薪酬設(shè)計(jì)回歸分析

相關(guān)與回歸分析第一節(jié) 簡單線性相關(guān)分析一、相關(guān)關(guān)系的概念與種類（一） 相關(guān)關(guān)系的概念在自然界和人類社會中，普遍著存在現(xiàn)象之間的相互依賴、 相互制約的關(guān)系。一些現(xiàn)象在數(shù)量上的發(fā)展變化經(jīng)常伴隨著另一些現(xiàn)象數(shù)量上的發(fā)展變化。 現(xiàn)象間的數(shù)量關(guān)系可分為兩種基本類型：①函數(shù)關(guān)系。它是指現(xiàn)象間存在的嚴(yán)格依存的、 確定的因果關(guān)系，一種現(xiàn)象的數(shù)量變化必然決定著另一種現(xiàn)象的數(shù)量變化， 這種關(guān)系可通過精確的數(shù)學(xué)表達(dá)式來反映， 比如，圓面積同其半徑的關(guān)系為s=nr2,自由落體落下的距12離同時間的關(guān)系為h=—gt2,等等。②相關(guān)關(guān)系。指的是現(xiàn)象之間確實(shí)存在著數(shù)量關(guān)2系，但這種關(guān)系不是嚴(yán)格確定的，當(dāng)一種現(xiàn)象的數(shù)量發(fā)生變化時， 另一種現(xiàn)象的數(shù)量可能在一定范圍內(nèi)發(fā)生變化， 出現(xiàn)不同的數(shù)值。比如，單位產(chǎn)品成本同產(chǎn)量之間的關(guān)系，一般說來，當(dāng)工廠規(guī)模擴(kuò)大，產(chǎn)品產(chǎn)量增加時，單位產(chǎn)品成本會隨之下降，這種變化趨勢體現(xiàn)了規(guī)模經(jīng)濟(jì)的效應(yīng)， 具有客觀性和普遍性。但由于影響產(chǎn)品成本的因素眾多，有主要的，也有次要的，有必然的，也有偶然的，有隨機(jī)的，也有非隨機(jī)的，有觀察得到的，也有觀察不到的，等等。同一產(chǎn)量水平下，可能會出現(xiàn)各種各樣的單位成本，或者某一確定的單位成本對應(yīng)著不同的產(chǎn)量，兩者的關(guān)系不是唯一確定的。糧食收獲量與施肥量之間、 商品價格與需求量之間、身高與體重之間等都具有類似的特征，這種關(guān)系就是相關(guān)關(guān)系。函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系既有區(qū)別， 又有聯(lián)系。由于觀察和實(shí)驗(yàn)中的誤差， 函數(shù)關(guān)系往往通過相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)出來；而當(dāng)對現(xiàn)象之間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律性了解得更加清楚的時候，相關(guān)關(guān)系又可能轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系。在社會經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域里，一般說來，函數(shù)關(guān)系反映了現(xiàn)象間關(guān)系的理想化狀態(tài)， 相關(guān)關(guān)系則反映了現(xiàn)象間關(guān)系的現(xiàn)實(shí)化狀態(tài)， 只有在大量觀察時，在平均的意義上，它才能被描述。綜上所述，相關(guān)關(guān)系是現(xiàn)象之間確實(shí)存在的，但關(guān)系數(shù)值不固定的相互依存關(guān)系。相關(guān)分析則是研究一個變量與另一個變量或另一組變量之間相關(guān)密切程度和相關(guān)方向的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。（二） 相關(guān)關(guān)系的種類現(xiàn)象之間的相關(guān)關(guān)系是很復(fù)雜的，從不同的角度看，相關(guān)關(guān)系有不同的種類。固定相關(guān)和隨機(jī)相關(guān)。按變量的性質(zhì)（是否是隨機(jī)變量），相關(guān)關(guān)系可分固定相關(guān)和隨機(jī)相關(guān)。固定相關(guān)是指一個隨機(jī)變量與另一個或一組非隨機(jī)變量之間的的相關(guān)關(guān)系。例如，農(nóng)作物的施肥量是一個可控制的變量， 農(nóng)作物收獲量是一個不確定的變量，兩個變量之間的關(guān)系表現(xiàn)為一個隨機(jī)變量與另一個非隨機(jī)變量之間的固定相關(guān)。隨機(jī)相關(guān)是指一個隨機(jī)變量與另一個或一組隨機(jī)變量之間的相關(guān)關(guān)系。 例如，大學(xué)生的身高和體重之間的關(guān)系就是兩個隨機(jī)變量之間的隨機(jī)相關(guān)關(guān)系， 如果觀察某一身高的一組學(xué)生時，其體重各不相同，會形成一個分布；如果觀察某一體重的一組學(xué)生時，其身高也不相同并形成一個分布，兩個變量均為隨機(jī)變量。簡單相關(guān)和多元相關(guān)。按變量的多少，相關(guān)關(guān)系可分為簡單相關(guān)和多元相關(guān)。簡單相關(guān)，又稱單相關(guān)，是指一個隨機(jī)變量與另一個隨機(jī)變量或非隨機(jī)變量之間的相關(guān)關(guān)系；多元相關(guān)，又稱復(fù)相關(guān)，是指一個隨機(jī)變量與另一組隨機(jī)變量或非隨機(jī)變量之間的相關(guān)關(guān)系。按變量之間的相關(guān)方向不同，簡單相關(guān)又可分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)。 當(dāng)自變量的值增加，因變量的值也相應(yīng)地增加；自變量的值減少，因變量的值也隨之減少時，這樣的相關(guān)關(guān)系就是正相關(guān)。反之，當(dāng)自變量的值增加時，因變量的值隨之減少；自變量的值減少時，因變量的值反而增加，具有這種特點(diǎn)的相關(guān)關(guān)系就是負(fù)相關(guān)。多元相關(guān)可進(jìn)一步分解為簡單相關(guān)和偏相關(guān)。偏相關(guān)是指在測定一個隨機(jī)變量與某個或某些隨機(jī)變量或非隨機(jī)變量之間的相互關(guān)系后， 該隨機(jī)變量與某一新增加的隨機(jī)量或非隨變量之間的相關(guān)關(guān)系，又稱之為凈相關(guān)。線性相關(guān)和非線性相關(guān)。按變量之間的相關(guān)形式，相關(guān)關(guān)系可分為線性相關(guān)和非線性相關(guān)。若一隨機(jī)變量與另一個或一組隨機(jī)變量或非隨機(jī)變量之間的相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)為線性組合時，則稱它們之間的相關(guān)關(guān)系為線性相關(guān)。 反之，若一隨機(jī)變量與另一個或一組隨機(jī)變量或非隨機(jī)變量之間的相關(guān)關(guān)系不能表現(xiàn)為線性組合， 而只能表現(xiàn)為非線性組合時，則稱它們之間的相關(guān)關(guān)系為非線性相關(guān)。完全相關(guān)、不完全相關(guān)和不相關(guān)。按變量之間的相關(guān)程度不同， 相關(guān)關(guān)系可分為完全相關(guān)、不完全相關(guān)和不相關(guān)。若一個變量的值完全由另一個或一組變量的值所決定，則稱變量之間的這種相關(guān)關(guān)系為完全相關(guān)， 即函數(shù)關(guān)系。若一個變量的值與另一個或一組變量的值有關(guān)，但其中要受到隨機(jī)因素的影響， 則稱變量之間的這種相關(guān)關(guān)系為不完全相關(guān)。若一個變量的值完全不受另一個或一組變量值的影響， 則稱變量之間不相關(guān)。大量社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象之間的相關(guān)關(guān)系都屬于不完全相關(guān)， 不完全相關(guān)是相關(guān)分析的基本內(nèi)容。完全相關(guān)和不相關(guān)可視為相關(guān)關(guān)系中的特例。二、簡單線性相關(guān)圖表判定兩變量之間的相關(guān)程度和相關(guān)方向是簡單線性相關(guān)分析的重要內(nèi)容之一。最簡單、最直觀的方法就是列相關(guān)表、繪制相關(guān)圖。簡單線性相關(guān)關(guān)系有固定簡單線性相關(guān)與隨機(jī)簡單線性相關(guān)之分。 簡單線性相關(guān)圖表可用于直觀地表明這兩類簡單線性相關(guān)變量之間的相關(guān)程度和相關(guān)方向。（一）固定簡單線性相關(guān)圖表已知有兩個變量，設(shè)y是隨機(jī)變量，x是非隨機(jī)變量，對應(yīng)于x的每一個給定的

人均收入水平（元）X2803203905306506707908809101050食品支出占生活費(fèi)支出比重（%）y68.367.566.264.956.760.254.449.050.543.6表9-1一維相關(guān)表取值，y有多個可能的取值，但在一次試驗(yàn)中，隨機(jī)變量，在實(shí)驗(yàn)中其取值可以控制并重復(fù)進(jìn)行，所以在相同或不同的值，相應(yīng)地也有 n取值，y有多個可能的取值，但在一次試驗(yàn)中，隨機(jī)變量，在實(shí)驗(yàn)中其取值可以控制并重復(fù)進(jìn)行，所以在相同或不同的值，相應(yīng)地也有 n個y的值，些數(shù)據(jù)按X的取值由小到大依次對應(yīng)排列，維相關(guān)表。例9.1某地區(qū)居民人均收入水平具有相關(guān)關(guān)系，編制相關(guān)表如下（見表（X）9-1y只取其中一個可能值。n次試驗(yàn)中,即得到一一對應(yīng)的樣本資料即構(gòu)成固定簡單線性相關(guān)表,由于X是非

X可能取n個（x,y）。將這又稱之為一與其食品支出占生活費(fèi)支出比重 （y）之間）：從表9-1可以粗略看出，隨著居民人均收入水平的提高， 食品支出占生活費(fèi)支出的比重有下降的趨勢。將一一對應(yīng)的（x,y）描點(diǎn)于坐標(biāo)系上，即構(gòu)成散點(diǎn)圖，又稱相關(guān)圖。在相關(guān)圖上,以橫軸表示非隨機(jī)變量（X），以縱軸表示隨機(jī)變量（y），通過觀察各對變量值坐標(biāo)點(diǎn)的分布狀況，可以大致判斷變量之間相關(guān)的形態(tài)、方向和密切程度。資料，可繪制相關(guān)圖如下（見圖9-1）:資料，可繪制相關(guān)圖如下（見圖9-1）:80血（重比的出支用費(fèi)活生占出支品食70605040302010血（重比的出支用費(fèi)活生占出支品食706050403020100 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10001100人均收入水平（元）圖9-1 居民人均收入水平與其食品支出的關(guān)系圖從圖9-1可以看出，隨著居民人均收入水平的提高， 食品支出占生活費(fèi)支出的比重明顯降低，并大致呈線性下降趨勢，即負(fù)線性相關(guān)。

一些常見的相關(guān)分布狀態(tài)可用下述各圖表示（見圖9-2）:較顯著的線性正相關(guān)較顯著的線性負(fù)相關(guān)不顯著的線性負(fù)相關(guān)不相關(guān)圖9-2幾種常見的相關(guān)散點(diǎn)圖一些常見的相關(guān)分布狀態(tài)可用下述各圖表示（見圖9-2）:較顯著的線性正相關(guān)較顯著的線性負(fù)相關(guān)不顯著的線性負(fù)相關(guān)不相關(guān)圖9-2幾種常見的相關(guān)散點(diǎn)圖（二）隨機(jī)簡單線性相關(guān)圖表x從小到大排設(shè)X、y為兩個隨機(jī)變量，將觀測值（x,y）分組之后按順序排列，列，yx從小到大排40個降雨量例9.240個降雨量9-2）。不同的試驗(yàn)田中獲得40對數(shù)據(jù)。用X表示降雨量，y9-2）。該表中，中間每一格列出的是X、y的聯(lián)合頻數(shù)，它表明x和y同時取某值的次數(shù)；最后一列每一格是每一行的聯(lián)合頻數(shù)的和，它表明y取某值的次數(shù)；最后一行每一格則是每一列的聯(lián)合頻數(shù)的和，它表明X取某值的次數(shù)。表9-2 二維相關(guān)表降雨量（毫米）Xi頻數(shù)fj8101214 1618行和（fj）收獲量（公斤）yj2601214

24022262202351112001363131801231601113列和fi）3614115140從表9-2可以粗略看出，降雨量與收獲量之間大致呈線性正相關(guān)關(guān)系。利用表9-2資料，可繪制相關(guān)圖如下9-3）:（見圖?29-3）:（見圖?2*1?2?11253?:OOOOOOOOOOOOOOO864208642086422222211111)斤公--量獲收畝每均平8 1012 14 161820降雨量（毫米）圖9-3圖9-3降雨量與收獲量之間相關(guān)圖三、簡單相關(guān)系數(shù)（一）簡單相關(guān)系數(shù)的意義但不能精確地描述現(xiàn)象間的相關(guān)關(guān)系。 測量兩個變簡單線性相關(guān)圖表雖然直觀，量之間線性相關(guān)程度和相關(guān)方向的指標(biāo)，稱為簡單相關(guān)系數(shù)。但不能精確地描述現(xiàn)象間的相關(guān)關(guān)系。 測量兩個變總體相關(guān)系數(shù)一般用R表示，定義式為（式9.1）k2（式9.1）R= 0丫式中，CTX式中，CTX和CT丫表示變量X和丫的標(biāo)準(zhǔn)差,對有限總體而言，其計(jì)算公式為（式9.2）（式9.3）b2XY表示兩個變量X和丫之間的協(xié)方差，計(jì)算公式為

十xy/（X一以必X-卩Y）（式9.4）這里，變量X和丫十xy/（X一以必X-卩Y）（式9.4）這里，變量X和丫為總體變量，N為總體單位數(shù),以和卩Y分別為變量X及丫的總體平均數(shù)，計(jì)算式為-IX-N_!￥-N（式9.5）（式9.6）要理解相關(guān)系數(shù)R的意義，首先要明確協(xié)方差cr2XY和標(biāo)準(zhǔn)差bX、b丫在反映變量之間相關(guān)關(guān)系中的作用。2協(xié)方差CTXY反映了變量X和丫的共變性，可以顯示兩個變量的相關(guān)方向和相關(guān)關(guān)系的密切程度，它可能出現(xiàn)以下幾種情況:第一，所有相關(guān)點(diǎn)均為正相關(guān)，則2GXY>0，說明兩個變量之間正線性相關(guān)。第二，所有相關(guān)點(diǎn)均為負(fù)相關(guān)，則00XY<0，說明兩個變量之間負(fù)線性相關(guān)。第三，在全部相關(guān)點(diǎn)中，既有正相關(guān)、又有負(fù)相關(guān)和零相關(guān)，在計(jì)算協(xié)方差時就會出現(xiàn)正負(fù)抵銷。抵銷的結(jié)果如為正數(shù)則是正相關(guān)， 如為負(fù)數(shù)則是負(fù)相關(guān)。數(shù)值大表第三，在全部相關(guān)點(diǎn)中，既有正相關(guān)、當(dāng)當(dāng)所有示相關(guān)程度強(qiáng)，數(shù)值小則表示相關(guān)關(guān)系弱。若正、負(fù)全部低銷掉了，結(jié)果為零，則表示不相關(guān)。當(dāng)當(dāng)所有第三種情況是實(shí)際經(jīng)濟(jì)生活中最常見到的情況。 此外，還有兩種極端的情況：所有相關(guān)點(diǎn)都是零相關(guān)時， 抵銷結(jié)果為零，表示兩個變量完全沒有相關(guān)關(guān)系。相關(guān)點(diǎn)全部落在直線上時，表示兩個變量完全線性相關(guān)，即存在函數(shù)關(guān)系。進(jìn)一步，相關(guān)系數(shù)是一個界于+1和-1之間的數(shù)，即-1<RW1,若R=1，說明兩個變量之間存在完全正線性相關(guān)；若 R=-1說明兩個變量之間存在完全負(fù)線性相關(guān)；若0cR<1，說明兩個變量之間存在一定程度的正線性相關(guān)；若-1<R<0,說明兩個變量之間存在一定程度的負(fù)線性相關(guān)；若 R=0,說明兩個變量之間沒有線性相關(guān)關(guān)系。（二）簡單相關(guān)系數(shù)的計(jì)算在實(shí)際工作中，總體相關(guān)系數(shù)R一般是未知的，往往需要用樣本資料推斷總體的相關(guān)情況，因而需要計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)。1.固定簡單線性相關(guān)系數(shù)的計(jì)算設(shè)x和y為樣本變量，其中y為隨機(jī)變量，x為非隨機(jī)變量，n為樣本容量，X、

y分別為變量x及y的樣本平均數(shù),y分別為變量x及y的樣本平均數(shù),Sx、Sy和S2xy分別表示變量x和y的樣本標(biāo)準(zhǔn)差及它們之間的樣本協(xié)方差，其計(jì)算為Zx（式9.7）（式9.8）（式9.9）Sy=『（y-Sy=『（y-y）2（式9.10）2Sxy邑（x-x）（y-y）（式9.11）r）的公式2r）的公式2Sxy（式9.12）于是，就可得到與總體相關(guān)系數(shù)計(jì)算形式相同的樣本相關(guān)系數(shù)（記為SxSy（式9.13（式9.13）r=f , 寸nEx2-（Ex）2JnMy2-（Ey）2根據(jù)表9-1的資料計(jì)算相關(guān)系數(shù)如表 9-3所示:序號人均收入水平（元）x食品支出占生活費(fèi)支出比重（%）y2x2yxy128068.3784004664.8919124232067.51024004556.2521600339066.21521004382.4425818453064.92809004212.0134397565056.74225003214.8936855667060.24489003624.0440334779054.46241002959.3642976888049.07744002401.0043120991050.58281002550.254595510105043.611025001900.9645780合計(jì)6470581.3481430034466.09355959表9-3固定簡單線性相關(guān)系數(shù)計(jì)算表將表9-3數(shù)字代入上述相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式，得:

r JnHx2-（1x）2Jnny2_（工y）210X355959-6470X581.3=, , =-0.98J10X4814300-64702J10X34466.09-581.322.隨機(jī)簡單線性相關(guān)系數(shù)的計(jì)算如果x和y均為隨機(jī)變量，計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)的基本式仍為2sxy

r= SxSy但由于存在聯(lián)合頻數(shù)（fij）,其具體的計(jì)算略有變化，經(jīng)過不復(fù)雜的類推可得下HfijUXiHfijUXiyjfj -TXi fiHyjfj2近fiZXi'fi-（ZXifi）2（式9.14）j2fj-（工yjfj）2根據(jù)表9-2資料計(jì)算相關(guān)系數(shù)，計(jì)算過程如表9-4、表9-5、表9-6所示:表9-4降雨量（X）數(shù)據(jù)的計(jì)算表降雨量（毫米）Xifi2XiXifiXi2fi83642419210610060600121414416820161411196154215616525680128018132418324合計(jì)40—5046568表9-5平均每畝收獲量（y）數(shù)據(jù)的計(jì)算表平均每畝收獲量（公斤）yjfj2yjyjfjyj2fj1603256004807680018033240054097200200134000026005200002201148400242053240024065760014403456002604676001040270400合計(jì)40—85201842400表9-6 平均每畝收獲量（y）數(shù)據(jù)的計(jì)算表降雨量（毫米）Xi平均每畝收獲量（公斤）yjfijXiyjfij816011280818011440810101012121212121414141416161616合計(jì)2001602002201601802002202402002202402602202402602601132126323521122140160016006000440019204320

14400

7920

5760

8400

15400

6720

3640

3520

7680

8320

4680

109000根據(jù)以上各表資料可得:環(huán)Lxiyjfj-IxifiHyjfjr—~f 2 ~”2 二jMiI：Xi2fi—（》Xifi）2Jl：fjI：yj2fj-（I：yjfj）240X109000-504X8520J40X6568—5042丿40X1842400—85202=0.67四、相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷總體相關(guān)系數(shù)R一般是未知的，能夠計(jì)算出的只是樣本相關(guān)系數(shù) r,r雖然能夠提供關(guān)于總體相關(guān)程度與方向的某種信息， r愈大，在一定程度上說明總體相關(guān)程度愈高，但也可能犯錯誤。這就需要根據(jù)樣本資料對總體相關(guān)系數(shù) R進(jìn)行檢驗(yàn)和估計(jì)。（一）關(guān)于總體相關(guān)系數(shù)R的檢驗(yàn)由于相關(guān)系數(shù)r的分布復(fù)雜，不能直接利用它去進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，但如果設(shè)\o"CurrentDocument"1+RZR=1ln（「R）\o"CurrentDocument"1-R\o"CurrentDocument"1+r\o"CurrentDocument"zr=-1n（ ）1-r（式9.15）（式9.16）可以證明，當(dāng)樣本（x,y）抽自正態(tài)分布總體時，zr近似服從平均值為Zr,方差1為的正態(tài)分布，于是n-3z=(zr-ZR)Jn—3(式9.17)計(jì)算的樣本相關(guān)系數(shù)計(jì)算的樣本相關(guān)系數(shù)近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。據(jù)此可以檢驗(yàn)禾U用例9.1資料，R=-0.90,統(tǒng)計(jì)假設(shè)為R=R(Ro#0)r=-0.98,是否可以認(rèn)為總體相關(guān)系數(shù)Ho：R=-0.90H:時0.90此時,\o"CurrentDocument"1 +RZr=-ln( 1 -R1 +r乙=—ln( 1 -.r1-0.90、)=_ln( )=-1.4721+0.90)二丄］n(1一0.98)=-2.2982 1+0.98于是，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量z=(zr-ZR)寸n—3=(-2.298+1.472)=-2.185當(dāng)顯著水平a=5%時，查正態(tài)分布表可得Za=Z0.025=—1.96AZ=—2.186,~2故否定H,接受H,即不能認(rèn)為總體的相關(guān)系數(shù)同理，也可以對總體相關(guān)系數(shù)進(jìn)行單邊檢驗(yàn)。(二)關(guān)于總體相關(guān)系數(shù)R的區(qū)間估計(jì)首先，求出Zr的估計(jì)區(qū)間。若與估計(jì)保證程度對應(yīng)的概率度為就為R=-0.90oZ,Zr的估計(jì)區(qū)間zr-7^<ZR蘭zr+Jn-31.961.96』10-3對于例9.1,Z1.961.96』10-3-2.298- <Zr<-2.298+V10—3即-3.039 <Zr蘭-1.557根據(jù)Zr的置信區(qū)間，可以換算出R的置信區(qū)間:TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1+R當(dāng)Zf—]n( )=-3.039時，R=-0.991-R\o"CurrentDocument"1+R當(dāng)ZR=nn(__)=-1.557時，R=-0.921-R計(jì)算結(jié)果說明，居民人均收入水平與食品支出占生活費(fèi)支出比重之間的總體相關(guān)系數(shù)R的95%的置信區(qū)間為-0.99至-0.92。同理，也可類似地對例 9.2進(jìn)行分析，請讀者自己思考。第二節(jié) 簡單線性回歸分析、回歸分析的概念和種類從歷史上看，“回歸”概念的提出是要早于“相關(guān)”的，生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓在研究豌豆和人體的身高遺傳規(guī)律時，首先提出“回歸”的思想。 1887年，他第一次將“回復(fù)”(Reversion)作為統(tǒng)計(jì)概念使用，后改為“回歸” (Regression)一詞。1888年他又引入“相關(guān)”(Correlation)的概念。原來，他在研究人類身高的遺傳時發(fā)現(xiàn)，不管祖先的身高是高還是低， 成年后代的身高總有向一般人口的平均身高回歸的傾向。通俗的講就是，高個子父母，其子女一般不象他們那樣高， 而矮個子父母，其子女一般也不象他們那樣矮，因?yàn)樽优纳砀卟粌H受到父母的影響(盡管程度最強(qiáng))，還要受其上兩代共四個雙親的影響 (盡管程度相對弱一些)，上三代共八個雙親的影響(盡管程度更加弱一些)，如此等等，即子女的身高要受到其2n(n趨近無窮)個祖先的整體(即總體)影響，是遺傳和變異的統(tǒng)一結(jié)果?；貧w和相關(guān)已成為統(tǒng)計(jì)學(xué)中最基本的概念之一， 其分析方法已是最標(biāo)準(zhǔn)、最常用的統(tǒng)計(jì)工具之一。從狹義上看，相關(guān)分析的任務(wù)主要是評判現(xiàn)象之間的相關(guān)程度高低以及相關(guān)的方向的，而回歸分析則是在相關(guān)分析的基礎(chǔ)上進(jìn)一步借用數(shù)學(xué)方程將那種顯著存在的相關(guān)關(guān)系表示出來，從而使這種被揭示出的關(guān)系具體化并可運(yùn)用于實(shí)踐中去。但也常從廣義的角度去理解相關(guān)和回歸，此時回歸分析就包含著相關(guān)分析?；貧w分析最基本的分類就是一元回歸和多元回歸， 前者是指兩個變量之間的回歸分析，如收入與意愿支出之間的關(guān)系；后者則是指三個或三個以上變量之間的關(guān)系，如消費(fèi)支出與收入及商品價格之間的關(guān)系等。元回歸還可細(xì)分為線性回歸和非線性回歸兩種,進(jìn)一步，一元回歸還可細(xì)分為線性回歸和非線性回歸兩種， 前者是指兩個相關(guān)變元回歸還可細(xì)分為線性回歸和非線性回歸兩種,量之間的關(guān)系可以通過數(shù)學(xué)中的線性組合來描述， 后者則沒有這種特征，即兩個相關(guān)變量之間的關(guān)系不能通過數(shù)學(xué)中的線性組合來描述，而表現(xiàn)為某種曲線模型。二、簡單線性回歸方程總體的簡單線性回歸模型可表示為

Y=A+BX+e（式9.18）上式中，X稱為自變量，丫稱為因變量，e稱為隨機(jī)誤差值。從這里可以看出相關(guān)分析與回歸分析的顯著區(qū)別， 在前述的相關(guān)分析中通?？梢圆⒓俣ㄋ强梢钥刂频臒o測量誤差的非隨機(jī)因變量是被解釋變量或被預(yù)測變量，它是隨機(jī)變量，即相同的 丫可能是X所造成，或者相同的X并假定它是可以控制的無測量誤差的非隨機(jī)因變量是被解釋變量或被預(yù)測變量，它是隨機(jī)變量，即相同的 丫可能是X所造成，或者相同的X可能引起不同的Y,其表現(xiàn)正是隨機(jī)誤差項(xiàng)e是觀察值Y能被自變量X解釋后所剩下的值，故又稱為殘差值，它是隨A和B為未知待估的總體參數(shù)，又稱其為回歸系數(shù)。由此可見，實(shí)際觀測值 '分割為兩個部分：一是可解釋的肯定項(xiàng) A+BX二是不可解釋的隨機(jī)項(xiàng)e。與相關(guān)分析類似，總體的回歸模型 Y=A+BX+e是未知的，如何根據(jù)樣本資料去估計(jì)它就成為回歸分析的基本任務(wù)。由此可以假設(shè)樣本的回歸方程如下：W=a+bx（式W=a+bx（式9.19）上式中，丫?、a和b分別為丫、上式中，丫?、a和b分別為丫、A和B的估計(jì)值。如果對變量X和丫聯(lián)合進(jìn)行n次觀察，就可以獲得一個樣本（X，求出a、b的值。求a、b的方法有多種，但一般是采用最小平方法。 它要求觀察值的離差平方和達(dá)到最小值，即y），據(jù)此就可y與估計(jì)值Y?Q=I：（y—Y）2=工（丫—a—bx）2=最小值滿足這一要求的a和b可由下述標(biāo)準(zhǔn)方程求出2y=na+b2x22xy=a2x+b2x解方程得:「 IL（x-x）（y-y） nHxy-ExEyb— —工（X—「 IL（x-x）（y-y） nHxy-ExEyb— —工（X—X）2nHx2-（Hx）2（式9.20）a=y—bx=n-b空nn（式9.21）10個企例9.3為研究某類企業(yè)的生產(chǎn)量和單位成本之間的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取業(yè)，得如下數(shù)據(jù)（見表9-710個企根據(jù)該資料，經(jīng)計(jì)算可得表 9-8:

表9-710 個企業(yè)的生產(chǎn)量和單位成本情況編號12345678910產(chǎn)量（萬件）2344566789單位成本（元/件）52545248484645444038編號產(chǎn)量（萬件）x單位成本（元/件）y2x2yxy彳y-Y?12524270410454.35-2.3523549291616252.101.90345216270420849.852.15444816230419247.85-1.85554825230424047.600.40664636211627645.350.65764536202527045.35-0.35874449193630843.100.90984064160032040.85-0.851093881144434238.60-0.60合計(jì)544673362205324224670元線性回歸計(jì)算表表9-8由上表資料，可得:, nILxy-HxEyb=nHx2, nILxy-HxEyb=nHx2-(Hx)2嚴(yán)2422”4—-2.25210X336—5454—(-2.25)—=58.851010這樣就可以得到生產(chǎn)量（X）這樣就可以得到生產(chǎn)量（X）和單位成本（y）之間的樣本回歸方程Y^=a+bx=58.85-2.25x在簡單線性回歸方程W=a+bx中，a為截距,b為斜率，后者表示自變量x變化一個單位時，Y?將平均變化b個單位。當(dāng)b取正值時，表明x和y的變化方向相同，當(dāng)b取負(fù)值時，表明x和y的變化方向相反。本例中， b=-2.25，表明產(chǎn)量每增加12.25元。2.25元。根據(jù)樣本資料獲得的回歸方程Y?=a+bx又稱為經(jīng)驗(yàn)方程，如果計(jì)算出觀察值y的估計(jì)值Y?，并進(jìn)一步求出殘差y-Y?，就可以觀察回歸方程對總體方程擬合的優(yōu)良程度。對于某一特定的自變量x而言，觀察值y同其估計(jì)值Y?是有一定差別的，比如，

當(dāng)產(chǎn)量為5萬件時，實(shí)際單位成本為元，但全部殘差項(xiàng)之和等于零最小平方估計(jì)量還滿足下式工(y-Y?)=048元，而其估計(jì)值為47.60元，兩者相差0.4當(dāng)產(chǎn)量為5萬件時，實(shí)際單位成本為元，但全部殘差項(xiàng)之和等于零最小平方估計(jì)量還滿足下式工(y-Y?)=0y=Y?這里，Y?這里，Y?表示估計(jì)值Y?的平均值，即丫旦n因?yàn)閰?shù) A、因?yàn)閰?shù) A、B的最小平方估計(jì)量a、，這也是最n—2n—2(式9.22)從理論上講，最小平方法具有優(yōu)良特性，b是最優(yōu)的線性無偏估計(jì)量，這一性質(zhì)通常稱為“高斯一馬爾科夫定理”小平方法獲得廣泛應(yīng)用的主要原因。此外，如果記隨機(jī)誤差項(xiàng)e的方差為 它也是未知的總體參數(shù)，其無偏估計(jì)量為上式中，Q=IXy-Y?）2稱為剩余離差平方和或殘差平方和， n-2為自由度。三、離差分析對于某一個觀察值yi，其離差大小可通過觀察值 yi與全部觀察值的均值 y之差yi-y表示出來，yi-y又可進(jìn)一步分解為丫?-y和yi-Y?兩部分，即yi-y=（丫?-y）+（yi-Y?）可以證明，當(dāng)變量X和丫之間線性相關(guān)時，還進(jìn)一步存在下述等式關(guān)系1(y-y)2=M(Y?-y)2+E(y-丫?)2通常記T^(y-y)2R=M(Y?-y)2Q=I：(y-Y)2分別稱T、R和Q為總離差平方和、回歸離差平方和和剩余離差平方和?？傠x差

平方和反映了樣本中全部數(shù)據(jù)的總波動程度;的離散程度，它是由于回歸方程及自變量剩余離差平方和是回歸擬合后所剩下的部分,和?；貧w離差平方和反映了回歸估計(jì)值自身平方和反映了樣本中全部數(shù)據(jù)的總波動程度;的離散程度，它是由于回歸方程及自變量剩余離差平方和是回歸擬合后所剩下的部分,和?；貧w離差平方和反映了回歸估計(jì)值自身x取值不同所造成的，是可以解釋的差別；是不能解釋的變差，故又稱為殘差平方顯然，T中R的比重愈大，或者Q的比重愈小，則說明線性回歸擬合愈好，反之,擬合就愈差。由此可以建立下述指標(biāo)(式9.23)稱r稱r2為樣本相關(guān)程度的判定系數(shù),7T為樣本相關(guān)系數(shù)。由此就可直觀地看22出r和r（1）（2）（3）（4）的特性：2r<1或-1<r<+1|r|愈接近于1,相關(guān)程度愈強(qiáng)；|r|愈接近于0,相關(guān)程度愈弱。r取正值時表明正相關(guān)，r取負(fù)值時表明負(fù)相關(guān)。r只能表明總體是否可能存在線性相關(guān)，當(dāng) |r|很小甚至接近于0時，只能說明總體可能不存在線性相關(guān)，但是否存在非線性相關(guān)還需進(jìn)一步判定。從計(jì)算角度看，上述幾種離差還可表示為T=ny-y)2=I：y2-—(Uy)2nR=A(Y?-y)2=b2Nx-x)2=b2[Hx2——(Ix)2]nQ=I：(y-Y?)2=T-R對于例9.3，有T=Uy2―1(Uy)2=22053-—X(467)=244.10n 10R=b2[Hx2-1(Hx)2]=(-2.25)2X[336-—X(54)2]=224.78n 10Q=T-R=244.1-224.78=19.32計(jì)算結(jié)果說明：單位成本的總離差平方和為 244.10，其中由于產(chǎn)量變化所造成的為224.78，占92.09%,由于產(chǎn)量以外的所有因素共同造成的為 19.55，占8.01%。據(jù)此計(jì)算的相關(guān)系數(shù)為r膽=啟遠(yuǎn)=0.96VtV244.10

四、統(tǒng)計(jì)推斷依據(jù)樣本數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程， 是否能夠較好地擬合了總體的實(shí)際情況,須通過統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)加以判斷。Y服從正態(tài)分布時，從中隨機(jī)抽取樣本（ X，y），回歸系數(shù)Y服從正態(tài)分布時，從中隨機(jī)抽取樣本（ X，y），回歸系數(shù)Aa和b也服從正態(tài)分布，其平均值分別為a=A（式9.24）b=B（式9.25）方差分別為2bb于是,2bac2工（X-X）cr2Zx2nl：（x-X）2c2CT^X2n[Zx2-沖]（式9.27）就可建立兩個標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)統(tǒng)計(jì)量（式9.26）a-Az= ba

（式9.28）b-Az= %

（式9.29）并且,八Q工（y-^2n—2n—2據(jù)此對A和B進(jìn)行統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)的步驟如下（仍以例 9.3的資料）：（1）檢驗(yàn)A第一步：建立統(tǒng)計(jì)假設(shè)H:A=OH：A#0第二步：計(jì)算z統(tǒng)計(jì)量由于由2=2=1932=2.415n-2 10-2白'x2n[Zx2-丄（工X）2]n2.415%336 =1.8281210x[336-—x542]10=J1.828=1.352因此，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為z=土=58.85_0=43.528耳1.352第三步：確定顯著水平a,做出判斷

若設(shè)a=5%經(jīng)查表得z=z0.975=1.96<z=43.528,拒絕零假設(shè)，即認(rèn)為回歸系數(shù)A顯著的不為零。(2)檢驗(yàn)B同理，可對回歸系數(shù)B進(jìn)行檢驗(yàn)。若統(tǒng)計(jì)假設(shè)為H):B=0H:B?0此時應(yīng)2Hx2-丄宀）2n2.415 =0.05412336-—54210=JO.054=0.233檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量z3=-2.25-0=-9.657陣0.233由于Z?=z0.975=1.96<|z|=9.657,拒絕零假設(shè)，即認(rèn)為回歸系數(shù) B也顯著的不1號等于零，說明單位成本同產(chǎn)量之間存在顯著的線性相關(guān)關(guān)系。與前面的討論類似，也可對A和B進(jìn)行單邊檢驗(yàn)以及A和B是否顯著的與某一確定值相同或不相同的檢驗(yàn)。但通常進(jìn)行的是對A=0和B=0的檢驗(yàn)。對A=0的檢驗(yàn)是考察回歸直線是否通過坐標(biāo)原點(diǎn)；由于B表示X變化一個單位時對丫的影響程度，因此對B=0的檢驗(yàn)實(shí)際是考察這種程度是否為零，即是否存在線性相關(guān)關(guān)系。另外，通過最小平方法獲得的a和b只是A和B的點(diǎn)估計(jì)量，在此基礎(chǔ)上可進(jìn)一步給出它們的區(qū)間估計(jì)。當(dāng)置信度為1—a時，A和B的置信區(qū)間分別為這里a-AaEA<a+Aab-Ab<A<b+Ab心b這里a-AaEA<a+Aab-Ab<A<b+Ab心b=￡￡%~2對于例9.3，當(dāng)置信概率為95%寸?a=Z^y?a=1.96（式9.30）（式9.31）（式9.32）（式9.33）1.352=2.65?b=^^b=1.96~2于是可得A和B的置信區(qū)間分別為58.85-2.65<A奪8.85+2.65

即56.20<A§1.50-2.55-0.46 <B<-2.55+0.46即-3.01<B<2.09X0.233=0.46五、回歸預(yù)測擬合的回歸方程及其參數(shù)通過檢驗(yàn)后，經(jīng)常要應(yīng)用它去預(yù)測，顯然，給定時，丫的點(diǎn)預(yù)測量為X=XoY?+bxo（式9.34）Y的置信度為1-a的區(qū)間預(yù)測量為丫?-丫?-也丫0蘭Y<Y?^y0（式9.35）這里△丫△丫0=￡2%"2（式9.36）n iXx—X）=c2[1+2+ —]n iXx—X）=c2[1+2+ —]（式9.37）nHx2-1?）2n接上面的例子，當(dāng)產(chǎn)量為10萬件時，單位成本的點(diǎn)預(yù)測值為由于Y?=a+bx0=58.85-2.25xio=36.35（元）（Xo-X）2IX2Hx）丿n=2.415[1中丄10（10—=2.415[1中丄10 J0 ]=3.80712336——X5410%=J3.807=1.951當(dāng)產(chǎn)量為10萬件，置信度為95%寸，由于?Y=Za%=1.96X1.951=3.821^―—2于是可得單位成本的預(yù)測區(qū)間為Y?-?0<Y<Y?+?y,36.35-3.82<Y空6.35+3.82即32.53元<Y蟲0.17元必須指出的是，給定的X0如果在樣本（X1,X2,…，Xn）的最小值至最大值之間取值，預(yù)測過程稱為內(nèi)插預(yù)測，否則，稱為外推預(yù)測。進(jìn)行外推預(yù)測時，誤差一般較大,這是由兩方面原因引起的：一是 X0遠(yuǎn)離X，二是回歸方程通過檢驗(yàn)后，雖然能代表總體的線性相關(guān)關(guān)系，但這種關(guān)系只能在樣本范圍內(nèi)成立，在其之外就有可能出錯誤，并且，隨著情況的變化，原樣本也可能不再能反映總體的現(xiàn)狀，這樣，預(yù)測的效果就不好甚至失敗。根據(jù)上表資料，可得如表 9-10根據(jù)上表資料，可得如表 9-10的回歸計(jì)算表：據(jù)表中數(shù)據(jù)，如果設(shè)需求量（y）與收入（X1）及價格（X2）之間的回歸方程為:Y?=a+biXi+b2X2可通過最小平方法求出a、bi和b2,經(jīng)計(jì)算可得:第三節(jié)多元線性回歸與相關(guān)分析一、多元線性回歸分析簡單線性回歸與相關(guān)分析是對客觀現(xiàn)象之間的關(guān)系進(jìn)行高度簡化的結(jié)果， 但在實(shí)際問題中，影響因變量的因素往往不只一個，而是多個。比如，產(chǎn)品的成本不僅取決于該產(chǎn)品的生產(chǎn)量，而且也與原材料價格、技術(shù)水平、管理水平等因素有關(guān)；再如，影響農(nóng)作物收獲量的因素，除施肥量外，還有種子、氣候條件、耕作技術(shù)等因素。多元線性回歸與相關(guān)所研究的就是三個或三個以上的變量之間的數(shù)量關(guān)系問題?？傮w的多元線性回歸方程為(式9.38)設(shè)估計(jì)方程為Y=A+BXi+B2X2(式9.38)設(shè)估計(jì)方程為總體回歸方程一般未知，需要通過樣本去估計(jì)。Y?=a+bixi+b2X2+…+bkY?=a+bixi+b2X2+…+bkXk(式9.39)上式中，a、b1、b2、…、bk稱為回歸系數(shù)，歸系數(shù)，它表示當(dāng)其它自變量均為零時， Xi每變化一個單位對因變量影響的數(shù)值。設(shè)樣本為(X1,X2,…，Xk,y)，利用最小平方法可估計(jì)出回歸方程中的參數(shù)，即要求a、bi、其中，bi(i=1,2,…，k)又稱為偏回Q=2(y-Y?)2=2[y-(a+bixi+b2X2+…+bkXk)]2=最小值據(jù)此可得下列聯(lián)立標(biāo)準(zhǔn)方程2y=na+62X1+b22X2+…+bk2Xk22X1+b12X1+b22X1X2+…+bk2X1Xk22X2+b12X1X2+b22X2+…+bk2X2Xk2xiy=2X2y=22Xk+bl2XlXk+b22X2Xk+…+bk2Xk2Xky=當(dāng)k=2時，標(biāo)準(zhǔn)方程為變?yōu)?y=na+b12X1+b22X222X1y=a2X1+b12x1+b22X1X222X2y=a2X2+b12X1X2+b22X2解方程，可得bl*2—X2乜X1—X1)(y—y)皿1—X1)(X2-乂2皿2-X2)(y-y)1(X1—XJ21(X2—乂2)2-[1(X1-X1)Z(X2—乂2)]2(式9.40)b2/X1岡皿2-X2)(y-y)-級-Xi)(x2-心皿-冊T)1(X1—Xt)21(X2-X2)2—[E(X1-Xj工(X2-X2)]2(式9.41)（式9.42）a=y-fc1X1-匕2乂2=空一0空一b2（式9.42）nn為計(jì)算方便，上述各因子項(xiàng)還可表示為_2212（X^X1為計(jì)算方便，上述各因子項(xiàng)還可表示為_2212（X^X1）=2X1-—（2X1）

n:F 2 1=2X2-— （2X2）n工（X2-乂2）工（X1—X1）（x^-X2）=工X1X2-（式9.43）（式9.44）1—2Xi2X2n（式9.45）-2-2212（y-y）=2y--（2y）

n（式9.46）1—2X11—2X12yn__12（X^-X2）（y—y）=2X2y 2X22yn工（Xi-X1）（y-y）=工Xiy-（式9.47）（式9.48）可以證明，最小平方估計(jì)量 a、b1、b2、…、bk是總體參數(shù) A、B、&、???、Bk的最優(yōu)線性無偏估計(jì)量。例9.4為研究某商品的需求量、價格、消費(fèi)者收入三者之間的關(guān)系，經(jīng)調(diào)查得如表9-9所示資料：表9-9 某商品的需求量、價格及消費(fèi)者收入資料編號"T"234編號"T"2345678910需求量（件）收入（百元）10158108187104861010191116101859價格（元）3~543653217XiX2221212-X1)2=2XXiX2221212-X1)2=2X12-—(2X1)2=1935-—>c1332=166.1

n 10_221212

-X2)=2X2-_(2X2)=183-一X39=30.9

n 10編號需求量（件）y收入（百元）X1價格（元）X22y2X12X2X1X2心X2y11015310022594515030281056410025508040381846432416721443247103491009307021548616643648322466105361002550603071019310036195719030811162121256432176229101811003241181801010597258149634535合計(jì)791333967519351834651127274表9-10 回歸數(shù)據(jù)計(jì)算表Xi--11-X1)(X2-X2)=2X1X2--2X12X2=456-一X133X39=-53.7n 1012212122(y-y)=2y-—(2y)=675-—X79=50.92(Xi—Xi)(2(X2-X2)(101 1y—y)=2X1y-—2X12y=1127-—咒133>79=76.3

n 10-11y-y)=2X2y2X22y=274 X3^79=-34.1\o"CurrentDocument"n 10于是可得b1=3如76.3十53.7)《34.1)=0.234166.1X30.9-(-53.7)2b2=166.1X30.9-(-53.7)2- - -79 133 39a=y—b2X2=4-0.234 -(-0.697)咒空=7.506101010從而可得經(jīng)驗(yàn)方程Q=IL(y-Y?)Q=IL(y-Y?)2=Ay2_axy 糾y_b2i：x2yQ=IL(y-Y?)Q=IL(y-Y?)2=Ay2_axy 糾y_b2i：x2yY?Y?=a+biXi+b2X2=7.506+0.234xi-0.697x2在價格不變情況下，消費(fèi)者收入增加1在價格不變情況下，消費(fèi)者收入增加1百元時，對該商品的需求在消費(fèi)者收入不變情況下，價格每上漲1元時，對該商品的需求平均上升0.234件；平均下降0.697件。X1從數(shù)學(xué)角度看，回歸方程Y?=7.506+0.234x1-0.697X2是一個以Y?為縱坐標(biāo)軸、：和X2X1此外，回歸方程Y=A+BX1+BX2+…+&X<+e中的隨機(jī)誤差項(xiàng)e的方差b也是未知的,其無偏估計(jì)量為由2=Q/y-h2n-k-1n-k-1上式中，n-k-1為自由度。從這里可以看出，樣本容量 n必須大于或等于k+2,即nAK+2,否則就無法估計(jì)b2。事實(shí)上，實(shí)踐中進(jìn)行回歸分析時，樣本觀察值數(shù)目要比k+2大得多。二、多元線性相關(guān)分析對多元線性回歸方程而言，總離差平方和 T同樣可以分解為回歸離差平方和 R及殘差平方和Q兩部分，即T=R+Q由此，可以定義出樣本的復(fù)判定系數(shù)，即（式9.49）（式9.49）r T其值愈大，說明回歸顯然， 0Wr2w1,r稱為復(fù)相關(guān)系數(shù)，…、Xk之間線性相關(guān)程度的大小。r其值愈大，說明回歸顯然， 0Wr2w1,r稱為復(fù)相關(guān)系數(shù)，…、Xk之間線性相關(guān)程度的大小。r稱為復(fù)（式9.50）對于例9.4，由于T=I（y-y）2=I：y2-丄（與）2=675-—X（79）2=50.9n 10

=675-7.506X79-0.234xii27-(-0.697)x274=9.286R=T-Q=50.9-9.286=41.614因此可得r2仝=41空=0.82T50.9r=J0.82=0.90復(fù)相關(guān)系數(shù)r總是取正值，因?yàn)樵诙鄠€自變量情況下，偏回歸系數(shù)有兩個以上,無法說明r=J0.82=0.90復(fù)相關(guān)系數(shù)r總是取正值，因?yàn)樵诙鄠€自變量情況下，偏回歸系數(shù)有兩個以上,無法說明y與k個x變量線性關(guān)系的方向。與簡單線性回歸及相關(guān)分析不同，變量個數(shù)的增加，總離差平方和殘差平方和對于例Q隨之縮小。9.4，若只進(jìn)行需求量般說來，進(jìn)行多元線性回歸分析時， 隨著自T雖不發(fā)生變化，但回歸離差平方和 R卻隨之增大，(y)和收入(xi)之間的回歸分析，設(shè)回歸方程為YY=a+bixi此時,a此時,a和bi的取值分別為n%2-任X1)2 10x1935-1332b1=nAx1yf1￡yJ°5n%2-任X1)2 10x1935-1332-b

nn=￡-b空=79-0.459X133=1.795-b

nn1010回歸方程為TOC\o"1-5"\h\zY=1.795+0.459x 1此時T=Ky-y)2<Ey^1^y)2=675-—X(79)2=50.9n 10R=KY?-y)2=b12[坯2-^(級)2]n\o"CurrentDocument"2 1 2=(0.459)X[1935-—X(133)]=34.9910Q=T-R=50.9-34.99=i5.9i由此可以看出，價格因素(X2)未加入前，R=34.99,它小于價格因素(X2)加入后的R=41.614，兩者相差41.614-34.99=6.624 ，它表示在原方程Y=a+biXi的基礎(chǔ)上，將價格因素(X2)納入后而凈增加的回歸離差平方和， 稱之為價格(X2)效應(yīng)，并用RX2/x1表示。當(dāng)k=2時，如果將未加入X2之前的R、Q分別記作RXi和Qx’，納入X2之后的R、Q分別記作Q分別記作Rxi,X2和Qxi,X2，于是有下列關(guān)系RX1,X2=RX1+RX2/X1RX2/X1=QX1-QX1,X2對于例9.4，有Rxi,x2=Rxi+Rx2/xi=34.99+6.624=41.61