2020-2021《高等代數(shù)二》期末課程考試試卷(含答案)

2020-2021《高等代數(shù)二》期末課程考試試卷

11B254矩陣，1

1,1,2,3T,2

1,1,4,T,3

5,1,8,9T是線訂裝專業(yè):信計 考試日期： 所需時間：120分總分：100線訂裝一、填空（5分×10）

齊次方程組Bx0的解向量，求Bx0的解空間的一個規(guī)范正交基.1在P4中，向量(1,2,1,1)在(1,1,1,1, (1,11,1),

(1,1,1,1)， (1,1,1,1),下的坐標(biāo) . 1 2 342P[x中定義f(x)f(x，其中x是不是線性變0 0換 .：號 3線性空間V的兩組基的過渡矩陣為A，則這兩組基的對偶基的過渡矩陣為學(xué) .

2 1 1

1 123 182

12已知A2 2，求An.4設(shè)矩陣a

184為正交矩陣，則a ，b .182 1 1 2183： 2183名 姓 5歐氏空間V上的線性變換f稱之為正交變換，如果對任意的,V .已知三階矩陣A的特征值為1，-1，2，設(shè)矩陣BA35A2，則B .

三、證明題（10分×2）（提示：行列式的值等于它所有特征值的乘積.）

13設(shè),1 2

, ,n

,是歐氏空間V 的一組基

證明：如果V 滿足試寫出線性空間V上線性變核的表達式 .： 8屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)是否正確？ .級業(yè)班 9設(shè)A是n階矩陣，滿足A2A，則矩陣A的特征值 .業(yè)專二、計算與解答題（10分×3）

,i

0,in，則0.10 在空間P3中設(shè)線性變換Ax,x

2x

x,

x,

.求A在基1 2 3 1 2 2 3 1,0 ：系院

,3

0,0,1下的矩陣.14證明：設(shè),,1 2 3

是線性空間V的一組基，f,f,f線訂線訂裝

是它的對偶基， 《高等代數(shù)二期末課程考試試卷答案1 1

,3

1

,3

，2 3

專業(yè):信計 考試日期： 所需時間：120分總分：100分 閉卷試證：,,1 2 3

是V的一組基并求它的對偶基.

一、填空（5分×10）11在P4中，向量(1,2,1,1)在(1,1,1,1, (1,11,1),1

(1,1,1,1)， (1,1,1,1),下的坐標(biāo) . 2 341454,14,14,14：號 2在P[x]中定f(x)f(x學(xué) 換 是

)，其中x0

是一個固定的數(shù)，判斷是不是線性變V .A'23： 2 1 1 23名 姓 設(shè)矩陣a

18418b 為正交矩陣，則a ，b 18

1,0.32 1 1 2183 2183 歐氏空間V 上的線性變換f 稱之為正交變換，如果對任意的： ,V .f,f級班 6已知三階矩陣A的特征值為1，-1，2，設(shè)矩陣BA35A2，則B .業(yè)專 （提示：行列式的值等于它所有特征值的乘.）【解】設(shè)fxx35x2B的特征值為ff1f2.于是B4612288.7試寫出線性空間V：

.10xV|x0系 8屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)是否正確？ .是院9設(shè)A是n階矩陣，滿足A2A，則矩陣A的特征值 .【解】設(shè)是A的特征值， 是其對應(yīng)的特征向量，則,0

三、證明題（10分×2）A22A2AA2，

13設(shè),1 2

, ,n

,是歐氏空間V 的一組基，證明：如果V 滿足所以20,0,1.

,i

0,in，則0.二、計算與解答題（103）

【證明】根據(jù),0.在空間P3

x,x,

2xx,xx,x

.求A在基

14證明：設(shè),,1 2 3

是線性空間V的一組基，f,f,f1 2 3

是它的對偶基，1 2 3

1 2 2 3

, ,，,

,

0,0,1.

1 1 3

1 2 3 3 2 30 2 3【解】略.

試證,,1 2 3

是V的一組基并求它的對偶基.B254矩陣，

1,1,2,3T,

1,1,4,T,

5,1,8,9T是

0 1 11 2

ggg

f,f,f1 1 2Bx0Bx0

1 2 3

1 2 3 1 1 1【解】既然B2，解空間的維數(shù)為2，又,1 2

,1 2

是解空間的一個基，

1

1,1,2,3T,, 1

1

4,2,10,6T.2 2 , 1 3再單位化，

1 1

1 1151 1,12,3T,1539 1392

2,1,5,3T.1 12 已知A ，求An2 【解】（1）求A的特征值，EA2300,3.(2)A3

10

1P,