2023學年黑龍江青岡縣一中高三下第一次測試數(shù)學試題（含答案解析）

2023高考數(shù)學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．2．已知，，則的大小關系為（）A． B． C． D．3．若復數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．4．函數(shù)的圖象如圖所示,則它的解析式可能是()A． B．C． D．5．已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的零點所在區(qū)間為（）A． B． C． D．6．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E、F且EF=，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．AC⊥BE B．EF平面ABCDC．三棱錐A-BEF的體積為定值 D．異面直線AE,BF所成的角為定值7．已知定義在上的偶函數(shù)，當時，，設，則（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)若關于的方程有六個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．9．已知拋物線：（）的焦點為，為該拋物線上一點，以為圓心的圓與的準線相切于點，，則拋物線方程為（）A． B． C． D．10．拋物線C:y2=2px的焦點F是雙曲線C2:x2m-y21-m=1A．2+1 B．22+3 C．11．等比數(shù)列若則（）A．±6 B．6 C．-6 D．12．中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還.”意思為有一個人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了六天恰好到達目的地，請問第二天比第四天多走了（）A．96里 B．72里 C．48里 D．24里二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中，若的奇數(shù)次冪的項的系數(shù)之和為32，則________．14．二項式的展開式的各項系數(shù)之和為_____，含項的系數(shù)為_____．15．設，則“”是“”的__________條件.16．如圖，在三棱錐中，平面，，已知，，則當最大時，三棱錐的體積為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是遞增的等差數(shù)列，，是方程的根.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.18．（12分）如圖所示,直角梯形中,,,,四邊形為矩形,.（1）求證:平面平面;（2）在線段上是否存在點,使得直線與平面所成角的正弦值為,若存在,求出線段的長,若不存在,請說明理由.19．（12分）設函數(shù).（1）求的值；（2）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.20．（12分）設為等差數(shù)列的前項和，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若滿足不等式的正整數(shù)恰有個，求正實數(shù)的取值范圍．21．（12分）已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)當時，求函數(shù)在上最小值.22．（10分）如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面與側(cè)面都是菱形，，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【答案解析】

根據(jù)直線與圓相交，可求出k的取值范圍，根據(jù)幾何概型可求出相交的概率.【題目詳解】因為圓心，半徑，直線與圓相交，所以，解得所以相交的概率,故選C.【答案點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系，幾何概型，屬于中檔題.2．D【答案解析】

由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得最小，利用作差法，結(jié)合對數(shù)換底公式及基本不等式的性質(zhì)即可比較和的大小關系，進而得解.【題目詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，由對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，，所以最??；而由對數(shù)換底公式化簡可得由基本不等式可知，代入上式可得所以，綜上可知，故選：D.【答案點睛】本題考查了指數(shù)式與對數(shù)式的化簡變形，對數(shù)換底公式及基本不等式的簡單應用，作差法比較大小，屬于中檔題.3．B【答案解析】

利用復數(shù)乘法運算化簡，由此求得.【題目詳解】依題意，所以.故選：B【答案點睛】本小題主要考查復數(shù)的乘法運算，考查復數(shù)模的計算，屬于基礎題.4．B【答案解析】

根據(jù)定義域排除，求出的值，可以排除，考慮排除.【題目詳解】根據(jù)函數(shù)圖象得定義域為，所以不合題意；選項，計算，不符合函數(shù)圖象；對于選項，與函數(shù)圖象不一致；選項符合函數(shù)圖象特征.故選：B【答案點睛】此題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇合適的解析式，主要利用函數(shù)性質(zhì)分析，常見方法為排除法.5．B【答案解析】由函數(shù)f(x)的圖象可知，0＜f(0)＝a＜1，f(1)＝1－b＋a＝0，所以1＜b＜2.又f′(x)＝2x－b，所以g(x)＝ex＋2x－b，所以g′(x)＝ex＋2＞0，所以g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(0)＝1－b＜0，g(1)＝e＋2－b＞0，根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理可知，函數(shù)g(x)的零點所在的區(qū)間是(0，1)，故選B.6．D【答案解析】

A．通過線面的垂直關系可證真假；B．根據(jù)線面平行可證真假；C．根據(jù)三棱錐的體積計算的公式可證真假；D．根據(jù)列舉特殊情況可證真假.【題目詳解】A．因為，所以平面，又因為平面，所以，故正確；B．因為，所以，且平面，平面，所以平面，故正確；C．因為為定值，到平面的距離為，所以為定值，故正確；D．當，，取為，如下圖所示：因為，所以異面直線所成角為，且，當，，取為，如下圖所示：因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以異面直線所成角為，且，由此可知：異面直線所成角不是定值，故錯誤.故選：D.【答案點睛】本題考查立體幾何中的綜合應用，涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計算，難度較難.注意求解異面直線所成角時，將直線平移至同一平面內(nèi).7．B【答案解析】

根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，可判斷關系；由時，，求得導函數(shù)，并構(gòu)造函數(shù)，由進而判斷函數(shù)在時的單調(diào)性，即可比較大小.【題目詳解】為定義在上的偶函數(shù)，所以所以;當時，，則，令則，當時，，則在時單調(diào)遞增，因為，所以，即，則在時單調(diào)遞增，而，所以，綜上可知，即，故選：B.【答案點睛】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)應用，由導函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性的應用，根據(jù)單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.8．B【答案解析】

令，則，由圖象分析可知在上有兩個不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解決.【題目詳解】令，則，如圖與頂多只有3個不同交點，要使關于的方程有六個不相等的實數(shù)根，則有兩個不同的根，設由根的分布可知，，解得.故選：B.【答案點睛】本題考查復合方程根的個數(shù)問題，涉及到一元二次方程根的分布，考查學生轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.9．C【答案解析】

根據(jù)拋物線方程求得點的坐標，根據(jù)軸、列方程，解方程求得的值.【題目詳解】不妨設在第一象限，由于在拋物線上，所以，由于以為圓心的圓與的準線相切于點，根據(jù)拋物線的定義可知，、軸，且.由于，所以直線的傾斜角為，所以，解得，或（由于，故舍去）.所以拋物線的方程為.故選：C【答案點睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查直線的斜率，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.10．A【答案解析】

先由題和拋物線的性質(zhì)求得點P的坐標和雙曲線的半焦距c的值，再利用雙曲線的定義可求得a的值，即可求得離心率.【題目詳解】由題意知，拋物線焦點F1,0，準線與x軸交點F'(-1,0)，雙曲線半焦距c=1，設點Q(-1,y)ΔFPQ是以點P為直角頂點的等腰直角三角形，即PF所以PQ⊥拋物線的準線，從而PF⊥x軸，所以P1,2∴2a=P即a=故雙曲線的離心率為e=故選A【答案點睛】本題考查了圓錐曲線綜合，分析題目，畫出圖像，熟悉拋物線性質(zhì)以及雙曲線的定義是解題的關鍵，屬于中檔題.11．B【答案解析】

根據(jù)等比中項性質(zhì)代入可得解，由等比數(shù)列項的性質(zhì)確定值即可.【題目詳解】由等比數(shù)列中等比中項性質(zhì)可知，，所以，而由等比數(shù)列性質(zhì)可知奇數(shù)項符號相同，所以，故選：B.【答案點睛】本題考查了等比數(shù)列中等比中項的簡單應用，注意項的符號特征，屬于基礎題.12．B【答案解析】

人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，設此人第一天走的路程為，計算，代入得到答案.【題目詳解】由題意可知此人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，設此人第一天走的路程為，則，解得，從而可得，故.故選：.【答案點睛】本題考查了等比數(shù)列的應用，意在考查學生的計算能力和應用能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【答案解析】試題分析：由已知得，故的展開式中x的奇數(shù)次冪項分別為，，，，，其系數(shù)之和為，解得．考點：二項式定理．14．【答案解析】

將代入二項式可得展開式各項系數(shù)之和，寫出二項展開式通項，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項即可得出項的系數(shù).【題目詳解】將代入二項式可得展開式各項系數(shù)和為.二項式的展開式通項為，令，解得，因此，展開式中含項的系數(shù)為.故答案為：；.【答案點睛】本題考查了二項式定理及二項式展開式通項公式，屬基礎題．15．充分必要【答案解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義可判斷兩者之間的條件關系.【題目詳解】當時，有，故“”是“”的充分條件.當時，有，故“”是“”的必要條件.故“”是“”的充分必要條件，故答案為：充分必要.【答案點睛】本題考查充分必要條件的判斷，可利用定義來判斷，也可以根據(jù)兩個條件構(gòu)成命題及逆命題的真假來判斷，還可以利用兩個條件對應的集合的包含關系來判斷，本題屬于容易題.16．4【答案解析】設，則，，，，當且僅當，即時，等號成立.,故答案為4三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）;（2）.【答案解析】

（1）方程的兩根為，由題意得，在利用等差數(shù)列的通項公式即可得出；（2）利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前項和公式即可求出．【題目詳解】方程x2－5x＋6＝0的兩根為2，3.由題意得a2＝2，a4＝3.設數(shù)列{an}的公差為d，則a4－a2＝2d，故d＝，從而得a1＝.所以{an}的通項公式為an＝n＋1.（2）設的前n項和為Sn，由（1）知＝，則Sn＝＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋，兩式相減得Sn＝＋－＝＋－，所以Sn＝2－.考點：等差數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列的求和．【方法點晴】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式、“錯位相減法”、等比數(shù)列的前項和公式、一元二次方程的解法等知識點的綜合應用，解答中方程的兩根為，由題意得，即可求解數(shù)列的通項公式，進而利用錯位相減法求和是解答的關鍵，著重考查了學生的推理能力與運算能力，屬于中檔試題．18．（1）見解析；（2）存在，長【答案解析】

（1）先證面,又因為面,所以平面平面.（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標系.列出各點的坐標表示,設,則可得出向量,求出平面的法向量為,利用直線與平面所成角的正弦公式列方程求出或,從而求出線段的長.【題目詳解】解:（1）證明:因為四邊形為矩形,∴.∵∴∴∴面∴面又∵面∴平面平面（2）取為原點,所在直線為軸,所在直線為軸建立空間直角坐標系.如圖所示:則,,,,,設,;∴,,設平面的法向量為,∴,不防設.∴,化簡得,解得或;當時,,∴;當時,,∴;綜上存在這樣的點,線段的長.【答案點睛】本題考查平面與平面垂直的判定定理的應用,考查利用線面所成角求參數(shù)問題,是幾何綜合題,考查空間想象力以及計算能力.19．（1）（2）的遞減區(qū)間為和【答案解析】

（1）化簡函數(shù)，代入，計算即可；（2）先利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，再結(jié)合即可求出.【題目詳解】（1），從而.（2）令.解得.即函數(shù)的所有減區(qū)間為，考慮到，取，可得，，故的遞減區(qū)間為和.【答案點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變形，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.20．（1）；（2）．【答案解析】

（1）設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意得出關于和的方程組，解出這兩個量的值，然后利用等差數(shù)列的通項公式可得出數(shù)列的通項公式；（2）求出，可得出，可知當為奇數(shù)時不等式不成立，只考慮為偶數(shù)的情況，利用數(shù)列單調(diào)性的定義判斷數(shù)列中偶數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列的單調(diào)性，由此能求出正實數(shù)的取值范圍．【題目詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，則，整理得，解得，，因此，；（2），滿足不等式的正整數(shù)恰有個，得，由于，若為奇數(shù)，則不等式不可能成立.只考慮為偶數(shù)的情況，令，則，．.當時，，則；當時，，則；當時，，則.所以，，又，，，，.因此，實數(shù)的取值范圍是.【答案點睛】本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查正實數(shù)的取值范圍的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．21．(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)當時，函數(shù)的最小值是；當時，函數(shù)的最小值是【答案解析】

（1）求出導函數(shù)，并且解出它的零點x=，再分區(qū)間討論導數(shù)的正負，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）分三種情況加以討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)值的大小比較，即可得到當0＜a＜ln2時，函數(shù)f（x）的最小值是-a；當a≥ln2時，函數(shù)