理論力學(xué)17課件

理論力學(xué)第三篇《動(dòng)力學(xué)》第十一章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程第十二章動(dòng)量定理第十三章動(dòng)量矩定理第十四章動(dòng)能定理第十六章達(dá)朗伯原理第十七章虛位移原理★第十六章虛位移原理§17–1約束?虛位移?虛功§17–2虛位移原理第十七章虛位移原理5

動(dòng)力學(xué)

一、約束

限制非自由質(zhì)點(diǎn)（或質(zhì)點(diǎn)系）運(yùn)動(dòng)的各種條件稱為約束。將約束的限制條件以數(shù)學(xué)方程來表示，則稱為約束方程。

例如：平面單擺曲柄連桿機(jī)構(gòu)§17-1約束?虛位移?虛功6動(dòng)力學(xué)根據(jù)約束的形式和性質(zhì)，可將約束劃分為不同的類型，通常按如下分類：1、幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間幾何位置的條件稱為幾何約束。如前述的平面單擺和曲柄連桿機(jī)構(gòu)例子中的限制條件都是幾何約束。當(dāng)約束對質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行限制時(shí)，這種約束條件稱為運(yùn)動(dòng)約束。例如：車輪沿直線軌道作純滾動(dòng)時(shí)。約束的分類7動(dòng)力學(xué)幾何約束：運(yùn)動(dòng)約束：約束條件不隨時(shí)間改變的約束為穩(wěn)定約束（定常約束）。當(dāng)約束條件與時(shí)間有關(guān)，并隨時(shí)間變化時(shí)稱為非定常約束。前面的例子中約束條件皆不隨時(shí)間變化，它們都是定常約束。2、定常約束和非定常約束例如：重物M由一條穿過固定圓環(huán)的細(xì)繩系住。初始時(shí)擺長l0,勻速v拉動(dòng)繩子。x2+y2=(l0-vt)2

約束方程中顯含時(shí)間t8在兩個(gè)相對的方向上同時(shí)對質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系進(jìn)行運(yùn)動(dòng)限制的約束稱為雙面約束。只能限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系單一方向運(yùn)動(dòng)的約束稱為單面約束。動(dòng)力學(xué)例如：車輪沿直線軌道作純滾動(dòng)，是微分方程，但經(jīng)過積分可得到（常數(shù)），該約束仍為完整約束。

4、單面約束和雙面約束幾何約束必定是完整約束，但完整約束未必是幾何約束。非完整約束一定是運(yùn)動(dòng)約束，但運(yùn)動(dòng)約束未必是非完整約束。剛桿x2+y2=l2繩x2+y2l210動(dòng)力學(xué)

虛位移與真正運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)生的實(shí)位移不同。實(shí)位移是在一定的力作用下和給定的初條件下運(yùn)動(dòng)而實(shí)際發(fā)生的；虛位移是在約束容許的條件下可能發(fā)生的。實(shí)位移具有確定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虛位移則是微小位移，視約束情況可能有幾種不同的方向。實(shí)位移是在一定的時(shí)間內(nèi)發(fā)生的；虛位移只是純幾何的概念，完全與時(shí)間無關(guān)。在定常約束下，微小的實(shí)位移必然是虛位移之一。而在非定常約束下，微小實(shí)位移不再是虛位移之一。12動(dòng)力學(xué)

(二)解析法。質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)（q1,q2,……,qk），廣義坐標(biāo)分別有變分，各質(zhì)點(diǎn)的虛位移在直角坐標(biāo)上的投影可以表示為14動(dòng)力學(xué)分析圖示機(jī)構(gòu)在圖示位置時(shí)，點(diǎn)C、A與B的虛位移。(已知OC=BC=a，OA=l)解：此為一個(gè)自由度系統(tǒng)，取OA桿與x軸夾角為廣義坐標(biāo)。1、幾何法[例1]15動(dòng)力學(xué)將C、A、B點(diǎn)的坐標(biāo)表示成廣義坐標(biāo)的函數(shù)，得2、解析法對廣義坐標(biāo)求變分，得各點(diǎn)虛位移在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影：16動(dòng)力學(xué)力在質(zhì)點(diǎn)發(fā)生的虛位移上所作的功稱為虛功，記為。三、虛功17動(dòng)力學(xué)如果在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移上，質(zhì)點(diǎn)系的所有約束反力的虛功之和等于零，則稱這種約束為理想約束。質(zhì)點(diǎn)系受有理想約束的條件：理想約束18動(dòng)力學(xué)

一、虛位移原理具有定常、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，平衡的必要與充分條件是：作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有主動(dòng)力在任何虛位移上所作的虛功之和等于零。即解析式：§17-2虛位移原理20動(dòng)力學(xué)證明：(1)必要性：即質(zhì)點(diǎn)系處于平衡時(shí)，必有∵質(zhì)點(diǎn)系處于平衡∴選取任一質(zhì)點(diǎn)Mi也平衡。對質(zhì)點(diǎn)Mi的任一虛位移，有由于是理想約束所以對整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系：21動(dòng)力學(xué)

二、虛位移原理的應(yīng)用1、系統(tǒng)在給定位置平衡時(shí)，求主動(dòng)力之間的關(guān)系；2、求系統(tǒng)在已知主動(dòng)力作用下的平衡位置；3、求系統(tǒng)在已知主動(dòng)力作用下平衡時(shí)的約束反力；4、求平衡構(gòu)架內(nèi)二力桿的內(nèi)力。23動(dòng)力學(xué)圖示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)，連桿AB長l，桿重和滑道摩擦不計(jì)，鉸鏈為光滑的，求在圖示位置平衡時(shí)，主動(dòng)力P和Q之間的關(guān)系。解：研究整個(gè)機(jī)構(gòu)。系統(tǒng)的所有約束都是理想約束。[例2]影片：170124動(dòng)力學(xué)

2、解析法由于任意，故由于系統(tǒng)為單自由度,可取為廣義坐標(biāo)。26[練習(xí)17-1]

（題2-14）ACDBF1F290°30°45°60°該機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡，求F1和

F2的關(guān)系。δrAδrB解：建立F1和F2的虛功方程：[例17-4]

（P255）AC=CE=BC=CD=DG=GE=l，作用力F，求支座B的水平約束反力。解：解除B支座的水平約束，用支座反力FBx代之。x應(yīng)用虛位移原理，(a)代入（a）得：運(yùn)動(dòng)學(xué)[練習(xí)17-2]橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)，OD=AD=BD=l，在圖示位置平衡，求F和M的關(guān)系。vBA60°BDOMFδrBδφδrD解：建立F和M的虛功方程：動(dòng)力學(xué)多跨靜定梁，求支座B處反力。解：將支座B除去，代入相應(yīng)的約束反力。[例3]3132動(dòng)力學(xué)滑套D套在光滑直桿AB上，并帶動(dòng)桿CD在鉛直滑道上滑動(dòng)。已知=0o時(shí)，彈簧等于原長，彈簧剛度系數(shù)為5(kN/m)，求在任意位置平衡時(shí)，加在AB桿上的力偶矩M？解：這是一個(gè)已知系統(tǒng)平衡，求作用于系統(tǒng)上主動(dòng)力之間關(guān)系的問題。將彈簧力計(jì)入主動(dòng)力，系統(tǒng)簡化為理想約束系統(tǒng)，故可以用虛位移原理求解。[題17-8]

（P273）33動(dòng)力學(xué)選擇AB桿、CD桿和滑套D的系統(tǒng)為研究對象。由虛位移原理，得：l34動(dòng)力學(xué)解：這是一個(gè)具有兩個(gè)自由度的系統(tǒng)，取角及為廣義坐標(biāo)，現(xiàn)用兩種方法求解。均質(zhì)桿OA及AB在A點(diǎn)用鉸連接，并在O點(diǎn)用鉸支承，如圖所示。兩桿各長2a和2b，各重P1及P2，設(shè)在B點(diǎn)加水平力F以維持平衡，求兩桿與鉛直線所成的角及。y[例4]

35動(dòng)力學(xué)應(yīng)用虛位移原理，代入(a)式，得：解法一：解析法36動(dòng)力學(xué)由于是彼此獨(dú)立的，所以：由此解得：37動(dòng)力學(xué)而代入上式，得解法二：先使保持不變，而使獲得變分，得到系統(tǒng)的一組虛位移，如圖所示。38動(dòng)力學(xué)再使保持不變，而使獲得變分，得到系統(tǒng)的另一組虛位移，如圖所示。而代入上式后，得：圖示中：39動(dòng)力學(xué)以不解除約束的理想約束系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)至少有一個(gè)自由度。若系統(tǒng)存在非理想約束，如彈簧力、摩擦力等，可把它們計(jì)入主動(dòng)力，則系統(tǒng)又是理想約束系統(tǒng)，可選為研究對象。若要求解約束反力，需解除相應(yīng)的約束，代之以約束反力，并計(jì)入主動(dòng)力。應(yīng)逐步解除約束，每一次研究對象只解除一個(gè)約束，將一個(gè)約束反力計(jì)入主動(dòng)力，增加一個(gè)自由度。1、正確