陜西省西安市新城區(qū)西安中學(xué)2022年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)符合題意，請將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1．若函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在區(qū)間，使在上的值域?yàn)?，則稱函數(shù)為“上的優(yōu)越函數(shù)”．如果函數(shù)是“上的優(yōu)越函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.2．若，則下列不等式成立的是().A. B.C. D.3．已知銳角終邊上一點(diǎn)A的坐標(biāo)為,則的弧度數(shù)為（）A.3 B.C. D.4．圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為A. B.C. D.5．定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時,,當(dāng)時,.則=（）A.338 B.337C.1678 D.20136．已知集合，則（）A. B.或C. D.或7．△ABC的內(nèi)角、、的對邊分別為、、,若,,,則（）A. B.C. D.8．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，則AB中元素的個數(shù)為A.1 B.2C.3 D.49．設(shè)θ為銳角，，則cosθ=（）A. B.C. D.10．函數(shù)（且）與函數(shù)在同一個坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．設(shè)函數(shù)，則__________12．若，則實(shí)數(shù)的值為______.13．已知函數(shù)①當(dāng)a=1時，函數(shù)的值域是___________；②若函數(shù)的圖像與直線y=1只有一個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________14．設(shè)，且，則的取值范圍是________.15．兩條平行直線與的距離是__________三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．記不等式的解集為A，不等式的解集為B.（1）當(dāng)時，求；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.17．已知函數(shù)，.（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：是增函數(shù)；（2）若，則當(dāng)為何值時，取得最小值？并求出其最小值.18．已知有半徑為1，圓心角為a（其中a為給定的銳角）的扇形鐵皮OMN，現(xiàn)利用這塊鐵皮并根據(jù)下列方案之一，裁剪出一個矩形.方案1：如圖1，裁剪出的矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B在線段ON上，點(diǎn)C在弧MN上，點(diǎn)D在線段OM上；方案2：如圖2，裁剪出的矩形PQRS的頂點(diǎn)P，S分別在線段OM，ON上，頂點(diǎn)Q，R在弧MN上，并且滿足PQ∥RS∥OE，其中點(diǎn)E為弧MN的中點(diǎn).（1）按照方案1裁剪，設(shè)∠NOC=，用表示矩形ABCD的面積S1，并證明S1的最大值為；（2）按照方案2裁剪，求矩形PQRS的面積S2的最大值，并與（1）中的結(jié)果比較后指出按哪種方案可以裁剪出面積最大的矩形.19．已知函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過點(diǎn).（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．某市郊區(qū)有一加油站，2018年初汽油的存儲量為50噸，計(jì)劃從年初起每周初均購進(jìn)汽油噸，以滿足城區(qū)內(nèi)和城外汽車用油需求，已知城外汽車用油每周5噸；城區(qū)內(nèi)汽車用油前個周需求量噸與的函數(shù)關(guān)系式為，為常數(shù)，且前4個周城區(qū)內(nèi)汽車的汽油需求量為100噸.（1）試寫出第個周結(jié)束時，汽油存儲量（噸）與的函數(shù)關(guān)系式；（2）要使16個周內(nèi)每周按計(jì)劃購進(jìn)汽油之后，加油站總能滿足城區(qū)內(nèi)和城外的需求，且每周結(jié)束時加油站的汽油存儲量不超過150噸，試確定的取值范圍.21．已知.（1）化簡；（2）若α＝－，求f(α)的值.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)符合題意，請將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1、D【解析】由于是“上的優(yōu)越函數(shù)”且函數(shù)在上單調(diào)遞減，由題意得，，問題轉(zhuǎn)化為與在時有2個不同的交點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求【詳解】解：因?yàn)槭恰吧系膬?yōu)越函數(shù)”且函數(shù)在上單調(diào)遞減，若存在區(qū)間，使在上的值域?yàn)?，由題意得，，所以，，即與在時有2個不同的交點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性質(zhì)可知，即故選：D2、B【解析】∵a＞b＞c，∴a﹣c＞b﹣c＞0，∴故選B3、C【解析】先根據(jù)定義得正切值，再根據(jù)誘導(dǎo)公式求解【詳解】由題意得，選C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義以及誘導(dǎo)公式，考查基本分析化簡能力，屬基礎(chǔ)題.4、A【解析】由題意得，圓心坐標(biāo)為，設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，所以對稱圓方程為考點(diǎn)：點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程5、B【解析】,,即函數(shù)是周期為的周期函數(shù).當(dāng)時,,當(dāng)時,.,,故本題正確答案為6、C【解析】直接利用補(bǔ)集和交集的定義求解即可.【詳解】由集合，可得：或，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本該考查了集合的運(yùn)算，解決該題的關(guān)鍵是掌握補(bǔ)集和交集的定義..7、C【解析】由已知利用余弦定理可求的值,利用等腰三角形的性質(zhì)可求的值.【詳解】解：∵,,,∴由余弦定理可得,求得：c＝1.∴∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理在解三角形中應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】由題意可得，故中元素的個數(shù)為2，所以選B.【名師點(diǎn)睛】集合基本運(yùn)算的關(guān)注點(diǎn)：(1)看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問題的前提(2)有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問題簡單明了，易于解決(3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖9、D【解析】為銳角，故選10、C【解析】利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)對各個選項(xiàng)一一進(jìn)行判斷可得答案.【詳解】解：兩個函數(shù)分別為指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)，其中二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，故排除A，D；二次函數(shù)的對稱軸為直線，當(dāng)時，指數(shù)函數(shù)遞減，，C符合題意；當(dāng)時，指數(shù)函數(shù)遞增，，B不合題意，故選C【點(diǎn)睛】本題通過對多個圖象的選擇考查指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)、考查知識點(diǎn)較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項(xiàng)一一排除.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、【解析】先根據(jù)2的范圍確定表達(dá)式，求出；后再根據(jù)的范圍確定表達(dá)式，求出.【詳解】因?yàn)?，所以，所?【點(diǎn)睛】分段函數(shù)求值問題，要先根據(jù)自變量的范圍，確定表達(dá)式，然后代入求值．要注意由內(nèi)而外求值，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】由指數(shù)式與對數(shù)式的互化公式求解即可【詳解】因?yàn)椋?，故答案為?3、①.（－∞，1]②.（－1，1]【解析】①分段求值域，再求并集可得的值域；②轉(zhuǎn)化為＝在上與直線只有一個公共點(diǎn)，分離a求值域可得實(shí)數(shù)a的取值范圍【詳解】①當(dāng)a＝1時，即當(dāng)x≤1時，，當(dāng)x＞1時，，綜上所述當(dāng)a＝1時，函數(shù)的值域是，②由無解，故＝在上與直線只有一個公共點(diǎn)，則有一個零點(diǎn)，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：；.14、【解析】由題意得，，又因?yàn)椋瑒t的取值范圍是15、【解析】直線與平行，，得，直線，化為，兩平行線距離為，故答案為.三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）（2）【解析】（1）分別求出集合，再求并集即可.（2）分別求出集合和的補(bǔ)集，它們的交集不為空集，列出不等式求解.【詳解】（1）當(dāng)時，的解為或（2）a的取值范圍為17、證明詳見解析；（2）時，的最小值是.【解析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義法證明，定義域內(nèi)任取，且，在作差，變形后判斷符號，證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）首先根據(jù)函數(shù)的定義域求的范圍，再根據(jù)基本不等式求最小值.【詳解】（1）證明：在區(qū)間任取，設(shè)，，，，，即，所以函數(shù)在是增函數(shù)；（2），的定義域是，，設(shè)，時，，當(dāng)時，，當(dāng)，即時，等號成立，即時，函數(shù)取得最小值4.【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：本題的易錯點(diǎn)是第二問容易忽略函數(shù)的定義域，換元時，也要注意中間變量的取值范圍.18、（1），證明見解析；（2），方案1可以裁剪出面積最大的矩形.【解析】（1）分別用含有的三角函數(shù)表示，寫出矩形的面積，利用三角函數(shù)求最值；（2）利用（1）的結(jié)論，根據(jù)對稱性知，矩形的最大面積為，然后利用作差法比較大小即可【小問1詳解】在圖1中，，，，，，，當(dāng)時，矩形最大面積為，得證.【小問2詳解】在圖（2）中，設(shè)與邊，分別交于點(diǎn)，，由（1）的結(jié)論，可得矩形的最大面積為，根據(jù)對稱性知，矩形的最大面積為.因?yàn)闉殇J角，所以，于是.因此，.故按照方案1可以裁剪出面積最大的矩形，其最大面積為.19、（1）；（2）【解析】（1）直接代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.（2）確定函數(shù)單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到答案.【詳解】（1）（且）的圖像經(jīng)過點(diǎn)，即，故，故.（2）函數(shù)單調(diào)遞增，，故，故【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，意在考查學(xué)生對于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.20、(1)(2)【解析】（1）根據(jù)題意前4個周城區(qū)內(nèi)汽車的汽油需求量為100噸，得，；（2）每周結(jié)束時加油站的汽油存儲量不超過150噸，故，恒成立,轉(zhuǎn)化為恒成立，通過換元分別求得函數(shù)的最值即可解析：（1）由已知條件得，解得.所以..（2）由題意，，所以，恒成立，即恒成立.設(shè)，則，所以（）恒成立，由（）恒成立，得（當(dāng)，即時取等號）；由（）恒成立，得（當(dāng)，即時取等號）