相似三角形講義及練習

相似三角形一、比例線段1、定義：對于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的長度的比與另外兩條線段長度的比 ，即 ，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。2、比例線段的基本性質：FVa=dad=bcb2=ac其中b為比例中項合比性質：=a=c,生=處bdbdPBAP = ，APAB等比性質：??a一c一e=m.a+c+e+m=a+c=abdfnb+d+PBAP = ，APAB3、黃金分割：一條線段AB,點P是線段AB上的一個點，如果滿足:那么稱線段AB被P點黃金分割，點P為線段AB的黃金分割點，AP與AB的比值約為，這個比值稱為黃金比。例1、判斷下列線段是否是成比例線段:(1)a=2cm,b=12cm,c=8cm,d=3cm;(1)a=7,b=3,c=21,d=9.例2、若a:3=b:7,則（a+3b）:2b=.例3、已知三條線段a=1cm,b=2cm,c=3cm,若線段d與a、b、c成比例，請求出線段d的長度。例4、已知巴=C=f=3，且b—2d+3e豐0，求a—20+3于的值。bde5 b—2d+3e例5、等腰三角形AABC中，AB=AC,/ABC=72。，/ABC的角平分線BD交AC于D,且D是線段AC的黃金分割點，若AB=8cm,求AD的長。二、相似圖形的性質1、定義：我們把具有的圖形稱為相似圖形。2、相似多邊形的性質：對應邊成比例，對應角相等。3、判定兩個多邊形是否相似：對應邊成比例，對應角相等。三、相似三角形1、定義：對應相等，且對應成比例的三角形，叫做相似三角形。2、表示方法：用符號〃s〃表示，讀作〃相似于〃。3、相似三角形的相似比：相似三角形對應邊的比叫做相似比。4、定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所截成的三角形與原三角形相似。5、判定三角形相似的思路：①、有平行截線 用判定定理中的基本定理②、有一對等角，找a、另一對等角，b、夾邊成比例③、有兩邊對應成比例，找a、夾角相等，b、第三邊也對應成比例，c、有一對直角。④、直角三角形，找a、一對銳角相等，b、斜邊、直角邊對應成比例⑤、等腰三角形，找a、頂角相等，b、一對底角相等，c、底和腰成比例。6、相似三角形的判定定理：(1)SAS：兩邊對應成比例且兩對應邊的夾角相等。(2)SSS：三條邊對應成比例。(3)ASA：兩角對應相等。7、對于直角三角形相似的判定法則：一條直角邊與對應斜邊成比例。8、對于全等三角形的判定法則：對應邊相等。9、直角三角形相似定理：(1)直角三角形被斜邊上的高分成兩個直角三角形和原三角形相似。(2)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似。10、相似三角形性質定理：(1)相似三角形的對應角相等。(2)相似三角形的對應邊成比例。(3)相似三角形的對應高線的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比。(4)相似三角形的周長比等于相似比。(5)相似三角形的面積比等于相似比的平方。(6)相似三角形內切圓、外接圓直徑比和周長比都和相似比相同，內切圓、外接圓面積比是相似比的平方(7)若a/b二b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中項（8）c/d=a/b等同于ad二bc.定理推論：推論一：頂角或底角相等的兩個等腰三角形相似。推論二：腰和底對應成比例的兩個等腰三角形相似。推論三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似。推論五：如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的對應部分成比例，那么這兩個三角形相似。推論六：如果一個三角形的兩邊和第三邊上的中線與另一個三角形的對應部分成比例，那么這兩個三角形相似。11、中位線：（1）定義：我們把連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。（2）定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半。（3）重心定理：三角形三條邊上的中線交與一點，這個角就是三角形的重心，重心與一邊中點的連線長是對應中線的1。3（4）梯形的中位線定理：梯形的中位線平行于兩底邊，并且等于兩底和的一半。例1、已知：如圖，E是BA的延長線上的一點，F(xiàn)是BC的中點，連接EF交AC于

D。求證:AD_EA

DC-EBED。求證:AD_EA

DC-EBE例2、如圖所示，在^ABC中，BA=BC=20CM,AC=30CM,點P從A點出發(fā)，沿著AB以每秒4CM的速度向B點運動；同時點Q從C點出發(fā)，沿CA以每秒3CM的速度向A點運動，設運動時間為x。（1）當x為何值時，PQ//BC.S S....（2）當ABCQ=,求3PQ的值；S3SAABC AABC（3）4APQ能否與4CQB相似若能，求出AP的長；若不能，請說明理由。例3、如圖，某同學想測旗桿高度AB,他在某一時刻得1米的竹竿直立時影長為米，在同一時刻，測得旗桿影長時，影子不全落在地面上，有一部分落在墻上，他測得落在地面上的影長AC為21米，留在墻上的影高CD為2米，求旗桿AB的高例4、如圖，在^ABC中，AD是NBAC的平分線，求證：AB:AC=BD:DC。例5、如圖所示，在4ABC中，AM是BC邊上的中線，AE平分NBAC,BDLAE的延長線于D,且交AM延長線于F,求證：EF//AB。AA練習：1、若x+3y-5z-0,x-2y+3z=0,且xyz中0,求x:y:z的值。2、已知x-y->0，求?I節(jié)的值。3、已知a、b、c為^ABC的二邊，且a+b+c-60cm,a:b:c=3:4:5，求^ABC的面積。4、已知4、已知x:y:z-2:3:4，x+y+z=50，y-ax-5，求a的值。5、已知?二答二號二m，求m的值,并判斷直線y二mx+m經過哪些象限6、若a、b、c是非零實數(shù)，并滿足佇匕=—b+c=土"，且c b ax=(a+b)("c)(c+a)，求x的值。abc7、設P、Q是線段AB上的黃金分割點，且PQ=a，求AB的長。8、如圖，線段AB=2，點C是AB的黃金分割點，點D在AB上，且AD2=BD?AB,求空的值。ACA? ? - ?BCD

9、如圖，AABC中，D是BC邊上的中點，E在AD上，且AE=1AD，求竺的值。6 FB10、如圖，在^ABC中，AF:FC=1:2,G是BF的中點，AG的延長線交BC于E,求BE:EC。11、如圖，DE//BC，SDOE:SCCOB=4:9，求AD:BD。12、在一次數(shù)學活動課上，老師讓同學們到操場上測量旗桿的高度，然后回來交流各自的測量方法.小芳的測量方法是:拿一根高米的竹竿直立在離旗桿27米的C處（如圖），然后沿BC方向走到D處，這時目測旗桿頂部A與竹竿頂部￡恰好在同一直線上，又測得C、D兩點的距離為3米，小芳的目高為米，這樣便可知道旗桿的高.你認為這種測量方法是否可行請說明理由.cd*4 比干B CD相似三角形鞏固練習題一、填空題.在4ABC中，NB=25°,AD是BC邊上的高，并且AD2=BDDC,則NBCA的度數(shù)為..已知：如圖，在4ABC中，AB=15m,AC=12m,AD是NBAC的外角平分線，DE〃AB交AC的延長線于點E,那么CE二m.工“

（2題）（3題）（4題）（2題）（3題）（4題）.如圖，已知Rt^ABC中，AC=3,BC=4,過直角頂點C作CA1LAB,垂足為A1,再過AJ、A1cJBC,垂足為C1,過CJ、C1A2，AB,垂足為4,再過AJ、A2c2，BC,垂足為"，…，這樣一直做下去，得到了一組線段CAjA1c」C1A2,…，則CA= ，汕二 ^■5c5.如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,AC,BD交于點O,S"：S"=1：9,則US/：S^二5.如圖,在平行四邊形此?中,E5.如圖,在平行四邊形此?中,E是邊改上的點，如交即于點F,如果將3,那△DEF的面積為，則4ABC的面積為 —.在矩形ABCD中，E、F分別是邊AD、BC的中點，點G、H在DC邊上，且GH二小DC.若2AB=10,BC=12,則圖中陰影部分的面積為..如圖，在ABCD中，E為CD中點，AE與BD相交于點O,S=12cm2,則S等于△AOB△DOE△AOBcm2.9.如圖，在cm2.9.如圖，在^ABC中，EF〃BC,AE=2BE,則AAEF與梯形BCFE的面積比.10.如圖，在4ABC中，NC=90°,AC=8,CB=6,在斜邊AB上取一點M,使MB=CB,過M作MN，AB交AC于N,則MN二.CDLAB于D,若過M作MN，AB交AC于N,則MN二.CDLAB于D,若AD=1,BD=4，則CD=,.11.如圖,在Rt△ABC中，ZACB=90°.如圖，在^ABC中，M、N是AB、BC的中點，AN、CM交于點O,那么AMON與AAOC面積的比是..如圖，AD=DF=FB,DE〃FG〃BC,S=III■14.如圖，已知點D是AB邊的中點，AF〃BC,CG：GA=3：1,BC=8,貝UAF=二、解答題.已知：如圖，在直角梯形COAB中，OC〃AB,以O為原點建立平面直角坐標系，A,B,C三點的坐標分別為A(8,0),B(8,10),C(0,4),點D為線段BC的中點，動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿折線OABD的路線移動，移動的時間為t秒.(1)求直線BC的解析式；(2)若動點P在線段OA上移動，當t為何值時，四邊形OPDC的面積是梯形COAB面積的申(3)動點P從點O出發(fā)，沿折線OABD的路線移動過程中，