數(shù)值計(jì)算與Matlab語言-金一慶-課后答案(完整版)實(shí)用資料

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第一章習(xí)題數(shù)值計(jì)算與Matlab語言_金一慶_課后答案（完整版）實(shí)用資料(可以直接使用，可編輯完整版實(shí)用資料，歡迎下載）1.序列滿足遞推關(guān)系，取及試分別計(jì)算，從而說明遞推公式對(duì)于計(jì)算是不穩(wěn)定的。

n110.010.000120.010.00010.00000130.00010.0000010.0000000140.0000010.0000000110-1050.0000000110-10

n11.0000010.010.00009920.010.000099-0.0000990130.000099-0.00009901-0.010000994-0.00009901-0.01000099-1.00015-0.01000099-1.0001

初始相差不大，而卻相差那么遠(yuǎn)，計(jì)算是不穩(wěn)定的。2.取y0=28，按遞推公式，去計(jì)算y100，若?。ㄎ逦挥行?shù)字），試問計(jì)算y100將有多大誤差？y100中尚留有幾位有效數(shù)字？解：每遞推一次有誤差因此，尚留有二位有效數(shù)字。

3．函數(shù)，求f(30)的值。若開方用六位函數(shù)表，問求對(duì)數(shù)時(shí)誤差有多大？若改用另一等價(jià)公式計(jì)算，求對(duì)數(shù)時(shí)誤差有多大？設(shè)z=ln(30-y)，，y*=29.9833，|E(y)|0.5′10-4z*=ln(30-y*)=ln(0.0167)=-4.09235若改用等價(jià)公式設(shè)z=-ln(30+y)，，y*=29.9833，|E(y)|0.5′10-4z*=-ln(30+y*)=-ln(59.9833)=-4.09407

4．下列各數(shù)都按有效數(shù)字給出，試估計(jì)f的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限。1)

f=sin[(3.14)(2.685)]設(shè)f=sinxyx*=3.14,E(x)0.5′10-2,y*=2.685,E(y)0.5′10-3,sin(x*y*)=0.838147484,cos(x*y*)=-0.545443667|2.685′(-0.5454)′0.5′10-2+3.14(-0.5454)′0.5′10-3|=0.81783′10-2<0.82′10-2|Er(f)|0.82′10-2/0.838150.9894′10-2<10-2

2)

f=(1.56)3.414設(shè)f=xy,x*=1.56,E(x)0.5′10-2,y*=3.414,E(y)0.5′10-3,|3.414′1.562.414′0.5′10-2+1.563.414′ln1.56′0.5′10-3|=|3.414′2.925518039′0.5′10-2+4.563808142′0.444685821′0.5′10-3|=0.051|Er(f)|0.051/1.563.414=0.0112

5．計(jì)算，利用下列等式計(jì)算，哪一個(gè)得到的結(jié)果最好，為什么？

6．下列各式怎樣計(jì)算才能減少誤差？

7.求方程x2-56x+1=0的二個(gè)根，問要使它們具有四位有效數(shù)字，至少要取幾位有效數(shù)字？如果利用偉達(dá)定理，D又該取幾位有效數(shù)字呢？解一:若要取到四位有效數(shù)字,如果利用偉達(dá)定理,解二:由定理二,欲使x1,x2有四位有效數(shù)字,必須使由定理一知，D至少要取7位有效數(shù)字。如果利用偉達(dá)定理,由定理一知，D至少要取4位有效數(shù)字。

8．求近似數(shù)x*的冪(x*)n的相對(duì)誤差公式。解1：y*=(x*)n,dy*=d(x*)n=n(x*)n-1dx*,E(y)?n(x*)n-1E(x)解2:Er(y)?dlny=dlnxn=ndlnx?nEr(x)

9．設(shè)y=lgx，證明x*的常用對(duì)數(shù)的絕對(duì)誤差不超過x*的相對(duì)誤差的一半，反之，y*的反對(duì)數(shù)的相對(duì)誤差不超過y*的絕對(duì)誤差的2.5倍。

10．簡(jiǎn)化求多項(xiàng)式的值的運(yùn)算式。第二章

非線性方程求根習(xí)題2-11.試尋找f(x)=x3+6.6x2-29.05x+22.64=0的實(shí)根上下界,及正根所在的區(qū)間，區(qū)間長度取1。解:由笛卡兒符號(hào)規(guī)則知，f(x)=0可能有二個(gè)正根或無正根f(-x)=-x3+6.6x2+29.05x+22.64=0即x3-6.6x2-29.05x-22.64=0f(-x)=0有一個(gè)正根，因此，f(x)=0有一個(gè)負(fù)根。由定理2-3，f(x)=0的正根上界f(x)=0的負(fù)根下界x01234566.39f(x)++-+++++正根所在區(qū)間為(1,

2),(2,

3)。

2．你能不利用多項(xiàng)式的求導(dǎo)公式，而借鑒于余數(shù)定理的思想，構(gòu)造出Pn(x)=a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an在x0這點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值的算法嗎？

習(xí)題2-21.用二分法求方程x2-x-1=0的正根，要求準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第一位

kaF(a)bF(b)xF(x)00-1211-111-1211.5-0.2521.5-0.25211.750.312531.5-0.251.750.31251.6250.301562541.5-0.251.6250.0156251.5625-0.1210937551.5625-0.121043751.6250.0156251.59375-0.05371093761.59375-0.0537109371.6250.0156251.609375-0.01928710971.609375-0.0192871091.6250.0156251.6171875-0.00189208981.6171875-0.0018920891.6250.0156251.621093750.00685119691.6171875-0.0018920891.621093750.0068511961.6191406250.002175738101.6171875-0.0018920891.619140620.0024757381.6181640630.000290904

X*=1.618

K=5X*=1.59375

2．試證明用試位法（比例求根法），求在區(qū)間[0,1]內(nèi)的一個(gè)根必然收斂。并用此法求根，使|。

KXKF(XK)XK+101-0.8414709840.54304412510.543044125-0.0597887030.5124079220.51240792-0.0026852480.51103566230.511035662-0.0001165150.51097612540.510976125-0.000005046

快

3．試畫出試位法框圖InToInToStopStopNONOYesYesConvergenceConvergencei>Ni>NYESNOYESNOReturnReturnNONOPrintPrintYESYESStopStopNONOProbablynorootProbablynorootf(a)=0f(a)=0YESNOYESNOYESf(a)=0NOYESYESf(a)=0NOYESf(a)*f(a)*f(b)<0

4.試畫出二分法以及逐段求根的框圖。FF

返回返回輸出輸出TTFFTProbablynorootTProbablynorootf(a)*f(b)>0f(a)*f(b)>0

R>b?STOPYESNONOYES

R>b?STOPYESNONOYES

習(xí)題2-33.對(duì)下述方程，試確定迭代函數(shù)g(x)及區(qū)間[a,b],使迭代法收斂到方程的正根,并使誤差不大于10-5。

4.你能用幾種方法將x=tgx化為適合于迭代的形式？并求x=4.5（弧度）附近的根。對(duì)x=tgx，用埃特金方法能迭代收斂嗎？請(qǐng)用埃特金方法求出該題結(jié)果。解一.x=arctgx

解二.可用埃特金方法

習(xí)題2-41.牛頓法計(jì)算具有4位有效數(shù)字的近似值。x0=1x1=2x2=1.75x3=1.732142857x4=1.73205081x5=1.732050808

對(duì)第1)題再給出二種方法5．就下列函數(shù)討論牛頓法的收斂性和收斂速度6．如果把牛頓法看成迭代法，是的等價(jià)方程嗎？不是，因?yàn)榕ｎD法是把線性化后得到的公式。

7．正割法與

§2.2中的試位法一樣嗎？為什么？不一樣，雖然試位法中與正割法中非常相像，但正割法是二步迭代，而試位法不是迭代法，x有可能代替左端點(diǎn)，也有可能代替右端點(diǎn)。

8．已知方程f(x)=x3+7x-1=0，證明：當(dāng)時(shí)，牛頓法收斂。不難用歸納法證明,由牛頓法產(chǎn)生的序列{xk}，必然是單調(diào)下降，并有下界x*，單調(diào)下降又有下界的序列{xk}，存在極限，記，對(duì)二邊取極限，得到

9．用牛頓法計(jì)算P(z)=z4-3z3+20z2+44z+54=0接近于z0=2.5+4.5i的零點(diǎn)。(迭代二次)解：

10．給定方程，滿足：習(xí)題2-5

習(xí)題2-61.請(qǐng)用劈因子法求高次方程x4+x3+5x2+4x+4=0的所有復(fù)根。(提示：取尾部二次式作近似二次因式)

3.任給一個(gè)高次方程，你如何著手找出它的所有根？劈因子法適宜于求實(shí)的單根嗎？首先找實(shí)根所在區(qū)間，用其他方法求出實(shí)根，用秦九韶程序降方程的階。用劈因子法求共軛復(fù)根比較好。第三章

直接法解線性方程組

習(xí)題3-11.寫出列主元消去算法。Fork=1ton-1do1）消元：(1)選主元：(2)判別：,thanstop(3)換行：(j=k,k+1,...,n+1)(4)計(jì)算乘數(shù)：(i=k+1,...,n)(5)消元：(i=k+1,...,n;j=k+1,...,n+1)2)回代：(1),thanstop(2)回代：fork=n,n-1,...,1do(3)打?。簆rintxj=aj,n+1

2.用全主元高斯—約當(dāng)消元法求下列方程的解

3.用全主元高斯—約當(dāng)消去法求下列矩陣的逆矩陣

4.請(qǐng)用列全主元高斯—約當(dāng)消去法求下列矩陣的逆矩陣

6．如果在解方程組過程中，希望順便求出系數(shù)矩陣A的行列式值det(A)，用什么方法比較方便？需注意一些什么問題？如果用高斯—約當(dāng)列主元消去法，如何求出det(A)?高斯消元法解方程時(shí)；主元素高斯消元法解方程時(shí)，注意換行列會(huì)改變行列式的符號(hào)；用高斯—約當(dāng)列主元消去法解方程時(shí)，把列主元記錄下來，把換行的次數(shù)m記錄下來，。

7.設(shè)Ax=b是線性方程組1)

用列元高斯約當(dāng)消去法，求解此方程組。2)

求系數(shù)矩陣的行列式。3)

求系數(shù)矩陣的逆矩陣。也是一個(gè)指標(biāo)為k的初等下三角陣，其中Ii,j為排列陣：證明：

只是mi,k與mj,k換了個(gè)位置。

9．試證明單位下三角陣的逆矩陣仍然是一個(gè)單位下三角陣。證：證得下三角陣的逆陣仍是下三角陣。當(dāng)A為單位下三角陣時(shí)，，B也是單位下三角陣。

習(xí)題3-2

5.

設(shè)A為n階非奇異陣，且有分解式A=LU，其中L為單位下三角陣，U為上三角陣，求證：A的所有順序主子式均不為零。證明：U一定是非奇異陣，否則A=LU也奇異。記A的順序主子陣為Ak，L的順序主子陣為Lk，U的順序主子陣為Uk，由分塊陣的乘法6.設(shè)A對(duì)稱正定，試證明A一定可以進(jìn)行以下分解:A=UUT，其中U是上三角陣，若限定U的對(duì)角元為正的，此分解唯一。證明：若A對(duì)稱正定，則`也對(duì)稱正定，這是因?yàn)橐矊?duì)稱，由正定，可進(jìn)行cholesky分解，存在唯一具有正對(duì)角元的下三角陣L，使=LLT，也是具有正對(duì)角元的下三角陣，記，A=(UT)TUT=UUT，U為具有正對(duì)角元的上三角陣，此分解也唯一。

證明:

第四章

解線性方程組迭代法習(xí)題4-1

習(xí)題4-2

習(xí)題4-3(全是編程上機(jī)題)習(xí)題4-4

3.求證：limAk=A的充分必要條件是對(duì)任非零向量x，limAkx=Ax。

4.用SOR法解方程組

(分別 取w=1,w=1.1,w=1.03計(jì)算)

w=1

X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X1k00.250.5156250.5019531250.50024414X2(K)01.06251.00787251.0009765631.000122071.000015259X3(K)0-0.484375-0.498046875-0.499755859-0.499969482-0.499996185w=1.1

X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X1(K)00.2750.5707968750.4933158390.5001661650.499999398X2(K)01.1756251.0014382810.9981736331.0000746531.000013383X3(K)0-0.50170125-0.49943416-0.500558834-0.499923587-0.500003961

w=1.03

X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X1(K)00.25750.5320738590.50107024105000931550.500004472X2(K)01.096306251.0078930381.0004864581.0000282191.00000162X3(K)0-0.49114-0.498261508-0.499926891-0.499994926-0.499999737

8.設(shè)A為嚴(yán)格對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣，證明：

9.A是n階非奇異陣，B是n階奇異陣，試求證：P91.

x0p0r0Ap0x1r1p1Ap1x2r203730/29=1.03448275817/29=0.5862068981360/841=1.617122471530/841=1.81926277614/9=1.5555555540.3′10-901810/29=0.344827586-51/29=-1.758620688-1190/841=-1.414982164-4590/841=-5.45778835-1/9=-0.111111110.1′10-9(rk,Pk)102890/841=3.436385254(PK,APK)29260100/24389=10.66464388aka0=10/29=0.344827586a1=8381/26010=0.322222222(rk+1,APK)-289/29=-9.965517218bkb0=289/841=0.343638524

x0P0=r0AP0x1r1P1

0005-4381-77510.2886835-0.23094680.17321010.32332730.44572590.05542830.35395380.42122470.0738042

50

866

0.0577367

-5.3045397

0.00612530.3062844

AP1x2r2P2AP2x3r32.22366024.97635952.92903570.3236612-0.18932140.18050340.1035850-0.0460384-0.23401930.18172260.0469497-0.21772660.5407942-0.2403715-1.22170330.3584701-0.18032820.1387980-0.00000400.0000047-0.0000023

3.0994135

0.0988201

-0.6842166

0.22075670.0676145

0.3529865

0.1915498

3.設(shè){xk}為用cg法解Ax=b

(A對(duì)稱正定)

得到的近似解序列，求證

第5章習(xí)題5-11.分別用正規(guī)方程組及H變換求下列矛盾方程組的解:(1)用ATAx=ATb解(2)用H變換解

回代得:

第六章

插值習(xí)題6-1

差商表xLnx一階二階三階四階0.4-0.916291

2.23144

0.5-0.693147

-2.04115

1.82321

1.92717

0.6-0.510826

-1.463

-0.3096

1.53061

1.80333

0.7-0.357765

-0.922

1.34621

0.8-0.223144

8.已知正弦函數(shù)表xk1.71.9Sinxk0.47940.64420.78330.89120.96360.99750.99170.9463求Sin(0.74)，Sin(1.6)的近似值(用線性插值和拋物線插值)，并估計(jì)它的誤差。線性插值：

習(xí)題6-2

3.

已知：XLn-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144-0.105361用牛頓后插公式求Ln0.78的近似值，并根據(jù)5階差分估計(jì)4階公式的誤差。

解：

xLnx?f?2f?3f?4f?5f0.4-0.916291

0.223144

0.5-0.693147

-0.040823

0.182321

0.011563

0.6-0.510826

-0.02926

-0.000743

0.153061

0.01082

-0.0084750.7-0.357765

-0.01844

-0.009218

0.134621

0.001602

0.8-0.223144

-0.016838

0.117783

0.9-0.105361

習(xí)題6-3

x01/21f(x)01/161f’(x)01/24

習(xí)題6-52．將下列表格的函數(shù)寫成一階樣條函數(shù)。xx≤012455.567x38f(x)013467988

4.已知

求作二次樣條函數(shù)分段表達(dá)式，使x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為，xi點(diǎn)的函數(shù)值為f(xi)。5.

給定x0123f(x)_0000

以下用三彎矩方程解：解二：

6．給定數(shù)表如下：xj0.250.300.390.450.53yj0.50000.54770.62450.67080.7280試求三次樣條插值S(x)，并滿足條件代入分段表達(dá)式

習(xí)題6-61.

在求N=22=4時(shí)的富里葉變換中，其中xk是復(fù)數(shù)，1)

按此式需做多少次復(fù)數(shù)乘法？2)

你能把乘法次數(shù)減少到多少次？請(qǐng)列出計(jì)算式，用最少乘法次數(shù)完成此富里葉變換。解：

第七章擬合習(xí)題7-11.x-1.00-0.75-0.50-0.2500.25y-0.22090.32950.88261.43922.0032.5645試求出用最小二乘法擬合的一次多項(xiàng)式。

2.在某科學(xué)試驗(yàn)中，需要觀察水份的滲透速度，測(cè)得時(shí)間t與水的重量的數(shù)據(jù)如下：

t(秒)1248163264w(克)4.224.023.853.593.443.022.59設(shè)已知t與w之間有關(guān)系w=Ctl，試用最小二乘法確定C和

l。解：lnw=lnC+llnt記lnw=y,lnC=b,lnt=x得：y=b+lxx=lnt00.693141.386292.079442.772583.465734.15888y=lnw1.439831.391281.348071.278151.235471.105250.95165

3．已知：t12345678y4.006.408.008.809.229.509.709.86

t12345678u0.250.1560.1250.1140.1080.1050.1030.101

習(xí)題7-21.觀測(cè)物體直線運(yùn)動(dòng)，試?yán)谜欢囗?xiàng)式求其運(yùn)動(dòng)方程t03.95.0s010305080110解：設(shè)P1(t)=t,P2(t)=t2+ct

習(xí)題7-3

第八章數(shù)值積分習(xí)題8-1

2.已知函數(shù)表x1.82.0f(x)3.120214.425696.042418.0301410.46675試用牛頓—柯特斯公式計(jì)算

4.推導(dǎo)n=3時(shí)牛頓—柯特斯公式，并推導(dǎo)誤差公式。習(xí)題8-21.

分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普生公式計(jì)算積分，并比較結(jié)果。

x00.06250.1250.18750.250.31250.37500.0156100.0311280.0464670.615380.0762630.090566

0.43750.50.56250.6250.68750.750.81250.10438

0.117647

0.130317

0.142349

0.153712

0.164384

0.174350

0.8750.937510.183607

0.192154

0.2

3.用復(fù)化梯形公式求n=5并估計(jì)誤差。解：xsinxsin2x1/(1+sin2x)00010.20.19866930.0.946950.96202920.40.38941830.15164660.86832190.50.47942550.22984880.81310810.60.56464250.31882120.75825290.80.71735610.51459980.66024041.00.84147100.70807340.5854549

習(xí)題8-4

2.

n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的高斯型積分公式的代數(shù)精度是多少？會(huì)超過2n+1次嗎？為什么？n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的高斯型積分公式的代數(shù)精度是2n+1次，不能再增高，因?yàn)閚+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的高斯型積分公式只有2n+2個(gè)自由度，2n+1次多項(xiàng)式恰有2n+2個(gè)系數(shù)需待定。

3.

以二點(diǎn)積分公式為例，說明即使把積分上下限也作為待定系數(shù)，也無法構(gòu)造出具有2n次代數(shù)精度的積分公式。(n為節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù))

上下限必須相等，說明無法構(gòu)造出一個(gè)積分公式達(dá)到4次代數(shù)精度。

4．

試構(gòu)造二點(diǎn)高斯型積分公式：

求權(quán)系數(shù)：

習(xí)題8-51．

已知數(shù)表x124810y0152127求x=j(y)在y=5處的一、二階導(dǎo)數(shù)值。對(duì)此不等距節(jié)點(diǎn)的問題，沒有合適的微分公式，直接Lagrange插值，再求導(dǎo)。y1521

02.已知數(shù)表x1.0y0.25000.22680.20660.1890用二點(diǎn)公式求y=f(x)在x=1.0和x=1.3處的導(dǎo)數(shù)值，并利用辛普生公式求出x=1.1和x=1.2處的導(dǎo)數(shù)值。

第九章常微分方程習(xí)題9-11.就初值問題分別導(dǎo)出顯式歐拉法和改進(jìn)歐拉法的近似表達(dá)式，并與精確解相比較。

2．用梯形法解初值問題

解：精確解：

x00.81.0y=2ex-x-111.2428061.5836502.0442382.6510823.436564

顯式歐拉法：yi+1=yi+hf(xi,yi)h=0.2nxnynfn=xn+ynhfnyn+1001.01.081.4820.41.481.880.3761.85630.61.8562.4560.49122.347240.82.34723.14720.629442.9766451.02.97664

改進(jìn)歐拉法（單步的預(yù)測(cè)校正系統(tǒng)）

ixiyixi+yixi+1yi+1001.01.041.241.2440.41.5280.33681.57681.576820.41.57681.97680.61.972160.454902.0316962.03169630.62.0316962.6316960.82.5580350.5989732.6306692.63066940.82.6306693.4306691.03.3168030.7747473.4054163.40541651.03.405416

四階龍格一庫塔法

i

xi

yi

j插點(diǎn)

kj=hfk1+2k2+2k3+k4(k1+2k2