大一下學(xué)期-微積分第八章

上學(xué)期內(nèi)容:一元函數(shù)的微分，積分，微分方程下學(xué)期內(nèi)容多元函數(shù)的微分，積分；無窮級(jí)數(shù)；第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用定積分的應(yīng)用，二、

二維平面R2與n維空間Rn的幾種點(diǎn)集一、

多元函數(shù)的概念四、

多元函數(shù)的連續(xù)性三、

多元函數(shù)的極限第一節(jié)

多元函數(shù)的基本概念例圓柱體的體積V和它的底半徑r,高h(yuǎn)之間的稱

V為兩個(gè)變量r，h的函數(shù).關(guān)系是一、多元函數(shù)的概念本章的學(xué)習(xí)方法:和一元函數(shù)對(duì)比學(xué)習(xí),注意其相同與不同顯然,的變化導(dǎo)致的變化.因變量自變量一元函數(shù)對(duì)應(yīng)法則使算式有意義的一切實(shí)數(shù)的數(shù)集稱為定義域一切函數(shù)值的數(shù)集稱為值域回憶則稱z是x,y的二元函數(shù).定義設(shè)變量z與變量x,y之間有一個(gè)對(duì)應(yīng)法則按著這個(gè)法則有確定的z值與之對(duì)應(yīng),記為z因變量x,y自變量對(duì)應(yīng)法則使算式有意義的一切(x,y)組成的集合稱為定義域,一切函數(shù)值的數(shù)集稱為值域.記為D,思考:

三元函數(shù)的定義怎么描述?二元函數(shù)二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為函數(shù)值記為或(3)類似,可定義n元函數(shù).多元函數(shù).(2)取定一個(gè)點(diǎn)說明(1)任意一對(duì)(x,y),對(duì)應(yīng)平面上的一點(diǎn)P,所以二元函數(shù)也可記為與其對(duì)應(yīng)的二元函數(shù)二元(隱)函數(shù)三元函數(shù)解例一元函數(shù)的圖形一元函數(shù)的圖形是平面上的一條曲線回憶

二元函數(shù)的圖形是空間的一張曲面.二元函數(shù)的圖形例上半球面下半個(gè)圓錐面2D從一元函數(shù)到二元函數(shù),在內(nèi)容和方法上,都會(huì)出現(xiàn)一些實(shí)質(zhì)性的差別,而多元函數(shù)之間差異不大.因此研究多元函數(shù)時(shí),將以二元函數(shù)為主.說明例求并畫出定義域的圖形.的定義域,解一元函數(shù)其定義域是數(shù)軸上的點(diǎn)集(通常是區(qū)間)二元函數(shù)其定義域是平面上的點(diǎn)集(通常是平面區(qū)域)三元函數(shù)其定義域是空間上的點(diǎn)集(通常是空間區(qū)域)一維數(shù)軸上的鄰域:二、

二維平面R2與n維空間Rn的幾種點(diǎn)集回憶（1）平面上的鄰域（2）區(qū)域去心鄰域例如，開集連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域．區(qū)域例如，有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域．例如，整個(gè)平面區(qū)域記為一元函數(shù)極限的直觀定義無限接近某一常數(shù)

A.記作如果當(dāng)x無限靠近時(shí)

,三、

多元函數(shù)的極限回憶二元函數(shù)極限的直觀定義無限接近某一常數(shù)

A.記作如果當(dāng)P無限靠近

時(shí)

,或或一元函數(shù)極限的嚴(yán)格定義回憶記作定義有成立.的極限，

設(shè)二元函數(shù)P0(x0,y0)是D的聚點(diǎn).的定義域?yàn)镈,如果存在常數(shù)

A,或或或二元函數(shù)極限的嚴(yán)格定義說明Oxy(2)P(x,y)趨向于P0(x0,y0)的路徑也有多種多樣.方向有任意多個(gè),Oxy（3）二元函數(shù)的極限有與一元函數(shù)的極限類似的

四則運(yùn)算，夾逼準(zhǔn)則，等價(jià)無窮小替換，無窮小乘有界量為無窮小等結(jié)論，例

求極限

解但不能用洛必達(dá)法則.原式確定極限不存在的方法(1)此時(shí)即可斷言極限不存在。找兩種不同趨近方式,但兩者不相等,存在,證：例

所以極限不存在.取判斷極限

是否存在？解其值隨k的不同而變化，則可斷言極限不存在.若極限值與

k有關(guān),沿與k有關(guān)的路徑說明例

證明

不存在．取錯(cuò)

所以極限不存在.取證其值隨k的不同而變化，練習(xí)

證明

不存在．則一元函數(shù)的連續(xù)性則稱連續(xù).否則稱間斷.四、

多元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性則稱連續(xù).否則稱間斷.回憶可用于求二元函數(shù)極限例

討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．取其值隨k的不同而變化，即(0,0)是間斷點(diǎn)．如果函數(shù)

f(x,y)在開區(qū)域(閉區(qū)域)D上的每一點(diǎn)連續(xù),則稱函數(shù)f(x,y)在D上連續(xù),或稱函數(shù)f(x,y)是

D上的連續(xù)函數(shù).積、商（分母不為零）及復(fù)合仍是連續(xù)的.同一元函數(shù)一樣,多元連續(xù)函數(shù)的和、差、稱為多元初等函數(shù),由多元多項(xiàng)式及一元基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合并能用一個(gè)式子表示的函數(shù)多元初等函數(shù)：例一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．定義區(qū)域：是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．解易見，解有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)且能取得它的最大值和最小值．(1)最大值和最小值定理(2)介值定理在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù),在D上有界，在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù),必取得介于最大值和最小值之間的任何值

．作業(yè)