山東省費縣2022年高一上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．，，則p是q的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．下列關(guān)于函數(shù)，的單調(diào)性的敘述，正確的是（）A.在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)B.在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)C.在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)D.在上是增函數(shù)，在和上是減函數(shù)3．已知函數(shù)（，且）的圖象恒過點P，若角的終邊經(jīng)過點P，則（）A. B.C. D.4．已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（2-x）=-f（x），若函數(shù)y=與f（x）圖象的交點為（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym）（m∈N*），則x1+x2+x3+…+xm的值為（）A.4m B.2mC.m D.05．將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A.圖象的一條對稱軸為 B.在上單調(diào)遞增C.在上的最大值為1 D.的一個零點為6．已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，，則方程在區(qū)間上的所有實根之和為A.-5 B.-6C.-7 D.-87．已知，為銳角，，，則的值為()A. B.C. D.8．某校高一年級有180名男生，150名女生，學(xué)校想了解高一學(xué)生對文史類課程的看法，用分層抽樣的方式，從高一年級學(xué)生中抽取若干人進(jìn)行訪談.已知在女生中抽取了30人，則在男生中抽取了（）A.18人 B.36人C.45人 D.60人9．“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.即不充分也不必要10．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是A.1 B.C. D.1+11．函數(shù)的部分圖象大致是（）A. B.C. D.12．已知，則的最小值為（）.A.9 B.C.5 D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．設(shè)是定義在區(qū)間上的嚴(yán)格增函數(shù)．若，則a的取值范圍是______14．的值是__________15．直線與直線關(guān)于點對稱，則直線方程為______.16．已知向量，若，則實數(shù)的值為______三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．某校在2013年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的筆試成績，按成績共分成五組：第1組[75，80），第2組[80，85），第3組[85，90），第4組[90，95），第5組[95，100]，得到的頻率分布直方圖如圖所示，同時規(guī)定成績在85分以上的學(xué)生為“優(yōu)秀”，成績小于85分的學(xué)生為“良好”，且只有成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生才能獲得面試資格（1）求出第4組的頻率，并補(bǔ)全頻率分布直方圖；（2）根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計樣本的中位數(shù)與平均數(shù)；（3）如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀”和“良好”的學(xué)生中共選出5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是多少？18．假設(shè)你有一筆資金用于投資，年后的投資回報總利潤為萬元，現(xiàn)有兩種投資方案的模型供你選擇.（1）請在下圖中畫出的圖像；（2）從總利潤的角度思考，請你選擇投資方案模型.19．如圖，在同一平面上，已知等腰直角三角形紙片的腰長為3，正方形紙片的邊長為1，其中B、C、D三點在同一水平線上依次排列.把正方形紙片向左平移a個單位，.設(shè)兩張紙片重疊部分的面積為S.（1）求關(guān)于a的函數(shù)解析式；（2）若，求a的值.20．考慮到高速公路行車安全需要，一般要求高速公路的車速（公里/小時）控制在范圍內(nèi).已知汽車以公里/小時的速度在高速公路上勻速行駛時，每小時的油耗（所需要的汽油量）為升，其中為常數(shù)，不同型號汽車值不同，且滿足.（1）若某型號汽車以120公里/小時的速度行駛時，每小時的油耗為升，欲使這種型號的汽車每小時的油耗不超過9升，求車速的取值范圍；（2）求不同型號汽車行駛100千米的油耗的最小值.21．已知函數(shù).（1）若在上的最大值為，求的值；（2）若為的零點，求證：.22．如圖，邊長為的正方形所在平面與正三角形所在平面互相垂直，分別為的中點.(1)求四棱錐的體積；(2)求證：平面；(3)試問：在線段上是否存在一點，使得平面平面？若存在，試指出點的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、B【解析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】解：因為，，所以由不能推出，由能推出，故是的必要不充分條件故選：B2、D【解析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解【詳解】解：因為的單調(diào)遞增區(qū)間為，，，單調(diào)遞減區(qū)間為，，，又，，所以函數(shù)在，上是增函數(shù)，在，和，上是減函數(shù)，故選：D3、A【解析】由題可得點，再利用三角函數(shù)的定義即求.【詳解】令，則，所以函數(shù)（，且）的圖象恒過點，又角的終邊經(jīng)過點，所以，故選：A.4、C【解析】由條件可得，即有關(guān)于點對稱，又的圖象關(guān)于點對稱，即有，為交點，即有，也為交點，計算即可得到所求和【詳解】解：函數(shù)滿足，即為，可得關(guān)于點對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，即有，為交點，即有，也為交點，，為交點，即有，也為交點，則有．故選．【點睛】本題考查抽象函數(shù)的求和及對稱性的運用，屬于中檔題．5、B【解析】對選項A，，即可判斷A錯誤；對選項B，求出的單調(diào)區(qū)間即可判斷B正確；對選項C，求出在的最大值即可判斷C錯誤；對選項D，根據(jù)，即可判斷D錯誤.詳解】，.對選項A，因為，故A錯誤；對選項B，因為，.解得，.當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；對選項C，因為，所以，所以，，，故錯誤；對選項D，，故D錯誤.故選：B6、C【解析】由題意知，函數(shù)的周期為2，則函數(shù)在區(qū)間上的圖像如下圖所示：由圖形可知函數(shù)在區(qū)間上的交點為，易知點的橫坐標(biāo)為-3，若設(shè)的橫坐標(biāo)為，則點的橫坐標(biāo)為，所以方程在區(qū)間上的所有實數(shù)根之和為.考點：分段函數(shù)及基本函數(shù)的性質(zhì).7、A【解析】，根據(jù)正弦的差角公式展開計算即可.【詳解】∵，，∴，又∵，∴，又，∴，∴，，∴故選：A.8、B【解析】先計算出抽樣比，即可計算出男生中抽取了多少人.【詳解】解：女生一共有150名女生抽取了30人，故抽樣比為：，抽取的男生人數(shù)為：.故選：B.9、B【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的概念，結(jié)合題意，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.10、C【解析】由,故選C.11、A【解析】分析函數(shù)的奇偶性及其在上的函數(shù)值符號，結(jié)合排除法可得出合適的選項.【詳解】函數(shù)的定義域為，，函數(shù)為偶函數(shù)，排除BD選項，當(dāng)時，，則，排除C選項.故選：A.12、B【解析】首先將所給的不等式進(jìn)行恒等變形，然后結(jié)合均值不等式即可求得其最小值，注意等號成立的條件.【詳解】.，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值2.的最小值為.故選B.【點睛】本題主要考查基本不等式求最值的方法，代數(shù)式的變形技巧，屬于中等題.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、.【解析】根據(jù)題意，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)是定義在區(qū)間上的嚴(yán)格增函數(shù)，因為，可得，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.14、【解析】分析：利用對數(shù)運算的性質(zhì)和運算法則，即可求解結(jié)果.詳解：由.點睛：本題主要考查了對數(shù)的運算，其中熟記對數(shù)的運算法則和對數(shù)的運算性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力.15、【解析】由題意可知，直線應(yīng)與直線平行，可設(shè)直線方程為，由于兩條至直線關(guān)于點對稱，可通過計算點分別到兩條直線的距離，通過距離相等，即可求解出，完成方程的求解.【詳解】解：由題意可設(shè)直線的方程為，則，解得或舍去，故直線的方程為故答案為：.16、；【解析】由題意得三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）第4組的頻率為0.2，作圖見解析（2）樣本中位數(shù)的估計值為，平均數(shù)為87.25（3）0.9【解析】(1)利用頻率和為1,計算可得答案,計算可得第四個矩形的高度為0.2÷5=0.04,由此作圖即可;(2)設(shè)樣本的中位數(shù)為x，由5×0.01+5×0.07+（x﹣85）×0.06＝0.5解出即可得到中位數(shù),根據(jù)77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.30+92.5×0.20+97.5×0.10計算即可得到平均數(shù);(3)通過列舉法可得所有基本事件的總數(shù)以及至少有一人是“優(yōu)秀”的總數(shù),再利用古典概型概率公式計算可得.【詳解】（1）其它組的頻率為（0.01+0.07+0.06+0.02）×5＝0.8，所以第4組的頻率為0.2，頻率分布圖如圖：（2）設(shè)樣本的中位數(shù)為x，則5×0.01+5×0.07+（x﹣85）×0.06＝0.5，解得x，∴樣本中位數(shù)的估計值為，平均數(shù)為77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.30+92.5×0.20+97.5×0.10＝87.25；（3）依題意良好的人數(shù)為40×0.4＝16人，優(yōu)秀的人數(shù)為40×0.6＝24人優(yōu)秀與良好的人數(shù)比為3：2，所以采用分層抽樣的方法抽取的5人中有優(yōu)秀3人，良好2人，記“從這5人中選2人至少有1人是優(yōu)秀”為事件M，將考試成績優(yōu)秀的三名學(xué)生記為A，B，C，考試成績良好的兩名學(xué)生記為a，b，從這5人中任選2人的所有基本事件包括：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10個基本事件，事件M含的情況是：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，共9個，所以P（M）0.9【點睛】本題考查了頻率分布直方圖,考查了由頻率分布直方圖計算中位數(shù)和平均數(shù),考查了古典概型的概率公式,屬于中檔題.18、（1）作圖見解析（2）答案不唯一，具體見解析【解析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)描出幾個特殊點，用平滑的曲線連接即可.（2）結(jié)合（1）中的圖像，分析可得對于不同的值進(jìn)行討論即可求解.【詳解】（1）（2）由圖可知當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以當(dāng)資金投資2年或4年時兩種方案的回報總利潤相同；當(dāng)資金投資2年以內(nèi)或4年以上，按照模型回報總利潤為最大；當(dāng)資金投資2年以上到4年以內(nèi)，按照模型回報總利潤最大.【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)模型的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）或.【解析】（1）討論、、分別求對應(yīng)的，進(jìn)而寫出函數(shù)解析式的分段形式.（2）根據(jù)（1）所得解析式，將代入求a值即可.【小問1詳解】如下圖，延長到上的，又，則，∴，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.綜上，.小問2詳解】由（1）知：在上，；在上，，整理得，解得（舍）或.綜上，或時，.20、（1）；（2）當(dāng)時，該汽車行駛100千米的油耗的最小值為升；當(dāng)時，該汽車行駛100千米的油耗的最小值為升.【解析】（1）根據(jù)題意，可知當(dāng)時，求出的值，結(jié)合條件得出，再結(jié)合，即可得出車速的取值范圍；（2）設(shè)該汽車行駛100千米的油耗為升，得出關(guān)于與的函數(shù)關(guān)系式，通過換元令，則，得出與的二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出的最小值，即可得出不同型號汽車行駛100千米的油耗的最小值.【小問1詳解】解：由題意可知，當(dāng)時，，解得：，由，即，解得：，因為要求高速公路的車速（公里/小時）控制在范圍內(nèi)，即，所以，故汽車每小時的油耗不超過9升，求車速的取值范圍.【小問2詳解】解：設(shè)該汽車行駛100千米的油耗為升，則，令，則，所以，，可得對稱軸為，由，可得，當(dāng)時，即時，則當(dāng)時，；當(dāng)，即時，則當(dāng)時，；綜上所述，當(dāng)時，該汽車行駛100千米的油耗的最小值為升；當(dāng)時，該汽車行駛100千米的油耗的最小值為升.21、（1）2；（2）詳見解析.【解析】（1）易知函數(shù)和在上遞增，從而在上遞增，根據(jù)在上的最大值為求解.（2）根據(jù)為的零點，得到，由零點存在定理知，然后利用指數(shù)和對數(shù)互化，將問題轉(zhuǎn)化為，利用基本不等式證明.【詳解】（1）因為函數(shù)和在上遞增，所以在上遞增，又因為在上的最大值為，所以，解得；（2）因為為的零點，所以，即，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，因為，等價于，等價于，等價于，而，令，所以，所以成立，所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是由指數(shù)和對數(shù)的互化結(jié)合，將問題轉(zhuǎn)化為證成22、（1）；（2）證明見解析；（3）存在，為中點，證明見解析.【解析】（1）由等腰三角形三線合一性質(zhì)和面面垂直性質(zhì)定理可證得平面，由棱錐體積公式可求得結(jié)果；（2）連結(jié)交于點，由三角形中位線性質(zhì)可證得，由線面平行判定定理可得到結(jié)論；（3）當(dāng)為中點時，由正方形的性