復數的運算說課稿

林萍萍2012-10-21新教材降低了對復數的要求，只要求學習復數的概念，復數的代數形式及幾何意義，加減乘除運算及加減的幾何意義。因此，復數的的教學中，應避免煩瑣的計算，多利用復數的概念解決問題。i

i

(2)實數i與－1

的關系:

i就是－1

x2

x2

i

數;當

b≠0

時，叫做虛數;

a=0，b≠0

時，叫做純虛數;

a1=a2，b1=b2。實數

(b=0)復數復數

一般虛數(b

虛數

(b

純虛數(b

uu uuuu uuOZ

OZ

b

1）

L

L

，（2

Z

a

b

zabiab∈R)可用點

Zab

x

y

zi

z1

z2

z1z2abicdiacbdi,

b,

,d

z1

z2

z1z2abicdiacbdi,

b,

,d

1、復數的加法運算滿足交換律:

z1z2z2z1

z1a1b1iz2a2b2ia1b1a2b2∈R).z1z2a1b1ia2b2ia1a2b1b2iz

zabiabiaabbi2 1 2 2 1 1 2 1 2 1a1a2a2a1b1b2b2b1z1z2z2z1

復數的加法運算滿足結合律:

z1z2z3z1z2z3

z1a1b1iz2a2b2iz3a3b3ia1a2a3b1b2b∈R).3∵(z1z2z3=［(a1b1ia2b2ia3b3i=［(a1a2b1b2ia3b3i=［(a1a2a3］+［(b1b2b3ia1a2a3b1b2b3iz

zzabi)+［(abiabi1 2 3 1 1 2 2 3 3a1b1i)+［(a2a3b2b3ia1a2a3b1b2b3ia1a2a3b1b2b3i∵(a1a2a3a1a2a3b1b2b3b1b2b3∴(z1z2z3z1z2z3

abicdiacbdi(減)法是類似的部，虛部與虛部分別相加(減).,

b

,

b

uuur

z1abiz2cdi

ab

cd

OZ1ZZ2

OZ

abcdacbdacbdi

zacbdi

zz1z2z2z1z

OZ2

uuuur uuur

zz1

的差(acbdi

zz1對應.

i=－11

計算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i…+(－ii

…+2003

－2004i

－1001)+(1001

－2004)ii解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i(3－4i)+(－4+5iiiii

原式=1001(－1+i)+(2003－2004i=(2003－1001)+(1001－2004)iizz1i2iAzB

zzzz2z1iiiz

a

b

z

zBz

zAzB

(z1z2)

=z1

(z1z2)

=z1

z2

z1z2

abicdiacbdbcadi,

b,

,d

,

,

b

b

b,

,

,

bd

d

d

i1－i,

b,

,d

1－i(1+i)例

)A.1－i B.1+i C.－1+

iD.－1－i(1+i)解析:

復數

=

i

，選

(1+i)解析:

復數

=

i

，選

．iZ

i

i

i

b

,b

iii

i1－i （2

）若復數

同時滿足

－

＝2i，

＝

（i ＝ ．ii（3）設復數

z

滿足關系

i，求

z；解：設

z=a+bi（a,b

b

ib

b

設

z=a+bi-x+yi（a,b

為實數）復數問題實數化。（4）若C，解方程

i

解：設

x=a+bi

(a,b∈R)代入條件得:

b

b)i,由復數相

b

b

,∴a=－4，b=3，∴x=－4+3i。

i=1，所以，i=i,

i=-1, i=-i,

i=1

例

4：(1)復數

z

滿足

ii=1，所以，i=i,

i=-1, i=-i,

i=1

示的圖形為（A）A．直線 C．橢圓 解：令∈R），則x+(y+1)－[x+(y－1)故選

8.

復數的代數式運算技巧：（1）i

的周期性：i

ii

i

（2）①i)

i

②i)

i

i

i

i

i③i

④i

i

的性質：①

②

③

④

⑤

擴充知識：uur9、特別地，

z－zuur

uur

為兩點間的距離。

z

對應的點的軌跡是一個圓； ，

z

對應的

軌跡是雙曲線。

，

z

對應的點的10、顯然有公式：

10、顯然有公式：

11、實系數一元二次方程的根問題：（1）當

b

時，方程有兩個實根

,

。（2）當

b

時，方程有兩個共軛虛根，其中

。

此時有

且

b

i

。注意兩種題型：12 1

2相等求解。但仍然適用韋達定理。已知

是實系數一元二次方程

axbxc

0

的兩個根，求

的方法：（1）當

b

時，

(2)當

b

時，

b

b已知是實系數一元二次方程

axbxc

0的兩個根，求

x2

x1

的方法：（1）當

b

時，①①

即

，則

b②

即

，則

b

（2）當

b

時，

i

i

i

答案：

i（2）設復數

z

滿足：

i

，求|z|的最大值與最小值；解：|z|的最大值為

，最小值為

；（3）若C，解方程

i

解：設

x=a+bi

(a,b∈R)代入條件得:

b

b)i,由復數相

b

b

b

,∴a=－4，b=3，∴x=－4+3i。

(4)設C

，則復數

i)，在復平面內對應的圖形面積為_______。解

：

∵

|u|=|

|

|1+i|=

|z|

，

∴

≤

|u|

≤

2

，

故

面

積S=

(

2)]

?！舅季S點撥】復數問題實數化是處理復數問題的常用方法。例

4：已知

z=1+i，a，b

為實數，(1)若ω=z+3

－4,求|ω|;

bi

，求

a，b

的值。+3(1－i)－4=―1―i，∴

。bi

bi

i，∴

b

。ii（2）由條件 ，∴i

課后思考題：例

5：設,且

是純虛數，求

i的最大值。解

：

令 z=x+yi

（

x

，

y

∈

R

），

則

(

(

，∵

是純虛數，