單自由度機械振動系統(tǒng)諧和力激勵的受迫振動

1.1.2單自由度機械振動系統(tǒng)諧和力激勵的受迫振動1.1單自由度機械系統(tǒng)的振動

內(nèi)容提要一、強迫振動方程及其解

1、無阻尼系統(tǒng)的強迫振動

2、有阻尼系統(tǒng)的強迫振動二、強迫振動的過渡過程三、強迫振動的穩(wěn)態(tài)振動

1、機械阻抗

2、頻率特性

3、激勵力對振動系統(tǒng)的輸入功率一、強迫振動方程及其解

一個振動系統(tǒng)受到阻力作用后振動不能永遠(yuǎn)維持，它要漸漸衰減到停止，因此要使振動持續(xù)不停，就要不斷從外部獲得能量。外力作用下的振動-強迫振動（受迫振動)

（forcedvibration）

無阻尼強迫振動示意圖諧合函數(shù)——正弦、余弦函數(shù)。1、無阻尼系統(tǒng)的強迫振動一、強迫振動方程及其解質(zhì)量元件M受兩個作用力①彈性力②外加推力f(x)一、強迫振動方程及其解1、無阻尼系統(tǒng)的強迫振動運動方程式用復(fù)數(shù)表示：，則運動方程化為：（*）一、強迫振動方程及其解1、無阻尼系統(tǒng)的強迫振動

強迫振動方程是二階的非齊次常微分方程，其一般解應(yīng)表示為該方程的一個特解與相應(yīng)的齊次方程一般解之和。

方程的解=一般解＋特解其中：為方程（*）所對應(yīng)的齊次方程的解（通解）為方程（*）的特解一、強迫振動方程及其解1、無阻尼系統(tǒng)的強迫振動據(jù)前，方程（*）的通解為：（1-1-1節(jié)已解出）其中一、強迫振動方程及其解1、無阻尼系統(tǒng)的強迫振動

設(shè)方程（*）特解的一般形式為一、強迫振動方程及其解特解含義：按外力的振動規(guī)律而變，其振動頻率等于外力的頻率。1、無阻尼系統(tǒng)的強迫振動

代入強迫振動方程（*）（*）得所以方程的解為：一、強迫振動方程及其解1、無阻尼系統(tǒng)的強迫振動所以以，，實實際際位位移移為為：：式中中的的和和由由初初條條件件決決定定。。第一一項項：：自自由由振振動動分分量量第二二項項：：強強迫迫振振動動分分量量結(jié)論論：：無無阻阻尼尼系系統(tǒng)統(tǒng)在在諧諧合合力力作作用用下下的的振振動動為為兩兩個個簡諧諧振振動動的的迭迭加加。。一、、強強迫迫振振動動方方程程及及其其解解1、無阻阻尼尼系系統(tǒng)統(tǒng)的的強強迫迫振振動動一、、強強迫迫振振動動方方程程及及其其解解1、無阻尼系系統(tǒng)的強強迫振動動求得帶入上式式得取零初始始條件；零初始條條件的振振動位移移三角變換換一、強迫迫振動方方程及其其解1、無阻尼系系統(tǒng)的強強迫振動動時‘拍’’現(xiàn)象不不明顯時‘拍’’現(xiàn)象明明顯形成‘拍拍’振動動一、強迫迫振動方方程及其其解1、無阻尼系系統(tǒng)的強強迫振動動無阻尼系系統(tǒng)的拍拍頻振動動規(guī)律①振動頻頻率近似似等于②“振幅”作慢周期期變化，，拍周期期一、強迫迫振動方方程及其其解1、無阻尼系系統(tǒng)的強強迫振動動當(dāng)一、強迫迫振動方方程及其其解1、無阻尼系系統(tǒng)的強強迫振動動特例：當(dāng)當(dāng)時時，，振子振振幅逐漸漸(共振)實際上，，由于阻阻的存在在，自由由振動隨隨時間增增加會逐逐漸消失失，振動動僅有強強迫振動動項，而而達(dá)到穩(wěn)穩(wěn)態(tài)振動動。結(jié)論：無無阻尼振振子在諧諧和力激激勵下是是兩個簡簡諧振動動的合振振動，一一個是自自由振動動，另一一個是強強迫振動動；形成成拍頻振振動。由由于無阻阻尼，所所以自由由振動總總也不消消失。一、強迫迫振動方方程及其其解1、無阻尼系系統(tǒng)的強強迫振動動有阻尼時時，運動動方程2、有阻尼系系統(tǒng)的強迫迫振動一、強迫振振動方程及及其解復(fù)數(shù)表示：：外力為諧和和力運動方程：：其解：為齊次方程程的解，已已在前面解解出。此解解數(shù)學(xué)上稱稱為“通解”；物理中稱稱為“暫態(tài)解”。其中：2、有阻尼系系統(tǒng)的強迫迫振動一、強迫振振動方程及及其解系統(tǒng)的固有有頻率，決決定于系統(tǒng)統(tǒng)本身的參參數(shù)由系統(tǒng)的初初始條件確確定2、有阻尼系系統(tǒng)的強迫迫振動一、強迫振振動方程及及其解當(dāng)時時,設(shè)特解代入到運動動方程得到2、有阻尼系系統(tǒng)的強迫迫振動一、強迫振振動方程及及其解此解數(shù)學(xué)上上稱為“特解“；物理中稱稱為“穩(wěn)態(tài)解”2、有阻尼系系統(tǒng)的強迫迫振動一、強迫振振動方程及及其解令2、有阻尼系系統(tǒng)的強迫迫振動一、強迫振振動方程及及其解則外力引起的的位移振幅幅和外力的的振幅成正正比，并和外力頻頻率有關(guān)。。其中：由由初始條件件決定;由系統(tǒng)參數(shù)數(shù)決定。2、有阻尼系系統(tǒng)的強迫迫振動一、強迫振振動方程及及其解結(jié)論論：：阻阻尼尼系系統(tǒng)統(tǒng)在在諧諧和和力力作作用用下下的的強強迫迫振振動動質(zhì)質(zhì)量量的位位移移由由兩兩個個函函數(shù)數(shù)組組成成：：第一一項項為為暫態(tài)態(tài)分分量量：振振動動角角頻頻率率為為。。表示示外外力力剛剛開開始始時時激激發(fā)發(fā)起起系系統(tǒng)統(tǒng)的的自自由由振振動動分分量量。。振幅幅隨隨時時間間衰衰減減。。第二二項項為為穩(wěn)態(tài)態(tài)分分量量：：振動動頻頻率率等等于于外外力力的的頻頻率率，，表示示外外力力產(chǎn)產(chǎn)生生的的強強制制振振動動分分量量。。是振幅幅不變變的簡簡諧振振動。。隨時間間的增增加，，前者者對位位移的的影響響趨于于0,后者成為描描述振振子運運動的的函數(shù)數(shù)—穩(wěn)態(tài)解解。2、有阻阻尼系系統(tǒng)的的強迫迫振動動一、強強迫振振動方方程及及其解解對解的的進(jìn)一一步分分析：：(1)強迫振振動的的過渡渡過程程（暫暫態(tài)解解）阻尼振振子受受迫振振動，，總是是經(jīng)過過一段段時間間后達(dá)達(dá)到穩(wěn)穩(wěn)定，，一般般說，，振子子受力力激勵勵后到到達(dá)到到穩(wěn)定定振幅幅的簡簡諧振振動這這段過過程稱稱為過過渡過過程；；從數(shù)數(shù)學(xué)上上講就就是暫暫態(tài)解解幅值值減小小到0的過程程。二、強強迫振振動的的過渡渡過程程幾種典典型情情況外外力作作用下下，振振動過過渡過過程的的形式式不同同。①零初始始條件件：從最簡簡單的的情況況入手手分析析之，，設(shè)振動動系統(tǒng)統(tǒng)開始始時完完全處處于靜靜止?fàn)顮顟B(tài)且外加加諧和和力的的頻率率等于于系統(tǒng)統(tǒng)的固固有頻頻率。。則：二、強強迫振振動的的過渡渡過程程二、強強迫振振動的的過渡渡過程程得；帶入零零初始始條件件得振動位位移的的過渡渡過程程二、強強迫振振動的的過渡渡過程程所以系統(tǒng)過過渡時時間：：穩(wěn)態(tài)振振動基基本建建立所所需的的時間間稱為為穩(wěn)態(tài)態(tài)振動動的建建立時時間。。顯然，，此振振動振振幅達(dá)達(dá)到穩(wěn)穩(wěn)定的的過程程由系系數(shù)決決定定，一一般上上，認(rèn)認(rèn)為振振幅到到穩(wěn)定定值的的95％時,就達(dá)到到了穩(wěn)穩(wěn)態(tài)。。二、強強迫振振動的的過渡渡過程程定義：：為為系統(tǒng)統(tǒng)的過過渡時時間。。單位位，秒秒（Sec）。值與的的關(guān)關(guān)系：：大，大大——達(dá)到穩(wěn)穩(wěn)態(tài)需需要時時間長長（阻阻?。┒?、強強迫振振動的的過渡渡過程程②外力頻頻率接接近而而又不不等于于自由由振動動頻率率，則在在過渡渡過程程期間間，暫暫態(tài)成成分和和穩(wěn)態(tài)態(tài)成分分迭加加表現(xiàn)現(xiàn)出拍現(xiàn)象象。隨時間間的增增加，，拍越越來越越不明明顯，，直到到消失失。二、強強迫振振動的的過渡渡過程程③正弦脈脈沖填填充的的作用用周期出出現(xiàn)的的正弦弦填充充矩形形波的的強迫迫力作作用,且填充充正弦弦信號號頻率率設(shè)脈沖沖正弦弦作用用力的的持續(xù)續(xù)時間間為，，當(dāng)力力加到到系統(tǒng)統(tǒng)上以以后，，振動動的振振幅按按曲線線隨隨時間間增長長，而而脈沖沖結(jié)束束后，，系統(tǒng)統(tǒng)振動動按自自由振振動規(guī)規(guī)律指指數(shù)衰衰減，，因此此振動動的位位移和和力的的時間間波形形不同同。并并且、、不不同時時，脈脈沖波波形的的畸變變不同同。二、強強迫振振動的的過渡渡過程程大阻尼中阻尼尼小阻尼尼二、強強迫振振動的的過渡渡過程程圖1.Qm=1.7（低））圖2.Qm=5（中））圖3.Qm=15（高））三、質(zhì)質(zhì)點的的穩(wěn)態(tài)態(tài)振動動振子受受迫振振動，，經(jīng)過過一段段時間間后，，暫態(tài)態(tài)解影影響0，只有穩(wěn)穩(wěn)態(tài)解，，所以下下面分析析穩(wěn)態(tài)解解。（實際工程程中，主主要關(guān)心心的是穩(wěn)穩(wěn)態(tài)解））系統(tǒng)振動動達(dá)到穩(wěn)穩(wěn)態(tài)時位移：振速：其中，三、質(zhì)點點的穩(wěn)態(tài)態(tài)振動定義，機機械阻抗抗：機械械振動系系統(tǒng)在諧諧合激勵勵力作用用下產(chǎn)生生穩(wěn)定的同頻率諧合振速速，若用用復(fù)數(shù)力力表表示諧諧合激勵勵力，用用復(fù)數(shù)振振速表表示示同頻率率振速；；則復(fù)數(shù)力與復(fù)數(shù)振速速之比為該該系統(tǒng)在在該頻率率下的機機械阻抗抗。記為為（（或或））。1、機械阻阻抗三、質(zhì)點點的穩(wěn)態(tài)態(tài)振動—機械阻，，—機械抗。。MKS制中其單單位：kgs-1（力歐姆姆）1、機械阻阻抗三、質(zhì)點點的穩(wěn)態(tài)態(tài)振動據(jù)定義，，前例的的機械系系統(tǒng)的機機械阻抗抗為，1、機械阻阻抗物理意義義：機械械阻抗的的絕對值值等于產(chǎn)產(chǎn)生單位位振速幅值所需需力的大大小。三、質(zhì)點點的穩(wěn)態(tài)態(tài)振動;機械振動動系統(tǒng)在在簡諧力力作用下下振動，，改變激激勵信號號的頻率率，并保保持簡諧諧激勵信信號的幅幅值不變變,初相位為為0；得到的的某個響響應(yīng)信號號幅值隨隨頻率的的變化曲曲線叫該該響應(yīng)的的幅頻特特性曲線線；得到到的某個個響應(yīng)信信號相位位隨頻率率的變化化曲線叫叫響應(yīng)的的相頻特特性曲線線?！叻Q作作該響應(yīng)應(yīng)的頻率率特性曲曲線。幅頻特性性曲線和和相頻特特性曲線線，統(tǒng)稱稱作該響響應(yīng)的頻頻率特性性曲線。。三、質(zhì)點點的穩(wěn)態(tài)態(tài)振動2、頻率特特性曲線線①前例單自自由度阻阻尼機械械振動系系統(tǒng)的位移響應(yīng)應(yīng)2、頻率特特性曲線線三、質(zhì)點點的穩(wěn)態(tài)態(tài)振動位移的頻頻響曲線線位移的相相頻曲線線位移的幅幅頻曲線線2、頻率特特性曲線線三、質(zhì)點點的穩(wěn)態(tài)態(tài)振動②前例單自自由度阻阻尼機械械振動系系統(tǒng)的振速響應(yīng)應(yīng)2、頻率特特性曲線線三、質(zhì)點點的穩(wěn)態(tài)態(tài)振動振速的頻響曲線線振速的幅頻曲線線振速的相頻曲線線2、頻率特特性曲線線三、質(zhì)點點的穩(wěn)態(tài)態(tài)振動③前例單自自由度阻阻尼機械械振動系系統(tǒng)的加速度響響應(yīng)2、頻率特特性曲線線三、質(zhì)點點的穩(wěn)態(tài)態(tài)振動加速度的的頻響曲線線加速度的的幅頻曲線線加速度的的相頻曲線2、頻率特特性曲線線三、質(zhì)點點的穩(wěn)態(tài)態(tài)振動共振頻率率定義:機械振動動系統(tǒng)在在恒振幅幅激勵力力作用下下發(fā)生振振動，若若響應(yīng)隨隨激勵力力頻率的的變化出出現(xiàn)極大大值，則則稱，系系統(tǒng)的該該響應(yīng)發(fā)發(fā)生了共共振；此此時的頻頻率叫系系統(tǒng)該響響應(yīng)的共共振頻率率。一般上，，同一系系統(tǒng)不同同的響應(yīng)應(yīng)有不同同的共振振頻率。。例如：：位移共共振頻率率、速度度共振頻頻率、加加速度共共振頻率率…等。三、質(zhì)點點的穩(wěn)態(tài)態(tài)振動①瞬時功率率3、激勵力力對振動動系統(tǒng)的的輸入功功率三、質(zhì)點點的穩(wěn)態(tài)態(tài)振動激勵力對對振動系系統(tǒng)輸入入的瞬時時功率系統(tǒng)的振振動達(dá)到到穩(wěn)態(tài)時時，激勵勵力對振振動系統(tǒng)統(tǒng)的輸入入功率等等于系統(tǒng)統(tǒng)阻尼的的消耗功功率。②機械械功功率率3、激勵勵力對對振動動系統(tǒng)統(tǒng)的輸輸入功功率三、質(zhì)質(zhì)點的的穩(wěn)態(tài)態(tài)振動動一個周周期內(nèi)內(nèi)激勵勵力對對振動動系統(tǒng)統(tǒng)輸入入的平均功功率平均功功率與與激勵勵力頻頻率的的關(guān)系系3、激勵勵力對對振動動系統(tǒng)統(tǒng)的輸輸入功功率三、質(zhì)質(zhì)點的的穩(wěn)態(tài)態(tài)振動動③最大輸輸入功功率對對應(yīng)的的激勵勵力頻頻率3、激勵勵力對對振動動系統(tǒng)統(tǒng)的輸輸入功功率三、質(zhì)質(zhì)點的的穩(wěn)態(tài)態(tài)振動動諧振頻頻率機械振振動系系統(tǒng)在在諧合合激勵勵力作作用下下發(fā)生生振動動，達(dá)達(dá)到穩(wěn)穩(wěn)態(tài)時時如果果外力力時時時刻刻刻向系系統(tǒng)內(nèi)內(nèi)輸入入能量量（對對系統(tǒng)統(tǒng)作正正功））則稱稱此時時系統(tǒng)統(tǒng)發(fā)生生了諧諧振。。發(fā)生生諧振振時的的頻率率稱作作系統(tǒng)統(tǒng)諧振頻率。三、質(zhì)點的的穩(wěn)態(tài)振動動④半功率點頻頻帶寬度平均功率下下降到最大大功率的1/2所對應(yīng)的頻頻帶寬度3、激勵力對對振動系統(tǒng)統(tǒng)的輸入功功率三、質(zhì)點的的穩(wěn)態(tài)振動動因為：所以：半功率點頻頻帶寬度：：3、激勵力對對振動系統(tǒng)統(tǒng)的輸入功功率④半功率點頻頻帶寬度三、質(zhì)點的的穩(wěn)態(tài)振動動（1）共振頻率率定義:機械振動系系統(tǒng)在恒振振幅激勵力力作用下發(fā)發(fā)生振動，，若響應(yīng)隨隨激勵力頻頻率的變化化出現(xiàn)極大大值，則稱稱，系統(tǒng)的的該響應(yīng)發(fā)發(fā)生了共振振；此時的的頻率叫系系統(tǒng)該響應(yīng)應(yīng)的共振頻頻率。一般上，同同一