數(shù)學(xué)物理方法：第七章 數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題

第二篇數(shù)學(xué)物理方程

介紹物理學(xué)中常見(jiàn)的三類(lèi)偏微分方程及有關(guān)的定解問(wèn)題和常用解法。三類(lèi)偏微分方程：（1）波動(dòng)方程（雙曲型偏微分方程）描述波動(dòng)過(guò)程（機(jī)械波、電磁波）（2）輸運(yùn)方程（拋物型偏微分方程）描述輸運(yùn)過(guò)程（熱傳導(dǎo)、擴(kuò)散）（3）平衡方程（橢圓型偏微分方程）描述平衡狀態(tài)（靜電場(chǎng)、熱平衡狀態(tài)）第七章數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題定解問(wèn)題——在給定的定解條件下求解數(shù)學(xué)物理方程。包括三個(gè)基本過(guò)程：（1）導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理方程，將研究的具體物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；（2）根據(jù)具體問(wèn)題確定方程的初始條件和邊界條件；（3）在確定的初始條件和邊界條件下解方程。泛定方程定解條件（邊界條件、初始條件）§7·1數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出導(dǎo)出三類(lèi)典型的數(shù)學(xué)物理方程一、波動(dòng)方程（雙曲型二階線性偏微分方程）1、均勻弦的微小橫振動(dòng)假設(shè)：（2）微小振動(dòng)，u（x，t）很?。?）橫向位移u（x，t）（3）單位長(zhǎng)度橫向力（4）弦線密度取微元對(duì)微小振動(dòng)自由振動(dòng)f（x，t）=02、均勻桿的縱振動(dòng)設(shè)均勻桿密度橫截面積S兩端縱向位移分別為取微元dx

該段伸長(zhǎng)：和相對(duì)伸長(zhǎng)對(duì)微元應(yīng)用物理定律：設(shè)桿材料的楊氏模量Y兩端應(yīng)力分別為：應(yīng)用牛頓定律：若桿受迫振動(dòng)，設(shè)單位長(zhǎng)度單位面積上所受縱向外力為F（x，t）二、輸運(yùn)方程（拋物型二階線性偏微分方程）1、物質(zhì)的擴(kuò)散方程擴(kuò)散現(xiàn)象：由于濃度不均勻，物質(zhì)從濃度大的地方向濃度小的地方遷移的現(xiàn)象。擴(kuò)散問(wèn)題：研究在擴(kuò)散過(guò)程中物質(zhì)濃度u（x，y，z；t）在空間分布和隨時(shí)間變化?；疚锢砹浚簼舛萿（x，y，z；t）濃度梯度（方向：指向濃度增大的方向）擴(kuò)散流強(qiáng)度（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位橫截面積的粒子數(shù)或質(zhì)量）基本定律：質(zhì)量守恒定律擴(kuò)散定律推導(dǎo)擴(kuò)散方程取微元dV=dxdydz對(duì)微元應(yīng)用物理定律：質(zhì)量守恒定律、擴(kuò)散定律單位時(shí)間內(nèi)由x方向進(jìn)入dV

的凈流量:同理,單位時(shí)間內(nèi)由y、z方向進(jìn)入dV

的凈流量:（1）dV

內(nèi)無(wú)物質(zhì)源時(shí)（2）dV

內(nèi)有物質(zhì)源時(shí)，設(shè)單位時(shí)間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生物質(zhì)量為F（x，y，z；t）無(wú)源擴(kuò)散方程：有源擴(kuò)散方程：如擴(kuò)散源與濃度u有關(guān)2·熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)問(wèn)題：研究在熱傳導(dǎo)過(guò)程中溫度u（x，y，z；t）的空間分布和隨時(shí)間變化基本物理量：溫度u（x，y，z；t）溫度梯度（方向：指向溫度增大的方向）熱流強(qiáng)度（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位橫截面積的熱量）熱傳導(dǎo)：由于溫度不均勻，熱量從溫度高的地方向溫度低的地方轉(zhuǎn)移的現(xiàn)象?；径桑耗芰渴睾愣蔁醾鲗?dǎo)定律推導(dǎo)熱傳導(dǎo)方程取微元dV=dxdydz對(duì)微元應(yīng)用物理定律：能量守恒定律、熱傳導(dǎo)定律單位時(shí)間內(nèi)由x方向進(jìn)入dV

的凈熱流量:單位時(shí)間內(nèi)由y、z方向進(jìn)入dV

的凈熱流量:設(shè)物質(zhì)密度，比熱c設(shè)單位時(shí)間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生熱量（熱源強(qiáng)度）為F（x，y，z；t）（1）dV

內(nèi)有熱源（2）dV

內(nèi)無(wú)熱源三、平衡狀態(tài)方程（橢圓型二階線性偏微分方程）泊松方程：拉普拉斯方程：1·穩(wěn)定濃度分布擴(kuò)散達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)2·穩(wěn)定溫度分布熱傳導(dǎo)達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)3·靜電場(chǎng)方程靜電場(chǎng)滿(mǎn)足：而又可用電勢(shì)描述靜電場(chǎng)：§7·2定解條件定解條件：初始條件、邊界條件（銜接條件）泛定方程和定解條件一起構(gòu)成定解問(wèn)題一、初始條件描述初始時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)、、······、1·輸運(yùn)方程初始條件：2·波動(dòng)方程初始條件：3·無(wú)初始條件問(wèn)題（1）穩(wěn)定場(chǎng)問(wèn)題（平衡狀態(tài)方程）（2）初始條件對(duì)問(wèn)題的影響可忽略不計(jì)周期性外源引起的輸運(yùn)過(guò)程周期性外力作用下的振動(dòng)過(guò)程[例]一根長(zhǎng)l兩端固定的弦，用手將其中點(diǎn)橫向撥開(kāi)距離h，然后放手任其振動(dòng)。寫(xiě)出弦振動(dòng)方程和初始條件。[解]泛定方程：初始條件：二、邊界條件描述系統(tǒng)與周?chē)h(huán)境相聯(lián)系的邊界點(diǎn)上的物理狀態(tài)1·第一類(lèi)邊界條件(Dirichlet條件）[例]兩端（x=0，x=l）固定弦的振動(dòng)邊界條件：[例]桿的一端（x=a）與恒溫?zé)嵩磚0接觸時(shí)的導(dǎo)熱問(wèn)題邊界條件：[例]桿的一端（x=a）與非恒溫?zé)嵩磃（t）接觸時(shí)的導(dǎo)熱問(wèn)題邊界條件：[例]恒定表面（x=0，x=l）濃度N0擴(kuò)散邊界條件：2,第二類(lèi)邊界條件(Neumann條件）[例]桿的縱向振動(dòng)當(dāng)兩端（x=0，x=l）受沿外法線縱向外力f（t）作用時(shí)：相對(duì)伸長(zhǎng)：根據(jù)胡克定律：邊界條件：當(dāng)兩端（x=0，x=l）不受外力自由振動(dòng)時(shí)：邊界條件：[例]細(xì)桿的導(dǎo)熱問(wèn)題當(dāng)一端（x=l）有熱量流q(t)沿端點(diǎn)外法線方向流出時(shí)：邊界條件：當(dāng)一端（x=l）有熱量流q（t）沿端點(diǎn)外法線方向流入時(shí)：邊界條件：當(dāng)一端（x=0）有熱量流q（t）沿端點(diǎn)外法線方向流出時(shí)：邊界條件：當(dāng)一端（x=0）有熱量流q（t）沿端點(diǎn)外法線方向流入時(shí)：邊界條件：當(dāng)兩端（x=0，x=l）絕熱時(shí)：邊界條件：3·第三類(lèi)邊界條件（Robin條件）[例]細(xì)桿的導(dǎo)熱問(wèn)題當(dāng)桿的兩端（x=0，x=l）自由冷卻時(shí)：，桿與介質(zhì)按牛頓設(shè)桿周?chē)橘|(zhì)溫度為冷卻定律交換熱量在x=l端：在x=0端：當(dāng)[例]桿的縱向振動(dòng)設(shè)桿的一端（x=l）與固定物作彈性連結(jié)該端相對(duì)伸長(zhǎng)：桿中彈性力：彈簧恢復(fù)力：根椐p=f4·無(wú)邊界條件問(wèn)題（1）無(wú)邊界系統(tǒng)：無(wú)限長(zhǎng)弦的振動(dòng)（2）半無(wú)界系統(tǒng)：只考慮一邊邊界5·齊次和非齊次邊界條件齊次邊界條件：非齊次邊界條件：三、銜接條件（1）出現(xiàn)躍變點(diǎn)（在該點(diǎn)泛定方程無(wú)意義）[例]橫向力F（t）集中作用于弦上一點(diǎn)x0

時(shí)弦的振動(dòng)點(diǎn)為躍變點(diǎn)不存在在x0點(diǎn)，泛定方程無(wú)意義但兩段并不獨(dú)立振動(dòng)，振動(dòng)的振幅是連續(xù)的又在點(diǎn)銜接條件：（2）出現(xiàn)分界面（點(diǎn)）（在該分界面（點(diǎn)）兩邊方程不同）[例]由不同材料制成桿的縱振動(dòng)：位移：位移在分界面：位移相等；作用力相同。銜接條件：[例]不同介質(zhì)中的靜電場(chǎng)在分界面：電勢(shì)連續(xù)；電位移矢量法向分量連續(xù)。銜接條件：在介質(zhì)中：在介質(zhì)中：三類(lèi)偏微分方程：（1）波動(dòng)方程（雙曲型偏微分方程）描述波動(dòng)過(guò)程（機(jī)械波、電磁波）（2）輸運(yùn)方程（拋物型偏微分方程）描述輸運(yùn)過(guò)程（熱傳導(dǎo)、擴(kuò)散）（3）平衡方程（橢圓型偏微分方程）描述平衡狀態(tài)（靜電場(chǎng)、熱平衡狀態(tài)）數(shù)學(xué)物理方程的分類(lèi)§7·4定解問(wèn)題達(dá)朗貝爾公式一、定解問(wèn)題

1·定解問(wèn)題=泛定方程+定解條件發(fā)展方程邊界條件初始條件初值問(wèn)題混合問(wèn)題平衡狀態(tài)方程邊值問(wèn)題2·定解問(wèn)題的適定性如果一個(gè)定解問(wèn)題的解滿(mǎn)足：（1）解的存在性——有解（2）解的唯一性——只有唯一的解（3）解的穩(wěn)定性——對(duì)定解條件有連續(xù)依賴(lài)性則稱(chēng)這個(gè)定解問(wèn)題是適定的。怎樣解一個(gè)定解問(wèn)題？通常必須將泛定方程和定解條件作為整體來(lái)解。極個(gè)別可先求泛定方程通解，再由定解條件確定通解中的待定函數(shù)。二、達(dá)朗貝爾公式求解一維齊次波動(dòng)方程1·通解：作變量代換先對(duì)積分：再對(duì)積分：通解：表示兩個(gè)以速度a向左右兩方傳播的行波2·由定解條件確定函數(shù)f1和f2（1）無(wú)界空間（無(wú)限長(zhǎng)弦的振動(dòng)）初始條件：將初始條件代入通解：積分解方程組——達(dá)朗貝爾公式初