高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納-第05招 函數(shù)解析式的求法

【知識要點】一、求函數(shù)的解析式的主要方法有以下五種：1、定系數(shù)法：如果已知函數(shù)析式的類型（函數(shù)是二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)等）時，可以用待定系數(shù)法.2、代入法：如果已知原函數(shù)f(x

的解析式，求復(fù)合函數(shù)[g()]

的解析式時，可以用代入.3、元法：如果已知復(fù)合函數(shù)[g)]時，注意新“元”的范圍.

的解析式，求原函數(shù)f()

的解析式時，可以用換元法.換解方程組法：如果已知抽象函數(shù)滿足的關(guān)系式中有互為相反的自變量或互為倒數(shù)的自變量時，以用解方程組的方法實際問題法：在實際問題中，根據(jù)函數(shù)的意義求出函數(shù)的解析.【方法講評】方法一使用情景解題步驟

待定系數(shù)法已知函數(shù)的類型根據(jù)已知先設(shè)出函數(shù)的解析式，再列方程（組）求待定系.【例1】已知f)

是一次函數(shù)，且滿足f(f(x

，求f()

.【點評）本題由于已知函數(shù)的類型是一次函數(shù)，所以可以利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式.（）由于(f(

對于定義域內(nèi)的任意一個值都成立，所以最后的ax

實際上是一個恒等式，所以可以比較等式兩邊的系數(shù)分別相等列方程.【例2】已知函數(shù)y（

的圖形的一個最高點為（，2這個最高點到相鄰的最低點時曲線經(jīng)過6，這個函數(shù)的解析式.【解析】由題得

A

2y2sin(wx

)由題得函數(shù)的最小正周期(6

w

w

8f()8

函數(shù)的圖像過點）2=sin(8f()2sin(x)4

2【點評】對于三角函數(shù)，待定系數(shù)法同樣適用，關(guān)鍵是通過已知條件找到關(guān)于待定系數(shù)的方（組對三角函數(shù)yA

來說一般利用最小正周期得到

的方程用值得到A

的方程，利用最值點得到的程【反饋檢測1】已知f()

為二次函數(shù)，且f(2)f(，(0),圖象在軸上截得的線段長為2

,求f(x)

的解析式.方法二使用情景解題步驟

代入法（）知原函數(shù)的解析式，求復(fù)合函數(shù)的解析式已知某區(qū)間的函數(shù)的解析式，求對稱區(qū)間的解析式（）接代入原函數(shù)的解析式即可一般先在所求的函數(shù)的圖像上任意取一點，然后求出它的對稱點的坐標，再把對稱點的坐標代入對稱點滿足的方.【例3】已知函數(shù)

f(x

2

求函數(shù)f(

的表達.【解析】由題得

f(x2x2x【點評】本題就是已知原函數(shù)的解析式，求復(fù)合函數(shù)的解析式，所以只需直接用”代換原函數(shù)中的“

”即可這是代入法求函數(shù)的解析.【例4】已知函數(shù)x)

是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x(0,時f()x)

，求當(dāng)x時f(x

的函數(shù)解析.fxfx【點評】本題就是已知某區(qū)間的函數(shù)的解析式，求對稱區(qū)間的解析一般在所求的函數(shù)的圖像上任意取一點，然后求出它的對稱點的坐標，再把對稱點的坐標代入對稱點滿足的方程.這是高中學(xué)常見到的一種題型，要好好地理解和掌.學(xué)網(wǎng)【反饋檢測2】設(shè)函數(shù)(x)函數(shù)g()的表達式.方法三

的圖象為C，C關(guān)于點(2,1)稱的圖象為，求對的11換元法使用情景解題步驟

已知復(fù)合函數(shù)的解析式，求原函數(shù)的解析.先換元，求出函數(shù)的自變量的表達式，再代入復(fù)合函數(shù)得到函數(shù)的解析.【例5】已知f(x，f()x

.22【解析】令（tx，∴f(t)xtt

，所以()

x

.【點評）本題就是已知復(fù)合函數(shù)的解析式，求原函數(shù)的解析式.一先換元，再求出函數(shù)的自變量的表達式，再代入復(fù)合函數(shù)得到函數(shù)的解析2）換元時，一定要注意新元的取值范圍，它就是所求函數(shù)的定義域.【反饋檢測3】已f(1)cos2x方法四

求

解方程組法使用情景解題步驟

已知抽象函數(shù)滿足的關(guān)系式中有互為相反的自變量或互為倒數(shù)的自變.利用已知構(gòu)造另一個方程，得到一個方程組，解方程組即.【例6】已知f()滿2(x)()x，f(x)

．【解析】

f()f()x

①，把①中的

3換成，得()(x)x

②，①

②得)

1，∴()x

．【點評】在已知的方程中有自變量和，們?yōu)榈箶?shù)，所以可以把方程中x的方統(tǒng)一換成，xx從而又得到一個關(guān)于f(xf(的方程，解關(guān)于(),f()xx

的方程組即.【反饋檢測5定義在區(qū)間(1,1)

上的函數(shù)f()

滿足2fx)()x

求fx)

的表達式.方法五使用情景解題步驟

實際問題法實際問題一般情況下根據(jù)函數(shù)的意義求出函數(shù)的解析式，要注意函數(shù)的定義.【例7】某人開汽車以

60kmh

的速度從A

地到

km

遠處的B

地，在B

地停留

后，再以

0/的速度返回A

地，把汽車離開A

地的路程

表示為時間

t

地出發(fā)是開始）的函數(shù)，再把車速

/h

表示為時間

t

的函數(shù)．【點評】實際問題中求函數(shù)的解析式難度比較大，一般要認真讀題，再根據(jù)函數(shù)的意義、自變的意義及其它們之間的關(guān)系建立它們之間的函數(shù)關(guān).寫函數(shù)的解析式時，要注意函數(shù)的定義.【反饋檢測】某司生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本為萬元，但每生產(chǎn)100件需要增加投入萬元，市場對此產(chǎn)品的需要量為5件銷售收入為函數(shù)

R

2

萬元，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百件.（）利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)

f

；（）年量為多少時，當(dāng)年公所得利潤最.高中數(shù)學(xué)常見題型解歸納及反饋檢測第05講：函數(shù)解析式的法參考答案【反饋檢測1答】(x)x

x【反饋檢測1詳解析】

設(shè)二函數(shù)解析為

2

bx(a由題得二次函數(shù)的拋物線的對稱軸是

a

af(0)

拋物x軸上截得的線段長2|1

b

2acb2|a|解方程組

bab2a|a

2

11得=(x)x22

2

【反饋檢測2答】yx

(4)【反饋檢測2詳細析】設(shè)x,y)

是函數(shù)(x

圖象上任一點，關(guān)于A對稱點(42)

在y(

上，即：2

1即：yxx故yg()

x

(

.【反饋檢測3答】f(x2)

4

2

(x

【反饋檢測5答】

f()

x(x3【反饋檢測5詳解析】的x有-x由2f()fx）得2(-xf(x)x2）消f21f(x)=lg(x+1)+lg(-x+1)（x