2021研究生考試數(shù)學(xué)二真題及答案解析

2021考研數(shù)學(xué)真題及答案解析數(shù)學(xué)(二)一、選擇題(本題共10小題，每小題5分，共50分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求，把所選選項前的字母填在答題卡指定位置上.)(1)當(dāng)xfO時，「(/-1辿時/的(A)低階無窮小. (B)等價無窮小. (C)高階無窮小. (D)同階但非等價無窮小.【答案】C.【解析】因為當(dāng)x->0時，=2x，-l)~2/，所以｛ -1"是一高階無窮小，正確答案為C.C*-1 0(2)函數(shù)/(x)=,x ，在x=0處l,x=O(A)連續(xù)且取極大值. (B)連續(xù)且取極小值.(C)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)為0. (D)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為0.【答案】D.［解析】因為limf(x)=lim---=1=/(O),故f(x)在x=0處連續(xù)；x->0 xt0x￡sl_i,_因為lim——=limg~\~X=-,故/<0)=1,正確答案為D.J。x-0J。x-0iox2 2(3)有一圓柱體底面半徑與高隨時間變化的速率分別為2cm/s,-3cm/s,當(dāng)?shù)酌姘霃綖?0cm,高為5cm時，圓柱體的體積與表面積隨時間變化的速率分別為(A)125^cm3/s?407rcm2Is.125兀cm'/s,-407rcm2/s.(C)-IOOxcth，/s,407rcm2/s.(D)-1007rcm3Is,-407rcm2/s.【答案】C.【解析】由題意知，—=2,-=-3,又丫=兀產(chǎn)仄5=2兀此+2兀戶dtdtmildV..dr2dhdS,dr-dhAdr則 =Inrh—+ —,——=2兀h-——+41廣一dtdtdtdtdtdtdt當(dāng)r=10,/?=5時，—=-100^-,—=40^-,)&C.dt dt(4)設(shè)函數(shù)有兩個零點，則2的取值范圍是a(A)(e,+oo), (B)(O,e). (C)(0,-). (D)(-,+a)).e e【答案】A.【解析】令/(x)=ar-blnx=0,f\x)=a--,令八x)=0有駐點x=。，/f-1=a?--A-In—<0?x aya)aa從而ln2>l,可得2>e,正確答案為A.a a(5)設(shè)函數(shù)/(x)=secx在x=0處的2次泰勒多項式為1+4、+歷/，則(C)a=0,b=—. (D)a=0,6=—.2 2【答案】D.【解析】由小)=/(0)+八0口+苧,+混)知當(dāng)〃x)=a時/(0)=secO=1J>0)=(secxtanx)|x=0=0J"(0)=(secxtan2x+sec3x)|x=0=1,則f(x)=secx=1+—x2+o(x2).故選D.(6)設(shè)函數(shù)/(x,y)可微,且—=x(x+l)2,/a,/)=2x2inx,則力(u)=(A)dx+dy. (B)dx-dy. (C)dy. (D)一力.【答案】C.［解析】f\x+1,/)+exf；(x+1,ex)=(x+1)2+2x(x+1) ①(x,x2)+2xf^(x,x2)=4xInx+2x ②將〈一，《一分別帶入①②式有y=o［y=1工'(1,1)+月(1,1)=1，曲,1)+2欣,1)=2聯(lián)立可得工'(1,1)=0,￡(1,1)=1，#(1,1)= \)dx+ \)dy=dy,故正確答案為C.(7)設(shè)函數(shù)〃x)在區(qū)間［0,1］上連續(xù)，則J：y(xMx=(A)lim)隹匚)\ (B) 宇卜-30^I2〃)In 8MI2〃)nlim力(展卜 (D).［/仔仔.\2nJn 1。i\2nJn【答案】B.【解析】由定積分的定義知，將［0,1］分成〃份，取中間點的函數(shù)值，則￡f(x)dx=lim￡/(jo 〃->8*=i<2〃Jn即選B.(8)二次型/(西,々，七)=(王+》2)2+(工2+七)2一(》3一七)2的正慣性指數(shù)與負慣性指數(shù)依次為(A)2,0. (B)l,l. (C)2,l. (D)l,2.【答案】B.【解析】/(XPX2,X3)=(%1+x2)2+(x24-X3)2—(x3—X,)2=2x22+2XjX2+2x2x3+2x,x3

‘011、所以力=121,故特征多項式為J10>A-1-1

\ZE-A\=-1-2-1=(2+l)(2-3)A

-1-1A令上式等于零，故特征值為-1,3,0,故該二次型的正慣性指數(shù)為1,負慣性指數(shù)為1.故應(yīng)選B.⑼設(shè)3階矩陣/=（?,4,。3），8=（凡夕2，4），若向量組卬?2，。3可以由向量組母尸2線性表出，則(A)Ax=Q的解均為Bx=0的解.(B)Arx=0的解均為Brx=0的解.Bx=0的解均為Ax=0的解.Btx=0的解均為Atx=0的解.【答案】D.【解析】令2=（4,%，%），8=（4，4，用），由題4,。2，。3可由4,42,自線性表示，即存在矩陣尸,使得8P=/，則當(dāng)8、0=0時，=（6P）Txo=0.恒成立，即選D.’10-r（10）已知矩陣/=2-1 1若下三角可逆矩陣P和上三角可逆矩陣。，使P4Q為對角「12一5,矩陣，則尸，Q可以分別取q(A)01o00、100b'1q(A)01o00、100b'101、013、0°i.'1 00、（C）2-10「321,【答案】C.【解析】To1、013、00L，100、'100、(B)2-10,010「32、00bq00、(\2-3、(D)010,0-1231J、00'1 0(A,E)=2-1C2-1100] 01010^0-1-5001J102-1100]p0-13-210^01-3-6101)(0001 00、2-10

-321?’1 00、=(凡P),則尸=2-10<-321,

10010001100100010010-r-30001;1001000100100、0013b(A\、0，則。=013.故應(yīng)選C.填空題(本題共6小題，每小題5分，共30分.請將答案寫在答題紙指定位置上.)(11)匚即7%=【答案］七.In3+COW3T公+COW3T公=2](12)設(shè)函數(shù)y=y(x)(12)設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程x=2e'+Z+1 d~v1,,確定，則Wy=4(f-l)e'+廠 dx''/=0—2【答案】3【解析】由趙=鯉/，得2【答案】3【解析】由趙=鯉/，得

dx2e+1d2y_(4e'+4fe'+2)(2"+1)—(4叔+27)2e'dx1(2e,+l)3將r=0帶入得簧I_2,=o=5(13)設(shè)函數(shù)z=z(x,y)由方程(x(13)設(shè)函數(shù)z=z(x,y)由方程(x+l)z+yInz-arctan(2xv)=1確定，則,dx(0.2)【答案】I-a1G o【解析】方程兩邊對x求導(dǎo)得z+(x+l)臺+ J=o,dxzdxl+4xy將x=0,歹=2帶入原方程得z=1,再將x=0/=2,z=1帶入得—=1.ox(14)已知函數(shù)/?)=['公J；sin—dy,510/'【答案】2【解析】交換積分次序有/")±公，從而【答案】2【解析】交換積分次序有/")±公，從而/⑺=一『肛sin『=『"cos——cosy\dy

yJ=『ycos/一ry=『ycos/一rycosydy【答案】y= gcos—X+C,sin—X\,C.,C,,C,eR.jI z2 j2i巧【解析】由特征方程把一1=0得4二^乙己二一萬土方^,故方程通解為sin,C,,C2,Csin,C,,C2,C3e/?x x 11 X 2(16)多項式〃x)x x 11 X 2(16)多項式〃x)=2 1 x2 -1 1【答案】-5.【解析】2x―1中V項的系數(shù)為1xxx1X/W=212-1XI一1-1 11-2x1x 2所以展開式中含1項的有-V,-4x3,即項的系數(shù)為-5.三、解答題(本題共6小題，共70分.請將解答寫在答題紙指定位置上，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(17)(本題滿分10分)( 7 2\+\e'dt1求極限lim—% e-1sinx【答案】21+V【答案】21+Ve'dt［解析】lim———1

sinx=limxtOsinx-1一"力(ex-1)sinx又因為，/力=](1+/+。(/)功=》+(工3+0。3),故(x +o(x5))(l+X+—X*'+o(x3))—X x~+。(廠)原式二lim——皂 J 2 10 X

1+o(x2)x2(18)(本題滿分12分)一，…+o(x2)x2(18)(本題滿分12分)一，…x\x\,求/(X)的凹凸性及漸近線.【答案】凹區(qū)間(一8,—1),(0,+oo),凸區(qū)間(一1,0).斜漸近線是y=x—l,y=-x-\.—,x>0l+x—^―,x<0—,x>0l+x—^―,x<0、l+x-2x-x2x<0,仆)=盧冬，/"(》)=

(1+x)-一2r(x)=2x+x~(1+x所以X(-00,-1)-1(-1,0)0(0,+oo)/〃(x)+-+f(x)凹拐點拐點凹凹區(qū)間(一8,-1),(0,+8),凸區(qū)間(一1,0).limWil1+X=OO,X=limWil1+X=OO,X=-1是垂直漸近線.XXlim——xte(j+x)x,x|x|hm ——x-*y(l+x)xXX=1,lim(——xte(l+x)?.，x\x\=-l,lim(—―—(1+x)-1)=一1.斜漸近線是y=1一1,y=-x-l(19)(本題滿分12分)/(x)滿足jq%c=1x2-x+c乂為曲線y=/(x)(4WxW9),L的弧長為s,旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面的面積為4,求s和4.g.425乃TOC\o"1-5"\h\z【答案】 .9f(x)1 1A1【解析】個竺=一》一1，f(x)=-x2-x2,& 3 7 3曲線的弧長s=［爐正Zx1X 1曲線的弧長s=［爐正Zx1X 1J 22—F—Fdx=244x 3曲面的側(cè)面積4= =_425乃-912一+2dx2-x2)(20)(本題滿分12分)函數(shù)歹=y(x)的微分方程xy,-6y=-6,滿足y(JJ)=10,(1)求y(x)；為使/，最(2)尸為曲線歹=y(x)上的一點，曲線y=y(x)在點尸的法線在y軸上的截距為/」,為使/，最小，求P的坐標(biāo).,、 X,、 X6【答案】(1)y(x)=l+—.(2)11p(±l,d)時，有最小值*［解析］(l)y'—y［解析］(l)y'—y——XX9:.y=e-x將e)=10代入，C\(--)e^Xdx+C6=x64-+cU1+C%'x6)(2)設(shè)P(x,j),則過P點的切線方程為丫-y=2x5(X—x),法線方程為y-y=-5(X—x),r61 , 、令x=o,.?.y=.=i+5+廣，偶函數(shù)，為此僅考慮(o,+8)令(/,)=2工5-之=0,x=l.：.xe. ：.xe. 11(0,1),(/,)<0, 不；XG(L+co),億)>0,4>/,。)=?時，有最小值?(21)(本題滿分12分)曲線(》2+/)2=x2-y2(x>0,j；>0)與x軸圍成的區(qū)域為。，求JJ中公外.D［答案］—48KJcos20【解析】JJxydxdy=￡4d0^ /sin6cos田1D=［4—cos220s\n0cos0d0Jo4￡i=-f7—cos22^cos2^Jo］6=--cos=--cos326?

484 10=48(22)(本小題滿分12分)’210、設(shè)矩陣力=120僅有兩個不同的特征值.若力相似于對角矩陣，求a,b的值，并求可ab,逆矩陣P,使產(chǎn)/尸為對角矩陣.2-2-1 0【解析】由|歡―/|=-1 2-2 0=(2-6)(2-3)(2-1)=0-1一。A-b當(dāng)6=3時，由力相似對角化可知，二重