山西省運城市2020屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題及答案

·PAGE30·山西省運城市2020屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】分別化簡集合和，再求交集即可.【詳解】由題知：，，由交集的運算知：.故選：D【點睛】本題主要考查交集的運算，同時考查了函數(shù)的定義域和值域，屬于簡單題.2．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】化簡復(fù)數(shù)，得到代數(shù)式，再求共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】..故選：B【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法以及共軛復(fù)數(shù)，同時考查了計算能力，屬于簡單題.3．已知向量，向量，則向量在方向上的投影為（）A．1 B．-1 C． D．【答案】B【解析】根據(jù)向量在方向上的投影，帶入數(shù)值即可.【詳解】向量在方向上的投影.故選：B【點睛】本題主要考查向量的投影，熟記公式是解決本題的關(guān)鍵，屬于簡單題.4．若過橢圓內(nèi)一點的弦被該點平分，則該弦所在的直線方程為（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)弦的兩端點為，，為中點得，，在橢圓上有,兩式相減得即，即即，則，且過點，有，整理得．故選．點睛：本題考查橢圓的中點弦問題；中點弦問題是直線和圓錐曲線的位置關(guān)系中的典型問題，其主要方法是點差法，可避免較復(fù)雜的運算量.點差法的主要步驟是：（1）設(shè)點，代入圓錐曲線的方程；（2）作差，利用平方差公式進(jìn)行整理；（3）得到直線的斜率和線段中點坐標(biāo)間的關(guān)系.5．若，，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】化簡，得到，又因為，得到，再帶入即可.【詳解】，因為，所以..故選：A【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和同角的三角函數(shù)關(guān)系以及正切二倍角公式，熟記公式是解決本題的關(guān)鍵，屬于簡單題.6．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1＝2，且a2，+2，a5成等差數(shù)列，記Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則S6＝（）A．62 B．64 C．126 D．128【答案】C【解析】a2，a4+2，a5成等差數(shù)列，可得a2+a5=2（a4+2），把已知代入解得q．再利用求和公式即可得出．【詳解】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為q＞0，a1=2，∵a2，a4+2，a5成等差數(shù)列，∴a2+a5=2（a4+2），∴2q+2q4=2（2q3+2），解得q=2．∵S6=.故選C.【點睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．7．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征，如函數(shù)的圖象大致是A． B．C． D．【答案】D【解析】先有函數(shù)的奇偶性，可排除A、B選項，再取特值求得，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性排除選項C，可得答案.【詳解】因為函數(shù)，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，圖像不關(guān)于y軸對稱，故排除A、B選項；又因為，而選項C在是遞增的，故排除C故選D【點睛】本題考查了函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用性質(zhì)取特值判斷圖像是解題的關(guān)鍵，屬于較為基礎(chǔ)題.8．已知實數(shù)，滿足，且，，則執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出是（）A． B．2 C． D．3【答案】C【解析】首先化簡，得到：或.根據(jù)得：當(dāng)時，解得，當(dāng)時，解得.根據(jù)程序框圖知：輸出的為中較小的數(shù)，所以.【詳解】因為，所以.整理得：.解得：或.又因為，所以.即：.當(dāng)時，.當(dāng)時，.根據(jù)程序框圖知：輸出的為中較小的數(shù)，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查了指數(shù)的換底公式的應(yīng)用和指數(shù)對數(shù)之間的互化以及運算，同時考查了程序框圖中的條件結(jié)構(gòu)，熟練掌握指數(shù)，對數(shù)的運算是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.9．已知向量，，設(shè)函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)描述錯誤的是（）A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．函數(shù)圖象關(guān)于點對稱【答案】C【解析】首先化簡，得到，依次判斷選項即可得到答案.【詳解】.選項：因為，所以.則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增是正確的.選項：，故正確.選項：因為，所以.函數(shù)在區(qū)間上有增有減，所以錯誤.選項：，故正確.故選：C【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和對稱軸，中心對稱點，同時考查平面向量數(shù)量積公式的應(yīng)用，熟練掌握公式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.10．已知，，，，是球的球面上的五個點，四邊形為梯形，，，，面，則球的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)已知中的平行關(guān)系和長度關(guān)系可確定中點為底面梯形的外接圓圓心，根據(jù)球的性質(zhì)可知平面，利用勾股定理構(gòu)造出關(guān)于和球的半徑的方程，解方程求得，代入球的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】取中點，連接且四邊形為平行四邊形，又為四邊形的外接圓圓心設(shè)為外接球的球心，由球的性質(zhì)可知平面作，垂足為四邊形為矩形，設(shè)，則，解得：球的體積：本題正確選項：【點睛】本題考查棱錐外接球體積的求解問題，關(guān)鍵是能夠明確外接球球心的位置，主要是根據(jù)球心與底面外接圓圓心連線垂直于底面的性質(zhì)，通過勾股定理構(gòu)造方程求得結(jié)果.11．已知，為橢圓的左、右焦點，是橢圓上異于頂點的任意一點，點是內(nèi)切圓的圓心，過作于，為坐標(biāo)原點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】首先延長，交于點，連接，根據(jù)題意得到.得的取值范圍是：.【詳解】延長，交于點，連接，因為點是內(nèi)切圓的圓心，所以平分.因為，所以為的中點.又因為為的中點，所以.所以的取值范圍是：.故選：C【點睛】本題主要考查橢圓的定義，同時考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，屬于難題.12．如果函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間上存在，（），使得，，則稱為區(qū)間上的“雙中值函數(shù)”.已知函數(shù)是區(qū)間上的“雙中值函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】首先求導(dǎo)，由題知滿足滿足：.等價于：方程在上有兩個不相等的根，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出的范圍.【詳解】由題知：在區(qū)間上存在，滿足：.等價于：方程在上有兩個不相等的根.則.故選：B【點睛】本題主要考查了新函數(shù)的定義，同時考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，等價轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，屬于難題.二、填空題13．已知（其中表示的導(dǎo)函數(shù)），則__________．【答案】【解析】首先，將帶入求出，即可求出，再求即可.【詳解】.令，得：，解得：.所以，.故答案為：【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式，熟記求導(dǎo)公式是解題的關(guān)鍵，屬于簡單題.14．已知平面四邊形中，，，，則的最大值為__________．【答案】4【解析】由題知：四邊形為圓內(nèi)接四邊形，的最大值為四邊形外接圓的直徑，由正弦定理即可求出的最大值.【詳解】因為，，所以故的最大值為四邊形外接圓的直徑.當(dāng)為四邊形外接圓的直徑時，得到：，又因為，，所以.在中，由正弦定理得：，解得：.故答案為：【點睛】本題主要考查正弦定理得應(yīng)用，判斷四邊形為圓內(nèi)接四邊形是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.15．已知數(shù)列為正項的遞增等比數(shù)列，，，記數(shù)列的前項和為，則使不等式成立的最大正整數(shù)的值是__________．【答案】8【解析】根據(jù)，求得，.再求出，帶入不等式，解不等式即可.【詳解】因為數(shù)列為正項的遞增等比數(shù)列，由，解得.則，...整理得：.使不等式成立的最大整數(shù)為.故答案為：【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的求和，同時考查了學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.16．若（其中為整數(shù)），則稱是離實數(shù)最近的整數(shù)，記作.下列關(guān)于函數(shù)的命題中，正確命題的序號是__________．①函數(shù)的定義域為，值域為；②函數(shù)是奇函數(shù)；③函數(shù)的圖象關(guān)于直線（）對稱；④函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期為1；⑤函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).【答案】①③④【解析】首先得到，畫出的圖像即可找到正確的命題.【詳解】由題知：當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，由圖像知：函數(shù)的定義域為，值域為，偶函數(shù)；圖象關(guān)于直線對稱；周期為1；在區(qū)間上的單調(diào)性是先減后增.故①③④正確.故答案為：①③④【點睛】本題時新函數(shù)定義問題，考查函數(shù)的性質(zhì)，畫出圖像為解題關(guān)鍵，考查了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力，屬于難題.三、解答題17．在中，角，，的對邊分別是，，，且，.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由正弦定理知：，化簡得，即.（2）由得到，因為，，解得，代入即可.【詳解】（1）∵由正弦定理知：，∴又∵∴∴∴∴又∵∴（2）∵∴又∵∴又∵∴∴由余弦定理知，∴【點睛】本題第一問考查了正弦定理和兩角和差公式，第二問考查了向量的數(shù)量積運算和余弦定義，同時考查了學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.18．在多面體中，四邊形是正方形，平面，，，為的中點.（1）求證：；（2）求平面與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）首先證明，，，∴平面.即可得到平面，.（2）以為坐標(biāo)原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，帶入公式求解即可.【詳解】（1）∵平面，平面，∴.又∵四邊形是正方形，∴.∵，∴平面.∵平面，∴.又∵，為的中點，∴.∵，∴平面.∵平面，∴.（2）∵平面，，∴平面.以為坐標(biāo)原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示：則，，，.∴，，.設(shè)為平面的法向量，則，得，令，則.由題意知為平面的一個法向量，∴，∴平面與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題第一問考查線線垂直，先證線面垂直時解題關(guān)鍵，第二問考查二面角，建立空間直角坐標(biāo)系是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.19．設(shè)為等差數(shù)列的前項和，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項和為，且，求數(shù)列的前項和.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）將和利用和來表示，構(gòu)造方程組解得和，根據(jù)等差數(shù)列通項公式求得結(jié)果；（Ⅱ）由等差數(shù)列前項和公式求得，可得到，根據(jù)和可得；根據(jù)通項公式可知當(dāng)時，；當(dāng)時，，從而可得：時；時，從而求得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則：解得：（Ⅱ）由（Ⅰ）得：當(dāng)時，當(dāng)且時，經(jīng)驗證當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，綜上所述：【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式的求解、含絕對值的數(shù)列的前項和的求解.求解含絕對值的數(shù)列的前項和的關(guān)鍵是判斷出數(shù)列中各項的符號，從而可去掉絕對值符號，將問題轉(zhuǎn)變?yōu)槠胀〝?shù)列前項和的求解.20．已知函數(shù).⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；⑵如果對于任意的，總成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）【解析】【詳解】試題分析：⑴求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)令其大于零得增區(qū)間，令其小于零得減函數(shù)；⑵令，要使總成立，只需時，對討論,利用導(dǎo)數(shù)求的最小值.試題解析：(1)由于，所以.當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)令，要使總成立，只需時.對求導(dǎo)得，令，則，()所以在上為增函數(shù)，所以.對分類討論：①當(dāng)時，恒成立，所以在上為增函數(shù)，所以，即恒成立；②當(dāng)時，在上有實根，因為在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時，，所以，不符合題意；③當(dāng)時，恒成立，所以在上為減函數(shù)，則，不符合題意.綜合①②③可得，所求的實數(shù)的取值范圍是.【考點】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值、構(gòu)造函數(shù).21．過軸上動點引拋物線的兩條切線，，其中，為切線.（1）若切線，的斜率分別為和，求證：為定值，并求出定值；（2）當(dāng)最小時，求的值.【答案】（1）證明見解析，為定值-4（2）【解析】（1）聯(lián)立，得，則，是方程的解，故，即為定值.（2）要使最小，就是使得到直線的距離最小，首先求出直線的方程，利用點到直線公式和基本不等式得到：到直線的距離最小值時，再聯(lián)立得到，，，帶入即可.【詳解】（1）設(shè)過與拋物線相切的直線的斜率是，則該切線方程為：.由，得.∴.則，是方程的解，故，即為定值.（2）要使最小，就是使得到直線的距離最小.設(shè)，，由題知：，.故切線的方程為：.則，整理得：.同理得：.所以.直線的方程為.設(shè)到直線的距離為，則當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號由得則，∴.【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，同時考查了利用導(dǎo)數(shù)思想求切線，基本不等式求最值的思想，屬于難題.22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），它與曲線C：（y－2）2－x2＝1交于A、B兩點．（1）求|AB|的長；（2）在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點P的極坐標(biāo)為，求點P到線段AB中點M的距離．【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）直線的參數(shù)方程是標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，因此可把直線參數(shù)方程代入曲線的方程，由利用韋達(dá)定理可得；（2）把點極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，知為直線參數(shù)方程的定點，因此利用參數(shù)的幾何意義可得．試題解析：（1）把直線的參數(shù)方程對應(yīng)的坐標(biāo)代入曲線方程并化簡得7t2+60t﹣125=0設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則．∴．（2）由P的極坐標(biāo)為，可得，．∴點P在平面直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（﹣2，2），根據(jù)中點坐標(biāo)的性質(zhì)可得AB中點M對應(yīng)的參數(shù)為．∴由t的幾何意義可得點P到M的距離為．點睛：過點，傾