數(shù)學教學原則的思考學報

小學數(shù)學教學原則芻議摘要學科教學原則應具備科學性、學科性和針對性。小學生的思維處于具體運算或前運算階段，小學數(shù)學以合情推理為主，教學內容基本上按照兒童的認知發(fā)展過程編排。對于小學數(shù)學教育，僅有一般的數(shù)學教學原則是不夠的。根據(jù)兒童的思維發(fā)展水平、數(shù)學認知特點和我國小學數(shù)學教育的具體情況，我國的小學數(shù)學教育應遵循從具體水平開始教學的原則、從兒童的數(shù)學現(xiàn)實出發(fā)的原則、以理解為基礎的原則和數(shù)學活動教學原則。關鍵詞小學數(shù)學；教學原則；數(shù)學現(xiàn)實；數(shù)學活動教學一、問題的提出教學原則反映了人們對教學活動的本質特點和內在規(guī)律的認識，是指導教學工作有效進行的行為準則，對教學質量和教學效率發(fā)揮著重要的保障性作用?？梢哉f，教學原則是教師教學的“章程”。然而，只要經常關注各種教育類雜志就不難發(fā)現(xiàn)，這些雜志上很少提及教學原則，數(shù)學教學原則更少，小學數(shù)學教學原則更是幾乎無人提及。在高師的小學數(shù)學教學論之類的課程中，小學數(shù)學教學原則應該是一項課程內容，但是并沒有得到重視。例如各高校使用較廣泛的教材中，馬云鵬的《小學數(shù)學教學論》（最新）和宋乃慶、張奠宙（最新）的《小學數(shù)學教育概論》都無教學原則的內容。其他安排了教學原則的教材，也講得很簡單。并且在職小學教師一般不會去讀高師的小學數(shù)學教學論教材。因此，可以說，我國的小學數(shù)學教育有課程標準，卻無教學“章程”可循。二、學科教學原則的特點教學原則雖然是教學規(guī)律的反映，但是教學規(guī)律很多，并不是凡是反映了教學規(guī)律的就可以作為教學原則提出來。例如教學必然受到時間、空間的限制；必然受到經濟條件的制約；必然受到物資條件的制約；必然受到家庭和社會的影響等等，都是客觀存在的、不以人的意志為轉移的規(guī)律，但并沒有作為教學原則提出來。作為學科教學原則，應具備以下特性：1科學性。教學原則的科學性即教學原則應符合教學規(guī)律，應是教學規(guī)律的反映，這是基本的一條。2學科性。即學科教學原則應體現(xiàn)該學科的特點。學科教學原則不僅。例如弗賴登塔爾提出的數(shù)學化原則、嚴謹性原則，都是根據(jù)數(shù)學的學科特點提出來的。弗賴登塔爾的一個重要觀點是：與其說是學習數(shù)學，不如說是學習數(shù)學化。而嚴謹性是眾所周知的數(shù)學的突出特點。張奠宙指出，不應把教育學的一般原則在數(shù)學教學原則中重復提出，數(shù)學教學原則應反映數(shù)學教學的特點和規(guī)律[1]。（3）針對性。即教學原則應針對當前教學中存在的實際問題。這一特點在現(xiàn)代教學論三大流派之一的贊科夫的教學原則中體現(xiàn)得最鮮明。贊科夫提出了5條教學原則，頭兩條是：以高難度進行教學的原則、以高速度進行教學的原則。贊科夫為什么會這樣“走極端”呢原因是當時蘇聯(lián)教育界片面強調教學的可接受性和鞏固性，導致教學內容過于淺顯，重復多，進度慢。也就是說，贊可夫提出這兩條原則是有很強的針對性的。三、小學數(shù)學教學原則小學數(shù)學教育與中學數(shù)學教育具有一些本質性的區(qū)別。首先，小學生的思維處于具體運算或前運算階段，而中學生的思維則已進入形式運算階段，這兩個階段的兒童思維有本質的不同。其次，小學數(shù)學以合情推理為主，基本上沒有演繹推理，教學內容基本上按照兒童的認知發(fā)展過程編排；中學數(shù)學則以演繹推理為主，教學內容基本上按知識的邏輯體系編排。例如中學幾何是按照點、線、面、體的順序安排的，小學的幾何部分則首先安排立體圖形的認識。這些因素決定，中學的數(shù)學教學原則不一定適合小學；對于小學數(shù)學教育，僅有一般的數(shù)學教學原則是不夠的。為了提出科學、適用的小學數(shù)學教學原則方面，遵循上述學科教學原則的三個特性，我們認真總結了長期的小學數(shù)學教學實踐，運用數(shù)學教育理論深入仔細地分析了我國目前小學數(shù)學教學的現(xiàn)狀和存在的問題，提出了以下四條小學數(shù)學教學原則。1．從具體水平開始教學的原則兒童的數(shù)學學習可大致分為以下四種水平:（1）具體水平。這一水平的學習有兩個特點，一是以實物為基本學習材料；二是以動手操作為基本活動方式。例如小學生用實物數(shù)數(shù)，通過操作小棒來做加法，通過折疊一張長方形的紙片來認識長方形的性質等，都是具體水平的學習。（2）半具體水平。這一水平的學習材料是象形的圖，例如小學數(shù)學教材中出現(xiàn)的各種人物圖、水果圖、小動物圖等等，都是半具體水平的學習材料。學習方式則是觀察，例如一張圖上畫有一株樹，樹上有5只小鳥，還有3只小鳥正在飛過來。小學生通過觀察這張圖得出5只小鳥加上3只小鳥等于8只小鳥。這種學習就是半具體水平的學習。（3）半抽象水平。這一水平的學習材料是一種代碼。代碼可以是圖，但這種圖不象形，例如用小圓圈來代表人，畫幾個小圓圈就代表幾個人，等等。代碼也可以是實物，例如兒童可以用小棒來代表各種事物；算盤上的一粒珠子也可以代表各種事物。（4）抽象水平。這一水平的學習材料是符號，即數(shù)字、運算符號、字母等。抽象水平的學習主要通過抽象思維進行。小學生的思維處于具體運算階段（近年來由于入學年齡提早，一部分一年級小學新生的思維還處于前運算階段），其思維要依賴具體事物，手是他們的第一感覺器官。因此小學生的數(shù)學學習主要應該以動手操作實物的方式進行。有一個教學實例生動地說明了小學生的認知不能只依靠象形的圖：教師出示右邊的圖，向學生說明，圖中有4個小立方塊。但一位男生堅決認為只有3個，教師想了各種辦法都不能說服他。最后一位女生激動地沖上講臺，指著最上面的小立方塊說：“要是下面沒有一塊托著，它不就掉下去了嗎”男生才恍然大悟。這一原則的思想許多教育家都已提到?！睹绹F(xiàn)代小學數(shù)學》一書指出：小學數(shù)學教學的許多問題都是由不從具體水平開始教學引起的?！皟和诰唧w水平或操作水平階段，甚至在描述水平或畫圖水平階段，對概念還沒具有充分經驗之前，不宜于在抽象水平或符號水平學習什么概念?！盵2]“大多數(shù)兒童將在前運算階段進入學校，因此我們準備讓他們從頭開始，學習系統(tǒng)的思維方法。既然這種思維方法還沒有形成，教師開始必須從具體的基礎去教所有的概念”。[3]皮亞杰和一些西方心理學家進行了許多這方面的實驗，結果都表明，兒童要建立幾何表象，單憑知覺或視覺是不夠的，還必須有兒童對物體施加的動作。在這些實驗中，必要的動作就是兒童用手指或雙手沿著物體的輪廓運動，形狀正是這樣抽象出來的。但是如果兒童只是偶然地沿著一個物體的輪廓運動，那還是不夠的，還必須是有目的的、協(xié)調的動作。皮亞杰強調指出：“動作性的活動對于兒童理解空間觀念具有無比巨大的重要性?！盵4]動手操作對兒童的智力發(fā)展有很大作用，蘇霍姆林斯基對此有精辟的論述：“兒童的智慧在他的手指尖上?！盵5]“在手和腦之間，有著千絲萬縷的聯(lián)系，這些聯(lián)系起著兩方面的作用：手使腦得到發(fā)展，使它更加聰明，腦使手得到發(fā)展，使它變成創(chuàng)造的聰明的工具，變成思維的工具和鏡子。”[6]“手所掌握的和正在學習的技藝越高超，兒童、少年和青年就越聰明，他對事實、現(xiàn)象、因果聯(lián)系、規(guī)律性進行深入思考和分析的能力就表現(xiàn)得越鮮明。”[7]貫徹這一教學原則要求教師準備恰當?shù)?、足夠的實物學具讓學生操作《美國現(xiàn)代小學數(shù)學》指出，這些學具主要應該是兒童容易認識和熟悉的用具。對于我國兒童來說，可以是筷子、匙子、塑料杯、筆、本子、橡皮擦等等。教師應該精心設計、認真組織學生的操作活動。2．從兒童的數(shù)學現(xiàn)實出發(fā)的原則大家知道，“數(shù)學現(xiàn)實”一詞是弗賴登塔爾提出來的，他指出：每個人都有自己生活、工作和思考著的特定客觀世界以及反映這個客觀世界的各種數(shù)學概念、它的運算方法、規(guī)律和有關的數(shù)學知識結構。這就是他的數(shù)學現(xiàn)實。兒童也有自己生活和思考著的特定客觀世界，不僅如此，他們也有反映這個客觀世界的數(shù)學知識。城市學生絕大多數(shù)上過幼兒園，即使沒上幼兒園也能數(shù)一些數(shù)，有購物的經驗，接觸過貨幣、重量、長度、時間等常見的量，觀察過各種形狀的體和面，等等。兒童的許多生活和游戲的經歷都與數(shù)學有關。這些就是兒童的“數(shù)學現(xiàn)實”。兒童不是從零開始學習數(shù)學的，小學數(shù)學教學的起點應該是每一個兒童的數(shù)學現(xiàn)實，而不是數(shù)學知識的邏輯起點。兒童的數(shù)學現(xiàn)實對其數(shù)學學習有重大影響，并為數(shù)學教育界所高度重視。我國的《義務教育數(shù)學課程標準（最新年版）》（以下簡稱《數(shù)學課標》）指出：“教師教學應該以學生的認知發(fā)展水平和已有經驗為基礎”[8]，“教師應注意數(shù)學知識與學生生活經驗的聯(lián)系、與學生學科知識的聯(lián)系”。[9]《美國現(xiàn)代小學數(shù)學》指出：“促使兒童通過他們自己的經驗去發(fā)現(xiàn)什么，這是現(xiàn)代數(shù)學教學的主要特征之一?！盵10]“小學啟蒙數(shù)學教學大綱應該從幼年兒童學前特有的數(shù)學經歷開始。應該把現(xiàn)實世界形成的情景呈現(xiàn)在教室里?！盵11]“在開始講授之前，教師必須考慮每個兒童的學前經歷和能力?！盵12]美國著名教育家奧蘇伯爾指出：“影響學習的唯一最重要的因素，就是學習者已經知道了什么。要探明這一點，并應據(jù)此進行教學?！盵13]為什么兒童的數(shù)學現(xiàn)實對他們的數(shù)學學習如此重要呢原因主要有三：（1）重復已經知道的東西兒童不會感興趣。（2）兒童是在他們已有知識和經驗的基礎上進行學習的，新知識只能通過同化或順應來獲得。（3）數(shù)學源于生活，用于現(xiàn)實，兒童的生活經驗有助于他們對數(shù)學的理解；聯(lián)系生活實際能激發(fā)他們學習數(shù)學的興趣。我國的小學數(shù)學教材都是從數(shù)學知識的起點開始安排教學內容的，并且一年級新生是從零開始學習數(shù)學的。而由于我國幼兒園教育普遍小學化以及家庭的早期教育，許多小學新生幾乎學完了一年級的數(shù)學知識，這就給教師的教學帶來了困難。如果原原本本地按照教材的安排教學，孩子們就會失去學習的興趣。因此，教師在教學新知識時，首先應通過各種途徑了解學生已有的知識和經驗。讓孩子們說出他們已經知道的東西是一個很好的方法，因為孩子們都樂意展示自己的知識和才能，交流又使他們能相互學習，并大大提高他們的學習興趣。例如對剛入學的孩子應讓他們數(shù)數(shù)，以了解每一個孩子能數(shù)到多大的數(shù)；讓他們說出自己會做哪些計算；學習方位知識時先不要講授，而讓學生充分地說出他們知道哪些方位知識，用上下、左右、前后來描述方位等；學習時間的知識時，讓學生說出他們知道的時間單位、有關鐘表的知識、怎樣看鐘表等。3以理解為基礎的原則數(shù)學是一門邏輯性很強的理論性科學，因此理解在數(shù)學學習中極其重要。《數(shù)學課標》指出：“學生掌握數(shù)學知識，不能依賴死記硬背，而應以理解為基礎”。[14]“在基本技能的教學中，不僅要使學生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學生理解程序和步驟的道理。”[15]《美國現(xiàn)代小學數(shù)學》指出：“這里是要求記憶和訓練都必須在理解了基本法則和計算步驟（算法）之后才進行。如果學生不懂得這一點，就不大可能在數(shù)學上有很大的進展，也不可能把所學到的數(shù)學知識應用于解決重要的實際問題?！盵16]《美國學校數(shù)學教育的原則和標準》一書認為：“學生必須理解地學習數(shù)學，在經驗和先前知識的基礎上，積極主動地掌握新知識?！盵17]“從兒童最早期的數(shù)學學習，就應該幫助他們理解需要根據(jù)理由作出結論。這樣做是十分重要的。”[18]蘇霍姆林斯基一再強調：要思考，不要死記！他指出：“對于沒有充分思考過的規(guī)則進行死背，只能獲得表面的知識，而表面的知識是很難在記憶中保持的?！盵19]他在《給教師的建議》中介紹了優(yōu)秀教師雷薩克是怎樣教算術規(guī)則的：“她向兒童提出的目的是要記住這條規(guī)則。但她首先努力做到使兒童深刻理解這一規(guī)則的實質。然后，當兒童透徹理解了這一規(guī)則后，她就提出一系列例子讓兒童去反復理解和反復思考。”[20]由此可見，東西方的小學數(shù)學教育都十分重視理解。為什么理解對學習數(shù)學如此重要呢除了數(shù)學本身的特點外，至少還有以下幾點理由：（1）死記硬背式的學習機械、枯燥，會扼殺兒童的數(shù)學學習興趣。（2）理解是比記憶和按程序操作更高層次的思維，能培養(yǎng)兒童的思維能力；只讓兒童記憶和按程序操作難以提高兒童的思維能力。（3）理解是應用的基礎，不理解就不能靈活應用；理解也是創(chuàng)新的基礎，不理解就不能創(chuàng)新。貫徹這一原則要求教師在教學中將理解作為基本目標，教學內容要盡量做到有理有據(jù)，并符合兒童的數(shù)學認知規(guī)律和數(shù)學現(xiàn)實。弗賴登塔爾提出了“嚴謹性”的數(shù)學教學原則。嚴謹性是數(shù)學的特點，但是他認為，數(shù)學的嚴謹性有不同的級別，在教學中應根據(jù)不同階段的學生的數(shù)學現(xiàn)實和理解能力來確定適當?shù)膰乐斝?。按照這種思想，則小學數(shù)學也有自己的嚴謹性?！稊?shù)學課標》提出的使學生理解數(shù)學知識、理解技能操作的程序和步驟的道理，就是小學數(shù)學的嚴謹性的體現(xiàn)。在我國目前的小學數(shù)學教學中，死記硬背、盲目模仿的現(xiàn)象仍然相當普遍，是我國當前小學數(shù)學教學的主要問題之一。解決這一問題的首要措施，應該是在教材上下功夫。4．數(shù)學活動教學原則“數(shù)學活動”是數(shù)學教育的一個重要概念。蘇聯(lián)著名數(shù)學教育家斯托利亞爾的一個重要思想是：“數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學”[21]，其基本含義是，教師應通過數(shù)學活動來“教”數(shù)學，而學生則在數(shù)學活動中學習數(shù)學。弗賴登塔爾認為，“要實現(xiàn)真正的現(xiàn)代數(shù)學教育，必須以根本不同的方式來組織教學，……應當組成混合的學生小組。”[22]這種小組學習也就是數(shù)學學習活動的基本形式。我國的《數(shù)學課標》將“基本數(shù)學活動經驗”作為數(shù)學學習的“四基”目標之一，并指出：“學生在獲得知識技能的過程中，只有親身參與教師精心設計的教學活動，才能在數(shù)學思考、問題解決和情感態(tài)度方面得到發(fā)展?！盵23]《數(shù)學課標》中提到的數(shù)學活動有觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等。數(shù)學活動有兩個基本特點：主動性和合作性。也就是說，數(shù)學活動是學生的一種主動的合作學習。這種形式的學習對兒童特別適合和有效。在合作學習中，小組成員之間不可避免地會出現(xiàn)不同看法，而兒童之間的認知矛盾對數(shù)理邏輯知識的發(fā)展是必不可少的。據(jù)《怎樣教幼兒學數(shù)》一書介紹，佩雷特和克拉蒙特在1980年用實驗證明了兒童之間的相互影響的重要性。他們將處于前運算階段的兒童分成三人一組進行實驗，使實驗組出現(xiàn)意見不一致，并要求他們努力在10分鐘內解決分歧。對比組則沒有這種機會。結果發(fā)現(xiàn)，這種活動可以促進實驗組兒童的推理以及建立新的關系，其思維水平比對比組要高一級。[24]出現(xiàn)沖突的情境而讓兒童自己協(xié)商解決，特別能激發(fā)兒童的思維。因此當學習小組出現(xiàn)不同意見時，教師不要輕易發(fā)表自己的意見，而讓學生自己去討論。在討論中，兒童要學習怎樣表達自己的思想，分析別人是怎么想的，以便說服別人，等等，這些都能有力地激發(fā)兒童的思維?！对鯓咏逃變簩W數(shù)》一書指出：“教數(shù)理邏輯知識的一個基本原則是，教師既不要強調正確答案，也不要糾正錯誤答案，而要鼓勵兒童彼此交換意見。”[25]數(shù)學活動教學的課堂有兩個基本特點：（1）教師將教學內容設計成幾個大的學習活動，教學過程就由學生的活動組成，教師只是活動的組織者和參與者；（2）學習活動的形式是小組合作學習。我們舉一個案例來說明。案例兒童怎樣學習（選自胡夢玉主編《小學數(shù)學教學法》。原文摘譯自:JohnHat《Howchidrenearn》）這一年我有一個星期代替一位一年級老師上數(shù)學課，這位老師有個習慣，每次上課之前她總要在黑板上寫幾道題讓來校較早的學生在上課以前做，一般是十以內的加減法，很少超過10，從來沒有超過20。一天我忘了在黑板上出題目，有兩三個孩子進了教室，一看黑板上沒有題目。想了一會，問我能不能讓他們把問題寫在黑板上。我說：“可以，寫吧。”他們開始出了一些和往日相仿的題，接著膽子大起來了，出了象7020=這類題目。在計算的時候他們經常發(fā)生爭論，但總是要等到他們確實知道該怎么做時方肯罷休。他們往往能在短時間內就取得一致意見，而他們所同意的答案總是對的。……他們很少前來要求我?guī)兔?，只有在他們爭論不休時，他們中間一部分人確信自己是對的，在那種情況下才來問我。過不久他們開始做最新00，甚至235500或340420之類的題目。一步一步地他們的題目愈來愈復雜，孩子們——不是全部，但數(shù)目相當大——自己研究出絕大部分加法的運算法則。在一個星期之內——每天只用幾分鐘時間做這類題目——他們完成了學校準備花幾年教他們的內容。一星期過去了，我離開了這個班……但是據(jù)我所見，使我感到，如果數(shù)學是按照它的本來面目來對待的話——一個可供探索的領域而不是去學一大堆干巴巴的事實——孩子們，至少是許多孩子們，將以我們難以置信的速度進入這個領域。這是一項兒童自發(fā)的數(shù)學活動，但具備數(shù)學活動教學的基本特點，取得的效果卻是驚人的。從這個案例可看出，活動教學具備以下優(yōu)點：（1）全體性。即全體學生都在小組中參加數(shù)學活動；（2）自主性。學生可以自主決定學習方法、學習進度，甚至決定學習目標和學習內容；（3）探究性。教師不解釋、不示范，學生自己提出問題、分析問題、解決問題；（4）合作性。學生之間有交流、討論、分享，完成共同的學習任務。我國目前雖然有杜郎口中學、芳草小學等學校實行小組合作學習，但遠沒有實現(xiàn)廣泛的共識。普遍的小學數(shù)學課堂教學基本模式仍然是“問答式”，即教師不斷提出問題，一個一個地叫同學回答，在