2020高二下冊期中考試數(shù)學(xué)試題(理)有答案

第二學(xué)期其中考試試卷

高二數(shù)學(xué)理科第I卷一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1、計算復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)IA.1+2iB.—1+2iC.—1—2iD.1—2i2、函數(shù)y二x2—1的圖象上一點(1,0)處的切線的斜率為A.1B.2C.0D.-13、由①上行的對角線互相垂直；②菱形的對角線互相垂直；③正方形是菱形，寫出一個“三段論”形式的推理，則作為大前提、小前提和結(jié)論的分別為A.②①③B.③①②C.①②③D.②③①4、設(shè)f(x)=xInx,若x二3)，則x二00ln2A.e2B.eC.D.ln22f丘5、J2cosxdx等于0A.-込f丘5、J2cosxdx等于0A.-込2B.C.D.6、若f(x)=sina—cosx，則廣(a)等于A.sinaB.cosac.sina+cosa7、函數(shù)f(x)=(x—3)ex的單調(diào)區(qū)間是D.2sinaA.(-?2)B.(2,+s)C.(1,4)D.(0,3)8、設(shè)函數(shù)f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y=f，(x)y=f(x)的圖象最有可能的是9、函數(shù)y=x3—3x2—9x(0<x<4)有A.極大值5,極小值-27B.極大值5,極小值-11C.極大值5,無極小值D.極小值-27，無極大值10、已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)=2f(2—x)+ex—1+x2,廣(1)=A.2B.3C.-1D.1第II卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卷的橫線上。.11、核黃素f(x)=sin2x，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為廣(X)=12、復(fù)數(shù)z=1-2i,|Z=13、在AABC中，不等式++1>-成立，在四邊形ABCD中，不等式1+丄+丄+丄>16成立;ABC兀ABCD2兀TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1111125在五邊形ABCDE中，不等式++++>成立，\o"CurrentDocument"ABCDE3兀猜想在n邊形AALA中，有不等式成立。12n__14、把復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)記作z,已知(1+i)z=1-i，則z=15、函數(shù)y=X3-x2+x-2圖象在于y軸交點處的切線與兩坐標軸圍成三角形的面積為三、解答題：本大題共5小題，滿分50分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟16、(本小題滿分10分)當(dāng)實數(shù)m取何值時，在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z=(m2-4m)+(m2-m-6)i對應(yīng)點滿足下列條件？(1)在第四象限；(2)在直線x一y+3=0上。17、(本小題滿分10分)用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+22+L+2n-1=2n—1(ngN*)18、(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+11求函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間；討論函數(shù)f(x)的極大值或極小值，如有寫出極值。19、(本小題滿分10分)設(shè)函數(shù)f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2時取得極值。求a,b的值；對于任意的xg[°，3]，求f(x)的最值。20、(本小題滿分10分)已知x=2是函數(shù)f(x)=(x2+ax—2a—30的一個極值點(e=2.718L)求實數(shù)a的值；求函數(shù)f(x)在xg[|,3]的最大值和最小值。四、附加題(共3道題，共30分)21、(本小題滿分10分)11125用數(shù)學(xué)歸納法證明++L+>對任意正整數(shù)n成立。n+1n+23n+124

22、(本小題滿分10分)已知二次函數(shù)f(x)滿足：①在x二1時有極值；②圖象過點(0,-3)，且在該點處的切線與直線2x+y=0平行。(1)求f(x)的解析式；(2)求函數(shù)g(x)=f(x2)的單調(diào)遞增區(qū)間。23、(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)=ln(ax+1)+—,x>0，其中a>01+x若f(x)在x二1處取得極值，求a的值；求f(x)的單調(diào)區(qū)間。高二數(shù)學(xué)(理)選擇題題號12345678910答案CBAACABCDD填空題14.i11.2cos2x12.v'513.—+丄+A+—>一———,(n>2且neN14.iAAA(n-2加12n15.2三．解答題16解：復(fù)數(shù)z=(m2—4m)+(m2—m—6)i,對應(yīng)點的坐標為Z(m2—4m,m2—m—6).(i)點z在第四象限，貝y[m2-4m>0fm<0或m>4{，解得彳ccm2-m-6<0I-2<m<3TOC\o"1-5"\h\z???—2〈m〈0...5分仃I)點Z在直線x—y+3=0上，則(m2—4m)—(m2—m—6)+3=0,即一3m+9=0,?：m=3.10分17.①當(dāng)n=1時，左邊=1,右邊二21-1=1,等式成立。...2分②假設(shè)當(dāng)n二k時，等式成立，即1+2+22+…2k-1=2k—1.4分則當(dāng)n=k+1時，1+2+22+—2k-1+2k=2k—1+2k=2k+1—1.8分所以，當(dāng)n=k+1時等式成立。2分由此可知，對任何neN*，等式都成立。.10分2分1&解：令八x)=0，得x1=-1，x1=3

x變化時，f(x)的符號變化情況及f(x)的增減性如下表所示:x(—8,—1)-1(—1,3)3(3,+8)f'(x)+0—0+f(x)增極大值f(—1)減極小值f⑶增……………..6分由表可得函數(shù)的遞減區(qū)間為(—1,3)..8分由表可得，當(dāng)x=—1時，函數(shù)有極大值f(—1)=16；當(dāng)x=3時，函數(shù)有極小值f(3)=—16...10分19.解：(I)f'(x)二6x2+6ax+3b因為函數(shù)f(x)在x=1及x=2取得極值，則有f⑴=0，廣⑵=0.6+6a+3b二0,24+12a+3b二0.解得a=—3，b=4..4分(II)由(I)可知,f(x)二2x3—9x2+12x+8cf'(x)=6x2一18x+12=6(x一1)(x一2).f'(x)=0解得x=1,x=2,.6分xb.i)1(1,2)2(2,3〕八x)+0—0+f(x)增極大值減極小值增……………8分最小值為f(0)=8c,最大值為f(3)=9+8c10分20解：(I)由f(x)=(x2+ax一2a一3)ex可得f'(x)=(2x+a)ex+(x2+ax一2a一3)ex=[x2+(2+a)x一a一3]ex………..4分???x=2是函數(shù)f(x)的一個極值點，???f'⑵=0(a+5)e2=0，解得a=—5..6分(II)由f(x)=(x—2)(x—1)ex>0，得f(x)在(—8,1)遞增，在(2,+8)遞增，由f(x)<0，得f(x)在在(1,2)遞減3???f(2)=e2是f(x)在xg[-,3]的最小值；.8分2f(|)=4et，f⑶=e3?f(3)—f(|)=e3—4e-=4e2(4ef2—7)>0,f(3)>f(|)3???f(x)在xg[-,3]的最大值是f(3)=e3.10分2附加題1126251證明：(1)當(dāng)n=1時，左二++=>，不等式成立.2分342424

(II)g(x)二f(X2)=X4—2x2—3,g(x)=4x3—4x=4x(x—1)(x+1).列表:x(y,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+s)f(x)一0+0一0+f(x)//由表可得：函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0),(1,+R)..10分a2ax2+a一23解：(I)fxax+1(1+x)2(ax+1)(1+x)2‘(2)假設(shè)當(dāng)n=k時，不等式成立，即-+-—+L+->25k+(2)假設(shè)當(dāng)n=k時，不等式成立，即-+-—+L+->25k+1k+23k+124貝9當(dāng)n=k+1時，11

1

(k+1)+1(k+1)+213(k+1)+1—+—+L+-+-+-+—k+1k+23k+13k+23k+33k+425>+24112+_3k+23k+43(k+1)因為1+1=6(k±^>-3k+23k+49k2+18k+83(k+1)116(k+1)2所以+=>3k+23k+49k2+18k+83(k+1)112所以+_>03k+23k+43(k+1)所以當(dāng)n=k+1時不等式也成立.10分f'(1)=0,2a+b=0,'由題設(shè)可得：<f'(0)=_2,即<b=_2,解得<f(0)=_3,c=_3.所以f(x)=X2-2x-3.由(1)(2)知，對一切正整數(shù)n，都有丄+丄+L+-^>25n+1n+23n+1242解:(I)設(shè)f(x)=ax2+bx+c，則f(x)=2ax+b.a=1,b=_2,c=_3..4分???f(x)在x=1處取得極值，???f'(1)=0,即agL2