大學(xué)物理：24量子力學(xué)初步

量子力學(xué)初步iHeethYY量子力學(xué)初步量子力學(xué)初步quantummechanicspreliminaryremarksof引言

量子力學(xué)是描述微觀粒子運動規(guī)律的學(xué)科。它是現(xiàn)代物理學(xué)的理論支柱之一，被廣泛地應(yīng)用于化學(xué)、生物學(xué)、電子學(xué)及高新技術(shù)等許多領(lǐng)域。本章主要介紹量子力學(xué)的基本概念及原理，并通過幾個具體事例的討論來說明量子力學(xué)處理問題的一般方法。波函數(shù)波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋回顧：德布羅意關(guān)于物質(zhì)的波粒二象性假設(shè)速度為v質(zhì)量為m的自由粒子,Ep.,一方面可用能量

和動量

來描述它的粒子性nl另一方面可用頻率

和波長

來描述它的波動性一、波函數(shù)

波函數(shù)是描述具有波粒二象性的微觀客體的量子狀態(tài)的函數(shù)，知道了某微觀客體的波函數(shù)后，原則上可得到該微觀客體的全部知識。下面從量子力學(xué)的基本觀點出發(fā)，建立自由粒子的波函數(shù)。自由粒子波函數(shù)在量子力學(xué)中用復(fù)數(shù)表達式：應(yīng)用歐拉公式取實部eifcosfisinf應(yīng)用德布羅意公式phlhnEEnhl1php2hh1p2hh即即即的自由粒子的波函數(shù)為Y,()xteiAnp2l(tx)沿X方向勻速直線運動

在波動學(xué)中，描述波動過程的數(shù)學(xué)函數(shù)都是空間、時間二元函數(shù)一列沿X

軸正向傳播的平面單色簡諧波的波動方程A,y()xtcosp2Tl(tx)cosnp2l(tx)Aei,y()xtnp2l(tx)Aeih(tx)pEA沿方向勻速直線運動r的自由粒子的波函數(shù)為Y,()trei(t)pErhA續(xù)4在量子力學(xué)中用復(fù)數(shù)表達式：應(yīng)用歐拉公式取實部eifcosfisinf應(yīng)用德布羅意公式phlhnEEnhl1php2hh1p2hh即即即沿方向勻速直線運動r的自由粒子的波函數(shù)為Y,()trei(t)pErh的自由粒子的波函數(shù)為Y,()xteiAnp2l(tx)沿X方向勻速直線運動

在波動學(xué)中，描述波動過程的數(shù)學(xué)函數(shù)都是空間、時間二元函數(shù)一列沿X

軸正向傳播的平面單色簡諧波的波動方程A,y()xtcosp2Tl(tx)cosnp2l(tx)Aei,y()xtnp2l(tx)Aeih(tx)pExAAY,()tre(t)pErihA自由粒子的波函數(shù)

自由粒子的能量和動量為常量，其波函數(shù)所描述的德布羅意波是平面波。不是常量，其波函數(shù)所描述的德布羅意波就不是平面波。對于處在外場作用下運動的非自由粒子，其能量和動量外場不同，粒子的運動狀態(tài)及描述運動狀態(tài)的波函數(shù)也不相同。微觀客體的運動狀態(tài)可用波函數(shù)來描述，這是量子力學(xué)的一個基本假設(shè)。概率密度二、波函數(shù)的統(tǒng)計解釋設(shè)描述粒子運動狀態(tài)的波函數(shù)為，則Y,()tr空間某處波的強度與在該處發(fā)現(xiàn)粒子的概率成正比；在該處單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率（概率密度）P,()tr與的模的平方成正比。,()trYP,()trY,()tr2Y,()tr*Y,()tr*Y,()trY,()tr是的共軛復(fù)數(shù)德布羅意波又稱概率波波函數(shù)又稱概率幅取比例系數(shù)為1，即MaxBorn(1882~1969)玻恩1926年提出了對波函數(shù)的統(tǒng)計解釋波函數(shù)歸一化rXYzOxyzdVxddyzd因概率密度P,()trY,()tr2故在矢端的體積元內(nèi)rdVxddyzd發(fā)現(xiàn)粒子的概率為dVxddyzdP,()trY,()tr2在波函數(shù)存在的全部空間V

中必能找到粒子，即在全部空間V中

粒子出現(xiàn)的概率為1。dVY,()tr2VVY,()tr*Y,()trdV1此條件稱為波函數(shù)的歸一化條件滿足歸一化條件的波函數(shù)稱為歸一化波函數(shù)波函數(shù)具有統(tǒng)計意義，其函數(shù)性質(zhì)應(yīng)具備三個標準條件：概率波與經(jīng)典波德布羅意波（概率波）不同于

經(jīng)典波（如機械波、電磁波）德布羅意波經(jīng)典波是振動狀態(tài)的傳播不代表任何物理量的傳播波強（振幅的平方）代表通過某點的能流密度波強（振幅的平方）代表粒子在某處出現(xiàn)的概率密度概率密度分布取決于空間各點波強的比例，并非取決于波強的絕對值。能流密度分布取決于空間各點的波強的絕對值。因此，將波函數(shù)在空間各點的振幅同時增大C倍，不影響粒子的概率密度分布，即和C

所描述德布羅意波的狀態(tài)相同。YY因此，將波函數(shù)在空間各點的振幅同時增大C倍，則個處的能流密度增大C

倍，變?yōu)榱硪环N能流密度分布狀態(tài)。2波函數(shù)存在歸一化問題。波動方程無歸一化問題。波函數(shù)存在歸一化問題。波函數(shù)標準條件波函數(shù)的三個標準條件：連續(xù)因概率不會在某處發(fā)生突變，故波函數(shù)必須處處連續(xù)；單值因任一體積元內(nèi)出現(xiàn)的概率只有一種，故波函數(shù)一定是單值的；有限因概率不可能為無限大，故波函數(shù)必須是有限的；以一維波函數(shù)為例，在下述四種函數(shù)曲線中，只有一種符合標準條件YYYYXOXOOXOX符合不符合不符合不符合算例例設(shè)某粒子的波函數(shù)為Y,()xt0exApasinithE()x0,xa()x0a求歸一化波函數(shù)概率密度概率密度最大的位置解法提要0aeAithExpasin((eAithExpasin((xd令YY*2Yxdxd0a0a1A,求2Yxd0aA20asinxpa2xd1積分得：a2A21,A2a得到歸一化波函數(shù)：Y,()xt0expasinithE()x0,xa()x0a2a概率密度P,()xtY,()xt2()x0,xa()x0a0sinxpa2a2P,()xt得令dPxd0求極大值的x坐標dxd0sinxpa2a2((2asinxpa2p2解得xa2((0,a另外兩個解x處題設(shè)Y0處P,()xt最大YP2Y0aXX0aa2a22a2a11薛定諤方程薛定諤方程經(jīng)典力學(xué)牛頓力學(xué)方程pFmddtvddt根據(jù)初始條件可求出經(jīng)典質(zhì)點的運動狀態(tài)r()t,p()tr0p0r()tp()tXYzO經(jīng)典質(zhì)點有運動軌道概念不考慮物質(zhì)的波粒二象性量子力學(xué)一、引言針對物質(zhì)的波粒二象性微觀粒子無運動軌道概念zXYOYr(t,(運動狀態(tài)Yr(t,(波函數(shù)量子力學(xué)方程？是否存在一個根據(jù)某種條件可求出微觀粒子的薛定諤方程引言基本算符量子力學(xué)中的

算符是表示對某一函數(shù)進行某種數(shù)學(xué)運算的符號。在量子力學(xué)中，一切力學(xué)量都可用算符來表示。這是量子力學(xué)的一個很重要的特點。算符劈形算符數(shù)學(xué)運算符號拉普拉斯算符seexi+yjee+zeekeex++22yee22zee22s2動量算符pihs動能算符T2mh2s2哈密頓算符()含動、勢能H2mh2s2+()rU,t位矢算符rr力學(xué)量算符統(tǒng)稱舉例F()若作用在某函數(shù)上的效果FY和與某一常量的乘積相當(dāng)，YF即FYFY則F稱為的本征值FY稱為的本征函數(shù)FY所描述的狀態(tài)稱為本征態(tài)力學(xué)量的可能值是它的本征值力學(xué)量的平均值由下述積分求出FFY*FYxyzddd薛定諤方程二、薛定諤方程二、薛定諤方程1925年德國物理學(xué)家薛定諤提出的非相對論性的量子力學(xué)基本方程獲1933年諾貝爾物理學(xué)獎薛定諤EnwinSchrodinger:（1887-1961）薛定諤EnwinSchrodinger:當(dāng)其運動速度遠小于光速時它的波函數(shù)所滿足的方程為Y質(zhì)量為的粒子m在勢能函數(shù)為的勢場中運動()trU,它反映微觀粒子運動狀態(tài)隨時間變化的力學(xué)規(guī)律，又稱含時薛定諤方程。2mh2eex++22yee22zee22()()rU,t+H式中，為哈密頓算符，H2mh22s()rU,t+iHeethYY薛定諤方程薛定諤方程三、定態(tài)薛定諤方程可分離變量，寫成解釋：U()rU若則Y()r,tY()r,tY()rf()tihf()tdtdEf()t積分f()t解得CteihEC將常量歸入中，得Y()rYY()rteihE定態(tài)波函數(shù)此外，對得HYEY定態(tài)薛定諤方程ihY()reetf()tHY()rf()t故ihY()rf()tHY()rE常量()時間的函數(shù)空間的函數(shù)tf()tddHEY()rY()r由對應(yīng)一個可能態(tài)有一常量E定態(tài)薛定諤方程勢場只是空間函數(shù)U()rU即若粒子所在的E有一個能量定值HYEYY()r,tiHeethYY含時薛定諤方程HU()r,t+2mh22sYHU()r+2mh22sYY()rteihE定態(tài)波函數(shù)對應(yīng)于一個可能態(tài)，則定態(tài)薛定諤方程其概率密度P(),trY(),trY(),tr*2Y(),trY()rteihEY()retihEY()r2與時間無關(guān)所描述的狀態(tài)。它的重要特點是：所謂“定態(tài)”，就是波函數(shù)具有形式Y(jié)()rteihEY(),tr定態(tài)波函數(shù)Y()rteihEY(),tr中的稱為振幅函數(shù)Y()r（有時直稱為波函數(shù)）。Y()rY()r的函數(shù)形式也應(yīng)滿足統(tǒng)計的條件連續(xù)、單值、有限的標準條件；歸一化條件；對坐標的一階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)（使定態(tài)薛定諤方程成立）。定態(tài)問題是量子力學(xué)最基本的問題，我們僅討論若干典型的定態(tài)問題。HYEY若已知勢能函數(shù)，應(yīng)用定態(tài)薛定諤方程()rU可求解出，并得到定態(tài)波函數(shù)Y()rY()rteihEY(),tr續(xù)14態(tài)跌加原理四、態(tài)疊加原理

為薛定諤方程的兩個解，分別代表體系的兩個可能狀態(tài)。Y12Y設(shè)Y為它們的線性疊加即Y+1CY12C2Y1C2C為復(fù)常數(shù)將上式兩邊對時間ih求偏導(dǎo)數(shù)并乘以eetihYih1CeetY1+2C2Yeet因Y12Y都滿足薛定諤方程iheetY1HY1i2YeethH2Y即1CHY1+2CHY2(H1CY1+2CY2(HY這表明：體系兩個可能狀態(tài)的疊加仍為體系的一個可能態(tài)。稱為態(tài)疊加原理一維無限深勢阱五、一維無限深勢阱粒子在某力場中運動，若力場的勢函數(shù)U具有下述形式該勢能函數(shù)稱作一維無限深勢阱。0U()x8L(x0)L(x0,x)0LX88U()x應(yīng)用定態(tài)薛定諤方程可求出運動粒微觀系統(tǒng)中，有關(guān)概率密度、能量這是一個理想化的物理模型，子的波函數(shù)，有助于進一步理解在量子化等概念。續(xù)17求解2mh22x2Y()xddEY()x阱內(nèi)U()x0阱外U()x8Y()x只有0因Y()xY()xddx及要連續(xù)、有限，薛定諤方程才成立，在阱外故粒子在無限深勢阱外出現(xiàn)的概率為零。m設(shè)質(zhì)量為的微觀粒子，處在一維無限深勢阱中，該勢阱的勢能函數(shù)為0U()x8L(x0)L(x0,x)阱外阱內(nèi)建立定態(tài)薛定諤方程HYEY一維問題H+U()x2mh22eex2+U()xY()x2mh22x2Y()xddEY()x0LUX88()x續(xù)18求解求定態(tài)薛定諤方程的通解阱內(nèi)2mh22x2Y()xddEY()x即02x2Y()xdd+Y()xE2mh2令2kE2mh2得2x2Y()xdd+2k0Y()x此微分方程的通解為+Y()xAexkiBxkie其三角函數(shù)表達形式為()Y()xsindAxk+A式中和為待定常數(shù)d根據(jù)標準條件確定常數(shù)d和k,并求能量的可能取值EAsinkL0以及x0在邊界和xL處Y()xA0又因d0,得Y()0Asind0()Y()LAsinkL+d0的取值應(yīng)與阱外連續(xù)，Y()x0邊界處的Y()x故得及kLpn,()n0+1,2+,n0時阱內(nèi)不合理舍去,Y()x0n的負值和正值概率密度相同。同一取kpnL()n1,2,得Epnh222L22m()n1,2,n續(xù)求解求歸一化定態(tài)波函數(shù)()Y()xsindAxk+由上述結(jié)果L(x0,x)阱外Y()x0阱內(nèi)L(x0)及kpnL()n1,2,d0,得AsinxpnLY()xn()n1,2,Y()xn應(yīng)滿足歸一化條件88Y()xnx2d2xdA0LsinxpnL21得積分2dA0LsinxpnL2pnLxpnL()xpnL()2ApnL12241sin2xpnL()0L22AL1A2L歸一化定態(tài)波函數(shù)Y()xn0L(x0,x)sinxpnL2LL(x0)概率密度PY()xnn()x20L(x0,x)sinxpnL2LL(x0)2勢阱問題小結(jié)能量量子化極不明顯，可視為經(jīng)典連續(xù)。間距太小在微觀粒子可能取Esn()2+n1ph22L22m如，電子m9.1×10–31

kg處在寬度10-10

m(原子線度)的勢阱中L算得Esn()2+n1×37.7eV能量量子化明顯處在寬度10–2

m(宏觀尺度)的勢阱中L算得Esn()2+n1×37.7×10

-15

eV能量量子化是微觀世界的固有現(xiàn)象從能級絕對間隔看，從能級相對間隔sEnEn()2+n1n2看，則n8sEnEn()0的各種能態(tài)中，隨著值增大，逐漸向經(jīng)典過渡。n一維無限深勢阱中的微觀粒子（小結(jié)）()n1,2,n2ph22L22mEn能量量子化Enph22L22mE1稱基態(tài)能或零點能相鄰能級的能量間隔EsnEn+1En()2+n1ph22L22mEnn1E1n24E1E19n3波函數(shù)Y()xn0L(x0,x)sinxpnL2LL(x0)0LX1Y()x3Y()x0LXn3Y20LX()xn2n1Y()xn,tY()xnteihEn好比駐波Enwnh0L(x0,x)sinxpnL2LL(x0)2概率密度Pn()xY()xn20LX1()xn120LX()xn2PP30LXPn3()xPn()x0的稱節(jié)點位置Pn()x極大的稱最概然位置xxn增大,節(jié)點數(shù)增多,最概然位置間隔變小。很大，概率n密度趨近經(jīng)典均勻分布。勢壘隧道效應(yīng)隧道效應(yīng)一、勢壘()xU0a0UX()xU0U0a))x0,x))x0a粒子在某力場中運動，若力場的勢函數(shù)U具有下述形式該勢能函數(shù)稱作一維矩形勢壘。按經(jīng)典力學(xué)觀點，在量子力學(xué)中，能量的粒子E0U不可能穿越勢壘。后才能下結(jié)論。應(yīng)求解定態(tài)薛定諤方程隧道效應(yīng)二、勢壘貫穿隧道效應(yīng)E2mh22k102x2Ydd+Y2k102x2Ydd+Y2k2E2mh22k0U()2))x0aa))x0,x區(qū)YB2+xAekixkieA12+xekixkie1+xekixkie1CBCIIIIII(((區(qū)區(qū)(((,

式中

得上述微分方程的解為1()xU0a0UXIIIIII設(shè)：一矩形勢壘的()xU0U0a))x0,x))x0a勢能函數(shù)在勢函數(shù)定義的全部空間粒子的波函數(shù)都應(yīng)滿足薛定諤方程HYEYHU+2mh22x2dd()x,一質(zhì)量為、能量為E0Um的粒子由區(qū)向勢壘運動I續(xù)23YB+xAekiA2xkie1+xeki1+xeki1xkieC2xkieBC區(qū)IIIIII((((((區(qū)區(qū)1入射波()xUX0aIIIIII+反射波透射波CIII區(qū)無反射，0Y入入射波反Y反射波透Y透射波根據(jù)邊界條件和處x0axY和xdYd必須連續(xù)，可求方程中各系數(shù)的關(guān)系。透射粒子數(shù)入射粒子數(shù)透射系數(shù)D透YY入22AC22為描述粒子透過勢壘的概率引入e2a2kD8h2mE0U()k2為原設(shè)a為勢壘寬度估算表明,,可見，粒子能穿過比其能量更高的勢壘，這種現(xiàn)象稱為勢壘貫穿亦稱隧道效應(yīng)。這是微觀粒子波動性的表現(xiàn)。隧道效應(yīng)已被許多實驗所證實，并在半導(dǎo)體器件、超導(dǎo)器件、物質(zhì)表面探測等現(xiàn)代科技領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用。掃描隧道顯微鏡三、掃描隧道顯微鏡（STM）兩金屬的平均逸出電勢壘高度210U120U+()0Ud0U120U金屬1金屬2逸出電勢壘高金屬1逸出電勢壘高金屬2金屬中的電子由于隧道效應(yīng)有可能穿越比其能量更高的表面勢壘（逸出電勢壘）而逸出金屬表面，在金屬外表面附近形成電子云，電子云的分布形式與金屬晶體的結(jié)構(gòu)和表面性質(zhì)有關(guān)。若兩塊金屬表面相距很近，至使表面的電子云發(fā)生相互重疊，此時若在兩金屬間加一微弱電壓（操作電壓），則會有微弱的電流（隧道電流）從一金屬流向另一金屬，并可表示為dVTIT實驗表明，只要改變0.1nm(原子直徑線度），就會引起變化一千倍左右。掃描隧道顯微鏡利用隧道效應(yīng)中的這種靈敏特性，將一金屬做成極細的探針（針尖細到一個原子大?。诹硪唤饘贅悠繁砻娓浇鼟呙瑁軌蛞栽蛹壍目臻g分辨率去觀察物質(zhì)表面的原子結(jié)構(gòu)。dITIT8VTed0UAd0U若勢壘寬度和勢壘平均高度分別以nm

和eV

為單位時，約為1。A續(xù)25測試樣品測試樣品掃描探針掃描探針電子云dITVTSi(111)表面7×7元胞的STM圖像亮點表示突起，暗部表示下凹IT8VTed0UA電子測控及數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)計算機顯示系統(tǒng)XYz橫向()XY分辨率達0.1nmz縱向()分辨率達0.005nm真空或介質(zhì)沿XY逐行掃描的同時，自控系統(tǒng)根據(jù)反饋信號調(diào)節(jié)針尖到樣品表層原子點陣的距離，IT使保持不變。針尖的空間坐標的變化反映了樣品表面原子陣列的幾何結(jié)構(gòu)及起伏情況。經(jīng)微機編碼可顯示表面結(jié)構(gòu)圖像。STM可用于金屬、半導(dǎo)體、絕緣體和有機物表面的研究。是材料科學(xué)、生命科學(xué)和納米科學(xué)與技術(shù)的有力武器。AtomicResolutionSTMonSi(111)不確定關(guān)系不確定關(guān)系不確定關(guān)系海森伯因創(chuàng)立用矩陣數(shù)學(xué)描述微觀粒子運動規(guī)律的矩陣力學(xué)，獲1932年諾貝爾物理獎rxprx（注：不確定關(guān)系又稱測不準關(guān)系，在上述表達式中的和都具有統(tǒng)計含義，分別代表有關(guān)位置和動量的方均根偏差。）位置和動量的不確定關(guān)系rxprx2h稱為海森伯位置和動量的不確定關(guān)系，它說明，同時精確測定微觀粒子的位置和動量是不可能的。微觀粒子不能同時具有確定的位置和動量，位置的不確定量rx該方向動量的不確定量prx同一時刻的關(guān)系1927年，德國物理學(xué)家海森伯提出WernerHeisenberg(1901~1976)海森伯續(xù)27電子束j縫寬X衍射圖樣rxprxp電子通過單縫時發(fā)生衍射，概略地用一級衍射角所對應(yīng)的動量變化分量粗估其動量的不確定程度prxrx得rxprxphp即rxprxh考慮到高于一級仍會有電子出現(xiàn)取rxprxh從電子的單縫衍射現(xiàn)象不難理解位置和動量的不確定關(guān)系j衍射圖樣prxp單縫衍射一級暗紋條件ljsinr