（江蘇專用版 ）2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 學(xué)業(yè)分層測評9 參數(shù)方程的意義 蘇教版選修4-4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE3學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)業(yè)分層測評(九)參數(shù)方程的意義(建議用時：45分鐘）［學(xué)業(yè)達標］1．如圖4。4。2,OB是機器上的曲柄，長是r，繞點O轉(zhuǎn)動,AB是連桿，M是AB上一點，MA＝a，MB＝b（2r＜a＋b）．當(dāng)點A在Ox上做往返運動,點B繞著O做圓周運動時，求點M的軌跡方程．圖4-4-2【解】如題圖，設(shè)點M(x,y)，θ＝∠BAO，由點B作BC⊥Ox，交Ox于點C，由點M作MD⊥Ox,交Ox于點D,由點M作ME⊥BC，交BC于點E，那么y＝DM＝asinθ,x＝OD＝OC＋CD＝OC＋EM＝±eq\r(OB2－CB2）＋EM＝±eq\r(r2－a＋b2sin2θ)＋bcosθ，得到點M(x，y)的坐標滿足方程組eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝bcosθ±\r(r2－a＋b2sin2θ）,，y＝asinθ，））即為點M的軌跡方程．2．動點M作勻速直線運動，它在x軸和y軸方向上的分速度分別為9m/s和12m/s，運動開始時，點M位于A（1，1)，求點M的軌跡方程．【解】設(shè)ts后點M的坐標為（x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1＋9t，，y＝1＋12t.))所以點M的軌跡方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1＋9t，,y＝1＋12t）)(t≥0)．3．以橢圓eq\f（x2，4)＋y2＝1的長軸的左端點A與橢圓上任意一點連線的斜率k為參數(shù),將橢圓方程化為參數(shù)方程．【導(dǎo)學(xué)號：98990028】【解】橢圓eq\f(x2，4）＋y2＝1的長軸的左端點A的坐標為(－2,0)．設(shè)P(x，y）為橢圓上任意一點(除點A)，則點P的坐標滿足eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(y,x＋2）＝k,，\f（x2,4）＋y2＝1。))將eq\f(y,x＋2)＝k代入eq\f（x2，4）＋y2＝1，消去x，得(eq\f（1，k2)＋4)y2－eq\f（4，k）y＝0.解得y＝0，或y＝eq\f(4k，1＋4k2）。由y＝eq\f(4k,1＋4k2)，解得x＝eq\f(21－4k2，1＋4k2）；由y＝0,解得x＝2。由于（2,0)滿足方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝\f（21－4k2,1＋4k2)，,y＝\f(4k,1＋4k2），)）所以橢圓eq\f(x2，4）＋y2＝1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(21－4k2，1＋4k2),，y＝\f(4k，1＋4k2.））)4．△ABC是圓x2＋y2＝1的內(nèi)接三角形，已知A（1,0）,∠BAC＝60°，求△ABC的重心的軌跡方程．【解】因為∠BAC＝60°,所以∠BOC＝120°。設(shè)B（cosθ,sinθ)(0°＜θ＜240°），則有C（cos(θ＋120°），sin(θ＋120°）)．設(shè)重心坐標為（x，y），則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝\f（1＋cosθ＋cosθ＋120°，3)，,y＝\f(sinθ＋sinθ＋120°,3）.））所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f（1＋\f(1,2）cosθ－\f(\r(3）,2)sinθ,3),y＝\f(\f(1,2）sinθ＋\f(\r（3），2)cosθ,3)，))即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f(1＋cosθ＋60°,3)，，y＝\f（sinθ＋60°,3).）)消去θ＋60°，得(3x－1）2＋9y2＝1，∵0°＜θ＜240°，∴－1≤cos(θ＋60°)＜eq\f(1,2）,∴0≤eq\f(1＋cosθ＋60°,3）＜eq\f（1,2)，即0≤x＜eq\f（1,2）.∴△ABC的重心的軌跡方程為(x－eq\f（1，3))2＋y2＝eq\f(1,9)(0≤x<eq\f(1，2))．5．如圖4-4-3，過拋物線y2＝4x上任一點M作MQ垂直于準線l，垂足為Q，連接OM和QF(F為焦點）相交于點P，當(dāng)M在拋物線上運動時，求點P的軌跡方程．圖4。4。3【解】設(shè)直線OM的方程為y＝kx(k≠0），由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝kx，,y2＝4x)）得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝0,,y＝0，)）或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f（4，k2)，，y＝\f(4,k)，))所以M(eq\f（4，k2)，eq\f（4,k）），則Q（－1,eq\f（4，k）)，于是直線QF的方程為y＝eq\f（\f(4，k)，－1－1）（x－1），即y＝－eq\f(2,k）（x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx，，y＝－\f（2,k)x－1，))消去k，得2x2＋y2－2x＝0.所以點P的軌跡方程為2x2＋y2－2x＝0(y≠0)．6．如圖4.4.4所示，OA是圓C的直徑，且OA＝2a，射線OB與圓交于Q點，和經(jīng)過A點的切線交于B點，作PQ⊥OA，PB∥OA，試求點P的軌跡方程．圖4。4。4【解】設(shè)P（x，y)是軌跡上任意一點,取∠DOQ＝θ，由PQ⊥OA，PB∥OA，得x＝OD＝OQcosθ＝OAcos2θ＝2acos2θ，y＝AB＝OAtanθ＝2atanθ。所以P點軌跡的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2acos2θ,,y＝2atanθ，）)θ∈（－eq\f（π，2)，eq\f(π，2）)．7．已知點P(x，y）是曲線C：eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝3＋cosθ,,y＝2＋\r（3）sinθ)）上的任意一點，求3x＋y的取值范圍．【解】設(shè)P（3＋cosθ,2＋eq\r(3）sinθ)，則3x＋y＝3(3＋cosθ)＋(2＋eq\r（3)sinθ）＝11＋3cosθ＋eq\r(3）sinθ＝11＋2eq\r（3）sin（θ＋eq\f（π，3）)，∴3x＋y的最大值為11＋2eq\r(3)，最小值為11－2eq\r（3），取值范圍是［11－2eq\r(3)，11＋2eq\r（3)］．［能力提升]8．如圖4.4。5,已知曲線4x2＋9y2＝36（x＞0，y＞0）,點A在曲線上移動,點C(6，4)，以AC為對角線作矩形ABCD，使AB∥x軸,AD∥y軸,求矩形ABCD的面積最小時點A的坐標．圖4-4。5【解】∵橢圓方程為eq\f（x2,9）＋eq\f(y2，4）＝1(x＞0，y＞0），設(shè)A（3cosθ，2sinθ)，θ∈（0，eq\f（π，2）)，則B(6,2sinθ），C(6，4)，D(3cosθ，4）,所以SABCD＝AB·AD＝（6－3cosθ)(4－2sinθ)＝24－12（sinθ＋cosθ)＋6sinθcosθ。令t＝sinθ＋cosθ，則t∈(1,eq\r(2）］，sinθcosθ＝eq\f（t2－1,2),則SABC