圖中畫出;。+尻(不需要寫畫法，但需要結(jié)論) 3a【答案】⑴GE=4；(2)OB=-a-^-b-(3)而即為所求，作圖見解析【解析】(1)匚四邊形48co是平行四邊形，AD=BC,ADJBCf：,aGAEsaGBC、\JDE=2AE,GEAE1GC-BC-3CE=8,GE1 =-GE+83□GE=4.經(jīng)檢驗(yàn)：GE=4符合題意.(2)BD=BA^AD=b-a，DEBC,DE=2AE,：.aDOEsaBOC,DEOD2正一麗—5TOC\o"1-5"\h\zOBOB3 = =—BDOD+OB5OB^--Cb-a\=a-b；5、 15 5(3)如圖，延長。到H,使得￡W=/G,連接47.B C匚力EBC,/.△AG￡°°a^GC,GAAE1 = -—GBBC3GAGA1 — _—ABGB-GA2

DH=AG=-BA=-a2 2—a+b=AD+DH=AH2而即為所求.2.(2021?上海九年級(jí)一模)如圖，四邊形/8CO是平行四邊形，點(diǎn)￡是邊4。的中點(diǎn)相交于點(diǎn)O.設(shè)BA=a>CB=h-(1)試用工、石表示的；(2)在圖中作出而在無、而上的分向量，并直接用￡、B表示麗.(不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論) 2_]_ 7-2_【答案】(1)BO=-a-—b；(2)見解析，CO=—b+—a【解析】解(1)AD//BCOEAE1Li==—BOBC22BO=—BE3BO=-BE=-(BA+AE)=-(a--b]=-a--b.,3 3 31 2J3 3(2)[AEDBC,AOAE1 - ——?COCB2CO=-CA,3

國=沁洛+孫灑￡）=*+]如圖所示，cdcb.而上的分向量分別為《取和麗.課后作業(yè)（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列各式與叼是相等向量的是（ ）A.4a+2a B.6a-2a C.2b+b D.-（5a+a）【答案】D【解析】解：A選項(xiàng)4萬+2萬=6萬，不符合題意；B選項(xiàng)= ,不符合題意；C選項(xiàng)25+5=35;不符合題意；.1 ——1TTD選項(xiàng)5（5。+。）=萬-6a=3。，符合題意.故選：D.（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（ ）A.如果西=麗，那么A與B重合B.若麗=2麗，則B是OA的中點(diǎn)C.若04=208,則若麗=2麗 D.B是OA的中點(diǎn)則OA=2OB【答案】C【解析】因?yàn)辂?而且方向相同，所以A與B重合，此選項(xiàng)正確;B、因?yàn)槲?2而且方向相同，所以B是OA的中點(diǎn)，此選項(xiàng)正確，C、因?yàn)?4=208,但方向不明確，所以礪=2而或礪=-2而，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、因?yàn)锽是OA的中點(diǎn),所以O(shè)A=2OB，此選項(xiàng)止確，符合題意的選項(xiàng)是C,故選：C.（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如果點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，那么下列結(jié)論正確的是（ ）IUUUUU HimLMJUA.AC+BC=0 B.AC-BC=0C.AC+BC=0 D.AC-BC=0【答案】C【解析】解：由題意，□點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，國=|網(wǎng)就與南為相反向量，ac+bc=6；故選：C.（2021?上海九年級(jí)專題練習(xí)）已知非零向量￡、b，且有￡=-25,下列說法中，不正確的是（ ）|￡|=2歷］；B.?□*； C.￡與各方向相反；D.a+2b=0-【答案】D【解析】5=-2b,表明向量?與-2l是同一方向上相同的向量，自然模也相等、|￡|=2仍|,該選項(xiàng)不符合題意錯(cuò)誤：￡=-涕，表明向量―與-2分是同一方向上相同的向量，那么它們是相互平行的，雖然-25與占方向相反,但還是相互平行，aB，該選項(xiàng)不符合題意錯(cuò)誤；a=-2b,而-2B與5方向相反，￡與B的方向相反，該選項(xiàng)不符合題意錯(cuò)誤；0只表示數(shù)量，不表示方向，而￡+*是兩個(gè)矢量相加是帶方向的，應(yīng)該是該選項(xiàng)符合題>X.1/—V意正確；故選：D（2020?上海九年級(jí)一模）已知心B和2都是非零向量，下列結(jié)論中不能判定￡□另的是（）alleybileB.a=^c,b-2cC.a=2b D.卜卜卜|【答案】D【解析】解：A.a〃c，A〃c，ab?故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；a=^c,b=2cab?故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.￡=%,a 故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；|a|=|J|,￡與加的模相等，但不一定平行，故本選項(xiàng)正確；故選：D.（2020?上海九年級(jí)專題練習(xí)）若。=2?,向量5和向量4方向相反，且|5|=2|團(tuán)，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）A.|a|=2 B.\b|=4 C.b=4e D.a=【答案】C【解析】/、由a=2e推知冏=2,故本選項(xiàng)不符合題意.從由萬=4?推知|5|=4,故本選項(xiàng)不符合題意.C、依題意得：b=-4e,故本選項(xiàng)符合題意.。、依題意得：a=-^b,故本選項(xiàng)不符合題意.故選C.CA=BD.???平行四邊形A8CO是矩形.故選：A.（2021?上海中考真題）如圖，已知平行四邊形ZBCZ）中，AB=a,AD=b,￡為43中點(diǎn)，求3萬+5=（A.EC B.CE C.ED D.DE【答案】A【解析】四邊形/8C3是平行四邊形，￡為A8中點(diǎn)，-a+b=-AB+BC=EB+BC=EC2 2故選A.（2021?上海九年級(jí)二模）如圖，在/8C中，點(diǎn)。、E分別是邊8。、NC的中點(diǎn)，4）和8E交于點(diǎn)G,設(shè)A/i=6,AE=b,那么向量而用向量1、5表示為（ ）33 3 3 2 2 2 2【答案】A【解析】解：AB^a,AE=h,BE=BA+AE=-a+b,AD,8E是力8c的中線,匚G是〃BC的重心，BG=-BE,3― 2-2-而:一鏟+/故選才.（2021,上海九年級(jí)一模）已知點(diǎn)M是線段A8的中點(diǎn)，那么下列結(jié)論中，正確的是（A.AM=BM B.=c.bm=\ab d.am+bm=o2【答案】B【解析】解：A、AM=MB，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;—.1—tB、AM=-AB,故本選項(xiàng)正確；C、BM=^BA,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、AM+BM=O,,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤. ——'B10.（2021?上海）以下說法錯(cuò)誤的是（ ）A.如果ka=C，那么a=0；B.如果&=-正，那么|叫=2歷|；-2-C.如果a= （5為非零向量），那么a〃5;in __D.如果他不是與非零向量a同方向的單位向量，那么G=|西/.【答案】A【解析】A、如果&￡=。，那么2x0,故該項(xiàng)錯(cuò)誤，B、如果a=-必，那么|闔=2出|,故該項(xiàng)正確;-2-C、如果a= （5為非零向量），那么故該項(xiàng)正確；UU _,D,如果％不是與非零向量3同方向的單位向量，那么萬故該項(xiàng)正確；故選；A.（2021?上海九年級(jí)一模）已知不是非零向量，h=-2a＞下列說法中錯(cuò)誤的是（A.8與1A.8與1平行_]-\b\=2\a\ D.a=--b【答案】B【解析】解：A.因?yàn)榱?-2』（a#0）,則8與G平行，故此結(jié)論正確；B.若兩個(gè)向量方向相反，大小相等，則為相反向量，故此結(jié)論錯(cuò)誤；C.因?yàn)椤?-2「，則1=21切結(jié)論正確；5=—兩邊同除以2，則萬=-56,故此結(jié)論止確.故答案為：B.（2020?上海交大附中九年級(jí)期中）下列關(guān)于向量的說法中，不正確的個(gè)數(shù)是（ ）口3（1-5）-（36-38）=0；「若同=3同，則@=-36；口若加、”是實(shí)數(shù)，則m（位）=（mn）萬；「如果非零向量5與非零向量不平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)”?，使得5=3;口如果非零向量2=蕨，則G與5所在的直線平行：口如果°：與風(fēng)分別是儀與區(qū)的單位向量,則3〃bHA.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】3（6M）-（3"35）=3僅一5）-3（"5）=0,該選項(xiàng)正確；若同=3忖，向量既有大小,也有方向，故不確定，恢選項(xiàng)錯(cuò)誤:若"?、"是實(shí)數(shù),則聞戒)=(m)方,該選項(xiàng)正確:匚如果非零向量5與非零向量1平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)加，使得萬=楨，該選項(xiàng)正確；如果非零向量d=.，可得了、5方向相同，則1與5所在的直線平行，該選項(xiàng)正確；如果。與5不平行，則［與E也不平行，該選項(xiàng)錯(cuò)誤.綜上，正確，共4個(gè).故選：C.(2021?上海九年級(jí)一模)計(jì)算：4a-3(a-2b)=.【答案】a+6b［解析］解：45-3(a-2fe)=4a-3a+6b=a+6B故答案為：。+65.(2020?上海市位育初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中)化簡：3(a+^b)-2(a-b)=.7T【答案】d+3b【解析】解：3(a+-b)-2(a-b)=3a^—h-21+25=(3-2)1+(yH-2)8=1+51故答案是：萬+］5.(2021?上海九年級(jí)專題練習(xí))已知向量￡與2方向相反，長度為6,則。=e【答案】-6【解析】向量￡與"方向相反，長度為6,a=—6e，故填：6.（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）化簡：（1）AB+BC+CD=?（2）AB-AD-DC^.⑶（AB-CD）-（AC-BD）=.【答案】AD CB6【解析】解：⑴通+1+函=玩+函=而；UL1UL1UU1LlUUlllHUHUUULIAB-AD-DC=DB-DC=CB>（AB-CD）-（AC-BD）=AB+W-CD-AC=AD+DC+CA=6:故答案為：AD;CB;6.（2021?上海九年級(jí)專題練習(xí)）已知向量￡出，滿足關(guān)系式％+4缶-2）=0,那么可用向量3石表示向量；【答案】—+b4【解析】解：3^+4（b-x）=0,3a+45=4*故答案是：京.（2021?上海松江區(qū)?九年級(jí)二模）如圖，己知口/BCQ,E是邊CQ的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)力E并延長，與8C的延長線交于點(diǎn)尸.設(shè)A3=a,AD=B,用。,5表示而為【答案】a+2b【解析】解：在工8c。中，CDUAC.E是邊C。的中點(diǎn)，CE是48F的中位線，CBC=CF.在四邊形48co中，4D=BC,而=5，則而工2冊(cè)=2歷=25.AB=a,AF=AB+BF=a+2b-故答案是：a+2b.（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知DE匚「AC,DF二AB,BD：DC=2：5,設(shè)AB=a,BD=b.a,B表示:CD,DF,AC,DE.- 5 . 5 ___7 , ?【答案】CD=~b；DF=-ya；AC=-b-DE=~a-b【解析】DBD：DC=2：5,CD=--BD=--h9BD：BC=2：7,CD：BC=5：7,2 2□DFAB,DFCD5 - ——?ABBC7―- 5—?5-DF=——AB=一一a,7 7□BD：BC=2：7,—?7—BC=-b,2 7AC=AB+BC=a+-ft,2□DE//AC,DEBD2 ==一，ACBC7—? 2—2-7- 2DE=——AC=——(a+-b)=——a-h.7 7 2 7(2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí))已知￡、B都是已知向量，1、》都是未知向量，且1+2a=6?4X-y+d+26=0,求1、y.【答案】x=-2a;y=-la^2h【解析】解：x+2a=6?x=-2a;

一8萬一y+萬+2》=。，y=-754-2b；(2021?上海九年級(jí)一模)如圖，在oA8co中，AE平分NE4D,AE與BD交于點(diǎn)F,AB=1.2,BC=1.8.(1)求班戶的值；(2)iSAB=a?BC~b，求向量。尸(用向量。、坂表不).AT 9【答案】（1）8尸:。尸=2：3,（2）DF=^a-^b.【解析】（I）在oABCD中，口BCAD\J\JBEA^LDAEf又口】BFE=UDFA,口ABFE匚ADE4,BEBF = *ADDF又AE平分NMD,n\-BAE=DAE,AB=BE,BE_AB~AD~~AD

又AB=1.2,AO=BC=1.8.BFAB1.22AD-L8-3BF:DF=2：3UBF:DF=2：3DF=-DB5DF^^DB=-(AB-AD)BCAD,BC=AD,而=￡,BC=b,AD=BC=b—3-_ 3-3-DF=-(a-b)=-a--b.5 5 5(2021?上海九年級(jí)一模)如圖，一個(gè)3x3的網(wǎng)格.其中點(diǎn)A、B、C、D、M、N、P、Q均為網(wǎng)格點(diǎn).(1)在點(diǎn)M、N、P、Q中，哪個(gè)點(diǎn)和點(diǎn)A、B所構(gòu)成的三角形與aABC相似？請(qǐng)說明理由;(2)設(shè)前=a,BC=b,寫出向量而關(guān)于￡石的分解式.【答案】(1)點(diǎn)N和點(diǎn)A、B所構(gòu)成的三月形與aABC相似，理由見解析；(2)25-3/；【解析】解：(1)點(diǎn)N和點(diǎn)A、B所構(gòu)成的三角形與aABC相似，理由如下：設(shè)網(wǎng)格中小正方形的邊長為則BC=a,AB=7a2+a2=V2a-AC=業(yè)+(2a丫=島，其中BC<AB<AC如下圖所示，連