測量誤差理論及其應用課件

第二章測量誤差理論及其應用測量學課件2.1偶然誤差的統(tǒng)計特性2.2精度指標及應用2.3誤差傳播律及應用2.4權與定權的常用方法2.5協(xié)因數傳播律及應用2.6由真誤差計算中誤差的實際應用第二章測量誤差理論及其應用測量學課件2.1偶然誤差的

本章學習的目的要求:

掌握偶然誤差的統(tǒng)計特性；掌握衡量精度的指標；掌握常用定權方法；掌握誤差傳播律及協(xié)因數傳播律。

重點、難點:

偶然誤差的統(tǒng)計特性；衡量精度的指標以及精度和準確度的聯(lián)系與區(qū)別；誤差傳播律以及協(xié)因數傳播律的應用；定權方法。本章學習的目的要求:重點、難點:2.1偶然誤差的統(tǒng)計特性幾個概念：真值：任一觀測量，客觀上總是存在一個能代表其真正大小的數值，這一數值就稱為該觀測值真值，用表示。真誤差：真值與觀測值之差（偶然誤差），即：真誤差（?）=觀測值（）-真值（）測量平差研究對象是偶然誤差,為此,有必要對偶然誤差的性質作進一步的分析研究。2.1偶然誤差的統(tǒng)計特性幾個概念：測量平差研究對象是偶然誤真值一般情況下是難以求得的，但有些特殊情形下，是可以知道的，如：1）三角形內角和等于180度；2）閉合水準路線高差閉合差等于零；3）往返測量一段距離，其差數的真值等于零。真值一般情況下是難以求得的，但有些特殊情形下，是可以知道的，當觀測值只含有偶然誤差時，其數學期望就等于真值（），即：

真誤差（?）=觀測值（）-數學期望（）殘差（改正數）：

改正數（V）=觀測值（）-平差值（）大量實踐證明：大量偶然誤差的分布呈現出一定的統(tǒng)計規(guī)律。大量實踐證明：大量偶然誤差的分布呈現出一定的統(tǒng)計規(guī)律。三角形閉合差例子

在相同觀測條件下，獨立觀測了358個三角形的全部內角，三角形內角和的真誤差i由下式計算：

以誤差區(qū)間d=0.2秒將真誤差i按其絕對值進行排列。統(tǒng)計出誤差落入各個區(qū)間的個數，計算出其頻率WWWWWWWWWWWWWW三角形閉合差例子在相同觀測條件下，獨立觀測了358個三角表1-2-1偶然誤差分布表誤差區(qū)間0.00～0.200.20～0.400.40～0.600.60～0.800.80～1.001.00～1.201.20～1.401.40～1.601.60以上∑

△為負值個數頻率

0.1260.1120.0920.0640.0470.0360.0170.011001810.505△為正值個數頻率460.128410.115330.092210.059160.045130.03650.01420.006001770.495

誤差絕對值個數頻率910.254810.226660.184440.123330.092260.072110.03160.017003581.000表1-2-1偶然誤差分布表表1-2-1偶然誤差分布表誤差區(qū)間△為負值從表中看出：絕對值最大不超過某一限值（1.6秒）；絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的個數多；絕對值相等的正、負誤差出現個數大致相等。大量的測量實踐證明，在其它測量結果中，也都顯示出上述同樣的統(tǒng)計規(guī)律。從表中看出：絕對值最大不超過某一限值（1.6秒）；大量的測量誤差分布規(guī)律，除了采用誤差分布表表達，還可用直方圖來表達。一定的觀測條件對應著一種確定的誤差分布。誤差分布規(guī)律，除了采用誤差分布表表達，還可用直方圖來表達。一當誤差個數無限增大時，將誤差區(qū)間縮小，直方圖則變成一條光滑的曲線：該圖同樣可以說明觀測誤差特性，稱為“誤差分布曲線”。當誤差個數無限增大時，將誤差區(qū)間縮小，直方圖則變成一條光滑的可以證明，若△僅含有偶然誤差，其分布為正態(tài)分布，其分布函數為：

σ

—標準差，在測量上稱為中誤差。當σ不同時，曲線位置不變，但分布曲線的形狀將發(fā)生變化?？梢宰C明，若△僅含有偶然誤差，其分布為正態(tài)分布，其分布函數為

用概率的術語概括偶然誤差的特性如下：1、一定觀測條件下，誤差絕對值有一定限值（有限性）；2、絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現概率大（漸降性）；3、絕對值相等的正負誤差出現概率相同（對稱性）；4、偶然誤差的數學期望為零（抵償性）；用概率的術語概括偶然誤差的特性如下：1、一定觀測條件下，誤以上分析可知：1）觀測誤差呈現偶然性；2）偶然誤差具有統(tǒng)計規(guī)律；（均值為零的正態(tài)隨機分變量）

測量平差任務之一：評定測量成果精度。以上分析可知：測量平差任務之一：評定測量成果精度。

當觀測值中僅含有偶然誤差時，由統(tǒng)計學知：

若觀測誤差中系統(tǒng)誤差，即當觀測值中僅含有偶然誤差時，由統(tǒng)計學知：若觀測誤差中系統(tǒng)2.2精度指標

觀測條件與觀測精度1、觀測條件：指測量過程中的觀測者、儀器、外界條件的綜合。一定的觀測條件，對應著一個確定的誤差分布；可見：分布曲線陡峭的說明誤差分布密集，或者離散度小，觀測精度高些，也就是觀測條件好；另一條說明誤差分布較為離散或者說它的離散度大，也即觀測條件差。2.2精度指標觀測條件與觀測精度可見：2、觀測精度：

是指一組偶然誤差分布的密集與離散的程度，是觀測值與其期望值接近的程度，表征觀測結果偶然誤差大小的程度。密集離散在相同的觀測條件下所進行的一組觀測，稱為等精度觀測或同精度觀測。2、觀測精度：密集離散在相同的觀測條件下所進行的一

精度與準確度、精確度精度：就是指在一定觀測條件下，一組觀測值密集或離散的程度，即反應的是：L與E（L）接近程度。表征觀測結果的偶然誤差大小程度。精度是以觀測值自身的平均值為標準的。精度高。成績：9.0，9.5，9.2，8.5，8.6，8.2，8.8，8.6成績：0.2，0.7，0.4，-0.3，-0.2，-0.6，0，-0.28109精度與準確度、精確度精度：就是指在一定觀測條件下，一組觀測準確度：是指觀測值的數學期望與其真值的接近程度。表征觀測結果系統(tǒng)誤差大小的程度。若觀測值數學期望與其真值得偏差越大，則準確度越低。準確度低。精度高。準確度：是指觀測值的數學期望與其真值的接近程度。準確度低。精確度：是精度與準確度的合成。是指觀測結果與其真值的接近程度。反映偶然誤差和系統(tǒng)誤差以及粗差聯(lián)合影響大小程度。若觀測值數學期望與其真值得偏差越大，則準確度越低。精確度衡量指標是均方誤差：精度低準確度低精確度低。精確度：是精度與準確度的合成。是指觀測結果與其真值的接近程度可見：精度高，不一定準確度也高！

圖(a)表示精度、精確度均高，而準確度低；圖(b)表示精度高，精確度低，而準確度低；圖(c)表示精度、精確度均低，因而準確度低；圖(d)表示精度、精確度均低，但準確度較高。可見：精度高，不一定準確度也高！圖(a)表示精度、精確度當系統(tǒng)誤差相對于偶然誤差小到可以忽略時，精度=精確度！當系統(tǒng)誤差相對于偶然誤差小到可以忽略時，1、方差由數理統(tǒng)計學可知，隨機變量X的方差定義為：觀測值L和觀測誤差△均為隨機變量，因此其方差為當觀測值只含偶然誤差時，任一觀測值的方差與觀測誤差的方差是相同的。2.2.2衡量精度的指標1、方差由數理統(tǒng)計學可知，隨機變量X的方差定義為：觀測值L和可見：中誤差不是代表個別誤差大小，而是代表誤差分布的離散度大??；中誤差越小，說明絕對值較小的誤差越多！由數學期望定義，方差（或中誤差）又可表示為：和實際工作中，由于觀測個數有限的，故可求得方差或中誤差的估值：真誤差用殘差計算觀測值的中誤差：P8可見：由數學期望定義，方差（或中誤差）又可表示為：和實際工作例:某距離等精度丈量6次，結果如下，試求該距離的最或是值及觀測值中誤差。L1=546.535mL2=546.548mL3=546.520mL4=546.546mL5=546.550mL6=546.537m解：該距離的最或是值例:某距離等精度丈量6次，結果如下，試求該距離的最或是值及觀定義：在一定的觀測條件下，一組獨立的偶然誤差絕對值的數學期望，稱為平均誤差，并以θ表示，即平均誤差和中誤差的理論關系式可見，不同大小的平均誤差，對應著不同的中誤差，也就對應著不同的誤差分布。即說明也可應用平均誤差作為衡量精度的指標。2、平均誤差定義：在一定的觀測條件下，一組獨立的偶然誤差絕對值的數學期望3、或然誤差定義：在一組等精度測量中，若某一偶然誤差具有這樣的特性：絕對值比它大的誤差個數與絕對值比它小的誤差個數相同，這個誤差即稱為或然誤差。也就是說全部誤差按絕對值大小順序排列，中間的那個誤差就是或然誤差。觀測誤差落入正、負或然誤差之間的概率恰好等于1/2，即誤差的概率分布曲線：或然誤差3、或然誤差定義：在一組等精度測量中，若某一偶然誤差具有這樣3、或然誤差或然誤差與中誤差的關系：實際或然誤差得到方法：1）將相同條件下得到一組誤差，排列，取中間或中間兩個的平均數；2）先求中誤差，然后用上述公式求得。3、或然誤差或然誤差與中誤差的關系：實際或然誤差得到方法：例：設有一列等精度觀測真誤差，按絕對值遞增順序排列于下表。試計算其中誤差、平均誤差以及或然誤差。序號123456789真誤差（秒）-0.1+0.4+1.2+1.2+1.8+1.9+2.6-4.7-5.1序號101112131415161718真誤差（秒）+5.6-7.2+8.9+9.6-9.7+9.8+9.9-10.0-10.3解：例：設有一列等精度觀測真誤差，按絕對值遞增順序排列于下表。試不難看出：因此，我國和世界各國通常都是采用中誤差作為精度指標。中誤差、平均誤差以及或然誤差都可以作為衡量精度的指標；但當n不大時，中誤差比平均誤差能更靈敏地反映大的真誤差的影響；或然誤差又可由中誤差求得；計算時，精度指標通常取2-3個有效數字，數值后面要寫上對應單位！不難看出：因此，我國和世界各國通常都是采用中誤差作為精度指標4、極限誤差觀測成果中不能含有粗差，那么如何來判斷誤差中的粗差呢？引入極限誤差，也即最大誤差。由偶然誤差的特性可知，在一定的條件下，偶然誤差不會超過一個界值，這個界值就是極限誤差。確定極限誤差依據：概率理論和大量實踐統(tǒng)計證明，大量同精度觀測的一組誤差中誤差落在各區(qū)間的概率為則定義為：通常將三倍（或兩倍）的中誤差作為極限誤差，即4、極限誤差觀測成果中不能含有粗差，那么如何來判斷誤差中的粗5、相對誤差定義：中誤差與觀測值之比，即相對誤差是一個無名數，為方便計，通常將分子化為1，即1/T的形式。相對誤差是用來衡量長度精度的一種指標。相對誤差又分為相對中誤差，相對真誤差，相對極限誤差。5、相對誤差相對誤差是一個無名數，為方便計，通常將分子化為1例：用鋼卷尺丈量200m和40m兩段距離，量距的中誤差都是±2cm，問兩者的精度是否相同？解：根據相對中誤差定義，得前者的相對中誤差為：

0.02／200＝1／10000后者相對中誤差則為：

0.02／40＝l／2000故前者的量距精度高于后者。思考：1）對于相同中誤差但角值大小不等的情況，其精度又怎樣？2）導線測量中規(guī)范規(guī)定的相對閉合差不超過1/2000，指的是何種誤差？例：用鋼卷尺丈量200m和40m兩段距離，量距的中誤差都是±衡量精度指標中誤差平均誤差或然誤差極限誤差相對誤差絕對誤差為了工作方便，需要引入一個新的指標-------權。相對指標衡量精度指標中誤差平均誤差或然誤差極限誤差相對誤差絕對誤差為1、協(xié)方差陣

設有n個觀測量，描述其精度的方差陣DXX的定義為2.3方差陣、誤差傳播律1、協(xié)方差陣2.3方差陣、誤差傳播律可以得到：可以得到：不難看出，協(xié)方差陣有以下的幾個特點：對稱方陣；

DXX中的主對角線上的各元素σxi2

為Xi

的方差；非主對角線中的元素σxixj為Xi關于Xj的協(xié)方差，是描述Xi

與Xj

之間相關性的量；協(xié)方差估值計算公式：方差陣DXX也稱方差—協(xié)方差陣，簡稱為方差陣或協(xié)方差陣；DXX是描述觀測向量的精度指標。它不僅給出了各觀測值的方差，而且還給出了其中兩兩觀測值之間的協(xié)方差即相關程度。不難看出，協(xié)方差陣有以下的幾個特點：

當時，表示兩個觀測量互不相關。如任意兩個觀測量均為互不相關時，此時方差陣Dx即變?yōu)閷顷?

當時，表示兩個觀測量在實際工作中，往往有些值不是直接測定的，而是由觀測值通過一定的函數關系計算的，即觀測值函數。那么如何確定函數的精度呢？？中誤差應用協(xié)方差傳播律（或誤差傳播律)中誤差2.3誤差傳播定律及應用在實際工作中，往往有些值不是直接測定的，而是由觀測值通過一定所謂協(xié)方差傳播律：

描述由觀測值的方差來推求觀測值函數的方差關系的公式，稱為“協(xié)方差傳播律”。

所謂協(xié)方差傳播律：從測量工作的現狀可以看出:

觀測值函數與觀測值之間的關系可分為以下兩種情況：1）線性函數（如觀測高差與高程的關系）；如2）非線性函數（觀測角度、邊長與待定點坐標的關系）。故，分別從線性函數、非線性函數研究協(xié)方差傳播律。H2=HA+h1+h2從測量工作的現狀可以看出:故，分別從線性函數、非線性函數研究設有觀測值,數學期望為,協(xié)方差陣為，又設有X線性函數為:

求Z的方差DZZ2.3.1線性函數的協(xié)方差傳播律或：K為已知系數陣，K0為方程常數向量。（2-18）P102.3.1線性函數的協(xié)方差傳播律或：K為已知系數陣，K0為為求K的方差，我們需從方差的定義入手。根據方差的定義,Y的方差為：由數學期望運算可得：將Z的函數式以及數學期望E（Z）代入得：（2-22）P11為求K的方差，我們需從方差的定義入手。（2-22）P11方差的純量形式為：可見：若DXX為對角陣時，協(xié)方差傳播律即為“誤差傳播律”。（2-20）P11（2-19）P11觀測值不相關方差的純量形式為：可見：若DXX為對角陣時，協(xié)方差傳播律即為由上推導可得出以下結論：若有函數:純量形式：則函數的方差為:以上就是已知觀測量的方差,求其函數方差的公式。也稱為“協(xié)方差傳播律”。（2-22）P11由上推導可得出以下結論：以上就是已知觀測量的方差,求其函數方舉三個例子例:用鋼尺分五段測量某距離，得到各段距離及相應的中誤差如下，該求該距離S的中誤差及相對中誤差。

S1=50.350m±1.5mmS2=150.555m±2.5mmS3=100.650m±2.0mmS4=100.450m±2.0mmS5=50.455m±1.5mm解：

S=S1+S2+S3+S4+S5=452.460m按線性函數誤差傳播律，得S的中誤差為：其相對中誤差為：

觀測值不相關舉三個例子例:用鋼尺分五段測量某距離，得到各段距離及相應的例、設有觀測值向量的方差陣為：（1）試寫出各觀測值的方差以及兩兩協(xié)方差；（2）若有函數，則該函數F的方差又如何？解：觀測值相關觀測值相關例：已知向量，且若有函數：試求各函數的方差。解：觀測值不相關觀測值不相關測量誤差理論及其應用課件2.3.2線性函數誤差傳播率在測量工作中的應用

水準測量的精度hABAB大地水準面HBＨA上兩式是水準測量計算高差中誤差的基本公式。2.3.2線性函數誤差傳播率在測量工作中的應用水準測量的

導線邊方位角的精度

同精度獨立觀測值的算術平均值精度導線邊方位角的精度同精度獨立觀測值的算術平均值精度2.3.3多個觀測值線性函數的誤差傳播律設有觀測值，它們的期望、方差為若有X的r個線性函數為:求函數的方差以及它們之間的協(xié)方差？（2-33）P132.3.3多個觀測值線性函數的誤差傳播律設有觀測值令:則X的t個線性函數式可寫為:同樣,根據協(xié)方差陣的定義可得Z的協(xié)方差陣為:（2-34）P13（2-35）P13令:（2-34）P13（2-35）P13例1：已知向量，且：若有函數：并記，試求、。例1：已知向量，且：解：對于函數式利用協(xié)方差傳播律解：對于對于函數式利用協(xié)方差傳播律本題關健是:將函數式轉換為“同一”變量的形式!對于本題關健是:將函數式轉換為“同一”變量的形式!例2：設有觀測值向量,其協(xié)方差陣為設函數并記,試求解：例2：設有觀測值向量,其協(xié)方差陣為并從以上兩個例子可以看出單個線性函數的協(xié)方差和多個線性函數的協(xié)方差陣在形式上完全相同,且推導過程也相同;所不同的是：前者是一個函數值的方差（1行1列）;而后者是t個函數值的協(xié)方差陣（r行r列）。即：前者是后者的特殊情況。從以上兩個例子可以看出前者是一個函數值的方差（1行1列）;2.3.4非線性函數的誤差傳播律設有觀測值的非線性函數為：

且已知X的協(xié)方差陣求Y的方差陣DZZ。

解決這類問題的關鍵是必需先將非線性函數線性化,得到和前面已推導出的公式“一致”的形式!2.3.4非線性函數的誤差傳播律設有觀測值將非線性函數進行全微分為：按照線性函數進行協(xié)方差傳播：（2-37）P14等價將非線性函數進行全微分為：（2-37）P14等價例1：已知長方形的廠房，經過測量，其長度x的觀測值為90m，其寬度y的觀測值為50m，它們的中誤差分別為2mm、3mm，求其面積及相應的中誤差。解：面積S=xy=90*50=4500（m2）對S進行全微分：應用協(xié)方差傳播定律：例1：已知長方形的廠房，經過測量，其長度x的觀測值為90m，例2：設有觀測值向量,其協(xié)方差陣為設函數,試求解：對函數Z進行全微分：應用協(xié)方差傳播定律：例2：設有觀測值向量,其協(xié)方差陣為解1）按要求寫出函數式；2）若是非線性函數式，則先對函數式兩邊求全微分；3）將函數式（或微分關系式）寫成矩陣形式（有時要顧及單位的統(tǒng)一）；4）應用協(xié)方差傳播律公式求方差或協(xié)方差陣。歸納應用協(xié)方差傳播律的計算步驟：1）按要求寫出函數式；歸納應用協(xié)方差傳播律的計算步驟：1、權

在測量數據處理中，不僅需要用中誤差表示觀測量的絕對精度的高低，還需引入一個表示觀測值之間精度相對高低的指標，即權。定義：設有觀測值Li（i=1，2…，n）的方差為，如選任一常數，則定義：

并稱Pi為觀測值Li的權。2.4權與定權（2-40）P161、權

在測量數據處理中，不僅需要用中誤差表示觀測量的

如右圖所示的水準網中，h1、h2、h3、h4、h5、h6是各路線的觀測高差，S1=1.0km，S2=2.0km，S3=2.5km，S4=4.0km，S5=8.0km，S6=10.0km是各水準路線長度。定權：設每千米觀測值高差的方差為，根據而，則如右圖所示的水準網中，h1、h2、h3、h4、h5、h6是令，則令，則相等×10令，則令不難看出權與方差成反比；權是表征觀測值之間的相對精度指標（權是不唯一的，單個權沒意義的）；選定不同的，權之間的比例關系依就不變；對同一問題中，為使權能起到比較精度高低的作用，C應取同一定值（否則就破壞了權間的比例關系）。不難看出權與方差成反比；“單位權”的定義：等于1的權為單位權。對應的觀測值為單位權觀測值。對應觀測值的中誤差稱為單位權中誤差?？梢姡簷喽x中，C稱為單位權方差,記為σ02。幾個概念：“單位權”的定義：等于1的權為單位權。可見：幾個概念：例：在相同觀測條件下，應用水準測量測定了三角點A、B、C之間的高差，設該三角形邊長分別為S1=10km，S2=8km，S3=4km，令40km的高差觀測值為單位權觀測，試求各段觀測高差之權及單位權中誤差。解：假設每千米觀測值高差的方差為，則例：在相同觀測條件下，應用水準測量測定了三角點A、B、C之間1.水準測量的權公式的應用前提：

（1）當各測站的觀測高差為同精度時；（2）當每公里觀測高差為同精度時。或2.4.3測量中常用定權的方法測站數在起伏不大的地區(qū)，每千米的測站數大致相同，則可按水準路線的距離定權；而在起伏較大的地區(qū)，每千米的測站數相差較大，則按測站數定權。1.水準測量的權公式的應用前提：或2.4.3測量中常用定例：如圖所示的水準網，各水準路線長度分別為（設每公里觀測高差中誤差相等）：

S1=2.0(km)S2=2.0(km)S3=3.0(km)S4=3.0(km)S5=4.0(km)S6=4.0(km)

試確定各路線觀測高差的權。ADCBh1h6h5h2h4h3解：設取4KM的觀測高差為單位權觀測(C=4KM)，則由水準測量常用定權公式得：

P1=2，P2=2，P3=1.3，P4=1.3，P5=1，P6=1例：如圖所示的水準網，各水準路線長度分別為（設每公里觀測高差例：在邊角網中，已知測角中誤差為1.0′，測邊的中誤差為2.0厘米，試確定它們的權。解：設σ0=σβ=1.0′

則由權定義得：

說明了權有時是有量綱的。例：在邊角網中，已知測角中誤差為1.0′，測邊的中誤差為2.1、觀測值的協(xié)因數定義：協(xié)因數就是權倒數，用Qii表示。即：表明：

任一觀測值的方差總是等于單位權方差與該觀測值協(xié)因數（權倒數）的乘積?；颍?.5協(xié)因數傳播律1、觀測值的協(xié)因數表明：或：2.5協(xié)因數傳播律2、協(xié)因數陣互協(xié)因數（相關權倒數）對于兩個隨機變量之間的互協(xié)因數，可表示為：協(xié)因數陣QXX

將隨機向量X的方差陣DXX，乘以一個純量因子1/σ02，則得協(xié)因數陣QXX，即：2、協(xié)因數陣例：已知觀測值向量的協(xié)方差陣為單位權方差，協(xié)因數

QLL。解：例：已知觀測值向量的協(xié)方差陣為解：3、權陣定義：協(xié)因數陣的逆陣為權陣。即

如何根據協(xié)因數陣來確定觀測量的權呢？3、權陣如何根據協(xié)因數陣來確定觀測量的權呢？解：由權陣定義得又由得觀測值的權為：可見：1）當QLL或PLL為非對角陣時，觀測值的權與權陣中的兩個主對角線元素并不一定相等,不可從權陣中求權，而由協(xié)因數陣來計算權。例：已知觀測向量L的協(xié)因數陣為：試求觀測向量L的權陣P及觀測值L1、L2的權。解：由權陣定義得可見：例：已知觀測向量L的協(xié)因數陣為：可見：當QLL是對角陣時，其PLL也為對角陣，則權陣中主對角線上元素才是對應觀測向量的權；例：已知觀測向量L的權陣為：試求觀測值L1、L2、L3的權。解：可見：例：已知觀測向量L的權陣為：解：例：已知觀測向量L的權陣為：求觀測值L1、L2的權。解：例：已知觀測向量L的權陣為：解：2.5.3協(xié)因數傳播律已知觀測向量的協(xié)因數陣QXX,,且有函數式：求其函數的協(xié)因數陣以及互協(xié)因數陣，即對于函數精度，還可以用協(xié)因數來表示。當已知隨機向量的協(xié)因數陣時，求函數的協(xié)因數陣，稱之為“協(xié)因數傳播律”。2.5.3協(xié)因數傳播律已知觀測向量的協(xié)因數陣QXX,,且有下面由協(xié)方差傳播律來導出協(xié)因數傳播律稱“協(xié)因數傳播律”或“權逆陣傳播律”。下面由協(xié)方差傳播律來導出協(xié)因數傳播律稱“協(xié)因數傳播律”或“權將以上協(xié)方差傳播律、協(xié)因數傳播律合稱為“廣義傳播律”。歸納協(xié)方差傳播律和協(xié)因數傳播律得：將以上協(xié)方差傳播律、協(xié)因數傳播律合稱為“廣義傳播律”。歸納協(xié)例：已知觀測值向量的協(xié)方差陣為單位權方差，現有函數，試求：（1）函數F的方差DF和協(xié)因數

QF。解：例：已知觀測值向量的協(xié)方差陣為解：例：已知觀測值向量的協(xié)方差陣為單位權方差，現有函數，試求：（1）函數F的方差DF和協(xié)因數

QF。解：例：已知觀測值向量的協(xié)方差陣為解：權陣、協(xié)因數陣、方差陣之間的聯(lián)系例：設有觀測值向量的權陣為解：由權陣、協(xié)因數陣、方差陣之間的聯(lián)系例：設有觀測值向量例：已知觀測值向量的協(xié)方差陣為例：已知觀測值向量的協(xié)方差陣為

由三角形閉合差求測角中誤差

由雙觀測值之差求中誤差2.6由真誤差計算中誤差的實際應用由三角形閉合差求測角中誤差由雙觀測值之差求中誤差2.6本章內容小節(jié)偶然誤差的統(tǒng)計特性有限性、漸降性、對稱性、抵償性精度、準確度、精確度衡量精度的指標

中誤差、平均誤差、或然誤差、極限誤差、相對誤差

本章內容小節(jié)偶然誤差的統(tǒng)計特性本章內容小節(jié)方差、單位權方差、權、協(xié)因數方差陣、協(xié)因數陣、權陣協(xié)方差傳播定律、協(xié)因數傳播定律

本章內容小節(jié)方差、單位權方差、權、協(xié)因數

第二章測量誤差理論及其應用測量學課件2.1偶然誤差的統(tǒng)計特性2.2精度指標及應用2.3誤差傳播律及應用2.4權與定權的常用方法2.5協(xié)因數傳播律及應用2.6由真誤差計算中誤差的實際應用第二章測量誤差理論及其應用測量學課件2.1偶然誤差的

本章學習的目的要求:

掌握偶然誤差的統(tǒng)計特性；掌握衡量精度的指標；掌握常用定權方法；掌握誤差傳播律及協(xié)因數傳播律。

重點、難點:

偶然誤差的統(tǒng)計特性；衡量精度的指標以及精度和準確度的聯(lián)系與區(qū)別；誤差傳播律以及協(xié)因數傳播律的應用；定權方法。本章學習的目的要求:重點、難點:2.1偶然誤差的統(tǒng)計特性幾個概念：真值：任一觀測量，客觀上總是存在一個能代表其真正大小的數值，這一數值就稱為該觀測值真值，用表示。真誤差：真值與觀測值之差（偶然誤差），即：真誤差（?）=觀測值（）-真值（）測量平差研究對象是偶然誤差,為此,有必要對偶然誤差的性質作進一步的分析研究。2.1偶然誤差的統(tǒng)計特性幾個概念：測量平差研究對象是偶然誤真值一般情況下是難以求得的，但有些特殊情形下，是可以知道的，如：1）三角形內角和等于180度；2）閉合水準路線高差閉合差等于零；3）往返測量一段距離，其差數的真值等于零。真值一般情況下是難以求得的，但有些特殊情形下，是可以知道的，當觀測值只含有偶然誤差時，其數學期望就等于真值（），即：

真誤差（?）=觀測值（）-數學期望（）殘差（改正數）：

改正數（V）=觀測值（）-平差值（）大量實踐證明：大量偶然誤差的分布呈現出一定的統(tǒng)計規(guī)律。大量實踐證明：大量偶然誤差的分布呈現出一定的統(tǒng)計規(guī)律。三角形閉合差例子

在相同觀測條件下，獨立觀測了358個三角形的全部內角，三角形內角和的真誤差i由下式計算：

以誤差區(qū)間d=0.2秒將真誤差i按其絕對值進行排列。統(tǒng)計出誤差落入各個區(qū)間的個數，計算出其頻率WWWWWWWWWWWWWW三角形閉合差例子在相同觀測條件下，獨立觀測了358個三角表1-2-1偶然誤差分布表誤差區(qū)間0.00～0.200.20～0.400.40～0.600.60～0.800.80～1.001.00～1.201.20～1.401.40～1.601.60以上∑

△為負值個數頻率

0.1260.1120.0920.0640.0470.0360.0170.011001810.505△為正值個數頻率460.128410.115330.092210.059160.045130.03650.01420.006001770.495

誤差絕對值個數頻率910.254810.226660.184440.123330.092260.072110.03160.017003581.000表1-2-1偶然誤差分布表表1-2-1偶然誤差分布表誤差區(qū)間△為負值從表中看出：絕對值最大不超過某一限值（1.6秒）；絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的個數多；絕對值相等的正、負誤差出現個數大致相等。大量的測量實踐證明，在其它測量結果中，也都顯示出上述同樣的統(tǒng)計規(guī)律。從表中看出：絕對值最大不超過某一限值（1.6秒）；大量的測量誤差分布規(guī)律，除了采用誤差分布表表達，還可用直方圖來表達。一定的觀測條件對應著一種確定的誤差分布。誤差分布規(guī)律，除了采用誤差分布表表達，還可用直方圖來表達。一當誤差個數無限增大時，將誤差區(qū)間縮小，直方圖則變成一條光滑的曲線：該圖同樣可以說明觀測誤差特性，稱為“誤差分布曲線”。當誤差個數無限增大時，將誤差區(qū)間縮小，直方圖則變成一條光滑的可以證明，若△僅含有偶然誤差，其分布為正態(tài)分布，其分布函數為：

σ

—標準差，在測量上稱為中誤差。當σ不同時，曲線位置不變，但分布曲線的形狀將發(fā)生變化?？梢宰C明，若△僅含有偶然誤差，其分布為正態(tài)分布，其分布函數為

用概率的術語概括偶然誤差的特性如下：1、一定觀測條件下，誤差絕對值有一定限值（有限性）；2、絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現概率大（漸降性）；3、絕對值相等的正負誤差出現概率相同（對稱性）；4、偶然誤差的數學期望為零（抵償性）；用概率的術語概括偶然誤差的特性如下：1、一定觀測條件下，誤以上分析可知：1）觀測誤差呈現偶然性；2）偶然誤差具有統(tǒng)計規(guī)律；（均值為零的正態(tài)隨機分變量）

測量平差任務之一：評定測量成果精度。以上分析可知：測量平差任務之一：評定測量成果精度。

當觀測值中僅含有偶然誤差時，由統(tǒng)計學知：

若觀測誤差中系統(tǒng)誤差，即當觀測值中僅含有偶然誤差時，由統(tǒng)計學知：若觀測誤差中系統(tǒng)2.2精度指標

觀測條件與觀測精度1、觀測條件：指測量過程中的觀測者、儀器、外界條件的綜合。一定的觀測條件，對應著一個確定的誤差分布；可見：分布曲線陡峭的說明誤差分布密集，或者離散度小，觀測精度高些，也就是觀測條件好；另一條說明誤差分布較為離散或者說它的離散度大，也即觀測條件差。2.2精度指標觀測條件與觀測精度可見：2、觀測精度：

是指一組偶然誤差分布的密集與離散的程度，是觀測值與其期望值接近的程度，表征觀測結果偶然誤差大小的程度。密集離散在相同的觀測條件下所進行的一組觀測，稱為等精度觀測或同精度觀測。2、觀測精度：密集離散在相同的觀測條件下所進行的一

精度與準確度、精確度精度：就是指在一定觀測條件下，一組觀測值密集或離散的程度，即反應的是：L與E（L）接近程度。表征觀測結果的偶然誤差大小程度。精度是以觀測值自身的平均值為標準的。精度高。成績：9.0，9.5，9.2，8.5，8.6，8.2，8.8，8.6成績：0.2，0.7，0.4，-0.3，-0.2，-0.6，0，-0.28109精度與準確度、精確度精度：就是指在一定觀測條件下，一組觀測準確度：是指觀測值的數學期望與其真值的接近程度。表征觀測結果系統(tǒng)誤差大小的程度。若觀測值數學期望與其真值得偏差越大，則準確度越低。準確度低。精度高。準確度：是指觀測值的數學期望與其真值的接近程度。準確度低。精確度：是精度與準確度的合成。是指觀測結果與其真值的接近程度。反映偶然誤差和系統(tǒng)誤差以及粗差聯(lián)合影響大小程度。若觀測值數學期望與其真值得偏差越大，則準確度越低。精確度衡量指標是均方誤差：精度低準確度低精確度低。精確度：是精度與準確度的合成。是指觀測結果與其真值的接近程度可見：精度高，不一定準確度也高！

圖(a)表示精度、精確度均高，而準確度低；圖(b)表示精度高，精確度低，而準確度低；圖(c)表示精度、精確度均低，因而準確度低；圖(d)表示精度、精確度均低，但準確度較高?？梢姡壕雀?，不一定準確度也高！圖(a)表示精度、精確度當系統(tǒng)誤差相對于偶然誤差小到可以忽略時，精度=精確度！當系統(tǒng)誤差相對于偶然誤差小到可以忽略時，1、方差由數理統(tǒng)計學可知，隨機變量X的方差定義為：觀測值L和觀測誤差△均為隨機變量，因此其方差為當觀測值只含偶然誤差時，任一觀測值的方差與觀測誤差的方差是相同的。2.2.2衡量精度的指標1、方差由數理統(tǒng)計學可知，隨機變量X的方差定義為：觀測值L和可見：中誤差不是代表個別誤差大小，而是代表誤差分布的離散度大??；中誤差越小，說明絕對值較小的誤差越多！由數學期望定義，方差（或中誤差）又可表示為：和實際工作中，由于觀測個數有限的，故可求得方差或中誤差的估值：真誤差用殘差計算觀測值的中誤差：P8可見：由數學期望定義，方差（或中誤差）又可表示為：和實際工作例:某距離等精度丈量6次，結果如下，試求該距離的最或是值及觀測值中誤差。L1=546.535mL2=546.548mL3=546.520mL4=546.546mL5=546.550mL6=546.537m解：該距離的最或是值例:某距離等精度丈量6次，結果如下，試求該距離的最或是值及觀定義：在一定的觀測條件下，一組獨立的偶然誤差絕對值的數學期望，稱為平均誤差，并以θ表示，即平均誤差和中誤差的理論關系式可見，不同大小的平均誤差，對應著不同的中誤差，也就對應著不同的誤差分布。即說明也可應用平均誤差作為衡量精度的指標。2、平均誤差定義：在一定的觀測條件下，一組獨立的偶然誤差絕對值的數學期望3、或然誤差定義：在一組等精度測量中，若某一偶然誤差具有這樣的特性：絕對值比它大的誤差個數與絕對值比它小的誤差個數相同，這個誤差即稱為或然誤差。也就是說全部誤差按絕對值大小順序排列，中間的那個誤差就是或然誤差。觀測誤差落入正、負或然誤差之間的概率恰好等于1/2，即誤差的概率分布曲線：或然誤差3、或然誤差定義：在一組等精度測量中，若某一偶然誤差具有這樣3、或然誤差或然誤差與中誤差的關系：實際或然誤差得到方法：1）將相同條件下得到一組誤差，排列，取中間或中間兩個的平均數；2）先求中誤差，然后用上述公式求得。3、或然誤差或然誤差與中誤差的關系：實際或然誤差得到方法：例：設有一列等精度觀測真誤差，按絕對值遞增順序排列于下表。試計算其中誤差、平均誤差以及或然誤差。序號123456789真誤差（秒）-0.1+0.4+1.2+1.2+1.8+1.9+2.6-4.7-5.1序號101112131415161718真誤差（秒）+5.6-7.2+8.9+9.6-9.7+9.8+9.9-10.0-10.3解：例：設有一列等精度觀測真誤差，按絕對值遞增順序排列于下表。試不難看出：因此，我國和世界各國通常都是采用中誤差作為精度指標。中誤差、平均誤差以及或然誤差都可以作為衡量精度的指標；但當n不大時，中誤差比平均誤差能更靈敏地反映大的真誤差的影響；或然誤差又可由中誤差求得；計算時，精度指標通常取2-3個有效數字，數值后面要寫上對應單位！不難看出：因此，我國和世界各國通常都是采用中誤差作為精度指標4、極限誤差觀測成果中不能含有粗差，那么如何來判斷誤差中的粗差呢？引入極限誤差，也即最大誤差。由偶然誤差的特性可知，在一定的條件下，偶然誤差不會超過一個界值，這個界值就是極限誤差。確定極限誤差依據：概率理論和大量實踐統(tǒng)計證明，大量同精度觀測的一組誤差中誤差落在各區(qū)間的概率為則定義為：通常將三倍（或兩倍）的中誤差作為極限誤差，即4、極限誤差觀測成果中不能含有粗差，那么如何來判斷誤差中的粗5、相對誤差定義：中誤差與觀測值之比，即相對誤差是一個無名數，為方便計，通常將分子化為1，即1/T的形式。相對誤差是用來衡量長度精度的一種指標。相對誤差又分為相對中誤差，相對真誤差，相對極限誤差。5、相對誤差相對誤差是一個無名數，為方便計，通常將分子化為1例：用鋼卷尺丈量200m和40m兩段距離，量距的中誤差都是±2cm，問兩者的精度是否相同？解：根據相對中誤差定義，得前者的相對中誤差為：

0.02／200＝1／10000后者相對中誤差則為：

0.02／40＝l／2000故前者的量距精度高于后者。思考：1）對于相同中誤差但角值大小不等的情況，其精度又怎樣？2）導線測量中規(guī)范規(guī)定的相對閉合差不超過1/2000，指的是何種誤差？例：用鋼卷尺丈量200m和40m兩段距離，量距的中誤差都是±衡量精度指標中誤差平均誤差或然誤差極限誤差相對誤差絕對誤差為了工作方便，需要引入一個新的指標-------權。相對指標衡量精度指標中誤差平均誤差或然誤差極限誤差相對誤差絕對誤差為1、協(xié)方差陣

設有n個觀測量，描述其精度的方差陣DXX的定義為2.3方差陣、誤差傳播律1、協(xié)方差陣2.3方差陣、誤差傳播律可以得到：可以得到：不難看出，協(xié)方差陣有以下的幾個特點：對稱方陣；

DXX中的主對角線上的各元素σxi2

為Xi

的方差；非主對角線中的元素σxixj為Xi關于Xj的協(xié)方差，是描述Xi

與Xj

之間相關性的量；協(xié)方差估值計算公式：方差陣DXX也稱方差—協(xié)方差陣，簡稱為方差陣或協(xié)方差陣；DXX是描述觀測向量的精度指標。它不僅給出了各觀測值的方差，而且還給出了其中兩兩觀測值之間的協(xié)方差即相關程度。不難看出，協(xié)方差陣有以下的幾個特點：

當時，表示兩個觀測量互不相關。如任意兩個觀測量均為互不相關時，此時方差陣Dx即變?yōu)閷顷?

當時，表示兩個觀測量在實際工作中，往往有些值不是直接測定的，而是由觀測值通過一定的函數關系計算的，即觀測值函數。那么如何確定函數的精度呢？？中誤差應用協(xié)方差傳播律（或誤差傳播律)中誤差2.3誤差傳播定律及應用在實際工作中，往往有些值不是直接測定的，而是由觀測值通過一定所謂協(xié)方差傳播律：

描述由觀測值的方差來推求觀測值函數的方差關系的公式，稱為“協(xié)方差傳播律”。

所謂協(xié)方差傳播律：從測量工作的現狀可以看出:

觀測值函數與觀測值之間的關系可分為以下兩種情況：1）線性函數（如觀測高差與高程的關系）；如2）非線性函數（觀測角度、邊長與待定點坐標的關系）。故，分別從線性函數、非線性函數研究協(xié)方差傳播律。H2=HA+h1+h2從測量工作的現狀可以看出:故，分別從線性函數、非線性函數研究設有觀測值,數學期望為,協(xié)方差陣為，又設有X線性函數為:

求Z的方差DZZ2.3.1線性函數的協(xié)方差傳播律或：K為已知系數陣，K0為方程常數向量。（2-18）P102.3.1線性函數的協(xié)方差傳播律或：K為已知系數陣，K0為為求K的方差，我們需從方差的定義入手。根據方差的定義,Y的方差為：由數學期望運算可得：將Z的函數式以及數學期望E（Z）代入得：（2-22）P11為求K的方差，我們需從方差的定義入手。（2-22）P11方差的純量形式為：可見：若DXX為對角陣時，協(xié)方差傳播律即為“誤差傳播律”。（2-20）P11（2-19）P11觀測值不相關方差的純量形式為：可見：若DXX為對角陣時，協(xié)方差傳播律即為由上推導可得出以下結論：若有函數:純量形式：則函數的方差為:以上就是已知觀測量的方差,求其函數方差的公式。也稱為“協(xié)方差傳播律”。（2-22）P11由上推導可得出以下結論：以上就是已知觀測量的方差,求其函數方舉三個例子例:用鋼尺分五段測量某距離，得到各段距離及相應的中誤差如下，該求該距離S的中誤差及相對中誤差。

S1=50.350m±1.5mmS2=150.555m±2.5mmS3=100.650m±2.0mmS4=100.450m±2.0mmS5=50.455m±1.5mm解：

S=S1+S2+S3+S4+S5=452.460m按線性函數誤差傳播律，得S的中誤差為：其相對中誤差為：

觀測值不相關舉三個例子例:用鋼尺分五段測量某距離，得到各段距離及相應的例、設有觀測值向量的方差陣為：（1）試寫出各觀測值的方差以及兩兩協(xié)方差；（2）若有函數，則該函數F的方差又如何？解：觀測值相關觀測值相關例：已知向量，且若有函數：試求各函數的方差。解：觀測值不相關觀測值不相關測量誤差理論及其應用課件2.3.2線性函數誤差傳播率在測量工作中的應用

水準測量的精度hABAB大地水準面HBＨA上兩式是水準測量計算高差中誤差的基本公式。2.3.2線性函數誤差傳播率在測量工作中的應用水準測量的

導線邊方位角的精度

同精度獨立觀測值的算術平均值精度導線邊方位角的精度同精度獨立觀測值的算術平均值精度2.3.3多個觀測值線性函數的誤差傳播律設有觀測值，它們的期望、方差為若有X的r個線性函數為:求函數的方差以及它們之間的協(xié)方差？（2-33）P132.3.3多個觀測值線性函數的誤差傳播律設有觀測值令:則X的t個線性函數式可寫為:同樣,根據協(xié)方差陣的定義可得Z的協(xié)方差陣為:（2-34）P13（2-35）P13令:（2-34）P13（2-35）P13例1：已知向量，且：若有函數：并記，試求、。例1：已知向量，且：解：對于函數式利用協(xié)方差傳播律解：對于對于函數式利用協(xié)方差傳播律本題關健是:將函數式轉換為“同一”變量的形式!對于本題關健是:將函數式轉換為“同一”變量的形式!例2：設有觀測值向量,其協(xié)方差陣為設函數并記,試求解：例2：設有觀測值向量,其協(xié)方差陣為并從以上兩個例子可以看出單個線性函數的協(xié)方差和多個線性函數的協(xié)方差陣在形式上完全相同,且推導過程也相同;所不同的是：前者是一個函數值的方差（1行1列）;而后者是t個函數值的協(xié)方差陣（r行r列）。即：前者是后者的特殊情況。從以上兩個例子可以看出前者是一個函數值的方差（1行1列）;2.3.4非線性函數的誤差傳播律設有觀測值的非線性函數為：

且已知X的協(xié)方差陣求Y的方差陣DZZ。

解決這類問題的關鍵是必需先將非線性函數線性化,得到和前面已推導出的公式“一致”的形式!2.3.4非線性函數的誤差傳播律設有觀測值將非線性函數進行全微分為：按照線性函數進行協(xié)方差傳播：（2-37）P14等價將非線性函數進行全微分為：（2-37）P14等價例1：已知長方形的廠房，經過測量，其長度x的觀測值為90m，其寬度y的觀測值為50m，它們的中誤差分別為2mm、3mm，求其面積及相應的中誤差。解：面積S=xy=90*50=4500（m2）對S進行全微分：應用協(xié)方差傳播定律：例1：已知長方形的廠房，經過測量，其長度x的觀測值為90m，例2：設有觀測值向量,其協(xié)方差陣為設函數,試求解：對函數Z進行全微分：應用協(xié)方差傳播定律：例2：設有觀測值向量,其協(xié)方差陣為解1）按要求寫出函數式；2）若是非線性函數式，則先對函數式兩邊求全微分；3）將函數式（或微分關系式）寫成矩陣形式（有時要顧及單位的統(tǒng)一）；4）應用協(xié)方差傳播律公式求方差或協(xié)方差陣。歸納應用協(xié)方差傳播律的計算步驟：1）按要求寫出函數式；歸納應用協(xié)方差傳播律的計算步驟：1、權

在測量數據處理中，不僅需要用中誤差表示觀測量的絕對精度的高低，還需引入一個表示觀測值之間精度相對高低的指標，即權。定義：設有觀測值Li（i=1，2…，n）的方差為，如選任一常數，則定義：

并稱Pi為觀測值Li的權。2.4權與定權（2-40）P161、權

在測量數據處理中，不僅需要用中誤差表示觀測量的

如右圖所示的水準網中，h1、h2、h3、h4、h5、h6是各路線的觀測高差，S1=1.0km，S2=2.0km，S3=2.5km，S4=4.0km，S5=8.0km，S6=10.0km是各水準路線長度。定權：設每千米觀測值高差的方差為，根據而，則如右圖所示的水準網中，h1、h2、h3、h4、h5、h6是令，則令，則相等×10令，則令不難看出權與方差成反比；權是表征觀測值之間的相對精度指標（權是不唯一的，單個權沒意義的）；選定不同的，權之間的比例關系依就不變；對同一問題中，為使權能起到比較精度高低的作用，C應取同一定值（否則就破壞了權間的比例關系）。不難看出權與方差成反比；“單位權”的定義：等于1的權為單位權。對應的觀測值為單位權觀測值。對應觀測值的中誤差稱為單位權中誤差?？梢姡簷喽x中，C稱為單位權方差,記為σ02。幾個概念：“單位權”的定義：等于1的權為單位權。可見：幾個概念：例：在相同觀測條件下，應用水準測量測定了三角點A、B、C之間的高差，設該三角形邊長分別為S1=10km，S2=8km，S3=