柱面錐面旋轉曲面與二次曲面課件

第四章柱面、錐面、旋轉曲面與二次曲面

主要內容1、柱面2、錐面3、旋轉曲面4、橢球面5、雙曲面6、拋物面第四章柱面、錐面、旋轉曲面與二次曲面1第一節(jié)柱面定義平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線.設柱面的準線為母線的方向數(shù)為X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)為準線上一點，則過點M1的母線方程為第一節(jié)柱面定義平行于定直線并沿定曲線移動的直線2且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0(3)從（2）（3）中消去x1,y1,z1得F(x,y,z)=0這就是以（1）為準線，母線的方向數(shù)為X，Y，Z的柱面的方程。且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=3柱面舉例拋物柱面平面柱面舉例拋物柱面平面4從柱面方程看柱面的特征：（其他類推）實例橢圓柱面母線//軸雙曲柱面母線//軸拋物柱面母線//軸

只含yx,而缺z的方程0),(=yxF，在空間直角坐標系中表示母線平行于z軸的柱面，其準線為xoy面上曲線C.從柱面方程看柱面的特征：（其他類推）實例橢圓柱面母線/5例1、柱面的準線方程為而母線的方向數(shù)為-1，0，1，求這柱面的方程。例2、已知圓柱面的軸為點（1,-2,1)在此圓柱面上，求這個柱面的方程。例1、柱面的準線方程為而母線的方向數(shù)為-1，0，1，求這柱面6第二節(jié)錐面一、錐面1、定義在空間，通過一定點且與定曲線相交的一族直線所產生的曲面稱為錐面，這些直線都稱為錐面的母線，定點稱為錐面的頂點，定曲線稱為錐面的準線。2、錐面的方程設錐面的準線為頂點為A(x0,y0,z0)，如果M1(x1,y1,z1)為準線上任一點，則錐面過點M1的母線為：第二節(jié)錐面一、錐面1、定義在空間，通過一定點且與定曲7且有F1(x1,y1,z1)=0F2(x1,y1,z1)=0（3）從（2）（3）中消去參數(shù)x1,y1,z1得三元方程F(x,y,z)=0這就是以（1）為準線，以A為頂點的錐面方程。例1、求頂點在原點，準線為的錐面的方程。答：（二次錐面）且有F1(x1,y1,z1)=0F2(x1,y1,z1)=08定理一個關于x,y,z的齊次方程總表示頂點在坐標原點的錐面。齊次方程：設λ為實數(shù)，對于函數(shù)f(x,y,z)，如果有f(tx,ty,tz)=tλf(x,y,z)則稱f(x,y,z)為λ的齊次函數(shù)，f(x,y,z)=0稱為齊次方程。例如，方程x2+y2-z2=0圓錐面又如，方程x2+y2+z2=0原點（虛錐面）定理一個關于x,y,z的齊次方程總表示頂點在坐標齊次方程：9第三節(jié)旋轉曲面一、.旋轉曲面1、定義:以一條平面曲線C繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面叫做旋轉曲面,這條定直線叫旋轉曲面的軸.曲線C稱為放置曲面的母線oC緯線經線第三節(jié)旋轉曲面一、.旋轉曲面1、定義:以一條平面10二、旋轉曲面的方程在空間坐標系中，設旋轉曲面的母線為：旋轉直線為：其中P0(x0,y0,z0)為軸L上一定點，X，Y，Z為旋轉軸L的方向數(shù)。設M1(x1,y1,z1)為母線C上的任意點，則M1的緯圓總可以看成是過M1且垂直于旋轉軸L的平面與以P0為中心，|P0M1|為半徑的球面的交線。二、旋轉曲面的方程在空間坐標系中，設旋轉曲面的母線為：旋轉直11所以過M1的緯圓的方程為：當點M1跑遍整個母線C時，就得到所有的緯圓，這些緯圓就生成旋轉曲面。又由于M1在母線上，所以又有：從（3）（4）的四個等式中消去參數(shù)x1,y1,z1,得到一個三元方程：F(x,y,z)=0這就是以C為母線，L為旋轉軸的旋轉曲面的方程。所以過M1的緯圓的方程為：當點M1跑遍整個母線C12例1、求直線繞直線x=y=z旋轉所得旋轉曲面的方程。解：設M1(x1,y1,z1)是母線上的任意點，因為旋轉軸通過原點，所以過M1的緯圓方程是：又由于M1在母線上，所以又有：即x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z1得所求旋轉曲面的方程：2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0。例1、求直線繞直線x=y=z旋轉所得旋轉曲面的方程。解：設M13三、母線在坐標面而旋轉軸為坐標軸的旋轉曲面：

已知yoz面上一條曲線C,方程為f(y,z)=0,曲線C繞z

軸旋轉一周就得一個旋轉曲面.設M1(0,y1`,z1)是C上任意一點,則有f(y1,z1)=0當C繞z軸旋轉而M1隨之轉到M(x,y,z)時,有將z1=z,代入方程F(y1,z1)=0,

三、母線在坐標面而旋轉軸為坐標軸的旋轉曲面：已知yoz面上14得旋轉曲面的方程:即得旋轉曲面的方程:即15規(guī)律：當坐標平面上的曲線C繞此坐標平面的一個坐標旋轉時，要求該旋轉曲面的方程，只要將曲線C在坐標面里的方程保留和旋轉軸同名的坐標，而以其它兩個坐標平方和的平方根來代替方程中的另一坐標。規(guī)律：當坐標平面上的曲線C繞此坐標平面的一個坐標16解

圓錐面方程解圓錐面方程17例2:求直線z=ay繞z軸旋轉所得的旋轉曲面方程.zxyz=ay解:將y用代入直線方程,得平方得:z2=a2(x2+y2)該旋轉曲面叫做圓錐面,其頂點在原點.例2:求直線z=ay繞z軸旋轉所得的旋轉曲面方18例3

將下列各曲線繞對應的軸旋轉一周，求生成的旋轉曲面的方程．旋轉雙曲面（單葉）（雙葉）例3將下列各曲線繞對應的軸旋轉一周，求生成的旋轉曲面19例4、將圓繞Z軸旋轉，求所得旋轉曲面的方程。解：所求旋轉曲面的方程為：即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)該曲面稱為圓環(huán)面。例4、將圓繞Z軸旋轉，求所得旋轉曲面的方程。解：所求旋轉曲面20旋轉橢球面旋轉拋物面（長形）（短形）旋轉橢球面旋轉拋物面（長形）（短形）21第四節(jié)二次曲面二次曲面的定義：三元二次方程相應地平面被稱為一次曲面．討論二次曲面性狀的平面截痕法：用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌．以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面．一、基本內容所表示的曲面稱之為二次曲面．ax2+by2+cz2+dxy+exz+

fyz+gx+hy+iz+j=0第四節(jié)二次曲面二次曲面的定義：三元二次方程相應地平面被稱22zoxyO2用平面z=k去截割(要求|k|c),得橢圓當|k|c

時,|k|越大,橢圓越小;當|k|=c時,橢圓退縮成點.二.幾種常見二次曲面.（一）橢球面1用平面z=0去截割,得橢圓zoxyO2用平面z=k去截割(要求|k|233類似地,依次用平面x=0,平面y=0截割,得橢圓:特別:當a=b=c時,方程x2+y2+z2=a2,表示球心在原點o,半徑為a的球面.3類似地,依次用平面x=0,平面y=0截割24（二）雙曲面單葉雙曲面（1）用坐標面與曲面相截截得中心在原點的橢圓.（二）雙曲面單葉雙曲面（1）用坐標面25與平面的交線為橢圓.當變動時，這種橢圓的中心都在軸上.（2）用坐標面與曲面相截截得中心在原點的雙曲線.實軸與軸相合，虛軸與軸相合.與平面的交線為橢圓.當變動時，26雙曲線的中心都在軸上.與平面的交線為雙曲線.實軸與軸平行,虛軸與軸平行.實軸與軸平行,虛軸與軸平行.截痕為一對相交于點的直線.雙曲線的中心都在軸上.與平面27截痕為一對相交于點的直線.（3）用坐標面，與曲面相截均可得雙曲線.截痕為一對相交于點的直線.28單葉雙曲面圖形

xyoz平面的截痕是兩對相交直線.單葉雙曲面圖形xyoz平面的截痕29雙葉雙曲面xyo雙葉雙曲面xyo30（三）拋物面（與同號）橢圓拋物面用截痕法討論：（1）用坐標面與曲面相截截得一點，即坐標原點設原點也叫橢圓拋物面的頂點.（三）拋物面（與同號）橢圓拋物面用截痕法討論31與平面的交線為橢圓.當變動時，這種橢圓的中心都在軸上.與平面不相交.（2）用坐標面與曲面相截截得拋物線與平面的32與平面的交線為拋物線.它的軸平行于軸頂點（3）用坐標面，與曲面相截均可得拋物線.同理當時可類似討論.與平面的交線為拋物線.它的軸平行于33zxyoxyzo橢圓拋物面的圖形如下：zxyoxyzo橢圓拋物面的圖形如下：34特殊地：當時，方程變?yōu)樾D拋物面（由面上的拋物線繞它的軸旋轉而成的）與平面的交線為圓.當變動時，這種圓的中心都在軸上.特殊地：當時，方程變?yōu)樾D拋物面（由35（與同號）雙曲拋物面（馬鞍面）用截痕法討論：設圖形如下：xyzo（與同號）雙曲拋物面（馬鞍面）用截痕法討論：36第四章柱面、錐面、旋轉曲面與二次曲面

主要內容1、柱面2、錐面3、旋轉曲面4、橢球面5、雙曲面6、拋物面第四章柱面、錐面、旋轉曲面與二次曲面37第一節(jié)柱面定義平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線.設柱面的準線為母線的方向數(shù)為X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)為準線上一點，則過點M1的母線方程為第一節(jié)柱面定義平行于定直線并沿定曲線移動的直線38且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0(3)從（2）（3）中消去x1,y1,z1得F(x,y,z)=0這就是以（1）為準線，母線的方向數(shù)為X，Y，Z的柱面的方程。且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=39柱面舉例拋物柱面平面柱面舉例拋物柱面平面40從柱面方程看柱面的特征：（其他類推）實例橢圓柱面母線//軸雙曲柱面母線//軸拋物柱面母線//軸

只含yx,而缺z的方程0),(=yxF，在空間直角坐標系中表示母線平行于z軸的柱面，其準線為xoy面上曲線C.從柱面方程看柱面的特征：（其他類推）實例橢圓柱面母線/41例1、柱面的準線方程為而母線的方向數(shù)為-1，0，1，求這柱面的方程。例2、已知圓柱面的軸為點（1,-2,1)在此圓柱面上，求這個柱面的方程。例1、柱面的準線方程為而母線的方向數(shù)為-1，0，1，求這柱面42第二節(jié)錐面一、錐面1、定義在空間，通過一定點且與定曲線相交的一族直線所產生的曲面稱為錐面，這些直線都稱為錐面的母線，定點稱為錐面的頂點，定曲線稱為錐面的準線。2、錐面的方程設錐面的準線為頂點為A(x0,y0,z0)，如果M1(x1,y1,z1)為準線上任一點，則錐面過點M1的母線為：第二節(jié)錐面一、錐面1、定義在空間，通過一定點且與定曲43且有F1(x1,y1,z1)=0F2(x1,y1,z1)=0（3）從（2）（3）中消去參數(shù)x1,y1,z1得三元方程F(x,y,z)=0這就是以（1）為準線，以A為頂點的錐面方程。例1、求頂點在原點，準線為的錐面的方程。答：（二次錐面）且有F1(x1,y1,z1)=0F2(x1,y1,z1)=044定理一個關于x,y,z的齊次方程總表示頂點在坐標原點的錐面。齊次方程：設λ為實數(shù)，對于函數(shù)f(x,y,z)，如果有f(tx,ty,tz)=tλf(x,y,z)則稱f(x,y,z)為λ的齊次函數(shù)，f(x,y,z)=0稱為齊次方程。例如，方程x2+y2-z2=0圓錐面又如，方程x2+y2+z2=0原點（虛錐面）定理一個關于x,y,z的齊次方程總表示頂點在坐標齊次方程：45第三節(jié)旋轉曲面一、.旋轉曲面1、定義:以一條平面曲線C繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面叫做旋轉曲面,這條定直線叫旋轉曲面的軸.曲線C稱為放置曲面的母線oC緯線經線第三節(jié)旋轉曲面一、.旋轉曲面1、定義:以一條平面46二、旋轉曲面的方程在空間坐標系中，設旋轉曲面的母線為：旋轉直線為：其中P0(x0,y0,z0)為軸L上一定點，X，Y，Z為旋轉軸L的方向數(shù)。設M1(x1,y1,z1)為母線C上的任意點，則M1的緯圓總可以看成是過M1且垂直于旋轉軸L的平面與以P0為中心，|P0M1|為半徑的球面的交線。二、旋轉曲面的方程在空間坐標系中，設旋轉曲面的母線為：旋轉直47所以過M1的緯圓的方程為：當點M1跑遍整個母線C時，就得到所有的緯圓，這些緯圓就生成旋轉曲面。又由于M1在母線上，所以又有：從（3）（4）的四個等式中消去參數(shù)x1,y1,z1,得到一個三元方程：F(x,y,z)=0這就是以C為母線，L為旋轉軸的旋轉曲面的方程。所以過M1的緯圓的方程為：當點M1跑遍整個母線C48例1、求直線繞直線x=y=z旋轉所得旋轉曲面的方程。解：設M1(x1,y1,z1)是母線上的任意點，因為旋轉軸通過原點，所以過M1的緯圓方程是：又由于M1在母線上，所以又有：即x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z1得所求旋轉曲面的方程：2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0。例1、求直線繞直線x=y=z旋轉所得旋轉曲面的方程。解：設M49三、母線在坐標面而旋轉軸為坐標軸的旋轉曲面：

已知yoz面上一條曲線C,方程為f(y,z)=0,曲線C繞z

軸旋轉一周就得一個旋轉曲面.設M1(0,y1`,z1)是C上任意一點,則有f(y1,z1)=0當C繞z軸旋轉而M1隨之轉到M(x,y,z)時,有將z1=z,代入方程F(y1,z1)=0,

三、母線在坐標面而旋轉軸為坐標軸的旋轉曲面：已知yoz面上50得旋轉曲面的方程:即得旋轉曲面的方程:即51規(guī)律：當坐標平面上的曲線C繞此坐標平面的一個坐標旋轉時，要求該旋轉曲面的方程，只要將曲線C在坐標面里的方程保留和旋轉軸同名的坐標，而以其它兩個坐標平方和的平方根來代替方程中的另一坐標。規(guī)律：當坐標平面上的曲線C繞此坐標平面的一個坐標52解

圓錐面方程解圓錐面方程53例2:求直線z=ay繞z軸旋轉所得的旋轉曲面方程.zxyz=ay解:將y用代入直線方程,得平方得:z2=a2(x2+y2)該旋轉曲面叫做圓錐面,其頂點在原點.例2:求直線z=ay繞z軸旋轉所得的旋轉曲面方54例3

將下列各曲線繞對應的軸旋轉一周，求生成的旋轉曲面的方程．旋轉雙曲面（單葉）（雙葉）例3將下列各曲線繞對應的軸旋轉一周，求生成的旋轉曲面55例4、將圓繞Z軸旋轉，求所得旋轉曲面的方程。解：所求旋轉曲面的方程為：即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)該曲面稱為圓環(huán)面。例4、將圓繞Z軸旋轉，求所得旋轉曲面的方程。解：所求旋轉曲面56旋轉橢球面旋轉拋物面（長形）（短形）旋轉橢球面旋轉拋物面（長形）（短形）57第四節(jié)二次曲面二次曲面的定義：三元二次方程相應地平面被稱為一次曲面．討論二次曲面性狀的平面截痕法：用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌．以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面．一、基本內容所表示的曲面稱之為二次曲面．ax2+by2+cz2+dxy+exz+

fyz+gx+hy+iz+j=0第四節(jié)二次曲面二次曲面的定義：三元二次方程相應地平面被稱58zoxyO2用平面z=k去截割(要求|k|c),得橢圓當|k|c

時,|k|越大,橢圓越小;當|k|=c時,橢圓退縮成點.二.幾種常見二次曲面.（一）橢球面1用平面z=0去截割,得橢圓zoxyO2用平面z=k去截割(要求|k|593類似地,依次用平面x=0,平面y=0截割,得橢圓:特別:當a=b=c時,方程x2+y2+z2=a2,表示球心在原點o,半徑為a的球面.3類似地,依次用平面x=0,平面y=0截割60（二）雙曲面單葉雙曲面（1）用坐標面與曲面相截截得中心在原點的橢圓.（二）雙曲面單葉雙曲面（1）用坐標面61與平面的交線為橢圓.當變動時，這種橢圓的中心都在軸上.（2）用坐標面與曲面相截截得中心在原點的雙曲線.實軸與軸相合，虛軸與軸相合.與平面的交線為橢圓.當變動時，62雙曲線的中心都在軸上.與平面的交線為雙曲線.實軸與軸平行,虛軸與軸平行.實軸與