函數(shù)的最值與導數(shù)公開課

關于函數(shù)的最值與導數(shù)公開課第一頁，共十六頁，2022年，8月28日0xyabf(a)f(b)

復舊知新問題一：函數(shù)極值相關概念（1）若函數(shù)y=f(x)在點x=b的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都小，滿足f'(b)=0且在點x=b附近的左側f'(x)>0,右側f'(x)<0,則把點b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值。（2）若函數(shù)y=f(x)在點x=a的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都小,滿足f'(a)=0且在點x=a附近的左側f'(x)<0,右側f'(x)>0,則把點a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值。第二頁，共十六頁，2022年，8月28日

復舊知新問題二：一般地，求函數(shù)y=f(x)的極值的方法是什么？解方程f'(x)=0。當f'(x0)=0時：（1）如果在x0附近的左側f'(x)>0，右側

f'(x)<0

,那么f(x0)是極大值；（2）如果在x0附近的左側f'(x)<0，右側f'(x)>0,那么f(x0)是極小值；第三頁，共十六頁，2022年，8月28日

觀察區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象，你能找出它的極大值和極小值嗎？你能找出它的最大值，最小值嗎？

講授新課x1極大值：f(x2)，f(x4)，f(x6)極小值：f(x1)，f(x3)，f(x5)最大值：f(a)最小值：f(x3)x2x3x4x5x6ba第四頁，共十六頁，2022年，8月28日規(guī)律總結（1）函數(shù)的最值是比較某個區(qū)間內的所有函數(shù)值得到的，是整體概念；（2）從個數(shù)上看，一個函數(shù)若有最大值或最小值，則至多只有一個最大值或最小值；（3）最值可能在極值點取得，也可能在端點處取得。最值特點：第五頁，共十六頁，2022年，8月28日oxyaby=f(x)y=f(x)oxyaboxyaby=f(x)oxyaby=f(x)性質探究探究問題1：開區(qū)間上的最值問題結論

在開區(qū)間內的連續(xù)函數(shù)不一定有最大值與最小值。若有最值，一定在極值點處取得。

如圖，觀察（a，b）上的函數(shù)y=f(x)的圖像，它們在（a，b）上有最大值、最小值嗎？如果有，最大值和最小值在什么位置取到？第六頁，共十六頁，2022年，8月28日性質探究探究問題2：閉區(qū)間上的最值問題y=f(x)abx1x2x4x3yxoaby=f(x)

如圖，觀察[a，b]上的函數(shù)y=f(x)的圖像，它們在[a，b]上有最大值、最小值嗎？如果有，最大值和最小值分別是什么？

一般地，如果在閉區(qū)間[a，b]上函數(shù)y=f(x)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必定有最大值和最小值。結論

特別地，若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上是單調函數(shù)，則最值則在端點處取得。yxo第七頁，共十六頁，2022年，8月28日例1.給出下列說法：（1）函數(shù)在其定義域內若有最值與極值，則其極大值便是最大值，極小值便是最小值。（2）在閉區(qū)間上的函數(shù)一定有最大值和最小值。（3）若函數(shù)在其定義域上有最值，則一定有極值；反之，若有極值，則一定有最值。（4）若函數(shù)在給定的區(qū)間上有最值，則最多有一個最大值，一個最小值；若函數(shù)有極值，則可有多個極值。其中說法正確的有（）牛刀小試(4)第八頁，共十六頁，2022年，8月28日

一般地，求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下：

(1)求函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內的極值；

(2)計算端點處的函數(shù)值f(a),f(b)并將其與函數(shù)y=f(x)的各極值比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。

提煉升華第九頁，共十六頁，2022年，8月28日典例精講例2.求函數(shù)f(x)=48x-x3在區(qū)間[-3,5]上的最值。解：f'(x)=48-3x2=-3(x2-16)=-3(x-4)(x+4)令f'(x)=0，得

x=4或x=-4（舍）當-3<x<4時，f'(x)>0，函數(shù)單調遞增；

當4<x<5時，f'(x)<0，函數(shù)單調遞減；所以當x=4時，函數(shù)取得極大值，且極大值f(4)=128；

又f(-3)=-117,f(5)=115所以函數(shù)在區(qū)間[-3,5]

上最大值為

128，最小值為-117.

第十頁，共十六頁，2022年，8月28日

求函數(shù)f(x)=2x3-3x2-12x+5在區(qū)間[-2,1]上的最值解：

又f(-2)=1,f(1)=-8所以函數(shù)在區(qū)間[-2,1]

上最大值為

12,最小值為-8

鞏固練習f'(x)=6x2-6x-12=6（x2-x-2）=6(x-2)(x+1)，令f'(x)=0，得x=-1或x=2（舍）當-2<x<-1時，f'(x)>0，函數(shù)單調遞增；當-1<x<1時，f'(x)<0，函數(shù)單調遞減；所以當x=-1時，函數(shù)取得極大值，且極大值f(-1)=12；第十一頁，共十六頁，2022年，8月28日課堂小結1.規(guī)律總結；（1）函數(shù)的最值是比較某個區(qū)間內的所有函數(shù)值得到的，是整體概念；（2）從個數(shù)上看，一個函數(shù)若有最大值或最小值，則至多只有一個最大值或最小值；（3）最值可能在極值點取得，也可能在端點處取得。2.函數(shù)存在最值的的條件;3.一般地，求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值的步驟.第十二頁，共十六頁，2022年，8月28日課堂小結1.規(guī)律總結；2.函數(shù)存在最值的的條件;3.一般地，求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值的步驟.

一般地，如果在閉區(qū)間[a，b]上函數(shù)y=f(x)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必定有最大值和最小值。第十三頁，共十六頁，2022年，8月28日課堂小結1.規(guī)律總結；2.函數(shù)存在最值的的條件;3.一般地，求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值的步驟.(1)求函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內的極值；(2)計算端點處的函數(shù)值f(a),f(b)并