高等數學(下)教學課件-d8-1

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—第八章第一部分向量代數第二部分空間解析幾何

在三維空間中:空間形式

—點,

線,

面基本方法

—坐標法;向量法坐標,方程（組）空間解析幾何與向量代數機動目錄上頁下頁返回結束數量四、利用坐標作向量的線性運算第一節(jié)一、向量的概念二、向量的線性運算三、空間直角坐標系五、向量的模、方向角、投影機動目錄上頁下頁返回結束向量及其線性運算第七章四、利用坐標作向量的線性運算第一節(jié)一、向量的概念二、向量的表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱矢量).既有大小,又有方向的量稱為向量向徑(矢徑):自由向量:與起點無關的向量.起點為原點的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,有向線段M1

M2,或a,機動目錄上頁下頁返回結束表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱矢規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱a與記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱a與b平行,

a∥b;與a的模相同,但方向相反的向量稱為a的負向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線.若k(≥3)個向量經平移可移到同一平面上,則稱此k個向量共面.記作－a;機動目錄上頁下頁返回結束

b相等,規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,二、向量的線性運算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規(guī)律:交換律結合律三角形法則可推廣到多個向量相加.機動目錄上頁下頁返回結束二、向量的線性運算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束2.向量的減法三角不等式機動目錄上頁下頁返回結束2.向量的減法三角不等式機動目錄上頁下頁3.向量與數的乘法是一個數,規(guī)定:可見與a

的乘積是一個新向量,記作總之:運算律:結合律分配律因此機動目錄上頁下頁返回結束3.向量與數的乘法是一個數,規(guī)定:可見與a定理1.

設a為非零向量,則(為唯一實數)證:“”.,?。健狼以僮C數的唯一性.則a∥b設a∥b取正號,反向時取負號,,a,b

同向時則b與a同向,設又有b＝

a,機動目錄上頁下頁返回結束定理1.設a為非零向量,則(為唯一實數)證:“”則例1.設M為解:ABCD對角線的交點,已知b＝a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b機動目錄上頁下頁返回結束“”則例1.設M為解:ABCD對角ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標系由三條互相垂直的數軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標系.

坐標原點

坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z軸(豎軸)過空間一定點o,

坐標面

卦限(八個)zox面1.空間直角坐標系的基本概念機動目錄上頁下頁返回結束ⅠⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標系由三條互相垂直的數軸按右手規(guī)向徑在直角坐標系下坐標軸上的點

P,Q,R;坐標面上的點A,B,C點

M特殊點的坐標:有序數組(稱為點M的坐標)原點O(0,0,0);機動目錄上頁下頁返回結束向徑在直角坐標系下坐標軸上的點P,Q,R;坐標面上坐標軸:坐標面:機動目錄上頁下頁返回結束坐標軸:坐標面:機動目錄上頁下頁2.向量的坐標表示在空間直角坐標系下,則沿三個坐標軸方向的分向量.設點M的坐標為此式稱為向量r的坐標分解式,任意向量r

可用向徑機動目錄上頁下頁返回結束

OM

表示.2.向量的坐標表示在空間直角坐標系下,則沿三個坐標軸方向的四、利用坐標作向量的線性運算設則平行向量對應坐標成比例:機動目錄上頁下頁返回結束四、利用坐標作向量的線性運算設則平行向量對應坐標成比例:機動例2.求解以向量為未知元的線性方程組解:①②2×①－3×②,得代入②得機動目錄上頁下頁返回結束例2.求解以向量為未知元的線性方程組解:①②2×①－3×例3.已知兩點在AB直線上求一點M,使解:設M的坐標為如圖所示及實數得即機動目錄上頁下頁返回結束例3.已知兩點在AB直線上求一點M,使解:設M說明:由得定比分點公式:點

M為AB的中點,于是得中點公式:機動目錄上頁下頁返回結束說明:由得定比分點公式:點M為AB的中點,于是得五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點間的距離公式:對兩點與機動目錄上頁下頁返回結束五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點間的距離公式例4.

求證以證:即為等腰三角形.為頂點的三角形是等腰三角形.機動目錄上頁下頁返回結束例4.求證以證:即為等腰三角形.為頂點的三角形是等腰三角例5.

在z軸上求與兩點解:

設該點為解得故所求點為及思考:(1)如何求在xoy面上與A,B等距離之點的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B等距離之點的軌跡方程?等距離的點.機動目錄上頁下頁返回結束例5.在z軸上求與兩點解:設該點為解得故所求點為及思提示:(1)設動點為利用得(2)設動點為利用得且例6.已知兩點和解:求機動目錄上頁下頁返回結束提示:(1)設動點為利用得(2)設動點為利用得且例6.2.方向角與方向余弦設有兩非零向量任取空間一點O,稱=∠AOB(0≤≤)為向量

的夾角.類似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.與三坐標軸的夾角,,為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦.

記作機動目錄上頁下頁返回結束2.方向角與方向余弦設有兩非零向量任取空間一點O,稱方向余弦的性質:機動目錄上頁下頁返回結束方向余弦的性質:機動目錄上頁下頁返回例7.已知兩點和的模、方向余弦和方向角.解:計算向量機動目錄上頁下頁返回結束例7.已知兩點和的模、方向余弦和方向角.解:計算向量例8.設點A位于第一卦限,解:已知軸的夾角依次為求點A的則因點A在第一卦限,故于是故點A的坐標為向徑OA與x軸y第二節(jié)目錄上頁下頁返回結束坐標.例8.設點A位于第一卦限,解:已知軸的夾角依次為求點機動目錄上頁下頁返回結束作業(yè)P123,5,13,14,15,18,19機動目錄上頁下頁返回結束作業(yè)備用題解:

因1.

設求向量在x軸上的投影及在y軸上的分向量.在y軸上的分向量為故在x軸上的投影為機動目錄上頁下頁返回結束備用題解:因1.設求向量在x軸上的投影及在y軸上的2.設求以向量行四邊形的對角線的長度.該平行四邊形的對角線的長度各為對角線的長為解：為邊的平機動目錄上頁下頁返回結束2.設求以向量行四邊形的對角線的長度.該平行四邊形的對角機動目錄上頁下頁返回結束數量關系

—第八章第一部分向量代數第二部分空間解析幾何

在三維空間中:空間形式

—點,

線,

面基本方法

—坐標法;向量法坐標,方程（組）空間解析幾何與向量代數機動目錄上頁下頁返回結束數量四、利用坐標作向量的線性運算第一節(jié)一、向量的概念二、向量的線性運算三、空間直角坐標系五、向量的模、方向角、投影機動目錄上頁下頁返回結束向量及其線性運算第七章四、利用坐標作向量的線性運算第一節(jié)一、向量的概念二、向量的表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱矢量).既有大小,又有方向的量稱為向量向徑(矢徑):自由向量:與起點無關的向量.起點為原點的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,有向線段M1

M2,或a,機動目錄上頁下頁返回結束表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱矢規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱a與記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱a與b平行,

a∥b;與a的模相同,但方向相反的向量稱為a的負向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線.若k(≥3)個向量經平移可移到同一平面上,則稱此k個向量共面.記作－a;機動目錄上頁下頁返回結束

b相等,規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,二、向量的線性運算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規(guī)律:交換律結合律三角形法則可推廣到多個向量相加.機動目錄上頁下頁返回結束二、向量的線性運算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束2.向量的減法三角不等式機動目錄上頁下頁返回結束2.向量的減法三角不等式機動目錄上頁下頁3.向量與數的乘法是一個數,規(guī)定:可見與a

的乘積是一個新向量,記作總之:運算律:結合律分配律因此機動目錄上頁下頁返回結束3.向量與數的乘法是一個數,規(guī)定:可見與a定理1.

設a為非零向量,則(為唯一實數)證:“”.,取＝±且再證數的唯一性.則a∥b設a∥b取正號,反向時取負號,,a,b

同向時則b與a同向,設又有b＝

a,機動目錄上頁下頁返回結束定理1.設a為非零向量,則(為唯一實數)證:“”則例1.設M為解:ABCD對角線的交點,已知b＝a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b機動目錄上頁下頁返回結束“”則例1.設M為解:ABCD對角ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標系由三條互相垂直的數軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標系.

坐標原點

坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z軸(豎軸)過空間一定點o,

坐標面

卦限(八個)zox面1.空間直角坐標系的基本概念機動目錄上頁下頁返回結束ⅠⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標系由三條互相垂直的數軸按右手規(guī)向徑在直角坐標系下坐標軸上的點

P,Q,R;坐標面上的點A,B,C點

M特殊點的坐標:有序數組(稱為點M的坐標)原點O(0,0,0);機動目錄上頁下頁返回結束向徑在直角坐標系下坐標軸上的點P,Q,R;坐標面上坐標軸:坐標面:機動目錄上頁下頁返回結束坐標軸:坐標面:機動目錄上頁下頁2.向量的坐標表示在空間直角坐標系下,則沿三個坐標軸方向的分向量.設點M的坐標為此式稱為向量r的坐標分解式,任意向量r

可用向徑機動目錄上頁下頁返回結束

OM

表示.2.向量的坐標表示在空間直角坐標系下,則沿三個坐標軸方向的四、利用坐標作向量的線性運算設則平行向量對應坐標成比例:機動目錄上頁下頁返回結束四、利用坐標作向量的線性運算設則平行向量對應坐標成比例:機動例2.求解以向量為未知元的線性方程組解:①②2×①－3×②,得代入②得機動目錄上頁下頁返回結束例2.求解以向量為未知元的線性方程組解:①②2×①－3×例3.已知兩點在AB直線上求一點M,使解:設M的坐標為如圖所示及實數得即機動目錄上頁下頁返回結束例3.已知兩點在AB直線上求一點M,使解:設M說明:由得定比分點公式:點

M為AB的中點,于是得中點公式:機動目錄上頁下頁返回結束說明:由得定比分點公式:點M為AB的中點,于是得五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點間的距離公式:對兩點與機動目錄上頁下頁返回結束五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點間的距離公式例4.

求證以證:即為等腰三角形.為頂點的三角形是等腰三角形.機動目錄上頁下頁返回結束例4.求證以證:即為等腰三角形.為頂點的三角形是等腰三角例5.

在z軸上求與兩點解:

設該點為解得故所求點為及思考:(1)如何求在xoy面上與A,B等距離之點的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B等距離之點的軌跡方程?等距離的點.機動目錄上頁下頁返回結束例5.在z軸上求與兩點解:設該點為解得故所求點為及思提示:(1)設動點為利用得(2)設動點為利用得且例6.已知兩點和解:求機動目錄上頁下頁返回結束提示:(1)設動點為利用得(2)設動點為利用得且例6.2.方向角與方向余弦設有兩非零向量任取空間一點O,稱=∠AOB(0≤≤)為向量

的夾角.類似可定義向量與軸