2023屆河北省保定市高三上學期摸底數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆河北省保定市高三上學期摸底數(shù)學試題一、單選題1．若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】化簡集合，結(jié)合交集的定義求.【詳解】由，化簡可得，所以，所以，又，所以，故選：D.2．若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡，再利用復(fù)數(shù)模的公式即可求解【詳解】由可得，所以，故選：C3．如果是兩個共線的單位向量，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量相等的定義判斷A，根據(jù)數(shù)量積的定義和性質(zhì)判斷B，C，D.【詳解】因為是單位向量，所以，，所以，，所以，D正確；由已知共線，所以的方向相同或相反；當?shù)姆较蛳喾磿r，，A錯誤；當?shù)姆较蛳喾磿r，，B錯誤，C錯誤；故選：D.4．我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》對立體幾何有著深入的研究，從其中的一些數(shù)學用語可見，譬如“塹堵”指底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，“陽馬”指底面是矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，“鱉臑”指的是四個面都是直角三角形的三棱錐.現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”，其中，若，則“陽馬”的體積最大為（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)條件，寫出四棱錐體積的表達式，再運用二次函數(shù)的知識即可求出最大值.【詳解】由題意知：平面，設(shè)，則有，，；考慮是關(guān)于開口向下的二次函數(shù)，當時取得最大值，最大值=，∴的最大值為；故選：C.5．等差數(shù)列中，，是方程的兩個根，則的前2022項和為（

）A．1011 B．2022 C．4044 D．8088【答案】C【分析】根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)以及前項和公式，求解即可.【詳解】因為，是方程的兩個根，故可得，又數(shù)列是等差數(shù)列，故，故.故選：.6．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圖像上特殊點的坐標滿足的解析式，結(jié)合函數(shù)的周期情況，即可求得參數(shù)，再利用整體法求函數(shù)單調(diào)增區(qū)間.【詳解】根據(jù)的圖象可知：，故可得，即，又，故；又，故可得，解得或，解得：或，數(shù)形結(jié)合可知：，即，結(jié)合，解得，顯然不滿足題意，故對，當且僅當時，滿足題意；故；令，解得.即的單調(diào)增區(qū)間為：.故選：B.7．已知，函數(shù)，，的零點分別為a，b，c，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零點的存在性定理和唯一性定理即可判斷大小關(guān)系.【詳解】因為單調(diào)遞增,且由零點的存在性定理可知有唯一零點且;因為在單調(diào)遞增,且,由零點的存在性定理可知有唯一零點且;因為在單調(diào)遞增,且,由零點的存在性定理可知有唯一零點，所以.故選:C.8．定義在上的函數(shù)滿足，且當時，.若對任意，都有，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件求出當，時，函數(shù)的解析式，做出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可求的范圍.【詳解】因為，當時，.所以當，時，，因為，所以，所以，所以當，時，當時，，又，且對任意，都有，所以，作出函數(shù)在上的圖象，要使，則需，其中，，所以，解得，所以，故選：B.二、多選題9．已知函數(shù)，則（

）A．的最大值為2 B．的最小正周期為C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．的圖象關(guān)于點對稱【答案】BC【分析】將解析式經(jīng)過恒等變換后化為，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)對其性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因為，所以，所以，所以的最大值為，故A錯誤.的最小正周期，故B正確.令，，化簡得，，取可得，所以函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，故C正確.令，，化簡得，，取可得，當時，，所以的圖像關(guān)于點對稱．故D錯誤.故選:BC.10．如圖，AB為圓錐SO底面圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的一點，N為SA的中點，則圓O上存在點M使（

）A． B．平面SBCC． D．平面SBC【答案】BC【分析】利用反證法的思想可判斷AD不成立，通過面面平行可判斷B，通過線面垂直可判斷C.【詳解】假設(shè)存在點M使，所以四點共面，又因為，所以面，易得點為面和面的公共點，所以三點共線，與題意矛盾，故不存在點M使，即A錯誤；過作，交劣弧與點，連接，由于分別為的中點，所以，由于面，面，所以面，面，又因為，所以面面，由于面，所以面，即B正確；點的位置同選項B，由于為直徑，所以，即,由圓錐易得，，所以面，所以，即C正確；假設(shè)在點M使面SBC，所以，又因為，，所以面，故面SBC應(yīng)與面平行，與題意顯然不符，即D錯誤；故選：BC.11．已知公比為的正項等比數(shù)列，其首項，前項和為，前項積為，且函數(shù)在點處切線斜率為1，則（

）A．數(shù)列單調(diào)遞增 B．數(shù)列單調(diào)遞減C．或5時，取值最大 D．【答案】BCD【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，求得，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，以及等比數(shù)列的前項和的求解，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：因為，故則，，解得，又，且數(shù)列是正項數(shù)列，故可得，故該數(shù)列單調(diào)遞減，A錯誤；對B：，由A知：，故，故數(shù)列單調(diào)遞減，B正確；對C：由A可知：，又，故數(shù)列的前4項均為大于的正數(shù)，從第項開始均為小于1的正數(shù)，故當或時，取得最大值，C正確；對D：因為，故，因為，故可得，即，故D正確；故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查數(shù)列的單調(diào)性，以及等比數(shù)列前項和的計算，涉及導數(shù)的幾何意義和計算，處理問題的關(guān)鍵是對多項式函數(shù)正確的求導，屬綜合中檔題.12．已知函數(shù)，以下結(jié)論不正確的是（

）A．時，若，則B．時，的圖像與直線有兩個交點C．是在上單調(diào)遞增的必要不充分條件D．時，有5個零點【答案】ACD【分析】對于A選項，由得到m的值，后判斷正誤.對于選項B，即判斷函數(shù)的零點個數(shù).對于選項C，由在上單調(diào)遞增可得在上恒成立.對于選項D，問題轉(zhuǎn)化為求方程解的個數(shù)，其中t為零點.【詳解】對于選項A，當時，.因，故時，有唯一解m=0.此時.當時，.此時，則在上單調(diào)遞增.又，故，使得.則，又在上單調(diào)遞增故，故A不正確對于選項B，分析函數(shù).因，則當時，，對，，則時，有唯一零點0.當時，，則在上單調(diào)遞減.又，故當時，有唯一零點1.綜上，在R上有兩個零點，即的圖像與直線有兩個交點.故B正確.對于C選項，因在上單調(diào)遞增，則，得，.故C不正確.對于選項D，設(shè)的零點為，則的零點個數(shù)，就是方程解的個數(shù).由選項A知，當時，有唯一零點0.當時，由，得.故此時零點個數(shù)就是圖像與直線的交點個數(shù).，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.則.又注意到則與圖像有兩個交點，即有兩個零點，設(shè)為其中又當時，.則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增當時，，因，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，，.據(jù)此可做出的大致圖像.方程解的個數(shù)就是圖像與直線的交點個數(shù).當時，由圖可知有3個交點；當時，有2個交點；當時，有2個交點綜上，時，有7個零點，故D不正確.又該題需選不正確選項.故選：ACD【點睛】方法點睛：本題為函數(shù)，方程，導數(shù)綜合問題，涉及到的方法有：（1）找函數(shù)零點時可利用函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零點存在性定理，也可參變分離后利用圖像處理.（2）函數(shù)與直線的交點個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點個數(shù)問題.（3）函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增可得到其導函數(shù)在該區(qū)間上恒大于等于0.（4）對于含形式的零點問題，常轉(zhuǎn)化為解方程，其中t為零點.三、填空題13．已知，那么__________.【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)誘導公式化簡即可.【詳解】因為所以.故答案為:.14．過點且與曲線相切的直線方程為____________________.【答案】或【分析】設(shè)切點的橫坐標為，利用導數(shù)構(gòu)建關(guān)于的方程后求出，從而可求切線方程.【詳解】設(shè)切點為的橫坐標為，因為，故，故，整理得到：，故或，故切線的斜率為或，故切線方程為或，即或，故答案為：或，15．如今中國被譽為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程、高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊、平衡盾構(gòu)機等國之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球為正四面體ABCD的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個面均相切，最小球與中等球和正四面體三個面均相切，已知正四面體ABCD棱長為，則模型中九個球的體積和為__________.【答案】【分析】先求出正四面體內(nèi)切球半徑與正四面體棱長和高的關(guān)系，再分析大、中、小內(nèi)切于正四面體的高即可求解.【詳解】如圖所示正四面體，設(shè)棱長為，高為，為正四面體內(nèi)切球的球心，延長交底面于，是等邊三角形的中心，過作交于，連接，則為正四面體內(nèi)切球的半徑，因為，，，所以，所以，解得，所以正四面體內(nèi)切球的體積，由圖可知最大球內(nèi)切于高的正四面體中，最大球半徑，故最大球體積為；中等球內(nèi)切于高的正四面體中，中等球半徑，故中等球的體積為；最小求內(nèi)切于高的正四面體中，最小球半徑，故最小求的體積為；所以九個球的體積和，故答案為：.四、雙空題16．設(shè)向量，，則與的夾角為__________，在上的投影向量為__________.【答案】

【分析】利用向量數(shù)量積的定義和坐標表示即可得到與的夾角，根據(jù)投影向量的概念求解在上的投影向量即可.【詳解】由題意得，又因為，，所以，所以與的夾角為，在上的投影向量為.故答案為：，.五、解答題17．記內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求角A；(2)若，，，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用正弦定理化邊為角，再通過三角恒等變換求角A；(2)在中利用余弦定理可求，結(jié)合條件求，利用三角形面積公式可求的面積.【詳解】（1）已知，由正弦定理得：，即，所以，化簡得，∵，，∴，又∵，∴；（2）由已知可得，，又.由余弦定理可知，所以，所以，因為，所以，在中，有余弦定理可知，所以，所以，所以的面積為.18．已知數(shù)列滿足，其中為常數(shù)，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，記數(shù)列的前n項和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用換元構(gòu)造新數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的定義，根據(jù)題意，求得公差，寫出通項，可得答案；（2）由題意，整理數(shù)列的通項公式，利用裂項相消，結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】（1）由已知，令，可知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，，，即，所以，即，解得，所以數(shù)列的通項公式為.（2），所以，由于，，，所以.19．如圖，正三棱柱中，，，D是AB的中點，E是上一動點.(1)若，求到平面BAE的距離；(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面ABE的一個法向量后可求點面距.也可利用等積法求點面距.（2）求出平面與平面的法向量后可求面面角的余弦值.【詳解】（1）方法一：如圖所示，以A為原點建立空間直角坐標系，由題意易知，，，，所以，，設(shè)平面ABE的一個法向量為，則，所以，令，得，設(shè)到平面ABE的距離為d，則方法二：在正三棱柱中，D為AB的中點，所以面，因為，所以因為面，所以E到面的距離為所以易知，設(shè)到平面ABE的距離為d，則因為，所以（2）在正三棱柱中，D為AB的中點，所以面，因為，所以因為面，所以E到面的距離為所以易知，設(shè)到平面ABE的距離為d，則因為，所以所以到平面ABE的距離為（2）方法一：由（1）知，，，，，設(shè)，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，則，所以令，得，因為面，所以，解得，所以E為中點，取BC得中點H，易知平面，所以平面的一個法向量為，所以平面與平面的夾角的余弦值為.所以，平面與平面的夾角的余弦值.方法二：取中點F，連接、DF，記，則G是DF中點，連接GE，則面面，因為平面，平面，所以，因為G是DF中點，所以E是中點.所以，，設(shè)平面的一個法向量為，則，所以，即，令，得取BC得中點H，易知平面，，所以平面的一個法向量為，所以平面與平面的夾角的余弦值為：.所以，平面與平面的夾角的余弦值.（建系方法不唯一，參照給分）20．已知函數(shù)，函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于點對稱，把的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象.(1)求的解析式；(2)設(shè)函數(shù)（，且），若的值域是，求a的取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】(1)先利用代點法求的解析式，再根據(jù)圖象變換關(guān)系求函數(shù)的解析式；(2)求出函數(shù)在上的取值范圍，結(jié)合條件及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)列不等式求a的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)是圖象上任意一點，設(shè)是點關(guān)于點的對稱點，則，，所以，，由已知在圖象上，所以，，即，把圖像向右平移個單位，得所以；（2）因為當時，，，所以，當時，，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在的取值范圍為，所以的值域為，與已知矛盾，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在的取值范圍為，所以的值域為，要使的值域為，則，解得故所求a的取值范圍為.21．某公司出產(chǎn)了一款美觀實用的筷子籠，如圖，是由與圓柱底面成一定角度的截面截圓柱所得.如果從截面的最底端到最高端部分還原圓柱，如下圖所示，AB，分別為圓柱底面直徑，，為圓柱的母線，，過的平面截圓柱且與底面所在平面交于直線，且.(1)證明：；(2)若底面有一動點M從A點出發(fā)在圓O上運動，過動點M的母線與截面交于點N，設(shè)，，其中.①求與的函數(shù)關(guān)系；②將圓柱側(cè)面沿母線剪開并展平，請在所給的展開圖中畫出平面截圓柱側(cè)面的截痕，并建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼抵苯訉懗銎浣馕鍪?【答案】(1)證明見解析(2)①，；②答案見解析【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判斷定理可得平面，從而可證.（2）過點M做MF垂直于直線l垂足為F，連接NF，作ME垂直于直徑AB垂足為E.四邊形AFME為矩形，結(jié)合線段長度