高等數(shù)學(xué)-三重積分

利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應(yīng)注意：１、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性；２、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個坐標(biāo)軸的奇偶性．解積分域關(guān)于三個坐標(biāo)面都對稱，被積函數(shù)是的奇函數(shù),三重積分的計算如圖，（1）投影法計算三重積分1.直角坐標(biāo)系下得注意這種計算方法叫投影法(穿針法,先一后二法)z=0y=0x=00yx：平面x=0,y=0,z=0，x+2y+z=1所圍成的區(qū)域.先畫圖x0z

y11DxyDxy:x=0,y=0,x+2y=1圍成z=01...例1.計算三重積分x+2y+z=1DxyI=x+2y=1

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所圍成的區(qū)域.0y

x6241找出上頂、下底及投影區(qū)域.2畫出投影區(qū)域圖.Dxy:y=0,3x+y=6,3x+2y=12圍成.z=0不畫立體圖做三重積分Dxy..例2.

x0z

yc1c2zDz（2）截面法計算三重積分（對有的問題適用）先做二重積分，后做定積分

c1c2.先做二重積分，后做定積分2截面法計算三重積分（對有的問題適用）zDzx0z

y

c1c2I=.先做二重積分，后做定積分zDzx0z

y2.截面法計算三重積分（對有的問題適用）c1c2.先做二重積分，后做定積分I=x0z

y這種計算方法也叫切片法,先二后一法)x0yzbc

例5計算aD0Dz..bc.=.

例5計算x0yzD0a.z2.利用柱坐標(biāo)計算三重積分

就稱為點M

的柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面機動目錄上頁下頁返回結(jié)束如圖所示,在柱面坐標(biāo)系中體積元素為因此其中適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時方程簡單;2)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時變量互相分離.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解知交線為解所圍成的立體如圖，所圍成立體的投影區(qū)域如圖，1.Dxy:z=0用哪種坐標(biāo)？.柱面坐標(biāo)0xz

yDxy例8.計算I=10xz

y1Dxy.Dxy:z=1錐面化為:

r=z1.用哪種坐標(biāo)？柱面坐標(biāo)例9...例10.

計算三重積分解:

在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中由拋物面原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.利用球坐標(biāo)計算三重積分

就稱為點M

的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面機動目錄上頁下頁返回結(jié)束如圖所示,在球面坐標(biāo)系中體積元素為因此有其中適用范圍:1)積分域表面用球面坐標(biāo)表示時方程簡單;2)被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時變量互相分離.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解球系下確定積分限