例說(shuō)常用三角恒等變換技巧

例說(shuō)常用三角恒等變換技巧【摘要】解答三角函數(shù)問(wèn)題，幾乎都要通過(guò)恒等變換將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將隱性問(wèn)題明朗化。本文結(jié)合三角函數(shù)問(wèn)題中常見(jiàn)的“角的差異、函數(shù)名的差異和運(yùn)算種類(lèi)的差異”等特點(diǎn)，從“角變換技巧”、“名變換技巧”、“常數(shù)變換技巧”、“邊角互化技巧”、“升降冪變換技巧”、“公式變用技巧”、“輔助角變換技巧”、“換元變換技巧”、“萬(wàn)能置換技巧”九個(gè)方面解讀三角恒等變換的常用技巧。【關(guān)鍵詞】三角公式恒等變換技巧解答三角函數(shù)問(wèn)題，幾乎都要通過(guò)恒等變換將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將隱性問(wèn)題明朗化。三角恒等變換的公式很多，主要有“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”、“誘導(dǎo)公式”、“和、差、倍、半角公式”、“輔助角公式（化一公式）”、“萬(wàn)能置換公式”等，這些公式間一般都存在三種差異，如角的差異、函數(shù)名的差異和運(yùn)算種類(lèi)的差異，只有靈活有序地整合使用這些公式，消除差異、化異為同，才能得心應(yīng)手地解決問(wèn)題，這是三角問(wèn)題的特點(diǎn)，也是三角問(wèn)題'難得高分”的根本所在。本文從九個(gè)方面解讀三角恒等變換的常用技巧?！敖亲儞Q”技巧角變換的基本思想是，觀察發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中出現(xiàn)的角之間的數(shù)量關(guān)系，把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”，然后運(yùn)用相應(yīng)的公式求解。一一，（兀）例1已知cosx+丁"4）3兀7一一，（兀）例1已知cosx+丁"4）441-tanx注意到x=【分析】考慮到“已知角”是x+；，而“未知角”是x和2x4可直接運(yùn)用相關(guān)公式求出sinx和cosx。注意到x=sinx=sin「r丸）sinx=sin「r丸）丸r丸）丸r兀）x+———=sinx+—cos—一cosx+—k4)4k4)4k4)?兀

sin—=410從而cosx=-10，tanx=72sinxcosx+2sin2x原式=i-tanx2875■37xV—兀，4兀所以兀vx+-4V2兀，為丁14Vr兀）3…3兀兀c.r兀)4x+—=—>0，所以—Vx+—V2兀，sinx+—=——k4)524k4)5【簡(jiǎn)解】又因?yàn)閏os2【反思】（1）若先計(jì)算出cosx=-10，則在計(jì)算sinx時(shí)，要注意符號(hào)的選?。唬?）本題的另一種自然的思路是，從已知出發(fā)，用和角公式展開(kāi)，結(jié)合“平方關(guān)系”通過(guò)解二元二次方程組求出sinx和cosx.但很繁瑣，易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤；（3）本題也可由一/兀、兀2x=2—+x——，運(yùn)用誘導(dǎo)公式和倍角公式求出sin2x。k4）2

已知tan（以+。）=Xtan?—。），其中人。1,求證:sin2以人+1sin2。人一1【分析】所給條件中出現(xiàn)的'已知角”是以+。與以-。，涉及的“未知角”是&與2。，將三個(gè)角比較分析發(fā)現(xiàn)2以=（以+。）+（以一。），2。=（以+。）一（以一。）sin2以人+1sin2。人一1m、sin2asin[G+p）+（a—p）]【間證】si頑=sin[G+P）—（a—P）]sin（以+。）cos（以一。）+cos（以+。）sin（以一。）sin（以+。）cos（以一。）一cos（以+。）sin（以一。）tan（以+。）+tan（a—。）人tan（a—。）+tan（a—。）人+1tan（a+。）一tan（a—。）人tan（a—。）一tan（a—。）人一1【反思】（1）以上除了用到了關(guān)鍵的角變換技巧以外，還用到了“弦化切”技巧；（2）本題也可由已知直接求出tana與tan。的關(guān)系，但與目標(biāo)相差甚遠(yuǎn)，一是函數(shù)名稱(chēng)不同，二是角不同，所以較為困難；（3）善于發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的角與已知條件的角的聯(lián)系，是有效進(jìn)行角變換的前提。常用的角變換關(guān)系還有：以=（!+。）-。，以=（!-。）+。，2以+。=2（a+。）一。，2以一。=2（a一。）+。，生+以=生一（生一以），75°=45。+30°424等.“名變換”技巧名變換是為了減少函數(shù)名稱(chēng)或統(tǒng)一函數(shù)而實(shí)施的變換，需要進(jìn)行名變換的問(wèn)題常常有明顯的特征，如已知條件中弦、切交互呈現(xiàn)時(shí)，最常見(jiàn)的做法是切弦互化”，但實(shí)際上，誘導(dǎo)公式、倍角公式和萬(wàn)能置換公式，平方關(guān)系也能進(jìn)行名變換。例3已知向量a=（1—tanx,1），b=（1+sin2x+cos2x,0），求f（x）=a-b的定義域和值域;【分析】易知f（x）=（1—tanx）（1+sin2x+cos2x），這是一個(gè)“切弦共存”且“單、倍角共在”的式子，因此既要通過(guò)“切化弦”減少函數(shù)名稱(chēng)，又要用倍角公式來(lái)統(tǒng)一角，使函數(shù)式更簡(jiǎn)明?！竞?jiǎn)解】f（x）=（1一tanx）（1+sin2x+cos2x）一s「nx）1+2sinxcosx+2cos2x一1）cosx）=2（cosx一sinx）Gosx+sinx）

=2cos2x由cosx。0得，x豐k兀+：,keZ,2cos2x。―2所以，f（x）=2cos2x.的定義域是｛x|x。k兀+：,keZ"值域是（—2,2】.【反思】本題也可以利用萬(wàn)能置換公式先進(jìn)行“弦化切”，變形后再進(jìn)行“切化弦”求解.sin以一cos以，sinB，…，例4已知以,P都是銳角，且tanP=，求一的值。sin以+cos以sin以一cos以【分析】已知條件中，等式的右邊是分式，符合和差解的正切公式特征，可考慮“弦化切”，另一方面，若是“切化弦”，則很快出現(xiàn)待求式，與目標(biāo)很近.TOC\o"1-5"\h\zsinaA?！竞?jiǎn)解1】顯然cosa豐0時(shí)，一1tana一tan/、tanp=cosa=J=tanla—-|sina__丸I4}+11+tana【簡(jiǎn)解1】顯然cosa豐0時(shí)，因?yàn)閍,P都是銳角，所以。=以一：4snOSLry^J2sma——"4)sinP_cosP

sina—cosasina+cosacosPsinP設(shè)==A，sina—cosasina+cosasinPsina—cossinP_cosP

sina—cosasina+cosacosPsinP設(shè)==A，sina—cosasina+cosasinP所以，2A2=1，A=項(xiàng)，即snOMosa2-【反思】簡(jiǎn)解1說(shuō)明當(dāng)分子分母都是同角的正弦、余弦的齊次式時(shí)，很容易“弦化切”;簡(jiǎn)解2很巧妙，其基本思想是整體換元后利用平方關(guān)系消元.“常數(shù)變換”技巧在三角恒等變形過(guò)程中，有時(shí)需將問(wèn)題中的常數(shù)寫(xiě)成某個(gè)三角函數(shù)值或式，以利于完善式子結(jié)構(gòu)，運(yùn)用相關(guān)公式求解，如1=sin2x+cos2x，1=tan45。，<3=tan；等.—sin6x—cos6x3.;c例5（1）求證：——:=八；（2）化簡(jiǎn)：sin2x+（3cos2x.1—sin4x—cos4x2【分析】第（1）小題運(yùn)用1=（in2x+cos2x）和1=（in2x+cos2x）把分子、分母都變成齊次式后進(jìn)行轉(zhuǎn)化；第（2）小題實(shí)際上是把同一個(gè)角的正弦、余弦的代數(shù)和化為熟悉的y=Asin（K）x+中）的形式，有利于系統(tǒng)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì).

【簡(jiǎn)解】（1）左邊=(sin2x+cos2x)3-sin6x-cos6x

(sin2x+cos2x)2-sin4x-【簡(jiǎn)解】（1）左邊=3sin2xcos2x(sin2x+cos2x)_3TOC\o"1-5"\h\z2sin2xcos2x2兀(2)原式=sin2x+tan—cos2x=2sinf2x+%'I3Jsin—sin2xcos—+cos2xsin—=sin2x=2sinf2x+%'I3J——cos—cos—3【反思】“1”的變換應(yīng)用是很多的，如萬(wàn)能置換公式的推導(dǎo)，實(shí)際上是利用了1=sin2x+cos2x把整式化成分式后進(jìn)行的，又如例4中，也是利用了1=tan45。，把分式變成了整式.“邊角互化”技巧解三角形時(shí)，邊角交互呈現(xiàn)，用正、余弦定理把復(fù)雜的邊角關(guān)系或統(tǒng)一成邊，運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算方法求解，或統(tǒng)一成角，運(yùn)用三角變換求解.例6在AABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（1）求角A的大小；（2）若sinB+sinC=1，證明AABC是等腰三角形.【分析】本題的條件集三角形的六元素于一身，看似復(fù)雜，但等式是關(guān)于三邊長(zhǎng)和三個(gè)角的正弦的齊次式，所以可用正弦定理把“角”化為邊或把邊化為“角”來(lái)求解?！竞?jiǎn)解】（1）（角化邊）由正弦定理一土=一烏=一上得，sinAsinBsinC2a2=（2b+c）b+（2c+b）c，整理得，a2=b2+c2+bc，b2+c2一a212—所以cosA=2bc=~2'因?yàn)?"<—，所以A=T-（2）法一：（邊化角）由已知和正弦定理得，2sin2A=(2sinB+sinC)sinB+(2sinC+sinB)sinC即2sin2A=2(sinB+sinC)2-2sinBsinC，從而sinBsinC=—，4又sinB+sinC=1，所以sinB=sinC=—2所以B=C，AABC是等腰三角形.法二：由（1）知B+C=—3，C=—3—8，代入sinB+sinC=1得，

._J3_1._一."兀_\一兀_兀sinB+—cosB一一sinB=1,所以sin—+B=1,一+B=一，213J32所以B=T，C=：,AABC是等腰三角形.66【反思】第(1)小題“化角為邊”后，把已知條件轉(zhuǎn)化為邊的二次齊次式，符合余弦定理的結(jié)構(gòu)，第(2)小題的法一之所以“化邊為角”，是因?yàn)椴灰装褩l件sinB+sinC=1化為邊的關(guān)系，而把條件2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系卻很容易；法二的基本思路是消元后統(tǒng)一角，再利用“化一公式”簡(jiǎn)化方程.“升降幕變換”技巧當(dāng)所給條件出現(xiàn)根式時(shí)，常用升冪公式去根號(hào)，當(dāng)所給條件出現(xiàn)正、余弦的平方時(shí)，常用“降冪”技巧，常見(jiàn)的公式有：1土sinx=sinX土cosX，1+cosx=2cos2x，p22j21-cosx=2sin2X，可以看出，從左至右是“冪升角變半”，而從右至左則是冪降角變倍”例7化簡(jiǎn)：、：1+sin6+、：1-sin6【分析】含有根號(hào)，需“升冪”去根號(hào).It【簡(jiǎn)解】原式=t'sin23+cos23+2sin3cos3+v.sin23+cos23-2sin3cos3〃,3兀因?yàn)?|sin3+cos3+|sin3-cos3|——<3〈兀，所以sin3+cos3=^2sin3+二<0，sin3-cos3〃,3兀因?yàn)樗?，原?-(sin2+cos3)+(sin3-cos3)=-2cos3.求函數(shù)f(x)=2sin2->/3cos2x，x求函數(shù)f(x)=2sin2【分析】函數(shù)式中第一項(xiàng)是正弦的平方，若“降冪”后“角變倍”與第二項(xiàng)的角一致..-*3cos2x=1+sin2x-<3cos2x一(兀一、【間解】?f(x)=1―cos—+2xk2J又?xG[n'?]，nw2x一nw藉，即2w1+2sin(2x—?]w3，

-*3cos2x=1+sin2x-<3cos2x???f(x)m疽3,f(x)min=2.

【反思】以上兩例表明，“升降冪技巧”僅僅是解題過(guò)程中的一個(gè)關(guān)鍵步驟，只有有效地整合各種技巧與方法才能順利地解題。如例7中用到了常數(shù)“變換技巧”，例8中用到了“輔助角”變換技巧.“公式變用”技巧sin2以sin2以幾乎所有公式都能變形用或逆向用，如sin以=，cos以=不2cos以2sin以tan以土tanP=tan（a±P）（+tan以tan。）等，實(shí)際上，“常數(shù)變換”技巧與“升降冪”技巧等也是一種公式變用或逆用技巧.例9求值：（1）cos20°cos40°cos60°cos80°；（2）tan70?！猼an10?！?tan70。tan10。?！痉治觥康冢?）小題中，除60。是特殊角外，其他角成倍角，于是考慮使用倍角公式;第（2）小題中兩角差為60。，而。3是兩角差的正切值，所以與兩角差的正切公式有關(guān)。宜sin40osin80。60。sin160。=sin160。=1【間解】（1）原式一2sin20。2sin40。算’2sin80。=16sin20。=16°（2）原式=tan（70?！?0。）（1+tan70。tan10。）—、3tan70。tan10。=<3。sin2na（）【反思】第（1）小題的一般性結(jié)論是：cos以cos2a…cos2n-1以=一.——煩eN*<nsina例10求證：tanxtan2x+tan2xtan3x++tan\（n一1）x〕tannx=‘a(chǎn)nnx一n。tanx【分析】左邊通項(xiàng)是兩角正切的積，且兩角差為定值，而在正切的和、差角公式中出現(xiàn)了兩角正切的積，可嘗試.「]tankx一tan(k—1)x【簡(jiǎn)證】因?yàn)閠anx=tanlkx—vk—1zxJ=，k=2,3,4,…,n1+tankxtan(k一1)xtankx一tan（k一1）x,所以tan（k一1）xtankx=一1，tanxtan2x一tanxtan3x一tan2xtan4x一tan3xtannx一tan（n一1）xtanx左邊=+++...+—ntanxtanxtantanxtannx=一ntanx【反思】這里通過(guò)“角變換”和公式變形得出裂項(xiàng)公式，然后累加消項(xiàng)，這也是數(shù)列求和的一種常見(jiàn)技巧.“輔助角變換”技巧通常把a(bǔ)sinx+bcosx=?，:a2+b2sin（x+中）叫做輔助角公式（也叫化一公式），其作用是把同角的正弦、余弦的代數(shù)和化為y=Asin偵x+中）的形式，來(lái)研究其圖象與性質(zhì).尤其是當(dāng)a=±1，土切，土二時(shí)，要熟記其變換式，如sinx+cosx=w'2（sinb3

一一"兀、\'3sinx一cosx=2（sinx一7\'3sinxI6）例11求函數(shù)y=!+‘in*的值域.+cosx【分析】初看此題，似無(wú)從下手，若把分式變成整式，就出現(xiàn)了asinx+bcosx，然后利用三角函數(shù)的有界性建立關(guān)于y的不等式.【簡(jiǎn)解】由y='+*nx得3y+ycosx=1+sinx，所以sinx-ycosx=3y-1，+cosx從而」+y2sin（x+中）=3y-1,.y1其中輔助角中由sin中=-1，cos中=J決定.所以，由|sin（x+中）=；<1解得0<y<|.【反思】（1）解答本題的方法很多，比較多用的方法是類(lèi)比斜率計(jì)算公式，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線斜率問(wèn)題，也有用萬(wàn)能置換后，轉(zhuǎn)化為分式函數(shù)求解的（2）輔助角公式的形成，也――,rb\，可設(shè)可以看成是“常數(shù)變換”的結(jié)果.事實(shí)上，asinx+bcosx=asinx+—cosxb-=tan中，再進(jìn)行“切化弦”變換，就得到了“化一公式”..，可設(shè)a“換元變換”技巧有些函數(shù)，式子里同時(shí)出現(xiàn)sinx+cosx（或sinx-cosx）與sinxcosx，這時(shí)，可設(shè)t=sinx+cosx（或t=sinx-cosx），設(shè)t=sinx+cosx（或t=sinx-cosx），貝gsinxcosx=例12求函數(shù)y=sinx-cosx1+sin例12求函數(shù)y=sinx-cosx1+sinx+cosx，兀Pxe0,-IV2刀的值域.【分析】同時(shí)出現(xiàn)sinx+cosx與sinxcosx時(shí)，可用（sinx+cosx》=1+2sinxcosx.【簡(jiǎn)解】設(shè)sinx+cosx=t，因?yàn)?<x<—，t=t'2（sin，所以te（1,巨］，-—12-1sinxcosx=2又由（sinx+cosxI=1+2sinxcosx得sinx-cosx2所以，y==1+sinx+cosx1+1

一克一1由-—12-1sinxcosx=2【反思】（1）本題若不換元，則需要用到“添、湊、配”技巧，而怎樣進(jìn)行“添、湊、配”，則是因題而異，無(wú)明顯特征.；（2）引進(jìn)“新元”后，一定要說(shuō)明“新元”的取值范圍；（3）平方關(guān)系的變式（sinx+cosx?=1+2sinxcosx應(yīng)用廣泛，如在解答命題“已知sin9，cos9是方程x2-kx+k+1=0的兩根，求k的值.”時(shí)，關(guān)鍵步驟是在運(yùn)用韋達(dá)定理后，利用變式消元后求解。例13求證:x-yy-zz-xx-yy-zz-x

:-++=—?

1+xy1+yz1+zx1+xy1+yz1+例13求證:【分析】所證等式中每個(gè)分式與兩角差的正切相似，而所證等式與三角形中的結(jié)論tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC相似，從而嘗試換元，利用三角知識(shí)證代數(shù)問(wèn)題?！竞?jiǎn)解】設(shè)tan以=x,tan。=y,tany=z，因?yàn)镚-。）+（。-丫）=以-Y，所以tan所以tanl(x-P)+(P-y)]=tanh-y)，tan(d-B)+tan(。-y)()1-tan(z-p)tan(p-y)=劇項(xiàng)，變形整理得tan(a-p)+tan(p-y)+tan(y一以)=tanCx-p)tan(p-y)tan(y一以)所以，tan以-tanP+tanP-tany+tany-tan以

1+tanatanP1+tanPtany1+tanytana所以，tana-tanPtanP-tanytany-tana=??1+tanatanP1+tanPtany1+tanytana*x-yy-zz-xx-yy-zz-x即，++=+xy1+yz1+zx1+xy1+yz1+zx【反思】本題解法也體現(xiàn)了類(lèi)比思維的作用，若用常規(guī)方法處理，則運(yùn)算十分繁瑣“萬(wàn)能置換”技巧“萬(wàn)能置換