第4章-插值法-計(jì)算方法-《代碼優(yōu)化》課件

第4章插值法§1插值問題§2線性插值與二次插值§3代數(shù)多項(xiàng)式插值的存在唯一性§4代數(shù)多項(xiàng)式的余項(xiàng)§5拉格朗日插值多項(xiàng)式§6牛頓均差插值多項(xiàng)式§7牛頓前差和后差插值多項(xiàng)式§8三次樣條插值§9數(shù)值微分§10曲線擬合法第4章插值法§1插值問題

§1插值問題

設(shè)函數(shù)關(guān)系y=f(x)在區(qū)間［a,b］上給出一系列點(diǎn)的函數(shù)值yi=f(xi),i=0,1,2,…,n(4―1)或者給出一張函數(shù)表,如表4―1所示。表4―1

§1插值問題

設(shè)函數(shù)關(guān)系y=這里a≤x0＜x1＜x2＜…＜x≤b欲選擇一個(gè)函數(shù)φ(x),使得φ(xi)=yi,i=0,1,2,…,n(4―2)作為函數(shù)y=f(x)的近似表達(dá)式。這里由于代數(shù)多項(xiàng)式具有形式簡單,便于計(jì)算,且在某些情況下與給定的函數(shù)有較好的逼近的特性,人們很早就用它去近似地表示復(fù)雜的函數(shù)或由表格給出的函數(shù)。

若僅限于求函數(shù)在x=x0附近的近似值,一個(gè)熟知的辦法就是將f(x)在x=x0處展成泰勒級數(shù),即由于代數(shù)多項(xiàng)式具有形式簡單,便于計(jì)算取前n+1項(xiàng)的部分和Pn(x)作為f(x)的近似式,也即取前n+1項(xiàng)的部分和Pn(x)作為f(x)的近§2線性插值與二次插值2.1線性插值線性插值是代數(shù)多項(xiàng)式插值的最簡單的形式。假設(shè)給定了函數(shù)f(x)在兩個(gè)互異點(diǎn)x0,x1的值,即xx0x1yy0y1§2線性插值與二次插值2.1現(xiàn)要用一線性函數(shù)φ(x)=P1(x)=ax+b(4―3)近似地代替f(x)。按照插值原則,式(4―2)應(yīng)有因?yàn)閤0≠x1,所以a,b可唯一確定,且有現(xiàn)要用一線性函數(shù)因?yàn)閤0≠x1,所以a,b可唯代入式(4―3)得(4―4)圖4.1代入式(4―3)得(4―4)圖4因?yàn)镻1(x)就是經(jīng)過兩點(diǎn)A(x0,y0),B(x1,y1)的直線方程,所以線性插值的幾何意義為用經(jīng)過兩點(diǎn)A(x0,y0),B(x1,y1)的直線近似地代替曲線y=f(x),見圖4.1。(4―5)因?yàn)镻1(x)就是經(jīng)過兩點(diǎn)A(x0,2.2二次插值二次插值又稱為拋物線插值,也是常用的代數(shù)多項(xiàng)式插值之一。設(shè)已知函數(shù)f(x)的三個(gè)互異插值基點(diǎn)x0,x1,x2的函數(shù)值分別為y0,y1,y2,見下表所示:xxox1x2yy0y1y22.2二次插值xxo現(xiàn)要構(gòu)造一個(gè)二次函數(shù)φ(x)=P2(x)=ax2+bx+c(4―6)近似地代替f(x),并滿足插值原則(4―2)P2(xi)=yi,i=0,1,2,…(4―7)由(4―7)式得(4―8)現(xiàn)要構(gòu)造一個(gè)二次函數(shù)(4―8)由于方程組(4―8)中x0,x1,x2互異,則因此,a,b,c可唯一地確定。這樣二次函數(shù)P2(x)也唯一地被確定。P2(x)就是我們要求的二次插值多項(xiàng)式。二次插值的幾何意義是用經(jīng)過三點(diǎn)A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2)的拋物線來近似地代替f(x),見圖4.2。由于方程組(4―8)中x0,x1,x2互圖4.2圖4.2§3代數(shù)多項(xiàng)式插值的存在唯一性線性插值和二次插值都屬于代數(shù)多項(xiàng)式插值。對于一般的代數(shù)插值問題,就是尋求一個(gè)不高于n次的代數(shù)多項(xiàng)式Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn(4―9)使其在給定的n+1個(gè)互異的插值基點(diǎn)上滿足插值原則Pn(xi)=yi,i=0,1,…,n(4―10)§3代數(shù)多項(xiàng)式插值的存在唯一性這樣的多項(xiàng)式是否存在并且唯一呢?回答是肯定的。根據(jù)插值原則式(4―10),代數(shù)多項(xiàng)式(4―9)中的各個(gè)系數(shù)a0,a1,…,an應(yīng)滿足下列n+1階線性方程組這樣的多項(xiàng)式是否存在并且唯一呢?回答其中未知量a0,a1,…,an的系數(shù)行列式為范德蒙特(VanderMonde)行列式由于插值基點(diǎn)xi(i=0,1,…,n)為互異,故V(x0,x1,…,xn)≠0因此,方程組(4―11)有唯一的一組解a0,a1,…,an,于是Pn(x)存在且唯一。其中未知量a0,a1,…,an的系數(shù)§4代數(shù)多項(xiàng)式的余項(xiàng)代數(shù)多項(xiàng)式Pn(x)僅為已知函數(shù)f(x)的一種近似表達(dá)式,用它來代替f(x)進(jìn)行計(jì)算總會(huì)帶來誤差。一般說來,對插值區(qū)間［a,b］上插值基點(diǎn)xi(i=0,1,2,…,n)以外的點(diǎn),Pn(x)≠f(x)。若令Rn(x)=f(x)-Pn(x)則f(x)=Pn(x)+Rn(x)§4代數(shù)多項(xiàng)式的余項(xiàng)代數(shù)多項(xiàng)我們稱Rn(x)為插值多項(xiàng)式Pn(x)的余項(xiàng)。顯然有Rn(xi)=0,i=0,1,2,…,n下面給出插值多項(xiàng)式Pn(x)余項(xiàng)的表達(dá)式。定理設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上具有n+1階導(dǎo)數(shù),Pn(x)為次數(shù)不高于n的多項(xiàng)式,且Pn(x0)=y0

Pn(x1)=y1

…Pn(xn)=yn

我們稱Rn(x)為插值多項(xiàng)式Pn(x)的余項(xiàng)則對插值區(qū)間上的任何x,都存在ξ∈(a,b),使得這里(4―12)(4―13)證當(dāng)x=xi時(shí),式(4―12)顯然成立。當(dāng)x∈(a,b)但不等于任一個(gè)插值基點(diǎn)時(shí),作輔助函數(shù)則對插值區(qū)間上的任何x,都存在ξ∈(a,b)上式右端第一項(xiàng)f(t)有n+1階導(dǎo)數(shù),第二項(xiàng)是次數(shù)不高于n的多項(xiàng)式,當(dāng)x取某一定值時(shí),第三項(xiàng)是變量t的n+1次多項(xiàng)式,因此F(t)有n+1階導(dǎo)數(shù)。又在區(qū)間［a,b］上,F(t)有n+2個(gè)零點(diǎn)t=x,x0,x1,…,xn應(yīng)用洛爾(Rolle)定理,在(a,b)內(nèi)至少有ξ0,ξ1,…,ξn使得F′(ξi)=0,i=0,1,2,…,n如此反復(fù)應(yīng)用洛爾定理,可知在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ使得F(n+1)(ξ)=0上式右端第一項(xiàng)f(t)有n+1階導(dǎo)數(shù)于是可得到公式(4―12)。利用公式(4―12)可以給出用多項(xiàng)式Pn(x)近似代替f(x)的誤差估計(jì)。這里還得說明幾點(diǎn):(1)插值多項(xiàng)式本身只與插值基點(diǎn)及f(x)在這些基點(diǎn)上的函數(shù)值有關(guān),而與函數(shù)f(x)并沒有關(guān)系。但余項(xiàng)Rn(x)卻與f(x)聯(lián)系很緊。即于是可得到公式(4―12)。即(2)若f(x)為次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式,那么以n+1個(gè)點(diǎn)為基點(diǎn)的插值多項(xiàng)式就一定是其本身,即Pn(x)≡f(x)。這是因?yàn)榇藭r(shí)Rn(x)=0。(3)從余項(xiàng)Rn(x)中的ω(n+1)(x)知,當(dāng)點(diǎn)x位于x0,x1,…,xn的中部時(shí),|ωn+1(x)|比較小,精度要高一些,而位于兩端時(shí),精度要差一些;若x位于x0,x1,…,xn的外部,一般稱為外插(或外推),此時(shí)精度一般不理想,使用時(shí)必須注意。(2)若f(x)為次數(shù)不超過n的多項(xiàng)§5拉格朗日插值多項(xiàng)式我們根據(jù)插值原則將Pn(x)表示成下列形式,即這里(4―14)(4―15)§5拉格朗日插值多項(xiàng)式我們根據(jù)插值原則將P(4―14)式的Pn(x)是n+1個(gè)n次多項(xiàng)式li(x)(i=0,1,2,…,n)的線性組合,因而Pn(x)的次數(shù)不高于n。我們稱形如多項(xiàng)式(4―14)的Pn(x)為拉格朗日插值多項(xiàng)式。Pn(x)還可以寫成下列較簡單的形式:顯然(4―17)(4―14)式的Pn(x)是n+1個(gè)特別當(dāng)n=1時(shí),即得到y(tǒng)=f(x)的線性插值多項(xiàng)式(4―5):或(4―4)式:當(dāng)n=2時(shí),即得到y(tǒng)=f(x)的二次插值多項(xiàng)式特別當(dāng)n=1時(shí),即得到y(tǒng)=f(x)的線性插值例1已知函數(shù)y=f(x)的觀測數(shù)據(jù)為x1234y0-5-63試求拉格朗日插值多項(xiàng)式。例1已知函數(shù)y=f(x)的觀測數(shù)據(jù)為解解例2已知函數(shù)y=f(x)的觀測數(shù)據(jù)為x012y123試求拉格朗日插值多項(xiàng)式。解例2已知函數(shù)y=f(x)的觀測數(shù)據(jù)為x這是二次項(xiàng)系數(shù)為0的二次多項(xiàng)式。從幾何上看,這三點(diǎn)(0,1)、(1,2)、(2,3)在一條直線上。此例說明Pn(x)的次數(shù)可以小于n。拉格朗日插值多項(xiàng)式的計(jì)算框圖見圖4.3。這是二次項(xiàng)系數(shù)為0的二次多項(xiàng)式。從幾圖4.3圖4.3圖4.3圖4.3

§6牛頓均差插值多項(xiàng)式

拉格朗日插值多項(xiàng)式形式對稱,計(jì)算較方便,但由于li(x)依賴于全部基點(diǎn),若算出所有l(wèi)i(x)后又需要增加基點(diǎn),則必須重新計(jì)算。為了克服這個(gè)缺點(diǎn),我們引進(jìn)牛頓均差插值多項(xiàng)式。將插值多項(xiàng)式Pn(x)表示成下列形式:

§6牛頓均差插值多項(xiàng)式

拉格朗Pn(x)=a0+a1(x-x0)+…+an(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)(4―18)這里的插值基點(diǎn)為x0,x1,x2,…,xn,相應(yīng)的函數(shù)值為y0,y1,…,yn。若根據(jù)插值原則Pn(xi)=yi,i=0,1,2,…,n則可逐次求出系數(shù)a0,a1,…,an。但這種確定系數(shù)的方法一般比較復(fù)雜。我們將利用均差概念導(dǎo)出牛頓均差插值多項(xiàng)式。Pn(x)=a0+a1(x-x0)6.1均差設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［xi,xj］上定義,則稱(i≠j)為f(x)在區(qū)間［xi,xj］上的一階均差。一階均差的均差稱為二階均差,記為f［xi,xj,xk］。已知k階均差f［xi,xi+1,…,xi+k］,f［xi+1,xi+2,…,xi+k+1］,則定義k+1階均差為6.1均差(i≠j)為f(x)在區(qū)并規(guī)定f(x)關(guān)于xi的零階均差為函數(shù)值本身,即f［xi］=f(xi)并規(guī)定f(x)關(guān)于xi的零階均差為函數(shù)值本身6.2牛頓均差插值多項(xiàng)式現(xiàn)在利用均差來推導(dǎo)牛頓均差插值多項(xiàng)式。由均差定義(4―20)6.2牛頓均差插值多項(xiàng)式(4―20)將式(4―２０)中的第二式代入第一式的右端便得到線性牛頓均差插值公式(4―21)這里為線性插值多項(xiàng)式將式(4―２０)中的第二式代入第一式將式(4―20)中的第三式代入式(4―21),又得到二次牛頓均差插值多項(xiàng)式(4―22)這里將式(4―20)中的第三式代入式(4是二次插值多項(xiàng)式為其余項(xiàng)。仿此,每增加一個(gè)插值基點(diǎn),只要將(4―20)中高階均差代入前一個(gè)公式,…,最后可得到(4―23)是二次插值多項(xiàng)式為其余項(xiàng)。(4―23)這里稱(4―24)式為牛頓均差插值多項(xiàng)式,(4―25)式為牛頓均差插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。將式(4―24)與(4―18)比較,顯然有ak=f［x0,x1,…,xk］,k=0,1,2,…,n(4―26)這里稱(4―24)式為牛頓均差插值多項(xiàng)式,(根據(jù)插值多項(xiàng)式的存在唯一性,將牛頓均差插值公式與拉格朗日插值公式比較這樣得到均差與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為f［x,x0,x1,…,xn］(n+1)!=f(n+1)(ξ)(4―27)其中ξ∈(a,b)。根據(jù)插值多項(xiàng)式的存在唯一性,將牛頓均牛頓均差插值多項(xiàng)式的計(jì)算極為方便,且當(dāng)增加一個(gè)插值基點(diǎn)時(shí),只要在后面多計(jì)算一項(xiàng),Pn(x)的各項(xiàng)系數(shù)恰好是各階均差值。各階均差值可按均差表4―1計(jì)算。牛頓均差插值多項(xiàng)式的計(jì)算極為方便,且表4―1表4―1例3構(gòu)造例1中f(x)的牛頓均差插值多項(xiàng)式。解作均差表4―2。表4―2例3構(gòu)造例1中f(x)的牛頓均差插值多項(xiàng)P3(x)=0+(-5)(x-1)+2(x-1)(x-2)+(x-1)(x-2)(x-3)=x3-4x2+3例4已知數(shù)據(jù)表4―3。表4―3x12356F(x)0262090試求牛頓均差插值多項(xiàng)式。解作均差表4―4。P3(x)=0+(-5)(x-表4―4表4―4下面敘述均差的幾個(gè)重要性質(zhì):(1)k階均差f［x0,x1,…,xk］是函數(shù)值f(x0),f(x1),…,f(xk)的線性組合,即下面敘述均差的幾個(gè)重要性質(zhì):(2)均差f［x0,x1,…,xk］為x0,x1,…,xk的對稱函數(shù)。也就是設(shè)i0,i1,…,ik為0,1,2,…,k的任一種排列,則恒有f［x0,x1,…,xk］=f［xi0,xi1,…,xik］(4―29)(3)設(shè)f(x)為x的n次多項(xiàng)式,則當(dāng)k＞n時(shí)f［x0,x1,…,xk］=0(4)設(shè)f(x)為x的n次多項(xiàng)式,則其一階均差f［x,x0］為x的n-1次多項(xiàng)式,二階均差f［x,x0,x1］為x的n-2次多項(xiàng)式,一般說來,k(k≤n)階均差f［x,x0,…,xk-1］為x的n-k次多項(xiàng)式。(2)均差f［x0,x1,…,xk(5)設(shè)f(x)可導(dǎo),則定義一般地f′(x,x0,x1,…,xn)=f(x,x,x0,x1,…,xn)(4―30)性質(zhì)(1)、(2)、(3)、(4)證明都比較簡單,我們僅給出性質(zhì)(1)、(2)、(3)的證明,性質(zhì)(4)留給讀者證。證對于性質(zhì)(1),利用數(shù)學(xué)歸納法(5)設(shè)f(x)可導(dǎo),則定義性質(zhì)(1)成立。假設(shè)k=m時(shí)成立,要證明k=m+1也成立。因?yàn)樾再|(zhì)(1)成立。假設(shè)k=m時(shí)成立,要所以,性質(zhì)(1)成立。由性質(zhì)(1)可得可見改變基點(diǎn)的排列次序,實(shí)質(zhì)上僅是改變求和次序,其值不變。因此性質(zhì)(2)成立。最后證明性質(zhì)(3)。因?yàn)閒(x)為x的n次多項(xiàng)式,以互異點(diǎn)x0,x1,…,xk為基點(diǎn)的牛頓均差插值多項(xiàng)式為所以,性質(zhì)(1)成立。可見改變基Pk(x)=f(x0)+f［x0,x1］(x-x0)+…+f(x0,x1,…,xk)(x-x0)(x-x1)…(x-xk-1)=f(x)這說明多項(xiàng)式Pk(x)中的最高次應(yīng)該是xn。故當(dāng)k＞n時(shí),Pk(x)中xk的系數(shù)f［x0,x1,…,xk］應(yīng)為零。性質(zhì)(3)得證。Pk(x)=f(x0)+f§7牛頓前差和后差插值多項(xiàng)式當(dāng)插值基點(diǎn)x0,x1,…,xn分布等距時(shí),也即h=xk+1-xk,k=0,1,2,…,n-1牛頓均差插值多項(xiàng)式的表達(dá)形式可以簡化。為此先引進(jìn)有限差概念。§7牛頓前差和后差插值多項(xiàng)式當(dāng)插7.1有限差我們分別稱為一階前差、一階后差和一階中心差,又統(tǒng)稱為一階有限差。這里符號Δ、、δ分別表示前差、后差和中心差算子。由一階有限差算子的定義,用遞推方法可定義高階有限差。二階前、后差分別定義為7.1有限差為一依此類推,n階前差定義為n階后差定義為依此類推,n階前差定義為n階后差定義為并規(guī)定零階前、后差為同樣可定義n階中心差根據(jù)有限差的定義,可得到它的幾個(gè)簡單性質(zhì):=(1)若函數(shù)f(x)為m次多項(xiàng)式,則m-k次多項(xiàng)式,0≤k≤mk＞m（即常數(shù)的有限差為零）(4―31)并規(guī)定零階前、后差為同樣可定義n階中心差根(2)均差與前、后差的關(guān)系可表示為(4―32)(4―33)式(4―32)和(4―33)可用歸納法證明。(2)均差與前、后差的關(guān)系可表示為7.2牛頓前差和后差插值多項(xiàng)式1.牛頓前差插值多項(xiàng)式在牛頓均差插值多項(xiàng)式(4―24)中,按式(4―32)將均差換成前差,即得到牛頓前差插值多項(xiàng)式(4―34)7.2牛頓前差和后差插值多項(xiàng)式(4―34)令x=x0+sh(s未必是整數(shù))則xi=x0+ih

x-xi=(s-i)h,i=0,1,2,…,n

令這樣牛頓前差插值多項(xiàng)式可改寫成(4―35)或記為且其余項(xiàng)為(4―36)這樣牛頓前差插值多項(xiàng)式可改寫成(4―35)或記2.牛頓后差插值多項(xiàng)式若將n+1個(gè)插值基點(diǎn)依xn,xn-1,…,x0的次序排列,則牛頓均差插值多項(xiàng)式為Pn(x)=f(xn)+f［xn,xn-1］(x-xn)+f［xn,xn-1,…,x0］(x-xn)(x-xn-1)…(x-x1)根據(jù)公式(4―33)易得2.牛頓后差插值多項(xiàng)式用后差代替均差,可得牛頓后差插值多項(xiàng)式令x=xn+th（t不一定是整數(shù)）則xn-k=xn-khx-xn-k=(t+k)h,k=0,1,2,…,n用后差代替均差,可得牛頓后差插值多項(xiàng)式令于是牛頓后差插值多項(xiàng)式又可寫成(4―37)或記為其余項(xiàng)為(4―38)于是牛頓后差插值多項(xiàng)式又可寫成(4―37)或這里ωn+1(x)=t(t+1)(t+2)…(t+n)hn+1表4―5這里表4―5表4―6表4―6例5分別作出f(x)=x2+x+1的前差和后差表。解前差表見表4―7;后差表見表4―8。表4―7例5分別作出表4―7表4―8表4―8例6給出正弦函數(shù)sinx由x=0.4到0.7的值(h=0.1),試分別用牛頓前差和后差公式計(jì)算sin0.57891的近似值。解作差分表4―9。表4―９例6給出正弦函數(shù)sinx由x=0.4利用牛頓前差公式利用牛頓前差公式利用牛頓后差公式利用牛頓后差公式§8三次樣條插值8.1三次樣條插值函數(shù)的定義設(shè)給定區(qū)間［a,b］上n+1個(gè)點(diǎn)a=x0＜x1＜x2＜…＜xn=b如果函數(shù)s(x)滿足:(1)在每一個(gè)子區(qū)間［xk,xk+1］(k=0,1,…,n-1)上,s(x)是一個(gè)不超過三次的多項(xiàng)式,且s(xi)=f(xi),i=0,1,2,…,n(4―39)§8三次樣條插值8.1三次樣條插值函數(shù)的(2)函數(shù)s(x)在［a,b］上具有直到二階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),則稱s(x)是f(x)以x1,x2,…,xn-1為內(nèi)部基點(diǎn)的三次樣條插值函數(shù),并稱(xi,yi)(i=0,1,2,…,n)為樣條插值函數(shù)的樣點(diǎn)。

(2)函數(shù)s(x)在［a,b］上具有8.2三次樣條插值法按照三次樣條插值函數(shù)的定義,s(x)在每一個(gè)子區(qū)間［xk,xk+1］上是一個(gè)不超過三次的多項(xiàng)式,故s″(x)是線性函數(shù)。令mk=s″(xk),k=0,1,2,…,n(4―40)設(shè)x∈［xk,xk+1］,則過兩點(diǎn)(xk,mk)與(xk+1,mk+1)的直線所表示的線性函數(shù)為(4―41)8.2三次樣條插值法(4―41其中hk=xk+1-xk對(4―41)式兩端連續(xù)求兩次積分得(4―42)(4―43)其中(4―42)(4―43)其中Ak、Bk為積分常數(shù)。根據(jù)插值原則由式(4―43)得到方程(4―44)其中Ak、Bk為積分常數(shù)。根據(jù)插值原則由式(從而解出Ak和Bk,即(4―45)(4―46)由式(4―43)可看出三次樣條插值函數(shù)s(x)僅與mk、mk+1有關(guān)系,因此只要求得各個(gè)mk,則各個(gè)子區(qū)間［xk,xk+1］上的三次樣條函數(shù)也就確定了。下面介紹求mk的方法。從而解出Ak和Bk,即(4―45)(4―46當(dāng)x∈［xk-1,xk］時(shí),(4―47)式應(yīng)表示為當(dāng)x∈［xk-1,xk］時(shí),(4―47)式當(dāng)x∈［xk,xk+1］時(shí),(4―48)(4―49)當(dāng)x∈［xk,xk+1］時(shí),(4―48)根據(jù)三次樣條插值函數(shù)的定義,應(yīng)有整理后得到(4―50)根據(jù)三次樣條插值函數(shù)的定義,應(yīng)有整理后得到那么于是(4―50)式可簡寫成(4―51)那么于是(4―50)式可簡寫成(4―51)也即(4―52)

此是含有n+1個(gè)未知量m0,m1,…,mn的n-1個(gè)方程的方程組,我們可根據(jù)實(shí)際問題的具體要求補(bǔ)充兩個(gè)附加條件,就可求出各個(gè)mk。也即(4―52)

此是含有n+1個(gè)未知量在區(qū)間［a,b］的端點(diǎn)a和b(即x0和xn)處對樣條插值函數(shù)加以限制,稱為端點(diǎn)條件。常用的端點(diǎn)條件有以下幾種:①函數(shù)y=f(x)在兩端點(diǎn)x0及xn處的導(dǎo)數(shù)y′0和y′n為已知。此時(shí)要求由式(4―48)和(4―49)得到在區(qū)間［a,b］的端點(diǎn)a和b(即x0也即(4―53)其中(4―54)也即(4―53)其中(4―54)式(4―52)與式(4―53)兩個(gè)方程組聯(lián)立成

式(4―52)與式(4―53)兩個(gè)方程組聯(lián)立其幾何解釋為曲線在兩端點(diǎn)的斜率。②函數(shù)y=f(x)在兩端點(diǎn)x0,xn處的二階導(dǎo)數(shù)為零。此時(shí)要求其幾何解釋為曲線在兩端點(diǎn)的曲率為零。③函數(shù)y=f(x)是一個(gè)以b-a=xn-x0為周期的周期函數(shù)。此時(shí)y0=yn

其幾何解釋為曲線在兩端點(diǎn)的斜率。其幾相應(yīng)也要求樣條插值函數(shù)s(x)也具有周期性,故在端點(diǎn)要求滿足條件由于hn=h0,mn=m0,yn=y0利用式(4―48)和式(4―49)可得到相應(yīng)也要求樣條插值函數(shù)s(x)也具有于是有(4―57)于是有(4―57)例7給出四個(gè)樣點(diǎn)(1,1)、(2,3)、(4,4)、(5,2),求其各個(gè)子區(qū)間上的樣條插值函數(shù)s(x)(設(shè)m0=m3=0),并求f(3)。解給定樣點(diǎn)的函數(shù)表為x1234y1342例7給出四個(gè)樣點(diǎn)(1,1)、(2,于是求mk的方程組為于是求mk的方程組為則關(guān)于m1,m2的方程組為解得則關(guān)于m1,m2的方程組為解得在［1,2］上的樣條插值函數(shù)為在［2,4］上的樣條插值函數(shù)為在［4,5］上的樣條插值函數(shù)為在［1,2］上的樣條插值函數(shù)為在［2,4］上的并且并且§9數(shù)值微分9.1用插值法求數(shù)值微分用插值多項(xiàng)式Pn(x)近似地表示函數(shù)f(x),即f(x)≈Pn(x)于是有f(k)(x)≈P(k)n(x)其余項(xiàng)相應(yīng)地為R(k)n(x)?！?數(shù)值微分9.1用插值法求數(shù)值微分設(shè)插值基點(diǎn)為等距分布,由牛頓前差插值多項(xiàng)式其中由于設(shè)插值基點(diǎn)為等距分布,由牛頓前差插值多項(xiàng)式其中于是于是即因?yàn)榧匆驗(yàn)槎?dāng)x=xi時(shí),s=i,此時(shí)(4―59)(4―60)特別當(dāng)x=x0時(shí),s=0,則(4―61)而當(dāng)x=xi時(shí),s=i,此時(shí)(4―59)(4―60)特別1.兩點(diǎn)公式(n=1)于是在區(qū)間［x0,x2］上有(4―62)1.兩點(diǎn)公式(n=1)于是在區(qū)間［2.三點(diǎn)公式(n=2)于是在區(qū)間［x0,x2］上有2.三點(diǎn)公式(n=2)于是在區(qū)間［x9.2用三次樣條函數(shù)求數(shù)值微分設(shè)s(x)是f(x)在各區(qū)間［xk,xk+1］上的三次樣條插值函數(shù),則在區(qū)間［xk,xk+1］上可通過三次樣條函數(shù)來求f(x)的數(shù)值微分。1.一階數(shù)值微分公式(4―65)9.2用三次樣條函數(shù)求數(shù)值微分(4―65)若只求基點(diǎn)xk(k=0,1,…,n-1)上的一階導(dǎo)數(shù)值,則(4―66)2.二階數(shù)值微分公式特別,若只求基點(diǎn)上的二階導(dǎo)數(shù)值,則(4―67)(4―68)若只求基點(diǎn)xk(k=0,1,…,n-1)上的§10曲線擬合法設(shè)一組觀測數(shù)據(jù)為xx0x1x2x3…xnyy0y1y2y3…yn§10曲線擬合法設(shè)一組觀測數(shù)據(jù)為xx0其中xi≠xj(i≠j),我們要根據(jù)這一系列數(shù)據(jù)找出函數(shù)關(guān)系y=f(x)。若用插值函數(shù)φ(x)代替函數(shù)關(guān)系f(x),要求滿足插值原則φ(xi)=f(xi),i=0,1,2,…,n由于觀測點(diǎn)和觀測數(shù)據(jù)本身就有誤差,就會(huì)使函數(shù)保留這些誤差,而影響逼近函數(shù)的精度。其中xi≠xj(i≠j),我們要根據(jù)在實(shí)際問題中,往往并不要求近似函數(shù)φ(x)所表示的曲線通過這些觀測點(diǎn),而只要求由已知數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=0,1,…,n)找出x,y之間的依賴關(guān)系,使得近似函數(shù)φ(x)能充分地反映函數(shù)y=f(x)的大致面目,也即與f(x)有最好的擬合(或逼近)。這就是曲線擬合問題。有的還稱為配曲線或找經(jīng)崐驗(yàn)公式。例如,已知數(shù)據(jù)x012345y11.62.12.43.23.4我們可以用近似函數(shù)在實(shí)際問題中,往往并不要求近似函數(shù)φ圖4.4圖4.4因?yàn)榍€擬合問題并不要求滿足插值原則φ(xi)=yi,i=0,1,2,…,n故在基點(diǎn)x0,x1,x2,…,xn上φ(x)與f(x)有誤差ri=φ(xi)-yi,i=0,1,2,…,n(4―69)稱ri為用φ(x)擬合f(x)的偏差。我們僅對φ(x)為多項(xiàng)式情形進(jìn)行討論。設(shè)函數(shù)關(guān)系y=f(x)的一組觀測數(shù)據(jù)為(xi,yi)(i=0,1,2,…,n),欲求一個(gè)m(m＜n)次多項(xiàng)式Pm(x)=α0+α1x+…+αmxm(4―70)因?yàn)榍€擬合問題并不要求滿足插值原則的平方和(4―71)為最小,這樣的方法稱為線性最小二乘法,R稱為用Pm(x)擬合f(x)的總偏差。根據(jù)極值理論,要使得R達(dá)到極小,必有(4―72)的平方和(4―71)為最小,這樣的方法稱此方程組為正則方程組。通過它可求出α0,α1,…,αm。下面對m=2的情形作具體討論。也就是用二次函數(shù)P2(x)=α0+α1x+α2x2來擬合f(x),此時(shí)總偏差為稱此方程組為正則方程組。通過它可求由(4―72)式知由(4―72)式知從而得到正則方程組從而得到正則方程組解此方程組得α0,α1,α2的值,即可求得近似函數(shù)P2(x)。一般地,對于Pm(x),可類似地得到m+1階正則方程組(4―73)解此方程組得α0,α1,α2的值寫成矩陣形式(4-74)寫成矩陣形式(4-74)例8設(shè)有一組數(shù)據(jù)表x1345678910y2781011111098試用二次多項(xiàng)式來擬合這組數(shù)據(jù)。解首先算出的值分別為53,76,489,381,3547,3017,25317,然后得到正則方程組例8設(shè)有一組數(shù)據(jù)表x1345678919α0+53α1+381α2=7653α0+381α1+3017α2=489381α0+3017α1+25317α2=3547解得α0=-1.4597,α1=3.6053,α2=-0.2676因此所求的二次多項(xiàng)式P2(x)=-1.4597+3.6053x=0.2676x2給出的數(shù)據(jù)和二次多項(xiàng)式表示的曲線見圖4.5。9α0+53α1+圖4.5圖4.5最后必須指出,在實(shí)際問題中,近似函數(shù)φ(x)的選取只能憑經(jīng)驗(yàn)得到。例(1)加速度與時(shí)間的關(guān)系是線性關(guān)系,可選取φ(x)=α0+α1x(2)炮彈在空中的高度與時(shí)間的關(guān)系近似于拋物線,可選取φ(x)=α0+α1x+α2x2最后必須指出,在實(shí)際問題中,近似函數(shù)此外,當(dāng)φ(x)不是多項(xiàng)式時(shí),如(1)冪函數(shù)φ(x)=axb(2)指數(shù)函數(shù)φ(x)=aebx(3)對數(shù)函數(shù)φ(x)=a+blnx

此外,當(dāng)φ(x)不是多項(xiàng)式時(shí),如例9求一個(gè)經(jīng)驗(yàn)函數(shù)φ(x)=aebx(a,b為常數(shù))使它能和下面給出的數(shù)據(jù)相擬合。x12345678y15.320.527.436.649.165.687.8117.6解對經(jīng)驗(yàn)公式兩邊取對數(shù)得lnφ(x)=lna+bx令A(yù)=lna,B=bu=lnφ(x)例9求一個(gè)經(jīng)驗(yàn)函數(shù)x12345678y15.3則u=A+Bx可算得則于是得到正則方程組8A+36B=29.978736A+204B=147.1948解得A=11.36,B=0.2926因此經(jīng)驗(yàn)公式為φ(x)=11.36e0.2926x

于是得到正則方程組第4章插值法§1插值問題§2線性插值與二次插值§3代數(shù)多項(xiàng)式插值的存在唯一性§4代數(shù)多項(xiàng)式的余項(xiàng)§5拉格朗日插值多項(xiàng)式§6牛頓均差插值多項(xiàng)式§7牛頓前差和后差插值多項(xiàng)式§8三次樣條插值§9數(shù)值微分§10曲線擬合法第4章插值法§1插值問題

§1插值問題

設(shè)函數(shù)關(guān)系y=f(x)在區(qū)間［a,b］上給出一系列點(diǎn)的函數(shù)值yi=f(xi),i=0,1,2,…,n(4―1)或者給出一張函數(shù)表,如表4―1所示。表4―1

§1插值問題

設(shè)函數(shù)關(guān)系y=這里a≤x0＜x1＜x2＜…＜x≤b欲選擇一個(gè)函數(shù)φ(x),使得φ(xi)=yi,i=0,1,2,…,n(4―2)作為函數(shù)y=f(x)的近似表達(dá)式。這里由于代數(shù)多項(xiàng)式具有形式簡單,便于計(jì)算,且在某些情況下與給定的函數(shù)有較好的逼近的特性,人們很早就用它去近似地表示復(fù)雜的函數(shù)或由表格給出的函數(shù)。

若僅限于求函數(shù)在x=x0附近的近似值,一個(gè)熟知的辦法就是將f(x)在x=x0處展成泰勒級數(shù),即由于代數(shù)多項(xiàng)式具有形式簡單,便于計(jì)算取前n+1項(xiàng)的部分和Pn(x)作為f(x)的近似式,也即取前n+1項(xiàng)的部分和Pn(x)作為f(x)的近§2線性插值與二次插值2.1線性插值線性插值是代數(shù)多項(xiàng)式插值的最簡單的形式。假設(shè)給定了函數(shù)f(x)在兩個(gè)互異點(diǎn)x0,x1的值,即xx0x1yy0y1§2線性插值與二次插值2.1現(xiàn)要用一線性函數(shù)φ(x)=P1(x)=ax+b(4―3)近似地代替f(x)。按照插值原則,式(4―2)應(yīng)有因?yàn)閤0≠x1,所以a,b可唯一確定,且有現(xiàn)要用一線性函數(shù)因?yàn)閤0≠x1,所以a,b可唯代入式(4―3)得(4―4)圖4.1代入式(4―3)得(4―4)圖4因?yàn)镻1(x)就是經(jīng)過兩點(diǎn)A(x0,y0),B(x1,y1)的直線方程,所以線性插值的幾何意義為用經(jīng)過兩點(diǎn)A(x0,y0),B(x1,y1)的直線近似地代替曲線y=f(x),見圖4.1。(4―5)因?yàn)镻1(x)就是經(jīng)過兩點(diǎn)A(x0,2.2二次插值二次插值又稱為拋物線插值,也是常用的代數(shù)多項(xiàng)式插值之一。設(shè)已知函數(shù)f(x)的三個(gè)互異插值基點(diǎn)x0,x1,x2的函數(shù)值分別為y0,y1,y2,見下表所示:xxox1x2yy0y1y22.2二次插值xxo現(xiàn)要構(gòu)造一個(gè)二次函數(shù)φ(x)=P2(x)=ax2+bx+c(4―6)近似地代替f(x),并滿足插值原則(4―2)P2(xi)=yi,i=0,1,2,…(4―7)由(4―7)式得(4―8)現(xiàn)要構(gòu)造一個(gè)二次函數(shù)(4―8)由于方程組(4―8)中x0,x1,x2互異,則因此,a,b,c可唯一地確定。這樣二次函數(shù)P2(x)也唯一地被確定。P2(x)就是我們要求的二次插值多項(xiàng)式。二次插值的幾何意義是用經(jīng)過三點(diǎn)A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2)的拋物線來近似地代替f(x),見圖4.2。由于方程組(4―8)中x0,x1,x2互圖4.2圖4.2§3代數(shù)多項(xiàng)式插值的存在唯一性線性插值和二次插值都屬于代數(shù)多項(xiàng)式插值。對于一般的代數(shù)插值問題,就是尋求一個(gè)不高于n次的代數(shù)多項(xiàng)式Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn(4―9)使其在給定的n+1個(gè)互異的插值基點(diǎn)上滿足插值原則Pn(xi)=yi,i=0,1,…,n(4―10)§3代數(shù)多項(xiàng)式插值的存在唯一性這樣的多項(xiàng)式是否存在并且唯一呢?回答是肯定的。根據(jù)插值原則式(4―10),代數(shù)多項(xiàng)式(4―9)中的各個(gè)系數(shù)a0,a1,…,an應(yīng)滿足下列n+1階線性方程組這樣的多項(xiàng)式是否存在并且唯一呢?回答其中未知量a0,a1,…,an的系數(shù)行列式為范德蒙特(VanderMonde)行列式由于插值基點(diǎn)xi(i=0,1,…,n)為互異,故V(x0,x1,…,xn)≠0因此,方程組(4―11)有唯一的一組解a0,a1,…,an,于是Pn(x)存在且唯一。其中未知量a0,a1,…,an的系數(shù)§4代數(shù)多項(xiàng)式的余項(xiàng)代數(shù)多項(xiàng)式Pn(x)僅為已知函數(shù)f(x)的一種近似表達(dá)式,用它來代替f(x)進(jìn)行計(jì)算總會(huì)帶來誤差。一般說來,對插值區(qū)間［a,b］上插值基點(diǎn)xi(i=0,1,2,…,n)以外的點(diǎn),Pn(x)≠f(x)。若令Rn(x)=f(x)-Pn(x)則f(x)=Pn(x)+Rn(x)§4代數(shù)多項(xiàng)式的余項(xiàng)代數(shù)多項(xiàng)我們稱Rn(x)為插值多項(xiàng)式Pn(x)的余項(xiàng)。顯然有Rn(xi)=0,i=0,1,2,…,n下面給出插值多項(xiàng)式Pn(x)余項(xiàng)的表達(dá)式。定理設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上具有n+1階導(dǎo)數(shù),Pn(x)為次數(shù)不高于n的多項(xiàng)式,且Pn(x0)=y0

Pn(x1)=y1

…Pn(xn)=yn

我們稱Rn(x)為插值多項(xiàng)式Pn(x)的余項(xiàng)則對插值區(qū)間上的任何x,都存在ξ∈(a,b),使得這里(4―12)(4―13)證當(dāng)x=xi時(shí),式(4―12)顯然成立。當(dāng)x∈(a,b)但不等于任一個(gè)插值基點(diǎn)時(shí),作輔助函數(shù)則對插值區(qū)間上的任何x,都存在ξ∈(a,b)上式右端第一項(xiàng)f(t)有n+1階導(dǎo)數(shù),第二項(xiàng)是次數(shù)不高于n的多項(xiàng)式,當(dāng)x取某一定值時(shí),第三項(xiàng)是變量t的n+1次多項(xiàng)式,因此F(t)有n+1階導(dǎo)數(shù)。又在區(qū)間［a,b］上,F(t)有n+2個(gè)零點(diǎn)t=x,x0,x1,…,xn應(yīng)用洛爾(Rolle)定理,在(a,b)內(nèi)至少有ξ0,ξ1,…,ξn使得F′(ξi)=0,i=0,1,2,…,n如此反復(fù)應(yīng)用洛爾定理,可知在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ使得F(n+1)(ξ)=0上式右端第一項(xiàng)f(t)有n+1階導(dǎo)數(shù)于是可得到公式(4―12)。利用公式(4―12)可以給出用多項(xiàng)式Pn(x)近似代替f(x)的誤差估計(jì)。這里還得說明幾點(diǎn):(1)插值多項(xiàng)式本身只與插值基點(diǎn)及f(x)在這些基點(diǎn)上的函數(shù)值有關(guān),而與函數(shù)f(x)并沒有關(guān)系。但余項(xiàng)Rn(x)卻與f(x)聯(lián)系很緊。即于是可得到公式(4―12)。即(2)若f(x)為次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式,那么以n+1個(gè)點(diǎn)為基點(diǎn)的插值多項(xiàng)式就一定是其本身,即Pn(x)≡f(x)。這是因?yàn)榇藭r(shí)Rn(x)=0。(3)從余項(xiàng)Rn(x)中的ω(n+1)(x)知,當(dāng)點(diǎn)x位于x0,x1,…,xn的中部時(shí),|ωn+1(x)|比較小,精度要高一些,而位于兩端時(shí),精度要差一些;若x位于x0,x1,…,xn的外部,一般稱為外插(或外推),此時(shí)精度一般不理想,使用時(shí)必須注意。(2)若f(x)為次數(shù)不超過n的多項(xiàng)§5拉格朗日插值多項(xiàng)式我們根據(jù)插值原則將Pn(x)表示成下列形式,即這里(4―14)(4―15)§5拉格朗日插值多項(xiàng)式我們根據(jù)插值原則將P(4―14)式的Pn(x)是n+1個(gè)n次多項(xiàng)式li(x)(i=0,1,2,…,n)的線性組合,因而Pn(x)的次數(shù)不高于n。我們稱形如多項(xiàng)式(4―14)的Pn(x)為拉格朗日插值多項(xiàng)式。Pn(x)還可以寫成下列較簡單的形式:顯然(4―17)(4―14)式的Pn(x)是n+1個(gè)特別當(dāng)n=1時(shí),即得到y(tǒng)=f(x)的線性插值多項(xiàng)式(4―5):或(4―4)式:當(dāng)n=2時(shí),即得到y(tǒng)=f(x)的二次插值多項(xiàng)式特別當(dāng)n=1時(shí),即得到y(tǒng)=f(x)的線性插值例1已知函數(shù)y=f(x)的觀測數(shù)據(jù)為x1234y0-5-63試求拉格朗日插值多項(xiàng)式。例1已知函數(shù)y=f(x)的觀測數(shù)據(jù)為解解例2已知函數(shù)y=f(x)的觀測數(shù)據(jù)為x012y123試求拉格朗日插值多項(xiàng)式。解例2已知函數(shù)y=f(x)的觀測數(shù)據(jù)為x這是二次項(xiàng)系數(shù)為0的二次多項(xiàng)式。從幾何上看,這三點(diǎn)(0,1)、(1,2)、(2,3)在一條直線上。此例說明Pn(x)的次數(shù)可以小于n。拉格朗日插值多項(xiàng)式的計(jì)算框圖見圖4.3。這是二次項(xiàng)系數(shù)為0的二次多項(xiàng)式。從幾圖4.3圖4.3圖4.3圖4.3

§6牛頓均差插值多項(xiàng)式

拉格朗日插值多項(xiàng)式形式對稱,計(jì)算較方便,但由于li(x)依賴于全部基點(diǎn),若算出所有l(wèi)i(x)后又需要增加基點(diǎn),則必須重新計(jì)算。為了克服這個(gè)缺點(diǎn),我們引進(jìn)牛頓均差插值多項(xiàng)式。將插值多項(xiàng)式Pn(x)表示成下列形式:

§6牛頓均差插值多項(xiàng)式

拉格朗Pn(x)=a0+a1(x-x0)+…+an(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)(4―18)這里的插值基點(diǎn)為x0,x1,x2,…,xn,相應(yīng)的函數(shù)值為y0,y1,…,yn。若根據(jù)插值原則Pn(xi)=yi,i=0,1,2,…,n則可逐次求出系數(shù)a0,a1,…,an。但這種確定系數(shù)的方法一般比較復(fù)雜。我們將利用均差概念導(dǎo)出牛頓均差插值多項(xiàng)式。Pn(x)=a0+a1(x-x0)6.1均差設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［xi,xj］上定義,則稱(i≠j)為f(x)在區(qū)間［xi,xj］上的一階均差。一階均差的均差稱為二階均差,記為f［xi,xj,xk］。已知k階均差f［xi,xi+1,…,xi+k］,f［xi+1,xi+2,…,xi+k+1］,則定義k+1階均差為6.1均差(i≠j)為f(x)在區(qū)并規(guī)定f(x)關(guān)于xi的零階均差為函數(shù)值本身,即f［xi］=f(xi)并規(guī)定f(x)關(guān)于xi的零階均差為函數(shù)值本身6.2牛頓均差插值多項(xiàng)式現(xiàn)在利用均差來推導(dǎo)牛頓均差插值多項(xiàng)式。由均差定義(4―20)6.2牛頓均差插值多項(xiàng)式(4―20)將式(4―２０)中的第二式代入第一式的右端便得到線性牛頓均差插值公式(4―21)這里為線性插值多項(xiàng)式將式(4―２０)中的第二式代入第一式將式(4―20)中的第三式代入式(4―21),又得到二次牛頓均差插值多項(xiàng)式(4―22)這里將式(4―20)中的第三式代入式(4是二次插值多項(xiàng)式為其余項(xiàng)。仿此,每增加一個(gè)插值基點(diǎn),只要將(4―20)中高階均差代入前一個(gè)公式,…,最后可得到(4―23)是二次插值多項(xiàng)式為其余項(xiàng)。(4―23)這里稱(4―24)式為牛頓均差插值多項(xiàng)式,(4―25)式為牛頓均差插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。將式(4―24)與(4―18)比較,顯然有ak=f［x0,x1,…,xk］,k=0,1,2,…,n(4―26)這里稱(4―24)式為牛頓均差插值多項(xiàng)式,(根據(jù)插值多項(xiàng)式的存在唯一性,將牛頓均差插值公式與拉格朗日插值公式比較這樣得到均差與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為f［x,x0,x1,…,xn］(n+1)!=f(n+1)(ξ)(4―27)其中ξ∈(a,b)。根據(jù)插值多項(xiàng)式的存在唯一性,將牛頓均牛頓均差插值多項(xiàng)式的計(jì)算極為方便,且當(dāng)增加一個(gè)插值基點(diǎn)時(shí),只要在后面多計(jì)算一項(xiàng),Pn(x)的各項(xiàng)系數(shù)恰好是各階均差值。各階均差值可按均差表4―1計(jì)算。牛頓均差插值多項(xiàng)式的計(jì)算極為方便,且表4―1表4―1例3構(gòu)造例1中f(x)的牛頓均差插值多項(xiàng)式。解作均差表4―2。表4―2例3構(gòu)造例1中f(x)的牛頓均差插值多項(xiàng)P3(x)=0+(-5)(x-1)+2(x-1)(x-2)+(x-1)(x-2)(x-3)=x3-4x2+3例4已知數(shù)據(jù)表4―3。表4―3x12356F(x)0262090試求牛頓均差插值多項(xiàng)式。解作均差表4―4。P3(x)=0+(-5)(x-表4―4表4―4下面敘述均差的幾個(gè)重要性質(zhì):(1)k階均差f［x0,x1,…,xk］是函數(shù)值f(x0),f(x1),…,f(xk)的線性組合,即下面敘述均差的幾個(gè)重要性質(zhì):(2)均差f［x0,x1,…,xk］為x0,x1,…,xk的對稱函數(shù)。也就是設(shè)i0,i1,…,ik為0,1,2,…,k的任一種排列,則恒有f［x0,x1,…,xk］=f［xi0,xi1,…,xik］(4―29)(3)設(shè)f(x)為x的n次多項(xiàng)式,則當(dāng)k＞n時(shí)f［x0,x1,…,xk］=0(4)設(shè)f(x)為x的n次多項(xiàng)式,則其一階均差f［x,x0］為x的n-1次多項(xiàng)式,二階均差f［x,x0,x1］為x的n-2次多項(xiàng)式,一般說來,k(k≤n)階均差f［x,x0,…,xk-1］為x的n-k次多項(xiàng)式。(2)均差f［x0,x1,…,xk(5)設(shè)f(x)可導(dǎo),則定義一般地f′(x,x0,x1,…,xn)=f(x,x,x0,x1,…,xn)(4―30)性質(zhì)(1)、(2)、(3)、(4)證明都比較簡單,我們僅給出性質(zhì)(1)、(2)、(3)的證明,性質(zhì)(4)留給讀者證。證對于性質(zhì)(1),利用數(shù)學(xué)歸納法(5)設(shè)f(x)可導(dǎo),則定義性質(zhì)(1)成立。假設(shè)k=m時(shí)成立,要證明k=m+1也成立。因?yàn)樾再|(zhì)(1)成立。假設(shè)k=m時(shí)成立,要所以,性質(zhì)(1)成立。由性質(zhì)(1)可得可見改變基點(diǎn)的排列次序,實(shí)質(zhì)上僅是改變求和次序,其值不變。因此性質(zhì)(2)成立。最后證明性質(zhì)(3)。因?yàn)閒(x)為x的n次多項(xiàng)式,以互異點(diǎn)x0,x1,…,xk為基點(diǎn)的牛頓均差插值多項(xiàng)式為所以,性質(zhì)(1)成立。可見改變基Pk(x)=f(x0)+f［x0,x1］(x-x0)+…+f(x0,x1,…,xk)(x-x0)(x-x1)…(x-xk-1)=f(x)這說明多項(xiàng)式Pk(x)中的最高次應(yīng)該是xn。故當(dāng)k＞n時(shí),Pk(x)中xk的系數(shù)f［x0,x1,…,xk］應(yīng)為零。性質(zhì)(3)得證。Pk(x)=f(x0)+f§7牛頓前差和后差插值多項(xiàng)式當(dāng)插值基點(diǎn)x0,x1,…,xn分布等距時(shí),也即h=xk+1-xk,k=0,1,2,…,n-1牛頓均差插值多項(xiàng)式的表達(dá)形式可以簡化。為此先引進(jìn)有限差概念。§7牛頓前差和后差插值多項(xiàng)式當(dāng)插7.1有限差我們分別稱為一階前差、一階后差和一階中心差,又統(tǒng)稱為一階有限差。這里符號Δ、、δ分別表示前差、后差和中心差算子。由一階有限差算子的定義,用遞推方法可定義高階有限差。二階前、后差分別定義為7.1有限差為一依此類推,n階前差定義為n階后差定義為依此類推,n階前差定義為n階后差定義為并規(guī)定零階前、后差為同樣可定義n階中心差根據(jù)有限差的定義,可得到它的幾個(gè)簡單性質(zhì):=(1)若函數(shù)f(x)為m次多項(xiàng)式,則m-k次多項(xiàng)式,0≤k≤mk＞m（即常數(shù)的有限差為零）(4―31)并規(guī)定零階前、后差為同樣可定義n階中心差根(2)均差與前、后差的關(guān)系可表示為(4―32)(4―33)式(4―32)和(4―33)可用歸納法證明。(2)均差與前、后差的關(guān)系可表示為7.2牛頓前差和后差插值多項(xiàng)式