2020屆高三普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試伯樂馬模擬考試（三）文科數(shù)學(xué)試題 含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精絕密★啟用前2020年普通高等學(xué)校招生伯樂馬模擬考試（三）文科數(shù)學(xué)注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)滿足，，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B。 C。 D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】先從中表示出,然后利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡計算.【詳解】因為,所以，得,虛部為.故選:C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題。2.若集合，，則(）A. B。 C。 D.【答案】A【解析】【分析】將集合和集合分別具體表示出來,其中集合表示函數(shù)的定義域，集合表示函數(shù)的值域，再利用集合的運(yùn)算法則即可求出.【詳解】題中集合表示函數(shù)的定義域，集合表示函數(shù)的值域，在函數(shù)中，滿足，解得，或，或,在函數(shù)中，，，，，。故選:A.【點睛】本題主要考查對數(shù)型函數(shù)的定義域，指數(shù)型函數(shù)的值域，以及集合間的基本運(yùn)算,是一道綜合題.3.記等差數(shù)列的前項和為。若，，則（）A.28 B.31 C.38 D.41【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到，再解方程組即可得到答案。詳解】由題知：，解得。所以.故選:C【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于簡單題.4。已知，，,則向量,夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】首先根據(jù)題意求出，的坐標(biāo),再代入公式計算即可?！驹斀狻浚瑒t.故選：C【點睛】本題主要考查平面向量夾角的坐標(biāo)公式,同時考查學(xué)生的計算能力，屬于簡單題。5。曲線在處的切線與直線相互垂直，則(）A。1 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】先求導(dǎo),可得曲線在處的切線斜率為，再根據(jù)直線垂直關(guān)系可得結(jié)果?！驹斀狻壳€在處的切線斜率為由切線與直線相互垂直可得解得故選：A【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義以及直線垂直關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。6.我們將稱為黃金分割數(shù)，亦可簡稱為黃金數(shù)，將離心率等于黃金數(shù)的倒數(shù)的雙曲線叫做黃金雙曲線，則（)A.黃金雙曲線的虛軸是實軸與焦距的等比中項 B。黃金雙曲線的虛軸是實軸與焦距的等差中項C。黃金雙曲線的焦距是實軸與虛軸的等比中項 D.黃金雙曲線的焦距是實軸與虛軸的等差中項【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件分別將每個選項的條件轉(zhuǎn)化為雙曲線中的關(guān)系，即可判斷是否正確.【詳解】若雙曲線為黃金雙曲線,則滿足，即,，,,即虛軸是實軸與焦距的等比中項。故選：A.【點睛】本題由黃金雙曲線引入雙曲線中實軸、虛軸、焦距之間的關(guān)系,只需要轉(zhuǎn)化為之間的數(shù)量關(guān)系即可,是一道較易題.7。運(yùn)行如圖所示的程序框圖，若輸入的的值為3,輸出的的值為129,則判斷框中可以填（)A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依次執(zhí)行循環(huán)體，看滿足什么條件時結(jié)束循環(huán)體.【詳解】第一次執(zhí)行循環(huán)體,，不滿足判斷框的條件；第二次執(zhí)行循環(huán)體，,不滿足判斷框的條件；第三次執(zhí)行循環(huán)體，，不滿足判斷框的條件;第四次執(zhí)行循環(huán)體，，不滿足判斷框的條件；第五次執(zhí)行循環(huán)體,，不滿足判斷框的條件；第六次執(zhí)行循環(huán)體，，此時滿足判斷框的條件；此時,滿足,所以判斷框的條件應(yīng)該是.故選：B.【點睛】本題考查補(bǔ)全程序框圖，屬于較易題，需要注意在執(zhí)行循環(huán)體的過程中,順序非常重要。8.高斯函數(shù)屬于初等函數(shù)，以大數(shù)學(xué)家約翰·卡爾·弗里德里?！じ咚沟拿置?，其圖形在形狀上像一個倒懸著的鐘，高斯函數(shù)應(yīng)用范圍很廣，在自然科學(xué)、社會科學(xué)、數(shù)學(xué)以及工程學(xué)等領(lǐng)域都能看到它的身影,設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù),則稱為高斯函數(shù),例如：,.則函數(shù)的值域為（）A.｛0，1｝ B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出函數(shù)的值域，再根據(jù)題干中要求即可得出的值域?！驹斀狻考春瘮?shù)的值域為由高斯函數(shù)定義可知函數(shù)的值域為故選:D【點睛】本題主要考查求函數(shù)值域，屬于基礎(chǔ)題。9。如圖，矩形中心為，，現(xiàn)將沿著對角線翻折成，記，二面角的平面角為，直線和所成角為，則（)A.， B。， C。, D.，【答案】D【解析】【分析】作出二面角的平面角，根據(jù)最小角定理，判斷出正確選項?！驹斀狻拷猓簭奶厥馇闆r入手,如圖，當(dāng)二面角的平面角為時,過點作于，鏈接，過點作于，因為，所以垂足在上，因為,，所以,所以，所以。連接,因為，所以,所以。易知平面，所以，所以，所以，所以，所以.故選：D.【點睛】本題主要考查空間中直線與直線所成的角及二面角的大小,考查考生的空間想象能力及分析問題、解決問題的能力,考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、直觀想象.10。已知函數(shù)，.若函數(shù)只有一個極大值和一個極小值,則的取值范圍為(）A。 B。 C. D。【答案】C【解析】【分析】令，根據(jù)的范圍,表示出的范圍，則問題等價于在上只有一個極大值和一個極小值，即可得到不等式組,解得即可，【詳解】解：令,因為，所以則問題轉(zhuǎn)化為在上只有一個極大值和一個極小值，因為函數(shù)只有一個極大值和一個極小值，則,即，又，所以,所以則解得故故選：C【點睛】本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題。11。已知定義域為的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時，.則（)A.0 B。 C. D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】由是奇函數(shù)且滿足，可以得出是一個以3為周期的函數(shù)，則原式的所有函數(shù)值都可以化為給定區(qū)間的值求解。【詳解】是奇函數(shù)且滿足，，，是以3為周期的函數(shù)，且，。故選：B【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性的綜合運(yùn)用,解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)以及給定關(guān)系式得出函數(shù)的周期，是一道綜合題。12。已知橢圓的左、右焦點分別為，，順次連接上的四個點，，，，可以得到一個正方形，若，不落在正方形外側(cè)，則橢圓的離心率的取值范圍為（)A。 B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)出第一象限內(nèi)點的坐標(biāo)，根據(jù)其坐標(biāo)滿足橢圓方程，結(jié)合，求解不等式即可。【詳解】根據(jù)題意，不妨設(shè)點是橢圓在第一象限內(nèi)的點,根據(jù)橢圓和正方形的對稱性，故可設(shè)其坐標(biāo)為，則，解得；又，不落在正方形外側(cè)，故，即，代入，可得，不等式兩邊同除以,可整理化簡為：,解得，又，故可得.故選：。【點睛】本題考查橢圓利用齊次式求離心率，屬基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題.13.已知實數(shù)，滿足，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)題意畫出可行域，再根據(jù)的幾何意義即可得到答案.【詳解】不等式組表示的可行域如圖所示：聯(lián)立，解得,。目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，因為的幾何意義表示：直線的軸截距的倍.所以當(dāng)直線過時，取得最小值。故.故答案為：【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃，同時考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于簡單題.14.記數(shù)列的前項和為，若，，則______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥坑深}意可知原數(shù)列為等比數(shù)列,先利用求出，然后再求?！驹斀狻坑傻?，，則數(shù)列為公比為的等比數(shù)列,所以，得,故。故答案為：.【點睛】本題考查等比數(shù)列的前項和問題，只需要靈活運(yùn)用公式即可，屬于基礎(chǔ)題.15.為了調(diào)查學(xué)校高三年級800名學(xué)生對學(xué)校課程安排的滿意程度,將這些學(xué)生編號為1，2，3，…,800，從這些學(xué)生中利用系統(tǒng)抽樣的方法隨機(jī)抽取50人作出調(diào)查，若28號學(xué)生被抽到,則在[320,336)內(nèi)，被抽到的學(xué)生為______號.【答案】【解析】【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特征可知，抽取的號碼可以組成第二項為,公差為的等差數(shù)列，即可求出其通項公式，再解不等式即可求出．【詳解】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特征可知，將這些學(xué)生分組,每一組人，抽取的號碼可以組成第二項為,公差為的等差數(shù)列，所以其通項公式為，，．由，解得．故在［320，336)內(nèi)，被抽到的學(xué)生為號．故答案為：．【點睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的特征的理解以及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題．16.三棱錐對棱相等，且,，，點，分別是線段，的中點,直線平面,且與平面、平面、平面、平面均有交線,若這些交線圍成一個平面區(qū)域，則的面積的最大值為______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥扛鶕?jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，∠CED=∠B，再判斷出△ACD是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠CAD=45°，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可得解．【詳解】解:∵Rt△ABC繞其直角頂點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到Rt△DEC，

∴AC=CD,∠CED=∠B=55°，

∴△ACD是等腰直角三角形,

∴∠CAD=45°，

由三角形的外角性質(zhì)得，∠ADE=∠CED—∠CAD=55°-45°=10°．

故選：B．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì),等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：17。已知中，角，，所對的邊分別為，，，且，。（1)若，求的面積；（2)若點是線段上靠近的三等分點，且，求的值?！敬鸢浮浚?）；（2）【解析】【分析】（1）首先根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出,再由正弦定理求出，再由勾股定理求出，從而求出三角形的面積；(2）設(shè)，則，由誘導(dǎo)公式可得，利用余弦定理得到方程求出，即可得解;【詳解】解：（1）依題意，，又，解得，由正弦定理,即，所以，所以所以所以（2)設(shè),則，因為，所以由所以解得，則【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題.18.將某產(chǎn)品2014~2018的年投資金額（萬元)與年利潤(萬元）統(tǒng)計如下表所示，通過散點圖可知,可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.年份20142015201620172018年投資金額(萬元）357911年利潤（萬元）111.5131416.5（1）求關(guān)于的線性回歸方程；（2）若2019年公司投資的金額為20萬元,根據(jù)（1）中結(jié)果預(yù)測2019年的年利潤.【答案】（1)；(2)萬元?！窘馕觥俊痉治觥浚?）先計算的平均數(shù),再根據(jù)回歸直線方程系數(shù)的計算公式，即可求得結(jié)果；（2)根據(jù)（1）中所求，令,即可估算結(jié)果.【詳解】(1）由表格中數(shù)據(jù)可得；，又；.故可得,則。故可得回歸直線方程為：。(2）由（1)可得：.令，故可得.故2019年公司投資的金額為20萬元時，年利潤預(yù)計為萬元?！军c睛】本題考查線性回歸直線方程的求解，以及利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測，屬綜合基礎(chǔ)題。19。如圖，在三棱錐中,，,，，點是線段的中點，連接，。（1)求證:;（2)若，，求三棱錐的體積?！敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）首先可證，即可得到，從而得到，,根據(jù)線面垂直的判定定理可得面，從而得證；（2）首先根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出,設(shè)，表示出、，在中由余弦定理，即可求出，從而求得，最后根據(jù)計算可得；【詳解】解:（1)因為,，所以因為，，所以，又所以，所以，又因為點是線段的中點，所以，,又面，面,所以面，因為面,所以（2）因為，所以，又，所以，設(shè)，因為則，,，，在中由余弦定理，即解得所以所以【點睛】本題考查線面垂直的證明,以及錐體的體積計算，屬于中檔題。20.已知拋物線與過點的直線交于兩點。（1）若，求直線的方程；（2）若，軸,垂足為,探究：以為直徑的圓是否過定點？若是，求出該定點的坐標(biāo)；若不是,請說明理由?！敬鸢浮浚?）或；（2）過定點，【解析】【分析】（1)設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式計算即可;（2）設(shè)以為直徑的圓經(jīng)過點,,，利用得,令解方程組即可.【詳解】（1）由題可知，直線的斜率不為0，設(shè)其方程為,將代入，消去可得，顯然,設(shè)，，則,，所以,因為，所以，解得,所以直線的方程為或。（2）因為,所以是線段的中點，設(shè)，則由（1）可得,,所以，又軸,垂足為，所以,設(shè)以為直徑的圓經(jīng)過點，則,,所以，即，化簡可得①，令，可得，所以當(dāng),時,對任意的,①式恒成立,所以以為直徑的圓過定點，該定點的坐標(biāo)為?！军c睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，涉及到拋物線中的定點問題，考查學(xué)生的計算能力，是一道中檔題.21.已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;（2)若函數(shù)存在3個零點，求實數(shù)的取值范圍?！敬鸢浮浚?）單調(diào)性見詳解；（2)?！窘馕觥俊痉治觥浚?）求得，對參數(shù)進(jìn)行分類討論,利用導(dǎo)數(shù)即可求得不同情況下函數(shù)的單調(diào)性；（2）求得，要滿足題意，只需有2個不為2的零點即可,分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可求得參數(shù)范圍。【詳解】（1）因為，故可得,當(dāng)時，令，解得,又單調(diào)遞增，恒成立，令，解得；令，解得,故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，令，解得；令，解得，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，,此時恒成立,即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，令，解得；令，解得，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.綜上所述:當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增;當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.（2）根據(jù)題意可得，顯然是的一個零點，故要滿足題意，只需存在不是2的兩個零點即可.又不是的零點，故令，可解得，令，則,令，解得；令，解得，故在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減.又當(dāng)時，，，且當(dāng)時,；時，；時，，故要滿足題意,只需，且解得且.綜上所述，?！军c睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)單調(diào)性的求解，以及利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍，涉及分離參數(shù)，屬綜合中檔題.（二)選考題:請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］22。