數(shù)學必修二第二章測試題

時間

分鐘，滿分

分。一、選擇題本大題共

個小題，每小題

分，共

分，在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的．若直線

和

b

沒有公共點，則

與

b

的位置關(guān)系是 A．相交 B．平行．異面 ．平行或異面．平行六面體－中，既與

共面也與

共面的棱的條數(shù)為 A． B． ． ．．已知平面

α

和直線

l，則

α

內(nèi)至少有一條直線與l A．平行 B．相交 ．垂直 ．異面．長方體

－中，異面直線，所成的角等于 A． B． ． ．．對兩條不相交的空間直線

與

b，必存在平面

α，使得 A．?α，b?α B．?α，b∥α．⊥α，b⊥α ．?α，b⊥α．下面四個命題：①若直線

，b

異面，b，

異面，則

，

異面；②若直線

，b

相交，b，

相交，則

，

相交；③若

∥b，則

，b

與

所成的角相等；④若

⊥b，b⊥，則

∥.其中真命題的個數(shù)為 A． B． ． ．．在正方體

－中，E，F(xiàn)

分別是線段

，上的不與端點重合的動點，如果E＝F，有下面四個結(jié)論：①EF⊥；②EF∥；③EF

與

異面；④EF∥平面

.其中一定正確的有 A．①② B．②③ ．②④ ．①④．設(shè)

，b

為兩條不重合的直線，α，β

為兩個不重合的平面，下列命題中為真命題的是 A．若

，b

與

α

所成的角相等，則∥bB．若

∥α，b∥β，α∥β，則

∥b．若

?α，b?β，∥b，則

α∥β．若

⊥α，b⊥β，α⊥β，則

⊥b．已知平面

α⊥平面

β，α∩β＝l，點

∈α，?l，直線

∥l，直線

⊥l，直線m∥α，∥β，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是 A．∥m B．⊥m．∥β ．⊥βE．

大綱版數(shù)學文科已知正方體

－中，

、EF

分別為

、的中點，那么直線

與

F

所成角的余弦值為 ．－

．－．已知三棱錐

－

的三個側(cè)面與底面全等，且

＝＝，＝，則以

為棱，以面

與面

為面的二面角的余弦值為 A.

． ．－．如圖所示，點P在正方形所在平面外，⊥平面，＝，則

與

所成的角是 A． B．． ．二、填空題本大題共

小題，每小題

分，共

分．把答案填在題中的橫線上．下列圖形可用符號表示為________．

－

－－

的平面角等于________．．設(shè)平面

α∥平面

β，，∈α，，∈β，直線

與

交于點

，且點

位于平面

α，β

之間，＝，＝，＝，則＝________.．將正方形

沿對角線

折成直二面角

－－，有如下四個結(jié)論：①⊥；②△

是等邊三角形；③

與平面

成

的角；④

與

所成的角是

其中正確結(jié)論的序號是________．三、解答題本大題共

個大題，共

分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

分

－

與 eq

\o\ac(△,A)都為正三角形且

⊥面

，F(xiàn)、F分別是

，的中點．求證：平面

F∥平面

BF；平面

F⊥平面

.分析 本題可以根據(jù)面面平行和面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，尋找使結(jié)論成立的充分條件．．本小題滿分

分如圖所示，在四棱錐

P－

中，⊥平面

，＝，＝，＝，∠＝∠＝，E

是

的中點．證明：⊥平面

；若直線

與平面

所成的角和

與平面

所成的角相等，求四棱錐

P－

的體積．．

分如圖所示，邊長為

的等邊△

所在的平面垂直于矩形

所在的平面，＝

，M

為

的中點．證明：⊥；求二面角

P－－

的大小．．本小題滿分

分

遼寧文，

－的側(cè)面

是菱形，⊥.證明：平面

⊥平面

；設(shè)

是

∥平面

的值．．

分如圖，△

中，＝＝

，

是邊長為

的正方形，平面

⊥底面

，若

，F(xiàn)

分別是

EC，

的中點．求證：GF∥底面

；求證：⊥平面

EBC；求幾何體

的體積

.分析 轉(zhuǎn)化為證明

GF

平行于平面

內(nèi)的直線

；轉(zhuǎn)化為證明

垂直于平面

EBC

內(nèi)的兩條相交直線

和

BE；幾何體

是四棱錐

－.．

分如下圖所示，在直三棱柱

－中，＝，＝，＝，＝，點

是

的中點．求證：⊥；求證：

平面

；求異面直線

與

所成角的余弦值．詳解答案答案 答案 解析

與

直線，因此只有兩類：第一類與

平行與

第一類與

平行與

相交的有：、

與

平行且與

相交的有：

、

， 第二類與兩者都相交的只有，故共有

條．答案 解析 直線

l

與平面

α

α

內(nèi)不存在與

l

平行的直線，∴A

錯；l?α

時，在

α

內(nèi)不存在直線與

l

異面，∴

錯；l∥α

時，在

α

內(nèi)不存在直線與

l

相交．無論哪種情形在平面α

內(nèi)都有無數(shù)條直線與

l

垂直．答案 解析 由于

∥，則∠

是異面直線

，所成的角，很明顯∠＝答案 B解析 對于選項

A，當

與

b

是異面直線時，A

錯誤；對于選項

B，若

，b

不相交，則

與

b

平行或異面，都存在

α，使

?α，b∥α，B

正確；對于選項

，⊥α，b⊥α，一定有

∥b，

錯誤；對于選項

，?α，b⊥α，一定有

⊥b，

錯誤．答案 解析 異面、相交關(guān)系在空間中不能傳遞，故①②錯；根據(jù)等角定理，可知③正確；對于④，在平面內(nèi)，∥，而在空間中，

與

可以平行，可以相交，也可以異面，故④錯誤．答案 解析

如圖

所示

．由于

⊥平

面

，EF?平面的中點時，EF∥

∥

EF∥

E，由于平面

的中點時，EF∥

∥

EF∥

E，由于平面

∥平面

，EF?平面

EF∥平面 F

分別不是線段

，的中點時，EF

與

，所以④正確．答案 解析 選項

A

中，，b

還可能相交或異面，所以A

是假命題；選項

B

中，，b

B

中，α，β

還可能相交，所以

是假命題；選項

中，由于⊥α，α⊥β，則∥β

或

?β，則

β

內(nèi)存在直線

l∥，又

b⊥β，則

b⊥l，所以

⊥b.答案 解析 如圖所示：∥l∥m；⊥l，m∥l?⊥m；∥l?∥β.

命題意圖

命題意圖

本試題考查了正方體中異面直線的所

成角的求解的運用．解析 首先根據(jù)已知條件，連接

DF，然后則角

DFD即為異面直線所成的角，設(shè)邊長為，則可以求解得到＝DF＝F，＝，結(jié)合余弦定理得到結(jié)論．答案 解析 取

中點

E，連、DE，可證⊥，⊥DE，∴∠

為二面角

－－

的平面角又

＝ED＝

，＝，∴∠＝，故選

C.答案 B解析 將其還原成正方體

－，顯見

∥，△為正三角形，∴∠＝直角三角形，則∠

＝答案 α∩直角三角形，則∠

＝答案 解析 如圖所示，正方體

－中，由于

⊥，⊥

是二面角

－－

是等腰答案 解析 如下圖所示，連接

，，則直線

，

確定一個平面

.∵α∥β，∴∥，則＝，∴＝，解得

＝ 答案 ①②④解析 如圖所示，①取

中點，E

連接

，CE，則⊥，⊥CE，而∩CE＝E，∴⊥平面

， 平面

，故⊥，故①正確．②設(shè)正方形的邊長為②設(shè)正方形的邊長為，則

＝CE＝

.則

MN∥，且

MN＝＝，由①知∠＝是直二面角

－－

的平面角，且∠＝，∴＝，∴△

是等邊三角形，故②正確．③由題意及①知，⊥平面

是

與平面

所成的角，而∠＝，所以③不正確．④分別取

，

的中點為

M，N，連接

，，MN. ∥，且

＝＝，在

△

中，∥，且

＝＝，在

△

中，＝CE＝

，＝，∴＝＝

∴eq

\o\ac(△,.)

是正三角形，∴∠＝，故④正確．證明 在正三棱柱

－

中，∵F、F

分別是

、

的中點，∴

F

∥BF，

∥

F.又∵

F

∩

＝F

，

F∩BF＝F，∴平面

F

∥平面

BF.又

F

⊥

，

∩

＝

，∴

F

⊥平面

，而

F

?平面

F

，∴平面

F

⊥平面

.∴∠

是異面直線

，

所成的角． 在三棱柱

－中，⊥平面

，∴F⊥. 解析如圖所示，連接

，由

＝，＝，∠＝，得

＝又

＝，E

是

的中點，所以

⊥.∵⊥平面

，?平面

，所以

⊥.而

，

是平面

內(nèi)的兩條相交直線，所以

⊥平面

.過點

作

∥，分別與

，

相交于

F，，連接

PF.由⊥平面

知，⊥平面

.于是∠BPF

為直線

與平面

所成的角，且

⊥.由

⊥平面

知，∠

為直線

與平面

所成的角．＝，＝，⊥，由題意，知∠＝∠BPF，因為

∠＝

，∠BPF＝BF，所以

＝BF. 由∠＝∠＝知，∥，又∥是平行四邊形，故

＝＝于是

＝在

△

中，＝，＝，⊥，所以＋＋＝

，BF＝

＝

＝

.于是

＝BF＝

又梯形

的面積為

又梯形

的面積為

＝×＋×＝，所以四棱錐

P－＝××＝××

＝

.

的體積為

.解析 證明：如圖所示，取

的中點

E，連接

PE，，，∵△

為正三角形，∴PE⊥，PE＝∠PDE＝＝

∵平面

⊥平面

，∴PE⊥平面

，而

平面

，∴PE⊥.∵四邊形

是矩形，∴△

＝

，＝

，＝，∴＋＝.∴⊥.又

PE∩＝E，∴⊥平面

，∴⊥.解：由可知

⊥，⊥，∴∠

是二面角

P－－

的平面角．∴∠＝PE

＝

＝，∴∠＝ ∴二面角

P－－

的大小為

解析又已知

⊥

，且

∩

＝，所以

又已知

⊥

，且

∩

＝，所以

⊥平面

，又

?平面

所以平面

⊥平面

.因為

∥平面

，

?平面

，平面

∩平面

＝DE，所以

∥DE. 設(shè)

交

于點

E，連接

DE，則

DE

是平面

與平面

的交線． 又

E

是

的中點，所以

又

E

是

的中點，所以

為

的中點．即

＝解 證明：連接

，如下圖所示．又∵＝＝

又∵＝＝

，取

的中點

，連

，∵＝＝

＝

，∴∩＝F，且

F

是

的中點，又

是

EC

的中點，∴GF∥，又

?平面

，GF?平面

，∴GF∥平面

.證明：∵

為正方形，∴EB⊥，又∵平面

⊥平面

，平面

∩平面

＝，EB?平面

，∴BE⊥平面

，∴BE⊥.∴＋＝，∴⊥.又∵∩BE＝，∴⊥平面

BCE. ∴⊥，且

＝，又平面

⊥平面

∴⊥平面

，∴＝

××

＝

.又∵

⊥. ∴⊥平面

，∴＝

××

＝

.又∵

⊥.∴⊥平面