2022-2023學年湖南省株洲市醴陵市第四中學數學高一上期末綜合測試試題含解析

2022-2023學年高一上數學期末模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1．下列函數中，既是奇函數，又是增函數的是（）①；②；③；④A.①② B.①④C.②③ D.③④2．已知函數是上的偶函數，且在區(qū)間上是單調遞增的，，，是銳角三角形的三個內角，則下列不等式中一定成立的是A. B.C. D.3．已知函數，則使成立的x的取值范圍是（）A. B.C. D.4．已知集合，，若，則實數的值為（）A. B.C. D.5．下列函數是偶函數且值域為的是（）①；②；③；④A.①② B.②③C.①④ D.③④6．函數的定義域是（）A. B.C D.7．如圖，在中，點是線段及、的延長線所圍成的陰影區(qū)域內（含邊界）的任意一點，且，則在直角坐標平面上，實數對所表示的區(qū)域在直線的右下側部分的面積是（）A. B.C. D.不能求8．“是”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分又不必要9．已知，，則（）A. B.C. D.10．三條直線l1：ax+by-1=0，l2：2x+（a+2）y+1=0，l3：bx-2y+1=0，若l1，l2都和l3垂直，則a+b等于（）A. B.6C.或6 D.0或411．過點，且圓心在直線上的圓的方程是（）A. B.C. D.12．函數在區(qū)間上的最小值為（）A. B.C. D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．函數（且）的定義域為__________14．在中，，則_____________15．已知函數,若方程有四個不同的解,且,則的最小值是______,的最大值是______.16．_________.三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．已知函數.（1）根據定義證明：函數在上是增函數；（2）根據定義證明：函數是奇函數.18．如圖，某園林單位準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，外的地方種草，的內接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花.若，，設的面積為，正方形PQRS的面積為.（1）用a，表示和；（2）當a為定值，變化時，求的最小值，及此時的值.19．如圖，四棱錐中，底面是正方形，平面，，為與的交點，為棱上一點.（1）證明：平面平面；（2）若平面，求三棱錐的體積.20．某校對100名高一學生的某次數學測試成績進行統計，分成五組，得到如圖所示頻率分布直方圖.（1）求圖中a值；（2）估計該校高一學生這次數學成績的眾數和平均數；（3）估計該校高一學生這次數學成績的75%分位數.21．化簡或求值：（1）；（2）22．已知函數的圖像過點，且圖象上與點最近的一個最低點是.（1）求的解析式；（2）求函數在區(qū)間上的取值范圍.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1、D【解析】對每個函【解析】判斷奇偶性及單調性即可.【詳解】對于①，，奇函數，在和上分別單增，不滿足條件；對于②，，偶函數，不滿足條件；對于③，，奇函數，在R上單增，符合題意；對于④，，奇函數，在R上單增，符合題意；故選：D2、C【解析】因為是銳角的三個內角，所以，得，兩邊同取余弦函數，可得，因為在上單調遞增，且是偶函數，所以在上減函數，由，可得，故選C.點睛：本題考查了比較大小問題，解答中熟練推導抽象函數的圖象與性質，合理利用函數的單調性進行比較大小是解答的關鍵，著重考查學生的推理與運算能力，本題的解答中，根據銳角三角形，得出與的大小關系是解答的一個難點.3、C【解析】考慮是偶函數，其單調性是關于y軸對稱的，只要判斷出時的單調性，利用對稱關系即可.【詳解】，是偶函數；當時，由于增函數，是增函數，所以是增函數，是關于y軸對稱的，當時，是減函數，作圖如下：欲使得，只需，兩邊取平方，得，解得；故選：C.4、B【解析】根據集合，，可得，從而可得.【詳解】因為，，所以，所以.故選：B5、C【解析】根據奇偶性的定義依次判斷，并求函數的值域即可得答案.【詳解】對于①，是偶函數，且值域為；對于②，是奇函數，值域為；對于③，是偶函數，值域為；對于④，偶函數，且值域為，所以符合題意的有①④故選：C.6、B【解析】解不等式組即可得定義域.【詳解】由得：所以函數的定義域是.故選：B7、A【解析】由點是由線段及、的延長線所圍成的陰影區(qū)域內（含邊界）的任意一點，作的平行線，把中、所滿足的不等式表示出來，然后作出不等式組所表示的可行域，并計算出可行域在直線的右下側部分的面積即可.【詳解】如下圖，過作，交的延長線于，交的延長線于，設，，，，則，所以，得，所以.作出不等式組對應的可行域，如下圖中陰影部分所示，故所求面積為，故選：A.【點睛】本題考查二元一次不等式組與平面區(qū)域的關系，考查轉化思想，是難題.解決本題的關鍵是建立、的不等式組，將問題轉化為線性規(guī)劃問題求解.8、A【解析】根據充分必要條件的定義判斷【詳解】若x＝1，則x2－4x＋3＝0，是充分條件，若x2－4x＋3＝0，則x＝1或x＝3，不是必要條件.故選：A.9、B【解析】應用同角關系可求得，再由余弦二倍角公式計算．【詳解】因，所以，所以，所以.故選：B.【點睛】本題考查同角間的三角函數關系，考查余弦的二倍角公式．求值時要注意角的取值范圍，以確定函數值的正負．10、C【解析】根據相互垂直的兩直線斜率之間的關系對b分類討論即可得出【詳解】l1，l2都和l3垂直，①若b＝0，則a+2＝0，解得a＝﹣2，∴a+b＝﹣2②若b≠0，則1，1，聯立解得a＝2，b＝4，∴a+b＝6綜上可得：a+b的值為﹣2或6故選C【點睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關系、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題11、B【解析】由題設得的中垂線方程為，其與交點即為所求圓心，并應用兩點距離公式求半徑，寫出圓的方程即可.【詳解】由題設，的中點坐標為，且，∴的中垂線方程為，聯立，∴，可得，即圓心為，而，∴圓的方程是.故選：B12、C【解析】求出函數的對稱軸，判斷函數在區(qū)間上的單調性，根據單調性即可求解.【詳解】，對稱軸，開口向上，所以函數在上單調遞減，在單調遞增，所以.故選：C二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、【解析】根據對數的性質有，即可求函數的定義域.【詳解】由題設，，可得，即函數的定義域為.故答案為：14、【解析】先由正弦定理得到，再由余弦定理求得的值【詳解】由，結合正弦定理可得，故設，，()，由余弦定理可得，故.【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的運用，屬于基礎題15、①.1②.4【解析】畫出的圖像,再數形結合分析參數的的最小值,再根據對稱性與函數的解析式判斷中的定量關系化簡再求最值即可.【詳解】畫出的圖像有：因為方程有四個不同的解,故的圖像與有四個不同的交點,又由圖,,故的取值范圍是,故的最小值是1.又由圖可知,,,故,故.故.又當時,.當時,,故.又在時為減函數,故當時取最大值.故答案為：(1).1(2).4【點睛】本題主要考查了數形結合求解函數零點個數以及范圍的問題,需要根據題意分析交點間的關系,并結合函數的性質求解.屬于難題.16、【解析】根據誘導公式可求該值.【詳解】.故答案為：.【點睛】誘導公式有五組，其主要功能是將任意角的三角函數轉化為銳角或直角的三角函數．記憶誘導公式的口訣是“奇變偶不變，符號看象限”．本題屬于基礎題.三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17、⑴見解析;⑵見解析.【解析】(1)利用單調性定義證明函數的單調性；（2）利用奇偶性定義證明函數奇偶性.試題解析：⑴設任意的，且，則，，即，又，，即，在上是增函數⑵，,，即所以函數是奇函數.點睛：證明函數單調性的一般步驟：（1）取值：在定義域上任取，并且（或）；（2）作差：，并將此式變形（要注意變形到能判斷整個式子符號為止）；（3）定號：判斷的正負（要注意說理的充分性），必要時要討論；（4）下結論：根據定義得出其單調性18、（1）；（2）當時，的值最小，最小值為【解析】（1）利用已知條件，根據銳角三角形中正余弦的利用，即可表示出和；（2）根據題意，將表示為的函數，利用倍角公式對函數進行轉化，利用換元法，借助對勾函數的單調性，從而求得最小值.【詳解】（1）在中，，所以；設正方形的邊長為x，則，，由，得，解得；所以；（2），令，因為，所以，則，所以；設，根據對勾函數的單調性可知，在上單調遞減，因此當時，有最小值，此時，解得；所以當時，的值最小，最小值為.【點睛】本題考查倍角公式的使用，三角函數在銳角三角形中的應用，以及利用對勾函數的單調性求函數的最值，涉及換元法，屬綜合性中檔題.19、（1）見解析（2）【解析】(1)由,可推出平面,從而可證明平面平面;(2)由平面可推出是中點,因此.【詳解】(1)平面,平面,,∵四邊形是正方形,,,平面,平面,∴平面平面;(2)平面,平面平面,,是中點,是中點,.【點睛】本題考查面面垂直,考查空間幾何體體積的求法,屬于中檔題.在解決此類幾何體體積問題時,可利用中點進行轉化.20、（1）（2）眾數為，平均數為（3）【解析】（1）由頻率分布直方圖的性質，列出方程，即可求解；可得，（2）根據頻率分布直方圖的中眾數的概念和平均數的計算公式，即可求解；（3）因為50到80的頻率和為0.65，50到90的頻率和為0.9，結合百分數的計算方法，即可求解.【小問1詳解】解：由頻率分布直方圖的性質，可得，解得.【小問2詳解】解：根據頻率分布直方圖的中眾數的概念，可得眾數為，平均數為.【小問3詳解】解：因為50到80的頻率和為0.65，50到90的頻率和為0.9，所以75%分位數為.21、(1)99;(2)2.【解析】（1）根據指數冪的運算公式將式子進行化簡求值即可；（2）對式子提公因式，結合同底的對數運算得到最終結果解析：（1）原式（2）原式22、（1）；（2）.【解析】(1)根據，兩點可求出和周期，再由周期公式即可求出，再由即可求出；(2)根據求出函數的