勾股定理的探究

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決學(xué)習(xí)——勾股定理能夠被學(xué)生探究出來(lái)嗎倘塘鎮(zhèn)一中朱勛照（1）選題背景勾股定理是數(shù)學(xué)教改的晴雨表：上一世紀(jì)五六十年代數(shù)學(xué)課程中的嚴(yán)格論證、后來(lái)提倡的“量一量、算一算”、之后的“告訴結(jié)論”、“做中學(xué)”，直到現(xiàn)在的探究式等。數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算、數(shù)學(xué)論證乃至數(shù)學(xué)決策等三大能力，勾股定理教學(xué)正是一個(gè)恰當(dāng)?shù)睦印Ｉ踔劣袛?shù)學(xué)家說(shuō)：如果沒(méi)有時(shí)間看一個(gè)國(guó)家的數(shù)學(xué)教學(xué)，只要看他們勾股定理是如何教學(xué)的，就可略知一二。（2）回顧原教學(xué)行為我國(guó)以往教學(xué)中，重點(diǎn)是對(duì)給出的勾股定理進(jìn)行嚴(yán)格的形式化證明，也即采用歐幾里德的等積變形推導(dǎo)進(jìn)行證明。在這個(gè)證明中，首先要至少做出三條輔助線、然后找到三對(duì)圖形的面積等量關(guān)系做出推導(dǎo)，其構(gòu)思的精妙令人折服，可是技巧難度太高。從上世紀(jì)90年代一直到近來(lái)的勾股定理教學(xué)中，教師試圖設(shè)置一個(gè)動(dòng)手情境，讓學(xué)生“做中學(xué)”。在提出猜想階段，通過(guò)學(xué)生對(duì)直角三角形三邊的測(cè)量，得出一組數(shù)據(jù)，然后進(jìn)行“猜想”——這叫做“量一量、算一算”；但是這樣“量、算”的辦法，既受到數(shù)據(jù)測(cè)量精確性的制約、又局限于數(shù)據(jù)的數(shù)量，學(xué)生得不出a2+b2=c2。在證明猜想階段，通過(guò)學(xué)生對(duì)兩個(gè)直角三角形的裁剪，試圖拼湊成一個(gè)大的正方形——這叫做“剪一剪、拼一拼”；但是，教師頭腦中設(shè)計(jì)的“剪、拼”實(shí)驗(yàn)，在實(shí)際活動(dòng)中并不能為學(xué)生所操作、實(shí)現(xiàn)。于是，“量一量、算一算”的辦法演化為教師直接提供勾股數(shù)組，讓學(xué)生進(jìn)行“猜想”；“剪一剪、拼一拼”的證明方法，被簡(jiǎn)化為等腰直角三角形的“鋪地磚”。這樣以來(lái)，教師提供的排列整齊的勾股數(shù)組，直接向?qū)W生暗示著把數(shù)字換為字母的結(jié)論；而“鋪地磚”中等腰直角三角形的特殊性，則使“證明”失去了一般性的意義。在我們視野所及的范圍內(nèi)，多數(shù)教師仍基本采用講解的方式，即使有個(gè)別教師力圖實(shí)施探究性教學(xué)，也常常停留于形式，缺少實(shí)質(zhì)意義上的探究。（3）新教學(xué)行為階段在查閱了TIMSS重復(fù)錄像研究項(xiàng)目提供的12個(gè)勾股定理教學(xué)錄像后，沒(méi)有獲得滿意的結(jié)果。于是我們嘗試新的教學(xué)設(shè)計(jì)，要點(diǎn)是：①目標(biāo)在于體現(xiàn)“猜想—證明”這種數(shù)學(xué)思想方法的本原性意義。②探究需要“鋪墊”（有層次推進(jìn)的策略）。就像學(xué)游泳，不能讓所有學(xué)生都直接跳到海里，要有一定的背景知識(shí)和帶關(guān)鍵性的技能、策略作鋪墊。鋪墊也稱“腳手架”，為學(xué)生提供一種教學(xué)協(xié)助，幫助學(xué)生完成在現(xiàn)有能力下向高認(rèn)知學(xué)習(xí)任務(wù)的難度攀升。情境鋪墊出猜想首先，教師提問(wèn)“直角三角形三邊有什么大小關(guān)系？”使學(xué)生注意力集中于三邊關(guān)系：a、b<c<a+b。教師進(jìn)而提問(wèn)“平方上面的式子會(huì)怎么樣”？得出a2、b2<c2<a2+2ab+b2，并指出a2、b2、c2的幾何意義。然后，教師做了鋪墊：在方格紙內(nèi)斜放一個(gè)正方形ABCD，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為單位1，怎樣計(jì)算正方形ABCD的面積？借助橫平豎直的方格背景，學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以用割補(bǔ)法求得斜放正方形的面積。接著，教師呈現(xiàn)工作單上的小方格背景上的圖形，要求學(xué)生通過(guò)計(jì)算、填數(shù)據(jù)表等小組活動(dòng)來(lái)研究直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系。=1\*GB3=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④圖小方格背景上的圖形面積計(jì)算①②③④…a214916b24916252ab4122440c25132541注：數(shù)據(jù)是后來(lái)填上去的在計(jì)算過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)數(shù)單位小方格的辦法，可以獨(dú)立地順利計(jì)算出a2、2ab、b2，對(duì)于c2則無(wú)法求出；教師鼓勵(lì)學(xué)生小組內(nèi)部討論c2的計(jì)算辦法，則可以借助前面計(jì)算斜放正方形面積鋪墊的方法求出。反駁與證明的過(guò)程圖學(xué)生的發(fā)現(xiàn)學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)表提出了很多猜想，尤其是2ab+1=c2，這是數(shù)學(xué)專業(yè)出身的教師從來(lái)沒(méi)有學(xué)過(guò)的“定理”。它是錯(cuò)誤的嗎？可是，數(shù)據(jù)表中的每組數(shù)據(jù)的驗(yàn)證都表明它是正確的。那么，也許學(xué)生真的發(fā)現(xiàn)了一個(gè)“定理”？圖學(xué)生的發(fā)現(xiàn)T：哦，王**，你來(lái)說(shuō)說(shuō)看。S1：老師我做過(guò)a=2，b=4的例子，這時(shí)2ab=16，而c2=20，所以c2≠2ab+1。T：請(qǐng)坐。王**同學(xué)用具體的舉例來(lái)“反駁”，看來(lái)很有說(shuō)服力的，看來(lái)c2=2ab+1這一結(jié)論不成立。哦，還有，你還有話要說(shuō)？S2：老師，我剛才通過(guò)例子得出，當(dāng)a與b差是1的時(shí)候，2ab+1=c2這個(gè)結(jié)論還是成立的。T：請(qǐng)坐。這個(gè)想法還是有道理的，看來(lái)c2=2ab+1是一個(gè)有條件的結(jié)論。好，下面我們?cè)賮?lái)看一下c2=a2+b2呢？你來(lái)說(shuō)說(shuō)看！S3：這個(gè)結(jié)論對(duì)，對(duì)于前面已舉過(guò)的圖例來(lái)說(shuō)都是成立的，但是我想，如果它舉例子，即使100個(gè)例子都是成立，但是如果到了101個(gè)例子，它不成立了呢？如果要知道它是一個(gè)定理，就是要知道它所有的例子都是成立，才是定理，只要有1個(gè)例子不成立還是個(gè)有條件的結(jié)論。T：請(qǐng)坐，看來(lái)a2+b2=c2是否是個(gè)定理,光靠幾個(gè)例子說(shuō)明是不夠的,那么我們應(yīng)該怎么辦呢?S眾：證——明——這段師生對(duì)話體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中反駁與證明的思想方法。在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，對(duì)于一個(gè)假命題，只要舉出一個(gè)反例就可以把它反駁掉；但對(duì)于一個(gè)可能為真的命題，無(wú)論多少個(gè)支持它的正例都無(wú)法使人信服，只是增加了這個(gè)命題正確的可能性（合情推理）。所以，對(duì)于一個(gè)可能為真的命題就必須進(jìn)行一般化的證明——這反映了“為什么要證明”的必要性。這段對(duì)話，它正好反映了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，從數(shù)據(jù)歸納出一些猜想、然后通過(guò)反駁與證明，直到得出一個(gè)定理的這樣一個(gè)深層次思維過(guò)程，它反映了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)。拆除鋪墊引導(dǎo)論證通過(guò)反駁與證明的對(duì)話，學(xué)生體驗(yàn)到了進(jìn)行證明的必要性。把圖中的小方格背景撤去，并且隱去a、b的具體數(shù)值，在一般的直角三角形中，學(xué)生順利地證明了a2+b2=c2的正確性。（4）學(xué)生后續(xù)活動(dòng)做擴(kuò)充為了檢驗(yàn)這種探究發(fā)現(xiàn)的思想（數(shù)據(jù)——觀察——猜想——證明）能否產(chǎn)生正遷移，以及學(xué)生的一般探究知識(shí)的能力對(duì)于問(wèn)題解決的能力影響，我們布置三個(gè)方面的課外活動(dòng)：①用“數(shù)據(jù)表出猜想”的辦法探索格點(diǎn)多邊形面積與內(nèi)點(diǎn)及邊點(diǎn)的關(guān)系（數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用）；②上網(wǎng)學(xué)習(xí)勾股定理的史料與多種證明（擴(kuò)充視野）；③收集、編擬勾股定理的應(yīng)用題（發(fā)展解題能力）。這里不再展開(kāi)。（5）課堂價(jià)值取向與行為類型的變化改進(jìn)前后課的價(jià)值取向可以從課堂行為結(jié)構(gòu)的變化