概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五章最新版本課件

第五章統(tǒng)計量及其分布

§5.1

總體與樣本§5.2

樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示§5.3

統(tǒng)計量及其分布§5.4

三大抽樣分布§5.5

充分統(tǒng)計量

第五章統(tǒng)計量及其分布§5.1總體與樣本例5.0.1

某公司要采購一批產(chǎn)品，每件產(chǎn)品不

是合格品就是不合格品，但該批產(chǎn)品總有一

個不合格品率

p。由此，若從該批產(chǎn)品中隨

機抽取一件，用

x

表示這一批產(chǎn)品的不合格

數(shù)，不難看出

x

服從一個二點分布b(1,p)，

但分布中的參數(shù)

p是不知道的。一些問題：

例5.0.1某公司要采購一批產(chǎn)品，每件產(chǎn)品不

是合

p

的大小如何；

p

大概落在什么范圍內(nèi)；

能否認(rèn)為

p

滿足設(shè)定要求（如p

0.05）。p的大小如何；p大概落在什么范圍內(nèi)；能§5.1總體與個體總體的三層含義：

研究對象的全體；

數(shù)據(jù)；

分布§5.1總體與個體總體的三層含義：研究對象的全例5.1.1

考察某廠的產(chǎn)品質(zhì)量，以0記合格品，以1記不合格品，則總體={該廠生產(chǎn)的全部合格品與不合格品}={由0或1組成的一堆數(shù)}若以

p表示這堆數(shù)中1的比例（不合格品率），則該總體可由一個二點分布表示：X0

1P1

pp例5.1.1考察某廠的產(chǎn)品質(zhì)量，以0記合格品，以1記X比如：兩個生產(chǎn)同類產(chǎn)品的工廠的產(chǎn)品的總體

分布：X01p0.9830.017X01p0.9150.085比如：兩個生產(chǎn)同類產(chǎn)品的工廠的產(chǎn)品的總體

例5.1.2

在二十世紀(jì)七十年代后期，美國消費者購買日產(chǎn)SONY彩電的熱情高于購買美產(chǎn)SONY彩電，原因何在？

1979年4月17日日本《朝日新聞》刊登調(diào)查報告指出N(m,(5/3)2)，日產(chǎn)SONY彩電的彩色濃度服從正態(tài)分布，而美產(chǎn)SONY彩電的彩色濃度服從(m5,m+5)上的均勻分布。原因在于總體的差異上！例5.1.2在二十世紀(jì)七十年代后期，美國消費1979圖5.1.1SONY彩電彩色濃度分布圖圖5.1.1SONY彩電彩色濃度分布圖等級

I

IIIII

IV美產(chǎn)33.333.333.30

日產(chǎn)68.327.14.30.3表5.1.1各等級彩電的比例(%)等級III5.1.2樣本樣品、樣本、樣本量:樣本具有兩重性一方面，由于樣本是從總體中隨機抽取的，抽取前無法預(yù)知它們的數(shù)值，因此，樣本是隨機變量，用大寫字母X1,X2,…,Xn

表示；另一方面，樣本在抽取以后經(jīng)觀測就有確定的觀測值，因此，樣本又是一組數(shù)值。此時用小寫字母x1,x2,…,xn表示是恰當(dāng)?shù)?。簡單起見，無論是樣本還是其觀測值，樣本一般均用x1,x2,…xn

表示，應(yīng)能從上下文中加以區(qū)別。5.1.2樣本樣品、樣本、樣本量:樣本具有兩重性一方例5.1.3

啤酒廠生產(chǎn)的瓶裝啤酒規(guī)定凈含量為640

克。由于隨機性，事實上不可能使得所有的啤酒凈含量均為640克?，F(xiàn)從某廠生產(chǎn)的啤酒中隨機抽取10瓶測定其凈含量，得到如下結(jié)果：641,635,640,637,642,638,645,643,639,640這是一個容量為10的樣本的觀測值，對應(yīng)的總體為該廠生產(chǎn)的瓶裝啤酒的凈含量。這樣的樣本稱為完全樣本。例5.1.3啤酒廠生產(chǎn)的瓶裝啤酒規(guī)定凈含量為640這例5.1.4

考察某廠生產(chǎn)的某種電子元件的壽命，選了100只進(jìn)行壽命試驗，得到如下數(shù)據(jù)：例5.1.4考察某廠生產(chǎn)的某種電子元件的表5.1.2

100只元件的壽命數(shù)據(jù)表5.1.2中的樣本觀測值沒有具體的數(shù)值，只有一個范圍，這樣的樣本稱為分組樣本。

壽命范圍

元件數(shù)

壽命范圍

元件數(shù)

壽命范圍

元件數(shù)(024]4(192216]6(384408]4(2448]8(216240]3(408432]4(4872]6(240264]3(432456]1(7296]5(264288]5(456480]2(96120]3(288312]5(480504]2(120144]4(312336]3(504528]3(144168]5(336360]5(528552]1(168192]4(360184]1>55213表5.1.2100只元件的壽命數(shù)據(jù)表5.1.2中的樣本觀獨立性:

樣本中每一樣品的取值不影響其它樣品的取值--

x1,x2,…,xn

相互獨立。要使得推斷可靠，對樣本就有要求，使樣本能很好地代表總體。通常有如下兩個要求：隨機性:總體中每一個個體都有同等機會被選入樣本--

xi

與總體X有相同的分布。樣本的要求：簡單隨機樣本獨立性:樣本中每一樣品的取值不影響其要使得推斷可靠設(shè)總體X具有分布函數(shù)F(x),

x1,x2,…,xn

為取自該總體的容量為n的樣本，則樣本聯(lián)合分布函數(shù)為用簡單隨機抽樣方法得到的樣本稱為簡單隨機樣本，也簡稱樣本。于是，樣本

x1,x2,…,xn

可以看成是獨立同分布(iid)的隨機變量，其共同分布即為總體分布。設(shè)總體X具有分布函數(shù)F(x),

x1,x2,…,xn總體分為有限總體與無限總體實際中總體中的個體數(shù)大多是有限的。當(dāng)個體數(shù)充分大時，將有限總體看作無限總體是一種合理的抽象。對無限總體，隨機性與獨立性容易實現(xiàn)，困難在于排除有意或無意的人為干擾。對有限總體，只要總體所含個體數(shù)很大，特別是與樣本量相比很大，則獨立性也可基本得到滿足。總體分為有限總體與無限總體實際中總體中的個體數(shù)大多是有限的。例5.1.5

設(shè)有一批產(chǎn)品共N個，需要進(jìn)行抽樣檢驗以了解其不合格品率p?，F(xiàn)從中采取不放回抽樣抽出2個產(chǎn)品，這時，第二次抽到不合格品的概率依賴于第一次抽到的是否是不合格品，如果第一次抽到不合格品，則而若第一次抽到的是合格品，則第二次抽到不合格品的概率為P(x2=1|x1

=1)=(Np1)/(N1)P(x2=1|x1

=0)=(Np)(N1)例5.1.5設(shè)有一批產(chǎn)品共N個，需要進(jìn)行抽樣檢而若第一次顯然，如此得到的樣本不是簡單隨機樣本。但是，當(dāng)N很大時，我們可以看到上述兩種情形的概率都近似等于p。所以當(dāng)N很大，而n不大（一個經(jīng)驗法則是

nN0.1）時可以把該樣本近似地看成簡單隨機樣本。思考：

若總體的密度函數(shù)為p(x)，則其樣本的（聯(lián)

合）密度函數(shù)是什么？顯然，如此得到的樣本不是簡單隨機樣本。但是，當(dāng)N很大時，我5.2.1經(jīng)驗分布函數(shù)§5.2

樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示設(shè)

x1,x2,…,xn是取自總體分布函數(shù)為F(x)的樣本，若將樣本觀測值由小到大進(jìn)行排列,為x(1),x(2),…,x(n)，則稱

x(1),x(2),…,x(n)為有序樣本，用有序樣本定義如下函數(shù)

5.2.1經(jīng)驗分布函數(shù)§5.2樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示設(shè)則Fn(x)是一非減右連續(xù)函數(shù)，且滿足Fn()=0和Fn()=1由此可見，F(xiàn)n(x)是一個分布函數(shù)，并稱Fn(x)為經(jīng)驗分布函數(shù)。則Fn(x)是一非減右連續(xù)函數(shù)，且滿足Fn()=0例5.2.1

某食品廠生產(chǎn)聽裝飲料，現(xiàn)從生產(chǎn)線上隨機抽取5聽飲料，稱得其凈重（單位：克）351347355344351x(1)=344,x(2)=347,x(3)=351,x(4)=354,x(5)=355這是一個容量為5的樣本，經(jīng)排序可得有序樣本：例5.2.1某食品廠生產(chǎn)聽裝飲料，現(xiàn)從生產(chǎn)線上x(其經(jīng)驗分布函數(shù)為由伯努里大數(shù)定律：只要n相當(dāng)大，F(xiàn)n(x)依概率收斂于F(x)。

0，x<344

0.2，344x

<347Fn(x)=0.4，347x

<3510.8，344x

<3471，x355其經(jīng)驗分布函數(shù)為由伯努里大數(shù)定律：更深刻的結(jié)果也是存在的，這就是格里紋科定理。定理5.2.1（格里紋科定理）設(shè)x1,x2,…,xn是取自總體分布函數(shù)為F(x)的樣本,Fn(x)是其經(jīng)驗分布函數(shù)，當(dāng)n時，有PsupFn(x)F(x)0=1格里紋科定理表明：當(dāng)n相當(dāng)大時，經(jīng)驗分布函數(shù)是總體分布函數(shù)F(x)的一個良好的近似。經(jīng)典的統(tǒng)計學(xué)中一切統(tǒng)計推斷都以樣本為依據(jù)，其理由就在于此。更深刻的結(jié)果也是存在的，這就是格里紋科定理。定理5.2.1（160196164148170

175178166181162

161168166162172

156170157162154

5.2.2頻數(shù)--頻率分布表樣本數(shù)據(jù)的整理是統(tǒng)計研究的基礎(chǔ)，整理數(shù)據(jù)的最常用方法之一是給出其頻數(shù)分布表或頻率分布表。例5.2.2

為研究某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，我們隨機調(diào)查了20位工人某天生產(chǎn)的該種產(chǎn)品的數(shù)量，數(shù)據(jù)如下160196(1)對樣本進(jìn)行分組：作為一般性的原則，組數(shù)通常在5~20個，對容量較小的樣本;(2)

確定每組組距：近似公式為組距d=(最大觀測值

最小觀測值)/組數(shù);(3)

確定每組組限：各組區(qū)間端點為a0,a1=a0+d,

a2=a0+2d,…,ak=a0+kd,形成如下的分組區(qū)間(a0,a1],(a1,a2],…,(ak-1

,ak]對這20個數(shù)據(jù)(樣本)進(jìn)行整理,具體步驟如下:其中a0

略小于最小觀測值,ak

略大于最大觀測值.(1)對樣本進(jìn)行分組：作為一般性的原則，組數(shù)通(2(4)

統(tǒng)計樣本數(shù)據(jù)落入每個區(qū)間的個數(shù)——頻數(shù)，

并列出其頻數(shù)頻率分布表。表5.2.1

例5.2.2的頻數(shù)頻率分布表

組序分組區(qū)間組中值頻數(shù)頻率累計頻率(%)1(147，157]152

4

0.20

20

2

(157，167]162

8

0.4060

3(167，177]172

5

0.25

85

4

(177，187]18220.10955(187，197]19210.05100合計201(4)統(tǒng)計樣本數(shù)據(jù)落入每個區(qū)間的個數(shù)——頻數(shù)，

5.2.3樣本數(shù)據(jù)的圖形顯示一、直方圖直方圖是頻數(shù)分布的圖形表示，它的橫坐標(biāo)表示所關(guān)心變量的取值區(qū)間，縱坐標(biāo)有三種表示方法：頻數(shù)，頻率，最準(zhǔn)確的是頻率/組距，它可使得諸長條矩形面積和為1。凡此三種直方圖的差別僅在于縱軸刻度的選擇，直方圖本身并無變化。5.2.3樣本數(shù)據(jù)的圖形顯示一、直方圖直方圖是頻數(shù)分布的把每一個數(shù)值分為兩部分，前面一部分（百位和十位）稱為莖，后面部分（個位）稱為葉，然后畫一條豎線，在豎線的左側(cè)寫上莖，右側(cè)寫上葉，就形成了莖葉圖。如：二、莖葉圖數(shù)值分開莖和葉11211|211和2把每一個數(shù)值分為兩部分，前面一部分（百位和十位）稱為莖，后面例5.2.3

某公司對應(yīng)聘人員進(jìn)行能力測試，測試成績總分為150分。下面是50位應(yīng)聘人員的測試成績（已經(jīng)過排序）：64677072747676798081828283858688919192939393959595979799100100102104106106107108108112112114116118119119122123125126128133我們用這批數(shù)據(jù)給出一個莖葉圖，見下頁。例5.2.3某公司對應(yīng)聘人員進(jìn)行能力測試，測試6467圖5.2.3測試成績的莖葉圖47024669012235681123335667790024667882246899235683

圖5.2.3測試成績的莖葉圖47在要比較兩組樣本時，可畫出它們的背靠背的莖葉圖。甲車間62056乙車間87775554211667788877664421722455556668898766532801133344466778732109023585300107注意：莖葉圖保留數(shù)據(jù)中全部信息。當(dāng)樣本量較大，數(shù)據(jù)很分散，橫跨二、三個數(shù)量級時，莖葉圖并不適用。在要比較兩組樣本時，甲車間6205.3.1統(tǒng)計量與抽樣分布§5.3統(tǒng)計量及其分布當(dāng)人們需要從樣本獲得對總體各種參數(shù)的認(rèn)識時，最好的方法是構(gòu)造樣本的函數(shù)，不同的函數(shù)反映總體的不同特征。定義5.3.1

設(shè)x1,x2,…,xn

為取自某總體的樣本，若樣本函數(shù)T=T(x1,x2,…,xn)中不含有任何未知參數(shù)。則稱T為統(tǒng)計量。統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。5.3.1統(tǒng)計量與抽樣分布§5.3統(tǒng)計量及其分布當(dāng)人按照這一定義：若x1,x2,…,xn為樣本，則以及經(jīng)驗分布函數(shù)Fn(x)都是統(tǒng)計量。而當(dāng),2未知時，x1,x1/等均不是統(tǒng)計量。盡管統(tǒng)計量不依賴于未知參數(shù)，但是它的分布一般是依賴于未知參數(shù)的。下面介紹一些常見的統(tǒng)計量及其抽樣分布。按照這一定義：若x1,x2,…,xn為樣本，盡管統(tǒng)5.3.2樣本均值及其抽樣分布

定義5.3.2

設(shè)x1,x2,…,xn為取自某總體的樣本，其算術(shù)平均值稱為樣本均值，一般用表示，即思考：在分組樣本場合，樣本均值如何計算？二者結(jié)果相同嗎？

xx=

(x1+…+xn)/n5.3.2樣本均值及其抽樣分布定義5.3.2定理5.3.2

數(shù)據(jù)觀測值與均值的偏差平方和最小，即在形如(xic)2的函數(shù)中，樣本均值的基本性質(zhì)：定理5.3.1

若把樣本中的數(shù)據(jù)與樣本均值之差稱為偏差，則樣本所有偏差之和為0，即

最小，其中c為任意給定常數(shù)。定理5.3.2數(shù)據(jù)觀測值與均值的偏差平方和樣本均值的基樣本均值的抽樣分布：定理5.3.3

設(shè)x1,x2,…,xn是來自某個總體的樣本，x為樣本均值。(1)若總體分布為N(,2)，則xx的精確分布為N(,2/n)

;若總體分布未知或不是正態(tài)分布，但E(x)=,Var(x)=2,則n較大時的漸近分布為N(,2/n)

,常記為。xAN(,2/n)這里漸近分布是指n較大時的近似分布.樣本均值的抽樣分布：定理5.3.3設(shè)x1,x2,…5.3.3樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。s*=

s*2定義5.3.3稱為樣本方差，其算術(shù)平方根在n不大時，常用作為樣本方差,其算術(shù)平方根也稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。5.3.3樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。s*=在這個定義中，

(

xix)2n1稱為偏差平方和的自由度。其含義是：x在確定后,

n個偏差x1x,x2x,…,xnx能自由取值，因為只有n1個數(shù)據(jù)可以自由變動，而第n個則不

(xix)=0.稱為偏差平方和，中樣本偏差平方和有三個不同的表達(dá)式：(

xix)2=xi2–(xi)2/n=xi2–nx它們都可用來計算樣本方差。思考：分組樣本如何計算樣本方差？在這個定義中，(xix)2n1稱為偏差平方和樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差，以及樣本方差的數(shù)學(xué)期望都不依賴于總體的分布形式。定理5.3.4

設(shè)總體X具有二階矩，即

E(x)=

,Var(x)=2

,

x1,x2,…,xn為從該總體得到的樣本，x和s2分別是樣本均值和樣本方差，則E(x)=,Var(x)=2/n,E(s2)=2樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差，以及樣本方差的數(shù)學(xué)期望都不依賴于總5.3.4樣本矩及其函數(shù)

樣本均值和樣本方差的更一般的推廣是樣本矩，這是一類常見的統(tǒng)計量。定義5.3.4

ak=(xik)/n稱為樣本k階原點矩，

特別，樣本一階原點矩就是樣本均值。

稱為樣本k階中心矩。

特別，樣本二階中心矩就是樣本方差。

bk=

(xi

x)k/n5.3.4樣本矩及其函數(shù)樣本均值和樣本方差的更一般的推當(dāng)總體關(guān)于分布中心對稱時，我們用x和s刻畫樣本特征很有代表性，而當(dāng)其不對稱時，只用

就顯得很不夠。為此，需要一些刻畫分布形狀的統(tǒng)計量，如樣本偏度和樣本峰度，它們都是樣本中心矩的函數(shù)。樣本偏度1反映了總體分布密度曲線的對稱性信息。樣本峰度2反映了總體分布密度曲線在其峰值附近的陡峭程度。定義：1=b3/b23/2稱為樣本偏度，

2=b4/b22稱為樣本峰度。x和s當(dāng)總體關(guān)于分布中心對稱時，我們用x和s刻畫樣本特征很有代表5.3.5次序統(tǒng)計量及其分布

另一類常見的統(tǒng)計量是次序統(tǒng)計量。一、定義5.3.7

設(shè)x1,x2,…,xn是取自總體X的樣本,x(i)稱為該樣本的第i個次序統(tǒng)計量，它的取值是將樣本觀測值由小到大排列后得到的第i個觀測值。其中x(1)=minx1,x2,…,xn稱為該樣本的最小次序統(tǒng)計量，稱x(n)=maxx1,x2,…,xn為該樣本的最大次序統(tǒng)計量。5.3.5次序統(tǒng)計量及其分布另一類常見的統(tǒng)計量是次序統(tǒng)例5.3.6設(shè)總體X的分布為僅取0，1，2的離散

均勻分布，分布列為0

1

2

1/3

1/31/3我們知道，在一個樣本中，x1,x2,…,xn是獨立同分布的，而次序統(tǒng)計量x(1),x(2),…,x(n)則既不獨立，分布也不相同，看下例?，F(xiàn)從中抽取容量為3的樣本，其一切可能取值有33=27種，表5.3.6列出了這些值，由此例5.3.6設(shè)總體X的分布為僅取0，1，2的離散

012012我們可以清楚地看到這三個次序統(tǒng)計量的分布是不相同的?？山o出的x(1),x(2),x(3)分布列如下：012012進(jìn)一步，我們可以給出兩個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合分布，如，x(1)和x(2)的聯(lián)合分布列為01207/279/273/27104/273/272001/27x(1)x(2)進(jìn)一步，我們可以給出兩個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合分布，如，x(1)因為P(x(1)=0,x(2)=0)=7/27，二者不等，由此可看出x(1)和x(2)是不獨立的。而P(x(1)=0)*P(x(2)=0)=(19/27)*(7/27)，因為P(x(1)=0,x(2)=0)=7/2二、單個次序統(tǒng)計量的分布定理5.3.5設(shè)總體X的密度函數(shù)為p(x)，分布函數(shù)為F(x)，x1,x2,…,xn為樣本，則第k個次序統(tǒng)計量x(k)的密度函數(shù)為二、單個次序統(tǒng)計量的分布定理5.3.5設(shè)總體X的密度函例5.3.7設(shè)總體密度函數(shù)為p(x)=3x2,0x1.

從該總體抽得一個容量為5的樣本，試計算P(x(2)1/2)。解：有兩種求法：從古典概型出發(fā)；從次序統(tǒng)計量密度函數(shù)出發(fā)。例5.3.8設(shè)總體分布為U(0,1)，x1,x2,…,xn為樣本，試求第k個次序統(tǒng)計量的分布。例5.3.7設(shè)總體密度函數(shù)為p(x)=3x2,0三、多個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合分布對任意多個次序統(tǒng)計量可給出其聯(lián)合分布，以兩個為例說明：定理5.3.6在定理5.3.5的記號下，次序統(tǒng)計量(x(i),x(j)),(ij)的聯(lián)合分布密度函數(shù)為三、多個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合分布對任意多個次序統(tǒng)計量可給出其聯(lián)合次序統(tǒng)計量的函數(shù)在實際中經(jīng)常用到。如樣本極差Rn

=x(n)

x(1)，

樣本中程[x(n)

x(1)]/2。樣本極差是一個很常用的統(tǒng)計量，其分布只在很少幾種場合可用初等函數(shù)表示。次序統(tǒng)計量的函數(shù)在實際中經(jīng)常用到。樣本極差是一個很常用的統(tǒng)計令R

=x(n)

x(1)，由R0,可以推出0

x(1)

=

x(n)R

1

R

，則例5.3.9設(shè)總體分布為U(0,1)，x1,x2,…,xn為樣本，則(x(n),x(1))的聯(lián)合密度函數(shù)為p1,n(y,z)=n(n1)(zy)n-2,0

yz1這正是參數(shù)為(n1,2)的貝塔分布。令R=x(n)x(1)，由R0,可以5.3.6樣本分位數(shù)與樣本中位數(shù)樣本中位數(shù)也是一個很常見的統(tǒng)計量，它也是次序統(tǒng)計量的函數(shù)，通常如下定義：更一般地，樣本p分位數(shù)mp可如下定義：5.3.6樣本分位數(shù)與樣本中位數(shù)樣本中位數(shù)也是一個很常見定理5.3.7設(shè)總體密度函數(shù)為p(x)，xp為其p分位數(shù)，p(x)在xp處連續(xù)且p(xp)0，則特別，對樣本中位數(shù)，當(dāng)n時近似地有當(dāng)n時樣本p分位數(shù)mp的漸近分布為定理5.3.7設(shè)總體密度函數(shù)為p(x)，xp為其p分特例5.3.10設(shè)總體為柯西分布，密度函數(shù)為p(x,)=1/[(1+(x)2)],x+通常，樣本均值在概括數(shù)據(jù)方面具有一定的優(yōu)勢。但當(dāng)數(shù)據(jù)中含有極端值時，使用中位數(shù)比使用均值更好，中位數(shù)的這種抗干擾性在統(tǒng)計中稱為具有穩(wěn)健性。

不難看出是該總體的中位數(shù)，即x0.5=。設(shè)x1,x2,…,xn是來自該總體的樣本，當(dāng)樣本量n較大時，樣本中位數(shù)m0.5的漸近分布為m0.5AN(,2/4n).例5.3.10設(shè)總體為柯西分布，密度函數(shù)為p(x,)5.3.7五數(shù)概括與箱線圖次序統(tǒng)計量的應(yīng)用之一是五數(shù)概括與箱線圖。在得到有序樣本后，容易計算如下五個值：最小觀測值

xmin=x(1),最大觀測值xmax=x(n),中位數(shù)

m0.5,第一4分位數(shù)

Q1=m0.25,第三4分位數(shù)

Q3=m0.75.所謂五數(shù)概括就是指用這五個數(shù)：xmin,Q1,m0.5,Q3,xmax來大致描述一批數(shù)據(jù)的輪廓。5.3.7五數(shù)概括與箱線圖次序統(tǒng)計量的應(yīng)用之一是五數(shù)概括§5.4三大抽樣分布大家很快會看到，有很多統(tǒng)計推斷是基于正態(tài)分布的假設(shè)的，以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為基石而構(gòu)造的三個著名統(tǒng)計量在實際中有廣泛的應(yīng)用，這是因為這三個統(tǒng)計量不僅有明確背景，而且其抽樣分布的密度函數(shù)有明顯表達(dá)式，它們被稱為統(tǒng)計中的“三大抽樣分布”?！?.4三大抽樣分布大家很快會看到，有很多統(tǒng)計推斷是5.4.12

分布(卡方分布)定義5.4.1設(shè)X1,X2,…,Xn,獨立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，則2=

X12+…Xn2的分布稱為自由度為n的2分布，記為2

2(n)

。當(dāng)隨機變量

2

2(n)時，對給定

(01)，稱滿足P(2

12(n))的12(n)是自由度為n1的卡方分布的1

分位數(shù).分位數(shù)

12(n)可以從附表3中查到。5.4.12分布(卡方分布)定義5.4.1該密度函數(shù)的圖像是一只取非負(fù)值的偏態(tài)分布

該密度函數(shù)的圖像是一只取非負(fù)值的偏態(tài)分布5.4.2F分布定義5.4.2

設(shè)X1

2(m),X2

2(n),X1與X2獨立，則稱F=(X1/m)/(X2/n)的分布是自由度為

m與n

的F分布，記為FF(m,n)，其中m稱為分子自由度，n稱為分母自由度。當(dāng)隨機變量FF(m,n)時，對給定(01)，稱滿足P(F

F1(m,n))=1的F1(m,n)是自由度為m與n的F分布的1分位數(shù)。由F分布的構(gòu)造知F(n,m)=1/F1(m,n)。5.4.2F分布定義5.4.2設(shè)X1該密度函數(shù)的圖象也是一只取非負(fù)值的偏態(tài)分布

該密度函數(shù)的圖象也是一只取非負(fù)值的偏態(tài)分布5.4.3t

分布

定義5.4.3

設(shè)隨機變量X1

與X2

獨立，且X1N(0,1),X2

2(n),則稱t=X1/X2/n的分布為自由度為n

的t分布，記為tt(n)。

5.4.3t分布定義5.4.3設(shè)隨機變量t分布的密度函數(shù)的圖象是一個關(guān)于縱軸對稱的分布，與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)形狀類似，只是峰比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布低一些尾部的概率比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的大一些。t分布的密度函數(shù)的圖象是一個關(guān)于縱軸對稱的分布，與標(biāo)準(zhǔn)正

n1時,t分布的數(shù)學(xué)期望存在且為0；n2時，t分布的方差存在，且為n/(n2)；當(dāng)自由度較大(如n30)時，t分布可以用正態(tài)分布

N(0,1)近似。自由度為1的t分布就是標(biāo)準(zhǔn)柯西分布，

它的均值不存在；n1時,t分布的數(shù)學(xué)期望存在且為0；自由度為1的當(dāng)隨機變量tt(n)時，稱滿足P(t

t1(n))=1的t1(n)是自由度為n的t分布的1分位數(shù).分位數(shù)t1(n)可以從附表4中查到。譬如n=10,=0.05，那么從附表4上查得t10.05(10)=t0.95(10)=1.812.由于t分布的密度函數(shù)關(guān)于0對稱,故其分位數(shù)間有如下關(guān)系t(n1)=t1(n1)當(dāng)隨機變量tt(n)時，稱滿足由于t分布的密度函數(shù)5.4.4一些重要結(jié)論定理5.4.1設(shè)x1,x2,…,xn是來自N(,2)的樣本，其樣本均值和樣本方差分別為和x=xi/n

s2=

(xix)2/(n1)(3)(n1)s2/2

2(n1)。則有(1)x與s2相互獨立；(2)xN(,2/n)

；5.4.4一些重要結(jié)論定理5.4.1設(shè)x1,推論5.4.3

設(shè)x1,x2,…,xn是來自N(1,12)的樣本，y1,y2,…,yn是來自N(2,22)的樣本，且此兩樣本相互獨立，則有特別，若12=22，則F=sx2/sy2

F(m1,n1)推論5.4.3設(shè)x1,x2,…,xn是來自N(推論5.4.4在推論5.4.3的記號下，設(shè)12=22=2，并記則推論5.4.4在推論5.4.3的記號下，設(shè)則§5.5充分統(tǒng)計量5.5.1充分性的概念例5.5.1

為研究某個運動員的打靶命中率，我們對該運動員進(jìn)行測試，觀測其10次，發(fā)現(xiàn)除第三、六次未命中外，其余8次都命中。這樣的觀測結(jié)果包含了兩種信息：(1)打靶10次命中8次；(2)2次不命中分別出現(xiàn)在第3次和第6次打靶上。§5.5充分統(tǒng)計量5.5.1充分性的概念例5.5.第二種信息對了解該運動員的命中率是沒有什么幫助的。一般地，設(shè)我們對該運動員進(jìn)行n次觀測，得到x1,x2,…,xn，每個xj

取值非0即1，命中為1，不命中為0。令T=x1+…+xn

，T為觀測到的命中次數(shù)。在這種場合僅僅記錄使用T不會丟失任何與命中率有關(guān)的信息，統(tǒng)計上將這種“樣本加工不損失信息”稱為“充分性”。樣本x=(x1,x2,…,xn)有一個樣本分布F

(x)，這個分布包含了樣本中一切有關(guān)的信息。第二種信息對了解該運動員的命中率是沒有什么幫助的。一般地，設(shè)統(tǒng)計量T=T(x1,x2,…,xn)也有一個抽樣分布FT(t)，當(dāng)我們期望用統(tǒng)計量T代替原始樣本并且不損失任何有關(guān)的信息時，也就是期望抽樣分布FT(t)像F(x)一樣概括了有關(guān)的一切信息，這即是說在統(tǒng)計量

T的取值為t的情況下樣本x的條件分布

F(x|T=t)已不含的信息，這正是統(tǒng)計量具有充分性的含義。統(tǒng)計量T=T(x1,x2,…,xn)也有一個抽樣分布F定義5.5.1

設(shè)x1,x2,…,xn

是來自某個總體的樣本，總體分布函數(shù)為F

(x;)，統(tǒng)計量T=T(x1,x2,…,xn)稱為的充分統(tǒng)計量，如果在給定T的取值后，x1,x2,…,xn

的條件分布與無關(guān).定義5.5.1設(shè)x1,x2,…,xn是來自5.5.2因子分解定理充分性原則：在統(tǒng)計學(xué)中有一個基本原則--在充分統(tǒng)計量存在的場合，任何統(tǒng)計推斷都可以基于充分統(tǒng)計量進(jìn)行，這可以簡化統(tǒng)計推斷的程序。定理5.5.1設(shè)總體概率函數(shù)為p(x;)，X1,…,Xn

為樣本，則T=T(X1,…Xn)為充分統(tǒng)計量的充分必要條件是：存在兩個函數(shù)g(t;)和h(x1,…,xn)，使得對任意的和任一組觀測值x1,x2,…,xn，有p(x1,x2,…,xn;)=g(T(x1,x2,…,xn);)h(x1,x2,…,xn)(5.5.1)5.5.2因子分解定理充分性原則：在統(tǒng)計學(xué)中有一個例5.5.4設(shè)x1,x2,…,xn是取自總體U(0,)的樣本，即總體的密度函數(shù)為其中g(shù)(t,)是通過統(tǒng)計量T的取值而依賴于樣本的。p(x;)=1/,0x0,其他于是樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為例5.5.4設(shè)x1,x2,…,xn是取自總體U(取T=x(n)，并令g(t;)=(1/)nIt,h(x)=1，由因子分解定理知T=x(n)

是的充分統(tǒng)計量。p(x1;)…p(xn;)=0,其它

(1/)n,0minximaxxi由于諸xi0，所以我們可將上式改寫為p(x1;)…p(xn;)=(1/)nIx(n)例5.5.5設(shè)x1,x2,…,xn

是取自總體N(,2)的樣本，=(,2)是未知的，則聯(lián)合密度函數(shù)為取T=x(n)，并令g(t;)=(1/)nI取t1=xi,t2=xi2,并令g(t1,t2,)=(22)-n/2exp-n2/(22)exp(t22t1)/(22),其中h(x)=1，由因子分解定理，T=(xi,xi2)是充分統(tǒng)計量。取t1=xi,t2=xi2,并令g(t1

是一一對應(yīng)的，這說明在正態(tài)總體場合常用的進(jìn)一步，我們指出這個統(tǒng)計量與(x,s2

)(x,s2

)是充分統(tǒng)計量。是一一對應(yīng)的，這說明在正態(tài)總體場合進(jìn)一步，我們指出這個統(tǒng)第五章統(tǒng)計量及其分布

§5.1

總體與樣本§5.2

樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示§5.3

統(tǒng)計量及其分布§5.4

三大抽樣分布§5.5

充分統(tǒng)計量

第五章統(tǒng)計量及其分布§5.1總體與樣本例5.0.1

某公司要采購一批產(chǎn)品，每件產(chǎn)品不

是合格品就是不合格品，但該批產(chǎn)品總有一

個不合格品率

p。由此，若從該批產(chǎn)品中隨

機抽取一件，用

x

表示這一批產(chǎn)品的不合格

數(shù)，不難看出

x

服從一個二點分布b(1,p)，

但分布中的參數(shù)

p是不知道的。一些問題：

例5.0.1某公司要采購一批產(chǎn)品，每件產(chǎn)品不

是合

p

的大小如何；

p

大概落在什么范圍內(nèi)；

能否認(rèn)為

p

滿足設(shè)定要求（如p

0.05）。p的大小如何；p大概落在什么范圍內(nèi)；能§5.1總體與個體總體的三層含義：

研究對象的全體；

數(shù)據(jù)；

分布§5.1總體與個體總體的三層含義：研究對象的全例5.1.1

考察某廠的產(chǎn)品質(zhì)量，以0記合格品，以1記不合格品，則總體={該廠生產(chǎn)的全部合格品與不合格品}={由0或1組成的一堆數(shù)}若以

p表示這堆數(shù)中1的比例（不合格品率），則該總體可由一個二點分布表示：X0

1P1

pp例5.1.1考察某廠的產(chǎn)品質(zhì)量，以0記合格品，以1記X比如：兩個生產(chǎn)同類產(chǎn)品的工廠的產(chǎn)品的總體

分布：X01p0.9830.017X01p0.9150.085比如：兩個生產(chǎn)同類產(chǎn)品的工廠的產(chǎn)品的總體

例5.1.2

在二十世紀(jì)七十年代后期，美國消費者購買日產(chǎn)SONY彩電的熱情高于購買美產(chǎn)SONY彩電，原因何在？

1979年4月17日日本《朝日新聞》刊登調(diào)查報告指出N(m,(5/3)2)，日產(chǎn)SONY彩電的彩色濃度服從正態(tài)分布，而美產(chǎn)SONY彩電的彩色濃度服從(m5,m+5)上的均勻分布。原因在于總體的差異上！例5.1.2在二十世紀(jì)七十年代后期，美國消費1979圖5.1.1SONY彩電彩色濃度分布圖圖5.1.1SONY彩電彩色濃度分布圖等級

I

IIIII

IV美產(chǎn)33.333.333.30

日產(chǎn)68.327.14.30.3表5.1.1各等級彩電的比例(%)等級III5.1.2樣本樣品、樣本、樣本量:樣本具有兩重性一方面，由于樣本是從總體中隨機抽取的，抽取前無法預(yù)知它們的數(shù)值，因此，樣本是隨機變量，用大寫字母X1,X2,…,Xn

表示；另一方面，樣本在抽取以后經(jīng)觀測就有確定的觀測值，因此，樣本又是一組數(shù)值。此時用小寫字母x1,x2,…,xn表示是恰當(dāng)?shù)?。簡單起見，無論是樣本還是其觀測值，樣本一般均用x1,x2,…xn

表示，應(yīng)能從上下文中加以區(qū)別。5.1.2樣本樣品、樣本、樣本量:樣本具有兩重性一方例5.1.3

啤酒廠生產(chǎn)的瓶裝啤酒規(guī)定凈含量為640

克。由于隨機性，事實上不可能使得所有的啤酒凈含量均為640克?，F(xiàn)從某廠生產(chǎn)的啤酒中隨機抽取10瓶測定其凈含量，得到如下結(jié)果：641,635,640,637,642,638,645,643,639,640這是一個容量為10的樣本的觀測值，對應(yīng)的總體為該廠生產(chǎn)的瓶裝啤酒的凈含量。這樣的樣本稱為完全樣本。例5.1.3啤酒廠生產(chǎn)的瓶裝啤酒規(guī)定凈含量為640這例5.1.4

考察某廠生產(chǎn)的某種電子元件的壽命，選了100只進(jìn)行壽命試驗，得到如下數(shù)據(jù)：例5.1.4考察某廠生產(chǎn)的某種電子元件的表5.1.2

100只元件的壽命數(shù)據(jù)表5.1.2中的樣本觀測值沒有具體的數(shù)值，只有一個范圍，這樣的樣本稱為分組樣本。

壽命范圍

元件數(shù)

壽命范圍

元件數(shù)

壽命范圍

元件數(shù)(024]4(192216]6(384408]4(2448]8(216240]3(408432]4(4872]6(240264]3(432456]1(7296]5(264288]5(456480]2(96120]3(288312]5(480504]2(120144]4(312336]3(504528]3(144168]5(336360]5(528552]1(168192]4(360184]1>55213表5.1.2100只元件的壽命數(shù)據(jù)表5.1.2中的樣本觀獨立性:

樣本中每一樣品的取值不影響其它樣品的取值--

x1,x2,…,xn

相互獨立。要使得推斷可靠，對樣本就有要求，使樣本能很好地代表總體。通常有如下兩個要求：隨機性:總體中每一個個體都有同等機會被選入樣本--

xi

與總體X有相同的分布。樣本的要求：簡單隨機樣本獨立性:樣本中每一樣品的取值不影響其要使得推斷可靠設(shè)總體X具有分布函數(shù)F(x),

x1,x2,…,xn

為取自該總體的容量為n的樣本，則樣本聯(lián)合分布函數(shù)為用簡單隨機抽樣方法得到的樣本稱為簡單隨機樣本，也簡稱樣本。于是，樣本

x1,x2,…,xn

可以看成是獨立同分布(iid)的隨機變量，其共同分布即為總體分布。設(shè)總體X具有分布函數(shù)F(x),

x1,x2,…,xn總體分為有限總體與無限總體實際中總體中的個體數(shù)大多是有限的。當(dāng)個體數(shù)充分大時，將有限總體看作無限總體是一種合理的抽象。對無限總體，隨機性與獨立性容易實現(xiàn)，困難在于排除有意或無意的人為干擾。對有限總體，只要總體所含個體數(shù)很大，特別是與樣本量相比很大，則獨立性也可基本得到滿足?？傮w分為有限總體與無限總體實際中總體中的個體數(shù)大多是有限的。例5.1.5

設(shè)有一批產(chǎn)品共N個，需要進(jìn)行抽樣檢驗以了解其不合格品率p?，F(xiàn)從中采取不放回抽樣抽出2個產(chǎn)品，這時，第二次抽到不合格品的概率依賴于第一次抽到的是否是不合格品，如果第一次抽到不合格品，則而若第一次抽到的是合格品，則第二次抽到不合格品的概率為P(x2=1|x1

=1)=(Np1)/(N1)P(x2=1|x1

=0)=(Np)(N1)例5.1.5設(shè)有一批產(chǎn)品共N個，需要進(jìn)行抽樣檢而若第一次顯然，如此得到的樣本不是簡單隨機樣本。但是，當(dāng)N很大時，我們可以看到上述兩種情形的概率都近似等于p。所以當(dāng)N很大，而n不大（一個經(jīng)驗法則是

nN0.1）時可以把該樣本近似地看成簡單隨機樣本。思考：

若總體的密度函數(shù)為p(x)，則其樣本的（聯(lián)

合）密度函數(shù)是什么？顯然，如此得到的樣本不是簡單隨機樣本。但是，當(dāng)N很大時，我5.2.1經(jīng)驗分布函數(shù)§5.2

樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示設(shè)

x1,x2,…,xn是取自總體分布函數(shù)為F(x)的樣本，若將樣本觀測值由小到大進(jìn)行排列,為x(1),x(2),…,x(n)，則稱

x(1),x(2),…,x(n)為有序樣本，用有序樣本定義如下函數(shù)

5.2.1經(jīng)驗分布函數(shù)§5.2樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示設(shè)則Fn(x)是一非減右連續(xù)函數(shù)，且滿足Fn()=0和Fn()=1由此可見，F(xiàn)n(x)是一個分布函數(shù)，并稱Fn(x)為經(jīng)驗分布函數(shù)。則Fn(x)是一非減右連續(xù)函數(shù)，且滿足Fn()=0例5.2.1

某食品廠生產(chǎn)聽裝飲料，現(xiàn)從生產(chǎn)線上隨機抽取5聽飲料，稱得其凈重（單位：克）351347355344351x(1)=344,x(2)=347,x(3)=351,x(4)=354,x(5)=355這是一個容量為5的樣本，經(jīng)排序可得有序樣本：例5.2.1某食品廠生產(chǎn)聽裝飲料，現(xiàn)從生產(chǎn)線上x(其經(jīng)驗分布函數(shù)為由伯努里大數(shù)定律：只要n相當(dāng)大，F(xiàn)n(x)依概率收斂于F(x)。

0，x<344

0.2，344x

<347Fn(x)=0.4，347x

<3510.8，344x

<3471，x355其經(jīng)驗分布函數(shù)為由伯努里大數(shù)定律：更深刻的結(jié)果也是存在的，這就是格里紋科定理。定理5.2.1（格里紋科定理）設(shè)x1,x2,…,xn是取自總體分布函數(shù)為F(x)的樣本,Fn(x)是其經(jīng)驗分布函數(shù)，當(dāng)n時，有PsupFn(x)F(x)0=1格里紋科定理表明：當(dāng)n相當(dāng)大時，經(jīng)驗分布函數(shù)是總體分布函數(shù)F(x)的一個良好的近似。經(jīng)典的統(tǒng)計學(xué)中一切統(tǒng)計推斷都以樣本為依據(jù)，其理由就在于此。更深刻的結(jié)果也是存在的，這就是格里紋科定理。定理5.2.1（160196164148170

175178166181162

161168166162172

156170157162154

5.2.2頻數(shù)--頻率分布表樣本數(shù)據(jù)的整理是統(tǒng)計研究的基礎(chǔ)，整理數(shù)據(jù)的最常用方法之一是給出其頻數(shù)分布表或頻率分布表。例5.2.2

為研究某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，我們隨機調(diào)查了20位工人某天生產(chǎn)的該種產(chǎn)品的數(shù)量，數(shù)據(jù)如下160196(1)對樣本進(jìn)行分組：作為一般性的原則，組數(shù)通常在5~20個，對容量較小的樣本;(2)

確定每組組距：近似公式為組距d=(最大觀測值

最小觀測值)/組數(shù);(3)

確定每組組限：各組區(qū)間端點為a0,a1=a0+d,

a2=a0+2d,…,ak=a0+kd,形成如下的分組區(qū)間(a0,a1],(a1,a2],…,(ak-1

,ak]對這20個數(shù)據(jù)(樣本)進(jìn)行整理,具體步驟如下:其中a0

略小于最小觀測值,ak

略大于最大觀測值.(1)對樣本進(jìn)行分組：作為一般性的原則，組數(shù)通(2(4)

統(tǒng)計樣本數(shù)據(jù)落入每個區(qū)間的個數(shù)——頻數(shù)，

并列出其頻數(shù)頻率分布表。表5.2.1

例5.2.2的頻數(shù)頻率分布表

組序分組區(qū)間組中值頻數(shù)頻率累計頻率(%)1(147，157]152

4

0.20

20

2

(157，167]162

8

0.4060

3(167，177]172

5

0.25

85

4

(177，187]18220.10955(187，197]19210.05100合計201(4)統(tǒng)計樣本數(shù)據(jù)落入每個區(qū)間的個數(shù)——頻數(shù)，

5.2.3樣本數(shù)據(jù)的圖形顯示一、直方圖直方圖是頻數(shù)分布的圖形表示，它的橫坐標(biāo)表示所關(guān)心變量的取值區(qū)間，縱坐標(biāo)有三種表示方法：頻數(shù)，頻率，最準(zhǔn)確的是頻率/組距，它可使得諸長條矩形面積和為1。凡此三種直方圖的差別僅在于縱軸刻度的選擇，直方圖本身并無變化。5.2.3樣本數(shù)據(jù)的圖形顯示一、直方圖直方圖是頻數(shù)分布的把每一個數(shù)值分為兩部分，前面一部分（百位和十位）稱為莖，后面部分（個位）稱為葉，然后畫一條豎線，在豎線的左側(cè)寫上莖，右側(cè)寫上葉，就形成了莖葉圖。如：二、莖葉圖數(shù)值分開莖和葉11211|211和2把每一個數(shù)值分為兩部分，前面一部分（百位和十位）稱為莖，后面例5.2.3

某公司對應(yīng)聘人員進(jìn)行能力測試，測試成績總分為150分。下面是50位應(yīng)聘人員的測試成績（已經(jīng)過排序）：64677072747676798081828283858688919192939393959595979799100100102104106106107108108112112114116118119119122123125126128133我們用這批數(shù)據(jù)給出一個莖葉圖，見下頁。例5.2.3某公司對應(yīng)聘人員進(jìn)行能力測試，測試6467圖5.2.3測試成績的莖葉圖47024669012235681123335667790024667882246899235683

圖5.2.3測試成績的莖葉圖47在要比較兩組樣本時，可畫出它們的背靠背的莖葉圖。甲車間62056乙車間87775554211667788877664421722455556668898766532801133344466778732109023585300107注意：莖葉圖保留數(shù)據(jù)中全部信息。當(dāng)樣本量較大，數(shù)據(jù)很分散，橫跨二、三個數(shù)量級時，莖葉圖并不適用。在要比較兩組樣本時，甲車間6205.3.1統(tǒng)計量與抽樣分布§5.3統(tǒng)計量及其分布當(dāng)人們需要從樣本獲得對總體各種參數(shù)的認(rèn)識時，最好的方法是構(gòu)造樣本的函數(shù)，不同的函數(shù)反映總體的不同特征。定義5.3.1

設(shè)x1,x2,…,xn

為取自某總體的樣本，若樣本函數(shù)T=T(x1,x2,…,xn)中不含有任何未知參數(shù)。則稱T為統(tǒng)計量。統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。5.3.1統(tǒng)計量與抽樣分布§5.3統(tǒng)計量及其分布當(dāng)人按照這一定義：若x1,x2,…,xn為樣本，則以及經(jīng)驗分布函數(shù)Fn(x)都是統(tǒng)計量。而當(dāng),2未知時，x1,x1/等均不是統(tǒng)計量。盡管統(tǒng)計量不依賴于未知參數(shù)，但是它的分布一般是依賴于未知參數(shù)的。下面介紹一些常見的統(tǒng)計量及其抽樣分布。按照這一定義：若x1,x2,…,xn為樣本，盡管統(tǒng)5.3.2樣本均值及其抽樣分布

定義5.3.2

設(shè)x1,x2,…,xn為取自某總體的樣本，其算術(shù)平均值稱為樣本均值，一般用表示，即思考：在分組樣本場合，樣本均值如何計算？二者結(jié)果相同嗎？

xx=

(x1+…+xn)/n5.3.2樣本均值及其抽樣分布定義5.3.2定理5.3.2

數(shù)據(jù)觀測值與均值的偏差平方和最小，即在形如(xic)2的函數(shù)中，樣本均值的基本性質(zhì)：定理5.3.1

若把樣本中的數(shù)據(jù)與樣本均值之差稱為偏差，則樣本所有偏差之和為0，即

最小，其中c為任意給定常數(shù)。定理5.3.2數(shù)據(jù)觀測值與均值的偏差平方和樣本均值的基樣本均值的抽樣分布：定理5.3.3

設(shè)