數(shù)學(xué)模型的優(yōu)勢(shì)和作用

數(shù)學(xué)模型的優(yōu)勢(shì)和作用數(shù)學(xué)模型的優(yōu)勢(shì)和作用數(shù)學(xué)模型的優(yōu)勢(shì)和作用資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月數(shù)學(xué)模型的優(yōu)勢(shì)和作用版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁(yè)次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：數(shù)學(xué)模型在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型的簡(jiǎn)介。建立數(shù)學(xué)模型的基本原則建立數(shù)學(xué)模型的基本方法小學(xué)數(shù)學(xué)中基本模型模型在小學(xué)數(shù)學(xué)小數(shù)學(xué)習(xí)中的體現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的小學(xué)教學(xué)中的實(shí)錄正文一、數(shù)學(xué)模型的簡(jiǎn)介。1什么是數(shù)學(xué)模型？數(shù)學(xué)模型，一般是指用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)或圖形等形式來(lái)刻畫、描述、反映特定的問(wèn)題或具體事物之間關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型，主要的是確定性數(shù)學(xué)模型，廣義地講，一般表現(xiàn)為數(shù)學(xué)的概念、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系等。數(shù)學(xué)模型具有一般化、典型化和精確化的特點(diǎn)。2數(shù)學(xué)模型的意義（1）建立數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)特征的反映。=1\*GB3①數(shù)學(xué)模型是對(duì)客觀事物的一般關(guān)系的反映，也是人們以數(shù)學(xué)方式認(rèn)識(shí)具體事物、描述客觀現(xiàn)象的最基本的形式。例如，舍去一切具體情景，行程問(wèn)題的基本模型是：路程=速度×?xí)r間(s=vt)，只不過(guò)在具體問(wèn)題解決時(shí)，需要對(duì)這個(gè)模型進(jìn)行一次構(gòu)建還是多次構(gòu)建的問(wèn)題。因此，數(shù)學(xué)模型有效地反映了思維的過(guò)程，是將思維過(guò)程用語(yǔ)言符號(hào)外化的結(jié)果。顯然，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解、把握與構(gòu)建的能力，在很大程度上反映了他的數(shù)學(xué)思維能力、數(shù)學(xué)觀念及意識(shí)。=2\*GB3②人們?cè)谝詳?shù)學(xué)方式研究具體問(wèn)題時(shí)，是通過(guò)分析、比較、判斷、推理等思維活動(dòng)，來(lái)探究、挖掘具體事物的本質(zhì)及關(guān)系的，而最終以符號(hào)、模型等方式將其間的規(guī)律揭示出來(lái)，使復(fù)雜的問(wèn)題本質(zhì)化、簡(jiǎn)潔化，甚至將其一般化，使某類問(wèn)題的解決有了共同的程序與方法。因此，可以說(shuō)，數(shù)學(xué)模型不僅反映了數(shù)學(xué)思維的過(guò)程，而且是高級(jí)的、高效的數(shù)學(xué)思維的反映。2建立數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的有效形式。=1\*GB3①數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與數(shù)學(xué)應(yīng)用之間的橋梁，建立和處理數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，就是將數(shù)學(xué)理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程。并且，建立模型更為重要的是，學(xué)生能體會(huì)到從實(shí)際情景中發(fā)展數(shù)學(xué)，獲得再創(chuàng)造數(shù)學(xué)的絕好機(jī)會(huì)，在建立模型，形成新的數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，學(xué)生能更加體會(huì)到數(shù)學(xué)與大自然和社會(huì)的天然聯(lián)系。因而，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情景中學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)應(yīng)該成為我們的一種共識(shí)，只有這樣，數(shù)學(xué)教學(xué)中的“問(wèn)題解決”才有了相應(yīng)的環(huán)境與氛圍。=2\*GB3②現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀認(rèn)為，數(shù)學(xué)具有科學(xué)方法論的屬性，數(shù)學(xué)思想方法是人們研究數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、解決問(wèn)題的重要策略。而建立數(shù)學(xué)模型，研究數(shù)學(xué)模型，正是問(wèn)題解決過(guò)程中的中心環(huán)節(jié)，是決定問(wèn)題解決程度如何的關(guān)鍵。當(dāng)年，瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉面對(duì)哥斯尼堡“七橋問(wèn)題”時(shí)，巧妙地將陸地看成點(diǎn)，將橋看成線，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線相連的數(shù)學(xué)一筆畫問(wèn)題，通過(guò)對(duì)所構(gòu)建的模型的研究，來(lái)最終解決問(wèn)題，正是這一過(guò)程的絕好例證。二、數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的基本原則1、簡(jiǎn)化性原則——現(xiàn)實(shí)世界的原型都是具有多因素、多變量、多層次的比較復(fù)雜的系統(tǒng)，對(duì)原型進(jìn)行一定的簡(jiǎn)化即抓住主要矛盾，數(shù)學(xué)模型應(yīng)比原型簡(jiǎn)化，數(shù)學(xué)模型自身也應(yīng)是“最簡(jiǎn)單”的。2、可推導(dǎo)原則——由數(shù)學(xué)模型的研究可以推導(dǎo)出一些確定的結(jié)果，如果建立的數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)上是不可推導(dǎo)的，得不到確定的可以應(yīng)用于原型的結(jié)果，這個(gè)數(shù)學(xué)模型就是無(wú)意義的。3、反映性原則——數(shù)學(xué)模型實(shí)際上是人對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的一種反映形式，因此數(shù)學(xué)模型和現(xiàn)實(shí)世界的原型就應(yīng)有一定的“相似性”，抓住與原型相似的數(shù)學(xué)表達(dá)式或數(shù)學(xué)理論就是建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵性技巧。三、數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的方法1、建立數(shù)學(xué)模型應(yīng)該讓學(xué)生大膽的去猜想，再在直觀的事例中進(jìn)行具體地分析。猜想是一種帶有一定直覺(jué)性的比較高級(jí)的思維方式，對(duì)于探索或發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，猜想是一種非常重要的思維方法。在教學(xué)生一些數(shù)學(xué)定理之前，我們不妨可以讓他們根據(jù)已有的知識(shí)大膽地去猜想一下這個(gè)定理。2、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型應(yīng)該讓學(xué)生在許多直觀或貼近生活的實(shí)例中進(jìn)行有效地綜合比較。綜合是指學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中將數(shù)學(xué)現(xiàn)象、數(shù)學(xué)實(shí)例的分析情況進(jìn)行整理組合，從而形成對(duì)這一類數(shù)學(xué)知識(shí)的總體認(rèn)識(shí)。比較是對(duì)有關(guān)的數(shù)學(xué)現(xiàn)象、數(shù)學(xué)實(shí)例，區(qū)別它們的相同之處和不同之處。數(shù)學(xué)中的比較是多方面的，包括多少與大小的比較，相同與不同的比較，結(jié)構(gòu)與關(guān)系的比較，定律與性質(zhì)的比較等。比較的目的是認(rèn)識(shí)事物的聯(lián)系與區(qū)別，明確彼此之間存在的同一性與相似性，一邊解釋其背后的共同模型。3、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型應(yīng)該讓學(xué)生從具體的實(shí)例中抽象出它們所具有的共性，再用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言或符號(hào)等進(jìn)行概括。抽象是從許多數(shù)學(xué)實(shí)例或數(shù)學(xué)現(xiàn)象中，發(fā)現(xiàn)其共同的本質(zhì)特點(diǎn)。而概括則是把抽象出來(lái)的共同點(diǎn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言或符號(hào)等形式進(jìn)行歸納和總結(jié)。4、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型一定要讓學(xué)生進(jìn)行充分地驗(yàn)證，得出結(jié)論之后再進(jìn)行有效的應(yīng)用。學(xué)生在初步得出結(jié)論時(shí)要給予足夠的空間讓學(xué)生進(jìn)行充分地驗(yàn)證，在驗(yàn)證的過(guò)程中可能會(huì)發(fā)現(xiàn)新的現(xiàn)象，并在解決新問(wèn)題的過(guò)程中，進(jìn)一步完善自己的猜想，最終發(fā)現(xiàn)規(guī)律得出結(jié)論。并運(yùn)用這個(gè)規(guī)律解決更多的實(shí)際問(wèn)題。這不僅是一個(gè)主動(dòng)學(xué)習(xí)的過(guò)程，更是發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)、創(chuàng)新學(xué)習(xí)的過(guò)程。5、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型應(yīng)當(dāng)以數(shù)學(xué)活動(dòng)為主要形式。由于數(shù)學(xué)思想方法不同于數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，不是一個(gè)定義、概念就能代替的。有其活動(dòng)形式和豐富的內(nèi)涵。因此，應(yīng)當(dāng)在多種形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)中教授數(shù)學(xué)思想方法。(1)問(wèn)題的生活實(shí)景——選擇恰當(dāng)?shù)沫h(huán)境背景與相關(guān)材料引起討論。(2)問(wèn)題的合理詮釋——選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)形式，重新進(jìn)行表述。(3)問(wèn)題的充分解決——展示數(shù)學(xué)思想方法形成的心理活動(dòng)過(guò)程，主要通過(guò)認(rèn)知對(duì)象或問(wèn)題解決來(lái)進(jìn)行。(4)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模式——形成認(rèn)知與思維的模式，使數(shù)學(xué)概念或模式游離于具體材料之外，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念（意識(shí)）的形成。6、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型應(yīng)當(dāng)融多種思維方式于一體。演示——概括的方法，同類比較——抽象的方法，直觀思維、形象思維、抽象思維、邏輯思維等都應(yīng)當(dāng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中不斷地出現(xiàn)，使得教學(xué)過(guò)程經(jīng)歷：直觀化——準(zhǔn)模型化——模型化的過(guò)程。數(shù)學(xué)模型化的思想與常見(jiàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)不同，它應(yīng)是：具體的生活實(shí)景——分析——抽象——數(shù)學(xué)描述——模型的建立——思想方法的形成——問(wèn)題解決（或認(rèn)識(shí)形成）——觀念（意識(shí)）形成——解決更多的實(shí)際問(wèn)題。四、小學(xué)數(shù)學(xué)中的基本模型：知識(shí)領(lǐng)域知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用舉例數(shù)與代數(shù)數(shù)的表示自然數(shù)列：0,1,2，….用數(shù)軸表示數(shù)數(shù)的運(yùn)算a+b=cC-a=b,c-a=ba×b=c(a≠0,b≠0)c÷a=b（a≠0）,c÷b=a（b≠0）方程a+b=c數(shù)量關(guān)系時(shí)間、速度和路程：s=vt數(shù)量、單價(jià)和總價(jià);a=np正比例關(guān)系;y/x=k反比例關(guān)系：xy=k用表格表示數(shù)量間的關(guān)系用圖像表示數(shù)量間的關(guān)系空間與圖像用字母表示公式三角形面積;s=1/2ab平行四邊形面積：S=ah梯形面積：s=1/2(a+b)h圓周長(zhǎng)：C=2πr圓面積：S=πr2長(zhǎng)方體面積：v=abc正方體體積：V=a2圓柱體積：v=Sh圓錐體積：v=1/3sh空間形式用圖表表示空間和平面結(jié)構(gòu)統(tǒng)計(jì)與概率統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表用統(tǒng)計(jì)圖表描述和分析各種信息可能性用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小模型思想在小學(xué)小數(shù)數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn)教材中的小數(shù)數(shù)學(xué)模型借助直觀模型和操作活動(dòng)，幫助學(xué)生理解小數(shù)的意義掌握小數(shù)加減法。認(rèn)識(shí)小數(shù)是學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)的又一次拓展，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，小數(shù)所表示的意義與他們的生活經(jīng)驗(yàn)有一定的距離，所以，為了讓學(xué)生真正理解小數(shù)的意義，教材提供了可供學(xué)生操作的素材。如“小數(shù)的意義”中，用直觀模型說(shuō)明小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)的關(guān)系。1利用將正方形切割成為“條，塊的模型”，幫助學(xué)生理解十進(jìn)分?jǐn)?shù)與小數(shù)的關(guān)系，用幾何模型表示小數(shù)。2借助計(jì)數(shù)器這個(gè)模型，介紹小數(shù)部分的數(shù)位以及數(shù)位之間的進(jìn)率，讓學(xué)生進(jìn)一步理解小數(shù)的意義，并練習(xí)小數(shù)的讀寫。3利用“數(shù)軸”這個(gè)數(shù)學(xué)模型進(jìn)一步理解小數(shù)的意義。4，利用“厘米、分米、米”之間是“十進(jìn)制”關(guān)系，以此建立數(shù)學(xué)模型，可以直接用分母是10或100的分?jǐn)?shù)或用小數(shù)表示，進(jìn)一步體會(huì)小數(shù)的意義。六，數(shù)學(xué)教學(xué)中一些運(yùn)用“模型”思想的實(shí)錄。1，利用“小木條”來(lái)構(gòu)建小數(shù)的意義。在小數(shù)的意義教學(xué)中，有很多教師應(yīng)用“分”這個(gè)概念，將一個(gè)實(shí)際的物體，平均分成幾份，將小數(shù)這個(gè)代數(shù)內(nèi)容幾何化，利用學(xué)生熟悉的“長(zhǎng)度”概念進(jìn)行形象化的教學(xué)。例如如下教學(xué)片段。教學(xué)片段師：我們先來(lái)思考一個(gè)問(wèn)題：用1米的木條去測(cè)6分米的木條，你有什么方法嗎你說(shuō)……，能把這根木條細(xì)化嗎生：把1米的木條平均分成10份，標(biāo)上刻度，每份是1分米。師：能用分?jǐn)?shù)表示嗎能用小數(shù)表示嗎生：能，1/10米，米教師根據(jù)學(xué)生的回答小結(jié)：米還可以用小數(shù)來(lái)表示就是米。因?yàn)?/10米還不夠1米，用米作單位不能寫“1”，得不到一個(gè)整數(shù)，所以我們?cè)谡麛?shù)部分寫上“0”，后面加上一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)后面寫上“1”，讀作“零點(diǎn)一”，表示1/10米。師：這下有辦法量6分米的木條了嗎表示什么生：有，米，表示十分之六。師：能在這把尺子找到其它的小數(shù)嗎？生：米、米、米……問(wèn)：這些分?jǐn)?shù)的分母是多少這些小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)右面有幾位是幾位小數(shù)（學(xué)生回答）師：真聰明，4分米至7分米之間用小數(shù)如何表示為什么生：米米米。師：米，4與7之間有三個(gè)刻度，是3分米，表示十分之三分米，用米表示。教師小結(jié)：把1米平均分成10份，這樣的一份或幾份表示十分之幾米，可以用像米、米等這些一位小數(shù)來(lái)表示。（板書：一位小數(shù)、十分之幾）2、構(gòu)建兩位小數(shù)的意義師：出示2號(hào)木條35厘米，能用這根1米木條去測(cè)量嗎怎么辦生：再把這根木條平均分成100份，標(biāo)上刻度，每份是1厘米。師：每份是幾厘米是幾分之幾米用分?jǐn)?shù)怎么表示師：能用分?jǐn)?shù)和小數(shù)表示嗎？生：1/100米，米。師：如果是13份呢是幾分米是幾分之幾米用分?jǐn)?shù)怎么表示生：13分米，13/100米，米。教師根據(jù)學(xué)生的交流小結(jié)：把1米平均分成100份，這樣的一份或者是幾份表示百分之幾米，可以用像、這種兩位小數(shù)來(lái)表示。（兩位小數(shù)、百分之幾）2利用“數(shù)位”這個(gè)數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行小數(shù)間比較的學(xué)習(xí)。在學(xué)生最初學(xué)習(xí)比較兩個(gè)數(shù)的大小，從最初的同數(shù)位比較大小，到不同數(shù)位比較大小，都是以“計(jì)數(shù)器”這個(gè)模具為學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。當(dāng)利用“計(jì)數(shù)器”來(lái)比較數(shù)的大小這個(gè)模具深深的印在了學(xué)生的頭腦之中，數(shù)位這個(gè)概念就深植學(xué)生的頭腦之中。而小數(shù)比較大小大多數(shù)教師也是以這個(gè)數(shù)位模型為基礎(chǔ)進(jìn)行教學(xué)。教學(xué)片段：師：根據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)，能說(shuō)說(shuō)對(duì)于小數(shù)應(yīng)該怎樣比較大小嗎？學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生可能會(huì)把整數(shù)的大小比較的方法搬到小數(shù)上，但整數(shù)畢竟跟小數(shù)有所不同，因此比較的方法也是有細(xì)微的差別的。這里旨在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)小數(shù)的大小比較的方法進(jìn)行猜測(cè)。師：用你們剛才的猜測(cè)，試著比較這兩個(gè)小數(shù)的大小。（>）師：你還能聯(lián)系實(shí)際去比較嗎（14元8角大于13元5角）師：誰(shuí)還能舉出一些小數(shù)來(lái)。（學(xué)生舉數(shù)，教師板書之）師：請(qǐng)你們?nèi)芜x兩個(gè)小數(shù)進(jìn)行比較，不但要比較出誰(shuí)大誰(shuí)小，還要跟同桌說(shuō)說(shuō)你比較的方法。設(shè)計(jì)意圖：先組織學(xué)生根據(jù)已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行猜測(cè)，再通過(guò)證明去驗(yàn)證猜測(cè)，最后讓學(xué)生自己舉小數(shù)進(jìn)行比較大小，整個(gè)環(huán)節(jié)不僅可以落實(shí)學(xué)生對(duì)兩個(gè)小數(shù)大小比較的知識(shí)建構(gòu)，還讓學(xué)生體驗(yàn)了從猜想到驗(yàn)證的學(xué)習(xí)過(guò)程，對(duì)其學(xué)習(xí)方法的形成具有一定的作用，同時(shí)讓學(xué)生自己舉出小數(shù)進(jìn)行比較，更具開(kāi)放性，學(xué)生情感的體驗(yàn)也是較好的。3.多個(gè)數(shù)的大小比較多媒體展示：上屆藝術(shù)節(jié)獨(dú)唱比賽得分情況師：藝術(shù)節(jié)快到了，在去年的藝術(shù)節(jié)上，我們學(xué)校的同學(xué)表現(xiàn)非常棒，我們來(lái)看看他們?cè)诳倹Q賽中的得分情況。姓名成績(jī)小明分小紅分小莉分小軍分師：你能幫老師給他們排出名次嗎誰(shuí)得了第一名（學(xué)生在練習(xí)紙上比較大小，并排序）學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生的排序可能會(huì)有多種方案，比如依次寫一個(gè)名次，再相應(yīng)的寫出選手的名字；按從小到大（從大到?。懗鲞x手的名字；給選手標(biāo)上序號(hào)，在把序號(hào)進(jìn)行排序......這里要充分鼓勵(lì)學(xué)生原創(chuàng)的符號(hào)表示方法，贊賞學(xué)生的獨(dú)創(chuàng)性符號(hào)。師：說(shuō)說(shuō)你的比較方法。（學(xué)生敘述，老師適時(shí)在黑板上板書：先比較整數(shù)部分，整數(shù)部分相同，就比較小數(shù)部分）師：剛才，同學(xué)們用自己的方法幫老師排出了他們的名次，有些同學(xué)的方法非常巧妙。如果要求從大到小排列，你會(huì)排嗎你會(huì)用什么符號(hào)呢學(xué)情預(yù)設(shè)：>>>設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生對(duì)于從大到小或從小到大已經(jīng)會(huì)采用“>”或“<”進(jìn)行表示，這里讓學(xué)生體會(huì)運(yùn)用符號(hào)的簡(jiǎn)便性，以培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)感。